第2章 反比例函数（复习课件）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了反比例函数的概念、图象性质、k的几何意义及综合应用，通过知识图谱和考点串讲将定义、三种形式、象限分布、增减性等核心内容串联，帮助学生构建完整的反比例函数知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”分层复习模式，如通过实际问题建立反比例函数模型培养模型意识，结合几何图形运用k的几何意义提升几何直观，不同难度题型让学生逐步提升，教师可精准教学，有效巩固知识。

第二章 反比例函数 复习课件 苏科版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，掌握反比例函数表达式，会确定比例系数，区分自变量取值范围。 02 工具掌握 会用待定系数法求解析式；熟练掌握函数图象画法，掌握图象形状、位置、增减性等图象性质。 深化理解 理解k的几何意义，能结合函数图象比较函数值大小，体会数形结合思想，能区分反比例函数与一次函数综合问题。 思想与应用 梳理本章知识体系，归纳易错点，会建立反比例函数模型解决实际问题，提升识图能力、运算准确性与数学建模的严谨性。 概念识别 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1.性质应用：利用反比例函数性质比较函数值大小，注意分象限讨论。 2.综合辨析：反比例函数与一次函数结合问题，图象交点问题，区分k正负对图象的影响。 3.实际应用：建立反比例函数模型解决实际问题，结合实际情境确定自变量取值。 1.核心概念：反比例函数的定义；反比例函数表达式，确定比例系数k，自变量取值范围。 2.图象体系：反比例函数的图象画法；图象的分布、增减性等基本性质。 3.拓展计算：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数中k的几何意义。 4 知识图谱 相关概念 反比例函数 定义 图象与性质 图象：双曲线 k的几何意义 实际应用 三种形式 自变量范围 k>0时，每个象限内y随x的增大而减小 k<0时，每个象限内y随x的增大而增大 根据实际确定自变量取值 建立反比例函数模型 5 考点串讲 ——1：反比例函数的概念 定义：形如 （k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数 等价变形：xy=k，y=kx-1 自变量取值范围：x≠0 求解析式：使用待定系数法，代入一组(x,y)求出k 【注意】 k≠0是反比例函数的必要条件，自变量x不能取0。 6 考点串讲 ——2：有理数及其分类 图象：双曲线，分为两支，不经过坐标原点 性质： k>0：图象分布在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；k<0：图象分布在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 【注意】 描述增减性必须强调“在每一个象限内”，不能直接说全体定义域上的增减。 7 考点串讲 ——3： k的几何意义 过双曲线上任意一点，分别向x轴、y轴作垂线： 所得矩形面积：|k| 所得直角三角形面积： 【注意】 计算面积一定要带上绝对值，k为负数时面积仍然为正数。 8 考点串讲 ——4：反比例函数与一次函数综合 求交点坐标:联立两个函数解析式，解方程组 比较函数值大小：结合图象，按象限分段进行讨论 【注意】 比较函数值大小，要区分交点左右、不同象限，不可以直接比较横坐标。 9 考点串讲 ——5：反比例函数实际应用 1、建立反比例函数模型，列出函数关系式； 2、结合实际情境确定自变量的取值范围 【注意】 实际问题中自变量除满足x≠0，还要符合现实意义，舍去无意义数值。 10 题型全解 题型01 反比例函数的定义 例 （25-26八年级下·江苏泰州·期中）以下是反比例函数的是（　　） A．y=2x B．y=−x−1 C．y= D．y=x2−x C 【解析】A. 是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 是一次函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     C. 是反比例函数，故该选项正确，符合题意；     D. 是二次函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 11 题型全解 题型01 反比例函数的定义 方法总结 方法1：形式识别法 把函数整理成y=、xy=k、y=kx-1三种等价形式，判断是否满足k为常数且k≠0。 方法2：参数限定法 参数类题目，同时满足：x的次数等于-1、比例系数不为0，联立求解参数。 针对训练 1．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）下列关系式中，能表示y是x的反比例函数的是（     ） A．y= B．y= C．y=+2 D．xy=−1 2．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）当m=______时，函数y=(m2+2m)是反比例函数． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期末）若函数y=(m+2)是反比例函数，则m的值为____． D 1 2 题型全解 题型02 求反比例函数自变量、函数值 例 （25-26九年级上·江苏南通·期中）已知点A(−2,m)在反比例函数y=的图象上，则m的值为（    ） A．3 B．−3 C．12 D．−12 【解析】∵点A−2,m在反比例函数y=的图象上， ∴m=6÷（-2）=−3， ∴m的值为−3， 故选：B． B 14 题型全解 题型02 求反比例函数自变量、函数值 方法总结 分类1：代入求值 已知自变量，直接将x代入解析式计算对应的函数值y；已知y反过来求x。 