1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行）课后练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练通过A级基础题与B级提升题的分层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养空间观念与推理能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|平面法向量、线面平行判定等单一知识点|以选择、填空为主，如法向量计算（题1）、坐标平面平行判断（题3），强化概念理解与运算能力| |B级|线面关系综合应用、空间几何证明|含多选（题9）、正方体模型证明题（题11-12），需结合坐标法解决平行与垂直问题，发展逻辑推理与模型观念|

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示及空间中直线、平面的平行 A级 必备知识基础练 1.若A,B,C为平面α内不同的三点,且=(2,-1,-1),=(0,1,-2),则平面α的一个法向量可以是(　　) A.(3,3,2) B.(3,4,2) C.(3,3,3) D.(1,3,2) 2.若直线l的方向向量为a=(2,1,m),平面α的法向量为n=(1,,2),且l∥α,则m=(　　) A.- B.- C.4 D. 3.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则直线AB(　　) A.与坐标平面Oxy平行 B.与坐标平面Oyz平行 C.与坐标平面Oxz平行 D.与坐标平面Oyz相交 4.(多选题)若平面α⊥β,平面α的法向量为n=(2,1,-4),则平面β的一个法向量可以是(　　) A.(2,0,1) B.(-2,-1,4) C.(1,2,1) D.(1,,-2) 5.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,-3,0)在平面α内,若点B(m,0,2-m)在平面α内,则m=　　　　　.  6.法向量分别是n=(1,-1,2),m=(-2,0,3)的两个平面的位置关系是　　　　　.  7.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　.  8.已知O是原点,A,B,C三点的坐标分别为A(3,4,0),B(2,5,5),C(0,3,5). (1)若),求点P的坐标; (2)若P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,求点P的坐标. B级 关键能力提升练 9.(多选题)已知空间中两条不同的直线l,m,两个不同的平面α,β,则下列说法中错误的是(　　) A.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,-2,4),则l∥m B.若直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α C.若平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β D.若平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u+t=1 10.平面α内三点坐标分别为A(1,0,-1),B(-1,1,-1),C(-1,0,0),则平面α的一个法向量为　　　　　　.  11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为线段B1C1的中点. (1)求证:AA1⊥D1E; (2)求平面D1BE的法向量. 12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证: (1)FC1∥平面ADE; (2)平面ADE∥平面B1C1F. 参考答案 1.B　设n=(x,y,z),则 令z=2,则x=3,y=4,即n=(3,4,2).故选B. 2.B　若l∥α,则有a⊥n,即a·n=2++2m=0,解得m=-.故选B. 3.B　因为A(9,-3,4),B(9,2,1),所以=(0,5,-3),而坐标平面Oyz的法向量为(1,0,0),显然(0,5,-3)·(1,0,0)=0,故直线AB与坐标平面Oyz平行. 4.AC　因为α⊥β,所以n=(2,1,-4)与平面β的法向量也垂直. 对于A,因为(2,1,-4)·(2,0,1)=4-4=0,满足题意,故A正确; 对于B,因为(2,1,-4)·(-2,-1,4)=-4-1-16=-21≠0,故B错误; 对于C,因为(2,1,-4)·(1,2,1)=2+2-4=0,满足题意,故C正确; 对于D,因为(2,1,-4)·(1,,-2)=2++8=≠0,故D错误.故选AC. 5.-2　∵平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A,点B在平面α内, ∴=(m+1,3,2-m), ∴·n=-2(m+1)-6+2-m=0,解得m=-2. 6.相交且不垂直　假设存在λ∈R,使得n=λm,则显然方程组无解, 故向量n,m不平行,即两个平面不平行. 因为n·m=-2+6=4≠0,所以向量n,m不垂直, 所以两个平面的位置关系是相交且不垂直. 7.2∶3∶(-4)　因为=(1,-3,-),=(-2,-1,-),又因为a·=0,a·=0, 所以解得 所以x∶y∶z=y∶y∶(-y)=2∶3∶(-4). 8.解(1)由题可得,=(-1,1,5),=(-3,-1,5), 则)=(2,2,0)=(1,1,0), 所以点P的坐标为(1,1,0). (2)由P是线段AB上的一点,且AP∶PB=1∶2,知. 设点P的坐标为(x,y,z), 则=(x-3,y-4,z),=(2-x,5-y,5-z), 故(x-3,y-4,z)=(2-x,5-y,5-z), 即解得 因此点P的坐标为(). 9.BCD　对于A,b=2a,则a∥b,∴l∥m,故A中说法正确; 对于B,a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,则a⊥n,∴l∥α或l⊂α,故B中说法错误; 对于C,若n1=λn2(λ≠0),则(0,1,3)=λ(1,0,2),得此方程组无解,∴α∥β不成立,故C中说法错误; 对于D,=(-1,-1,1),=(-1,3,0), ∵n=(1,u,t)是平面α的法向量, ∴解得u=,t=, ∴u+t=,故D中说法错误. 故选BCD. 10.(1,2,2)(答案不唯一)　由题可得,=(-2,1,0),=(-2,0,1). 因为向量m=(x,y,z)是平面α的一个法向量, 所以取x=1,则y=2,z=2,得m=(1,2,2),故平面α的一个法向量可以为(1,2,2). 11.(1)证明因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,故可得AA1⊥平面A1B1C1D1. 又D1E⊂平面A1B1C1D1,故AA1⊥D1E. (2)解以D为坐标原点,AD,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系. 则D1(0,0,2),B(2,2,0),E(1,2,2),=(1,2,0),=(-1,0,2). 设平面D1BE的法向量为m=(x,y,z),则 即取x=2,可得y=-1,z=1, 故平面D1BE的一个法向量为(2,-1,1). 12.证明如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1),=(2,0,0). (1)(方法1)设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则取z1=2,则y1=-1, 所以n1=(0,-1,2). 因为·n1=-2+2=0,所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE. (方法2)设=λ+μ,则(0,2,1)=λ(2,0,0)+μ(0,2,1),所以解得=0·,所以是共面向量. 又因为DA∩AE=A,FC1⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE. (2)设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量, 则 取z2=2,则y2=-1,所以n2=(0,-1,2). 因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F. 8 学科网（北京）股份有限公司 $