第3章 大招专题2 圆中常见的辅助线-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“圆”的核心内容，围绕圆中常见辅助线构造展开，通过母题（如2025江苏盐城期中题）导入，结合中位线、全等三角形等知识，形成从母题探究到子题变式的学习支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点在于采用“母题学大招+子题练变式”模式，以具体例题抽象辅助线方法（数学眼光），证明过程强调逻辑推理（数学思维），规范几何语言表达（数学语言）。例如连半径构造等腰三角形证切线，子题巩固提升解题能力，为教师提供结构化教学素材，助力高效教学。

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第3章 圆 4 大招专 题2 圆中常见的辅助线 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招5 连半径构造等腰三角形 1.【2025江苏盐城期中，中】如图，是直角三角形 的外接圆，直径 ，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接 ， ，且与相交于点 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 （1）求证：与 相切； 图（1） 【证明】连接 ，如图（1）. 为的中点，是中点，是 的中位 线，是的直径， ， ，.又 ， ， 是 切线， ， ，是 的半径， 与 相切. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）当 时，在上取点，使 ，补全图形，并求点 到 直线 的距离. 图（2） 【解】如图（2）所示，当点在点左侧时，连接 ， 交于点 . ， ， ， ， ，， ， .当点在点右侧时，过点作交延长线于点 ， ，垂足为点，连接， 四边形是矩形.在 中， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 ， ， ， ， ， ， .综上,点到直线的距离为或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 关键点拨 利用“”证出 是解题的关键. 大招解读 连半径构造等腰三角形 证切线，想到证 角，连半径，构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和圆 的性质进行角度转换求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 母题学大招6 作直径构造直角三角形 （第2题图） 2.［中］一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面， 工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得 ， ，则圆形镜面的半径为_ __ . 【解析】连接，如图. ，且是圆周角， 是 圆形镜面的直径.由勾股定理得 ， 圆形镜面的半径为 .故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 大招解读 作直径构造直角三角形 看到圆周角，想到连接弦，若弦是直径即可证圆周角是直角.反之，若圆周角是直 角可得弦是直径. 关键点拨 能根据圆周角定理的推论得出 是圆形镜面的直径是解此题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 子题练变式 3.【2026北京海淀区质检，中】如图，四边形 的顶点在同一个圆上，且 .若为的中点，，，则四边形 的面积为 ____. 49 （第3题图） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 【解析】连接 ，如图. 四边形 为圆内接四边形， ， , ，为圆的直径， .在 中， 点为 的 中点，， ， ，故答案为49. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 母题学大招7 遇弦加弦心距 4.［中］已知的半径为7，是的弦，点在弦上.若， ， 则 ( ) D A. B.4 C. D.5 【解析】如图，过点作于点，连接 ，则 ，， ， ，.在 中，根据勾股定理 得.在 中，根据勾股定理得 ，故选D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 大招解读 遇弦加弦心距 看到弦（不是直径）及过弦的端点的半径，想到作弦心距，构造出直角三角形， 然后利用勾股定理解决求线段长的问题. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 子题练变式 5.［中］如图，是的直径，是的弦，，将沿着 折叠后 恰好经过点，则 的长为_____. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 【解析】过点作，垂足为，延长交于点 ，如图， 则.由折叠得， .在 中，，， ， ，故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 思路分析 过点作，垂足为，延长交于点 ，根据垂径定理可得 ，再根据折叠的性质可得，从而可得 ，然 后在 中，利用勾股定理进行计算即可解答. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 母题学大招8 遇切线，巧作过切点的半径 6.［中］如图，为的直径，是的切线， 为 切点，于，交于，连接 . （1）求证：平分 ； 【证明】如图，连接， . 切于，， ， ，，平分 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 （2）若，求 的半径. 【解】如图，过点作于，则 ， . 又 ， 四边形为矩形， . 在中，.故的半径为 . 大招解读 遇切线，巧作过切点的半径 见切点，想到连接圆心和切点，得到垂直关系. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 子题练变式 7.【2025山东青岛期中，中】如图，为的直径，， 为上的点，直线切于点，图中与 互余的角 有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】如图所示，连接 直线切于 点， ， ， ， ， 为的直径， ， 度数之和为90度的两个角互为余角， 题图中与 互余的角有，， ，共3个，故选C. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 $