分类2：取值限定法 反比例函数自变量x≠0，实际情境还要结合现实条件再限定取值。 针对训练 1．（2026·江苏无锡·一模）已知点P（m,2）在反比例函数y=的图像上，则m=_______． 2．（2026·江苏南京·二模）将点(2,a)向上平移3个单位长度落到函数y=的图象上，则a的值为__． 3．（2026·江苏泰州·二模）已知反比例函数y=(k≠0)的图像经过点A(3,−2)和点B(−1,m)，则m=______． 0 6 题型全解 题型03 反比例函数的性质 例 （25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知反比例函数y=的图象经过点(−2,3)，则下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过点(,−12) C．图象关于y轴对称 D．y随x的增大而增大 B 【解析】∵反比例函数的图象经过点(−2,3)，∴k=−2×3=−6， ∵k=−6<0，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，仅在每个象限内y随x的增大而增大，图象关于原点中心对称，不关于y轴对称；故A，C，D错误； ∵×(−12)=−6=k， ∴图象经过点(1/2,−12)，故B正确． 17 题型全解 题型03 反比例函数的性质 方法总结 方法1：k值判定法 根据k正负判断图像所在象限：k>0图像在一、三象限；k<0图像在二、四象限。 方法2：象限内分析增减 描述增减性必须限定“在每一个象限内”，k>0每个象限内y随x增大而减小；k<0每个象限内y随x增大而增大。 针对训练 1．（2026·江苏扬州·三模）若点A(−2021,y1)、B(2022,y2)都在双曲线y=上，且y1>y2，则a的取值范围是（     ） A．a<0 B．a>0 C．a>−32 D．a<−32 2．（25-26八年级下·江苏南京·期末）若反比例函数y=的图像在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是______. 3．（25-26九年级上·江苏南京·开学考试）已知反比例函数y=的图象经过点(1,3)，若x>−1，则y的取值范围为_____________． k>2 D y<-3或y>0 题型全解 题型04 比较反比例函数值或自变量大小 例 （2026·江苏徐州·中考真题）若点A（x1,y1)，B(x2,y2）都在函数y=的图象上，且x1<0<x2，则（     ） A．y1=y2 B．y1=−y2 C．y1<y2 D．y1>y2 C 【解析】∵2026>0，∴该函数图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∵x1<0，∴点A（x1,y1）在第三象限，y1<0， ∵x2>0，∴点B（x2,y2）在第一象限，y2>0， ∴y1<y2．故选C. 20 题型全解 题型04 比较反比例函数值或自变量大小 方法总结 方法1：象限分类法 先判断点分别在哪一个象限，跨象限比较：第一象限y>0，二、四象限y<0，直接比较正负。 方法2：图象直观法 画出简易双曲线，对照点在图像上的位置，直观比较函数值、自变量的大小。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若A(−3,y1),B(1,y2)两点在函数y=-的图象上，则（　　） A． y1=y2 B． y1=−y2 C． y1>y2 D． y1<y2 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知点A(−3,y1)，B(−1,y2)在反比例函数y=（m为常数）的图象上，则y1与y2的大小关系是______． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知点A(x1,−3)，B(x2,−2)，C(x3,2)在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是________（用“＜”连接）． C y1>y2 x3<x1<x2 题型全解 题型05 反比例函数与几何综合 例 （25-26八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(2,4)，点B在反比例函数y=(x>0)的图像上，且AB与y轴平行，连结OB，过点A作OB的平行线，分别交y轴和双曲线于C、D两点，若SΔABC=3，则m=（   ） A．1 B．4 C．3 D．2 D 【解析】∵ SΔABC=3，点A的坐标为(2,4)，∴AB×2=3，解得：AB=3， ∵ AB与y轴平行，∴4−yB=3，xB=2，解得：yB=1， ∴B(2,1)，解得：m=2；故选：D． 23 题型全解 题型05 反比例函数与几何综合 方法总结 方法1：k几何意义 双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积|k|，直角三角形面积|k|/2，面积一定取正数。 方法2：坐标转化法 设双曲线上点的坐标，利用几何图形边长关系表示其他点坐标，代入反比例解析式列方程求解。 针对训练 1．（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，若点A在反比例函数y=(k≠0)的图象上，且△AOM的面积是3，则k=________． 2．（2026·江苏连云港·二模）如图，A，B是双曲线y=(x>0)上的两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，交OB于点D，若△ADO的面积为1.5，D为OB的中点，则k的值为__________． -6 4 针对训练 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，点B为反比例函数y1=(x<0)的图像上一点，过点B分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为A，C，线段BC被反比例函数y2=(x<0)的图像上一点D分成两部分，且BD∶CD=1∶2，连接AC，则△ABC的面积为______． 【分析】设点B的横坐标为m，根据垂线定义及线段比例关系表示出点D的横坐标，利用点B、D纵坐标相等建立关于k的方程求出k值，最后根据三角形面积公式求解． 题型全解 题型06 一次函数与反比例函数综合 例 （25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，若反比例函数y1=与一次函数y2=ax+b交于A、B两点，当y1>y2时，则x的取值范围是（    ） A．−1<x<0或x>2 B．x<−1或x>2 C．−1<x<0 D．x>2 A 【解析】由图象可知：当y1>y2时， 则x的取值范围是−1<x<0或x>2； 故选A． 27 题型全解 题型06 一次函数与反比例函数综合 方法总结 方法1：联立方程组 联立一次函数、反比例函数解析式，解方程组，求得两个图像交点坐标。 方法2：图象分段 观察图像，以交点横坐标为分界，分区间比较两个函数值的大小，写出对应x的取值范围。 针对训练 1．（2026·江苏镇江·一模）函数y=−2x与y=(k≠0)的图象相交于点A(m,2)，则关于x的不等式−2x>的解集为（   ） A．x>1 B．x<−1 C．−1<x<1 D．x<−1或0<x<1 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知一次函数y=x+3与反比例函数y=的图象交于点A(1,a)和点B． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)观察图象，不等式>x+3的解集为_________． D 针对训练 解：∵点A(1,a)在y=x+3上，∴a=1+3=4，∴A(1,4)， ∵A(1,4)在y=上，∴k=4，∴反比例函数表达式为y=， 联立得:x+3=，∴x=−4或x=1， 当x=−4时，y=−4+3=−1，∴B(−4,−1)； （2）解： B(−4,−1)，A(1,4)，观察图象可知，当x<−4或0<x<1时，反比例函数y=的图象在一次函数y=x+3的图象上方， ∴不等式>x+3的解集为x<−4或0<x<1． 针对训练 3．（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=的图象相交于点A(2,a)、B(b,−1)． (1)求反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于x的不等式x+1>的解集； (3)若点P是y轴上的一点，△ABP的面积是12，求点P的坐标． 针对训练 解：把A(2,a)代入y=x+1，得a=2，∴A(2,2）， 把A（2,2）代入y=，得k=4， ∴反比例函数的表达式为y=； （2）解：把B（b,−1）代入y=x+1，得 b+1=−1，解得b=−4，∴B（−4,−1）； 又A（2,2），由图可知，x+1>的解集为−4<x<0或x>2； 针对训练 解：如图，设直线AB与y轴交于点M， 令x=0，则y=×0+1=1，∴M（0,1）， 设P（0,p），则PM=|p−1|， ∵S△ABP=S△APM+S△BPM=×2×PM+×4×PM=3PM=12， ∴3|p−1|=12， 解得p=−3或p=5， ∴点P的坐标为（0,−3）或(0,5)． 题型全解 题型07 实际问题与反比例函数 例 （2026·江苏南通·一模）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间t（单位：天）与入库平均速度v（单位：吨/天）是反比例函数关系，它的图象如图所示，若每天最多可入库300吨玉米，则玉米全部入库所需时间t的范围是（   ） A．t≥4 B．0<t≤4 C．t>4 D．0<t<4 A 【解析】设t=k/v，由题意得，函数经过点(400,3)， 把(400,3)代入t=k/v，得k=1200，则解析式为t=1200/v， 再把v=300代入t=1200/v，得t=1200÷300=4， 则玉米全部入库所需时间t的范围是t≥4．选：A． 34 题型全解 题型07 实际问题与反比例函数 方法总结 方法1：建模求解析式 识别反比例关系，设y=，代入一组实际数据求出k，得到函数关系式。 方法2：范围分析 结合实际限制条件，代入解析式求解，再根据函数增减性确定自变量、函数值取值范围。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏南通·期末）在特定温度下，某容器充满一定量的气体，容器内气体的压强p（kPa）是气体体积V（ml）的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当V越来越大时，p也越来越大 B．p与V的函数表达式为p=6000V C．若压强不超过300kPa时，则体积V最多20 mL D．若压强由600kPa减至150kPa，则体积增加30 mL D 针对训练 2．（25-26九年级上·江苏南通·期中）某种电池的电压保持不变，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系如图所示，若该种电池的安全使用电流是2A，为了保证用电安全，电路中电阻的阻值最小为________Ω． 8 针对训练 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某垃圾清运公司承担了约3000t的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量y(t)关于完成任务所需的时间x(h)的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过20t，至少需要多长时间完成运送工作？ 针对训练 (1）解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量y(t)关于完成任务所需的时间x(h)的函数表达式为：y=(x>0)； （2）解：令y=20，则=20，解得x=150， 根据反比例函数的性质，当x>0时，y随x的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过20t时，至少需要150h完成运送工作. 题型全解 题型08 一次函数与反比例函数的实际应用 例 （25-26八年级下·江苏镇江·期末）某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带OA、平台AB和滑梯BFC三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，AB∥x轴，滑梯BFC为双曲线的一部分，点A坐标为2,8，AB=74，DE、FG为两根竖直的支撑柱，DE=FG=4，则两支撑柱之间的距离EG为_________． 6.5 40 题型全解 题型08 一次函数与反比例函数的实际应用 【解析】解：设直线OA的解析式为y=kx，把A(2,8)代入得： 8=2k，解得：k=4，∴直线OA的解析式为y=4x， 把y=4代入y=4x得：4=4x，解得：x=1，∴点E(1,0)， ∵点A坐标为(2,8)，AB=，AB∥x轴，∴B(,8)， 设双曲线的解析式为：y=，把B(,8)代入得： m=8×=30，∴双曲线的解析式为：y=， 把y=4代入y=得：4=30x，解得：x=7.5，∴点G(7.5,0)， ∴EG=7.5−1=6.5．故答案为：6.5． 41 题型全解 题型08 一次函数与反比例函数的实际应用 方法总结 方法1：分段建模 根据图像分段，区分一次函数段、反比例函数段，分别求出各段函数解析式。 方法2：图象信息提取 读取图像关键点坐标，把实际问题转化函数计算，结合题意作答。 针对训练 1．（25-26九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20°C，加热到100°C时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温y（°C）与通电时间x(min）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20°C，接通电源后，水温y（°C）与通电时间x（min）之间的关系如图所示． (1)求当4<x<a时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于40°C的时间有多长？ 针对训练 解（1）：设反比例函数的表达式为y=， 将点(4,100)代入得：k=4×100=400， 则y与x之间的函数表达式为y=， 当y=20时，x=400÷20=20， 即y与x之间的函数表达式为y=（4<x≤20）． （2）设当0≤x≤4时，y与x之间的函数表达式为y=mx+n， 将点（0,20）,（4,100）代入得：n=20，4m+n=100，解得m=20，n=20， 则y=20x+20（0≤x≤4）， 针对训练 当y=40时，20x+20=40，解得x=1， 对于y=（4<x≤20）， 当y=40时，x=400÷40=10， 因为10−1=9（min)， 所以加热一次，水温不低于40°C的时间为9min． 针对训练 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标y随时间x分钟）变化的函数图像如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图像是线段；当20≤x≤45时，图像是反比例函数图像的一部分． (1)求图中点A的坐标； (2)王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要16分钟， 他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时， 注意力指标都不低于36？请说明理由． 针对训练 （1）解：设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y=，将C(20,45)代入得： 45=，解得k=900， ∴反比例函数的解析式为y=， 当x=45时，y=900÷45=20， ∴D(45,20)， ∴A(0,20)，即A对应的指标值为20； 针对训练 （2）能，理由： 设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，将A(0,20)、B(10,45)代入得： 20=n，45=10m+n，解得m=，n=20，∴AB的解析式为y=x+20， 当y≥36时，x+20≥36，解得x≥， 由（1）得反比例函数的解析式为y=， 当y≥36时，≥36，解得x≤25， ∴ ≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25−=>17， ∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题时，注意力指标都不低于36． 单元总结/易错复盘 ·分类规则 求解析式用待定系数法；画图象采用描点法；比较函数值可用图象法、代数法；综合题型常与一次函数联立求解。 ·核心概念 解析式y=k/x(k≠0)，等价形式xy=k、y=kx-1；图象为双曲线；k>0，图象分布一、三象限；k<0，图象分布二、四象限；k的几何意义：矩形面积|k|，三角形面积|k|/2。 ·答题注意事项 描述增减性必须强调在每一个象限内；比较函数值大小要分象限讨论；实际问题自变量x≠0，结合题意限定取值；运用k几何意义计算不要漏掉绝对值符号。 49 苏科版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $