第1章 反比例函数（复习讲义）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学反比例函数单元复习讲义通过表格梳理复习要点与重难点，将定义、图像性质、比例系数几何意义、解析式确定等知识点分层呈现，构建“概念-性质-应用”的知识脉络，清晰展示各要点内在联系与易错点分布。 讲义亮点在于“基础-综合-难点”三级练习设计，如“图形面积与比例系数”题型通过拆解矩形面积培养几何直观，“实际应用”题型结合杠杆原理建立模型发展模型意识。每个题型配迁移练习与方法指导，基础学生可夯实概念，优秀学生能突破动点存在性难点，助力教师精准分层教学。

第1章 反比例函数 复习要点 1.熟记反比例函数三种表达式，掌握判断反比例函数的条件，清楚自变量与函数值均不能为0。 2.掌握双曲线图像特征，区分、对应的象限与增减性，会规范画出函数图像。 3.理解的几何意义，熟练利用、求解各类与双曲线相关的图形面积。 4.会用待定系数法求函数解析式，能结合实际情境建立反比例模型，标注自变量取值范围。 5.能结合函数图像解决综合题型，准确对比函数值大小，处理反比例与一次函数结合的计算问题。 复习重难点 重点： 1.反比例函数的定义、三种等价形式，双曲线图像特征、正负对应的象限与增减变化规律。 2.比例系数的几何意义，能借助双曲线上点计算矩形、直角三角形面积，牢记面积取。 3.待定系数法求解析式，实际问题建立反比例函数模型，规范书写自变量取值范围。 难点： 1.忽略增减性“同一象限内”的前提，直接跨象限比较函数值，出现大小判断错误。 2.复杂图形面积计算不会拆分基础图形，时常忘记面积需取绝对值，为负时计算出错。三 知识点反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是，故函数图象与轴、轴无交点； （2）可以写成()的形式，自变量的指数是，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 要点速测 1．下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中，只有C选项中的函数是反比例函数． 知识点 反比例函数的图像和性质 1.反比例函数的图象及性质 反比例函数的图象是双曲线 图象 性质 （1）图象分别位于第一、三象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而减小 （1）图象分别位于第二、四象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而增大 对称性 反比例的图像关于原点的对称 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交 要点速测 2．若某函数具有如下三个特征：①函数图象经过点；②函数图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而增大．则这个函数的表达式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、：当时，，满足条件①，当时，随增大而减小，不满足条件③，故A选项不符合题意； B、：当时，，不满足条件①，故B选项不符合题意； C、：当时，，满足条件①；当时，，函数图象经过第四象限，满足条件②；对于反比例函数，，在时，随的增大而增大，满足条件③，故C选项符合题意； D、：当时，，不满足条件①，故D选项不符合题意． 知识点 反比例函数系数的几何意义 设反比例函数解析式为，为双曲线图象上任意一点。 1.矩形面积结论 过点分别向轴、轴作垂线，两条垂线与两条坐标轴围成矩形，矩形面积固定为。 推导：矩形长、宽，面积，由得。 2.直角三角形面积结论 过点向任意一条坐标轴作垂线，再连接点与坐标原点，形成直角三角形，该三角形面积恒为。 推导：三角形面积是对应矩形面积的一半，。 要点速测 3．如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：点P是反比例函数图象上的一点，分别过点P作轴于点A，轴于点B，若四边形的面积为2， 矩形的面积， ， 又反比例函数的图象在第一象限， ， ． 知识点 反比例函数解析式的确定 1.待定系数法 反比例函数只有一个未知参数，仅需给出图象上任意一点坐标，将坐标代入，算出，即可写出完整函数解析式。 2.实际应用问题建模步骤 第一步：梳理题干等量关系，判断变量间反比例关系； 第二步：设反比例函数形式，利用已知条件求出； 第三步：结合实际场景限制自变量，标注的取值范围（如长度、人数大于0等）。 补充提醒：实际问题中常为正数，自变量不能取0，书写解析式时必须附带取值范围才完整。 要点速测 4．一个反比例函数的图象经过点，则这个函数的表达式是______． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将代入表达式得， 解得， 因此这个反比例函数的表达式为． 题型1反比例函数的定义 ▌例1 在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：①，符合反比例函数定义，是反比例函数； ②，是正比例函数，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ③可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ④可变形为，符合反比例函数定义，是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合定义，不是反比例函数； ⑥，符合反比例函数定义，是反比例函数； ∴符合条件的反比例函数共有4个． ▌例2 若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． ▌迁移练1-1下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.； ∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误； 选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.； 选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确． ▌迁移练1-2若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，函数是反比例函数， ∴， 解得，即且， ∴． ▌迁移练1-3若函数是反比例函数，则k的值为__________． 【答案】0 【详解】解：函数是反比例函数， ∴且， 解得． 题型2反比例函数的图象与增减性 ▌例1 若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，分两种情况： ①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； ②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． ▌例2 已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． ▌迁移练2-1反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图像过二、四象限，与y轴相交于正半轴， ∴一次函数的图像过一、二、四象限． 故选：C． ▌迁移练2-2已知反比例函数，点在这个函数的图象上，那么当时，y随x的增大而______．（增大或减小） 【答案】增大 【详解】解：将点代入， 得， ， 反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 当时，函数图象位于第四象限，因此随的增大而增大， ▌迁移练2-3若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限， ∴反比例函数的比例系数， 解得. 题型3反比例函数图象上点的坐标特征应用 ▌例1 在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∴． ▌例2 已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象关于原点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 【答案】D 【详解】解：如图，是反比例函数向上平移1个单位得到的，对各选项逐一判断： 由图象可得：函数图象关于对称，函数图象关于直线对称， ∴A错误，B错误，C错误，D正确． ▌迁移练3-1如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． ▌迁移练3-2直线与双曲线交于、两点，则____________． 【答案】 【详解】解：∵直线与双曲线的图象均关于原点对称， ∴和关于原点对称， ∴，， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， ∴． ▌迁移练3-3如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴点与点关于原点对称， ∴点和点的横纵坐标互为相反数， ， ， 解得，， ， 把 代入， 得， 解得． 题型4待定系数法求解析式 ▌例1 某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：选择反比例函数进行求解，设函数表达式为， 函数图象经过点， 将代入得， 满足条件的函数表达式可以为 ▌例2 已知与成正比例，与成反比例．当时；当时；试写出变量与变量的函数关系式？当时求的值是多少？ 【答案】 与的函数关系式为；当时， 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， 把代入解析式，得， 解得， ∴； ∵与成反比例， ∴设， 把代入解析式，得， 解得， ∴； 把代入，得， ∴， 即与的函数关系式为， 当时，代入得． ▌迁移练4-1已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵y与x成反比例，z与y成正比例， ∴设，， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， ， ，即. （2）解：将代入， 得． ▌迁移练4-2如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式． (2)将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，轴． ∵， ∴． ∵向上平移m个单位长度， ∴平移后点B的坐标为． ∵平移后点B落在反比例函数的图象上， ∴． ∴． ▌迁移练4-3如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 【答案】3 【详解】解：设，过A作轴于D，则，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∵，， ∴，即， 解得， ∵反比例函数的图像经过点A， ∴ ． 题型5 图形面积与比例系数 ▌例1 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． ▌例2 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在反比例函数的图象上 ∴ 由图可知， ∴ ∵是的中点 ∴ ∴． ▌迁移练5-1如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】解：作轴于M， ∴轴， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∵， ∴，， ∴， 点，在反比例函数图象上， ，， ， ， 解得（负数舍去）． ▌迁移练5-2如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵轴且交轴于点， ∴， ∴四边形和四边形是矩形，且， ∵矩形的顶点A，矩形的顶点B分别在反比例函数和的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：． ▌迁移练5-3如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，设， ∴，， 作轴交的延长线于点，作轴交的延长线于点， ∵轴于点M，轴于点N， ∴四边形为矩形， ∴， ∴阴影部分的面积为. 题型6反比例函数的实际应用 ▌例1 “杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 【答案】4 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． ▌例2 某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ 【答案】(1) (2)120千帕 【分析】 【详解】（1）解：设反比例函数为， 将代入得， 解得：， 即； （2）解：把立方米代入中，得千帕． ▌迁移练6-1成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【详解】解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． ▌迁移练6-2如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 【答案】要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为120mL 【详解】解：由题得，即． 当时，， 解得． 答：要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为． ▌迁移练6-3学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 题型7反比例函数与一次函数的交点及不等式解集 ▌例1 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)８； (3)或． 【分析】 【详解】（1）解：把点代入反比例函数，可得， 解得 ， ∴反比例函数为，点的坐标为 ∵反比例函数的图象经过B点， ∴，解得 ∴点的坐标为， 把，代入得 解得 ∴一次函数为； （2）解：在直线中，令，则， ∴，即， ∴； （3）要满足不等式，即一次函数图象在反比例函数图象上方，如图所示，所以的解集是或． ▌例2 如图，已知一次函数（）与反比例函数（）的图象的一个交点为． (1)在图中画出一次函数（）的图象并求出k，m的值； (2)若一次函数的图象与y轴交于点A，点M是反比例函数的图象在第一象限上一点，且，求的面积． 【答案】(1)， (2)4 【分析】 【详解】（1）解：把点代入一次函数（）， 得， 解得， 把点代入，得， 解得； 画图象略； （2）解：根据（1）得一次函数的解析式为（），反比例函数的解析式为， 故， ， 点M是反比例函数的图象在第一象限上一点，且， 点一定在线段的垂直平分线上， 点M一定在直线上， 点M一定是直线与的交点， 此时， 故， 故的面积为：． ▌迁移练7-1如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． ▌迁移练7-2如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出的的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为：； (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）解：∵点，在反比例函数上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数上， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：由函数图象可得，当反比例函数图象在一次函数图象的上方，即， ∴或． （3）解：当时，， ∴点， ∴， 当时，，解得， ∴点， ∴， ∴ ． ▌迁移练7-3如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 或0（舍去） ，， ， 反比例函数的表达式为． 设一次函数的表达式为， 把，代入，得 ， 解得，， 一次函数的表达式为． （2）解：作直线， 直线经过原点和点， 直线的表达式为． 联立与，得 ， 解得或， 点的坐标为． 直线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， ． 点到轴的距离为， ． 设点的坐标为． ． 点，到轴的距离分别为，， ． ， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 难点一 反比例函数与一次函数的图象综合判断 难点分析： 1.忽略反比例函数定义域，联立方程求解后不剔除的无效解； 2.混淆“整个定义域”和“单个象限”的增减性，直接跨象限比较函数值大小； 3.根据图像判断、参数取值范围时，不会结合交点坐标、象限位置建立不等式。 解题处理方法： 1.联立与一次函数解析式，化为一元二次方程，结合判别式判断交点个数； 2.比较函数值大小时，以为分界，分左右两个象限单独讨论； 3.观察图像所在象限确定正负，结合交点横坐标、纵坐标列出不等式求解参数。 难点精练 ▌例1 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，B、D选项都不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、二、三象限， 故C选项不符合题意； 综上，只有选项A符合题意． ▌例2 函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 故A选项错误； B选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故B选项正确； C选项：一次函数的图象经过第一、二、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 反比例函数应在第一、三象限， 故C选项错误； D选项：一次函数的图象经过第一、三、四象限， 即， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的负半轴， 反比例函数应在第二、四象限， 故D选项错误． ▌迁移练1-1函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． ▌迁移练1-2已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. ▌迁移练1-3在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、三象限，B符合题意； 当时，的图象经过一、二、四象限，的图象经过二、四象限，不符合题意. 难点二 反比例函数中的动点与存在性问题 难点分析： 1.动点坐标处理难度大 动点在双曲线上、坐标轴或直线上运动，坐标含未知数，学生难以设出动点横、纵坐标，无法结合建立等式；点位置变化时分段讨论意识薄弱，容易漏解。 2.存在性问题条件转化困难 题目要求存在点满足等腰三角形、平行四边形、直角、面积定值等条件，不会把几何等量关系转化为含未知数的方程，几何条件与反比例函数代数式子无法衔接。 3.多情况分类容易遗漏 动点存在上下、左右、双曲线上两支多种位置，等腰三角形分三条边分别为底边、平行四边形分不同顶点组合，做题时常只算出一种情况，丢失多组答案。 4.结合几何意义综合计算易出错 动点移动后图形形状改变，面积、线段长度随动点变化，不会拆分矩形、三角形套用，计算时忘记取绝对值，出现符号错误。 二、解题处理方法： 1.合理设动点坐标，利用反比例等量关系简化计算 若动点在上，直接设，用单参数表示横纵坐标；动点在坐标轴上则设或，减少未知数数量，结合消元列式。 2.分步拆解存在性条件，几何条件代数化 第一步梳理题目要求的几何特征（平行四边形、直角、等腰、面积固定）； 第二步写出对应边长相等、垂直斜率乘积为、面积公式等代数等式； 第三步代入动点坐标，得到关于参数的方程并求解。 3.固定分类标准，完整讨论所有可能性 等腰三角形：分三边分别为底边三种情况； 平行四边形：分三组顶点为对角线三种组合； 动点跨双曲线两支、坐标轴两侧时，分、两类讨论，避免漏解。 4.结合图像与几何意义分段计算面积 动点位置改变后拆分不规则图形为矩形、直角三角形，统一使用、计算；所有面积结果只取正数，忽略本身正负。 5.检验解的合理性，舍去无效答案 求出参数后，验证动点是否符合图像范围、自变量，舍去使点不存在、图形不成立的解。 难点精练 ▌例1 如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上．已知轴于点，轴于点，原点恰好是线段的中点，连接，的面积为6，． (1)求反比例函数的解析式； (2)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，或，或， 【分析】 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，， 令，则， ，即， 原点恰好是线段的中点， ， 即， ， ； ， ， 解得：， 反比例函数的解析式为． （2）解：存在点，使得是等腰直角三角形．理由如下： 由（1）得：， 直线的表达式为， 是线段上的一个动点． 设． ①当，时，点与原点重合， ，； ②当，时，如图， ，解得， ， ， ③当，时，如图， 过点作于点N，则， 由②的解法可求得：，， ， ，； 综上所述：当，或，或，时，是等腰直角三角形． ▌例2 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，，，反比例函数上的图象经过的中点，交于点． (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)若点为反比例函数图象上一个动点，点为轴上一个动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】 【详解】（1）解：∵矩形的顶点O为原点，，， ∴， ∵点P是的中点， ∴， ∵反比例函数上的图象经过的中点P， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点Q在上， ∴点Q的横坐标为4，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：存在以P，Q，M，N为顶点的四边形是以为边的平行四边形， 分两种情况讨论，当时， ①当点与点N对应时，即纵坐标向下平移了5个单位， ∴点也向下平移5个单位得到点M，此时点M的纵坐标为， 当时，，解得， ∴点； ②当点与点N对应时，即纵坐标向下平移了个单位， ∴点也向下平移个单位得到点M，此时点M的纵坐标为， 当时，，解得， 点，但与点Q重合，舍去； 综上，点M的坐标为． ▌迁移练2-1如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (3)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】 【详解】（1）如图，连接，交x轴于点E，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入直线可得， 解得， 将代入反比例函数可得， 解得：； ∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2）联立， 解得：，， ∴， 由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为或； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 设P点坐标为， 则， ∴， ∵， 当P在A的左侧时，， ∴， ∴， 当P在A的右侧时，， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． ▌迁移练2-2如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函为，一次函数表达式为 (2) (3)存在，点E的坐标为或或 【分析】 【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过、两点， ， 解得：， ， 由点M、N的坐标得，直线的表达式为：； 反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E， 设， ，， ， 直线的表达式为：， 则， ， ， 解得：， ； （3）存在，点E的坐标为或或． 由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为， 设， ，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 综上所述，点E的坐标为或或． ▌迁移练2-3如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，与轴交于点，若，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是坐标轴上的一动点，是否存在，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点坐标为或或或 【分析】 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ，， ， ∴， 点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的表达式为； 把分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：在坐标轴上存在点使的面积是的面积的2倍． 如图，对于，当时，， 解得，即点坐标． 的面积， 的面积的面积． 分两种情况：①当点在轴上，设点坐标为， 根据题意得， 解得， 此时点坐标为或； ②当点在轴上，设点坐标为，根据题意得， 解得， 此时点坐标为或； 综上，符合条件的点坐标为或或或 基础达标 1．反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 反比例函数解析式为， ∴ 对图象上任意一点，都满足． A、，不满足，故此选项不符合题意； B、，不满足，故此选项不符合题意； C、，不满足，故此选项不符合题意； D、，满足条件，故此选项符合题意． 2．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将点坐标代入解析式得：，， 由变形得， 又∵， ∴， 移项得． 3．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，变形得． 4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由函数图象可知：不等式的解集为或． 5．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴， 则A、D选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，函数的图象位于第一、三象限，则B选项符合题意；C选项不符合题意； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，函数的图象位于第二、四象限，均不符合题意； 故选：B 6．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点的坐标为，绕点逆时针旋转， ∴， ，， 故， 将代入中，得． 7．反比例函数过点和，则________． 【答案】 【详解】解：反比例函数的图象过点和， ∴， 解得． 8．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 【答案】 【详解】解：设体积为时，压强为， ∵该二氧化碳的体积与压强成反比例函数关系， ∴， 解得． 9．如图，已知点A在反比例函数图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且的面积为3，则该反比例函数的表达式为______． 【答案】 【详解】解：连接， 设反比例函数的解析式为， 轴，轴轴， 轴， 的面积的面积， 又的面积， ， ， 又反比例函数的图象的一支位于第二象限， ， ， 这个反比例函数的解析式为． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或． 11．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 12．如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为． 【分析】 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． 13．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)2 【分析】 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 由题意得，轴， ∵， ∴， ∵的中点的坐标为， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，反比例函数解析式为， 由题意可设平移后的， 将点代入，则， 解得， ∴， ∵， ∴平移的距离为． 能力进阶 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点， ∴轴，轴， 设点的横坐标为， ∵点在函数的图像上， 当时，得， ∴， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵顶点、均在函数的图像上， 当时，得；当时，得； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 15．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 【答案】C 【详解】解：A、设与的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴，解得， ∴与的函数关系式是，故A正确，不符合题意； B、当时，，解得，故B正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限，随的增大而减小， ∴当时，，故C错误，符合题意； D、当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是，故D正确，不符合题意． 16．如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 【答案】8 【详解】解：连接、，如图所示： 四边形是矩形， ，， 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵图象在第一象限，即， ． 17．如图，已知反比例函数的图象上有一组点，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①，②，③．．．”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，．．．，则______，______，______（用含的式子表示）． 【答案】 【详解】解：点在反比例函数的图象上，且横坐标依次增加，点横坐标为 点的横坐标为，纵坐标为 第个三角形（即序号为的三角形）的底边长为，高为 第个三角形的面积为 ①的面积为，②的面积为，③的面积为，④的面积为，，⑦的面积为，⑧的面积为 ，， ． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可设， 关于原点对称， ∴， 轴， ， 轴， ， ， ∴，且， 四边形是平行四边形，且， 四边形的面积为． 19．如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把向右平移a个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过一边的中点时，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为2或6 【分析】 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点C， 是等边三角形， ，， ∵， ， ，， ∴， 把点代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：分两种情况讨论： ①如图2，点D是的中点，过点D作轴于点E， 由题意得， 是等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 把代入，得， ， ； ②如图3，点F是的中点，过点F作轴于点H． 由题意得， ，， 在中，， ∴，， 把代入，得， ， ， 综上所述，a的值为2或6． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵直线过点， ， 解得：． （2）解：如图，连接， ∵将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点， ∴， ∴设直线的解析式为，， 当时，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， ， ， 直线的解析式为． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； (3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． ，， 解得，， 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：根据，得， ； 或， 设平移后的解析式为， 当直线经过时，得，解得； 当直线经过时，得，解得； 故平移后的函数解析式为或； （3）解：根据题意，得， 则，， 根据题意，得， ， ， ， 或 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 综上所述，符合要求的点P的坐标为； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 反比例函数 复习要点 1.熟记反比例函数三种表达式，掌握判断反比例函数的条件，清楚自变量与函数值均不能为0。 2.掌握双曲线图像特征，区分、对应的象限与增减性，会规范画出函数图像。 3.理解的几何意义，熟练利用、求解各类与双曲线相关的图形面积。 4.会用待定系数法求函数解析式，能结合实际情境建立反比例模型，标注自变量取值范围。 5.能结合函数图像解决综合题型，准确对比函数值大小，处理反比例与一次函数结合的计算问题。 复习重难点 重点： 1.反比例函数的定义、三种等价形式，双曲线图像特征、正负对应的象限与增减变化规律。 2.比例系数的几何意义，能借助双曲线上点计算矩形、直角三角形面积，牢记面积取。 3.待定系数法求解析式，实际问题建立反比例函数模型，规范书写自变量取值范围。 难点： 1.忽略增减性“同一象限内”的前提，直接跨象限比较函数值，出现大小判断错误。 2.复杂图形面积计算不会拆分基础图形，时常忘记面积需取绝对值，为负时计算出错。三 知识点反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的_________是一个不等于_________的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于_________的常数. 一般地，形如_________(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是_________. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式_________，所以自变量的取值范围是_________，函数的取值范围是_________，故函数图象与轴、轴_________； （2）可以写成()的形式，自变量的指数是_________，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 要点速测 1．下列函数中，反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 知识点 反比例函数的图像和性质 1.反比例函数的图象及性质 反比例函数的图象是_________ 图象 性质 （1）图象分别位于第_________象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而_________ （1）图象分别位于第_________象限； （2）在每个象限内，值随值的增大而_________ 对称性 反比例的图像关于_________的对称 2.画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为_________的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据_________去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用_________按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成_________.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近_________的趋势，但永远不与坐标轴_________ 要点速测 2．若某函数具有如下三个特征：①函数图象经过点；②函数图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而增大．则这个函数的表达式可能是（     ） A． B． C． D． 知识点 反比例函数系数的几何意义 设反比例函数解析式为，为双曲线图象上任意一点。 1.矩形面积结论 过点分别向轴、轴作垂线，两条垂线与两条坐标轴围成矩形，矩形面积固定为_________。 推导：矩形长、宽，面积，由得_________。 2.直角三角形面积结论 过点向任意一条坐标轴作垂线，再连接点与坐标原点，形成直角三角形，该三角形面积恒为_________。 推导：三角形面积是对应矩形面积的一半，_________。 要点速测 3．如图，P是反比例函数图象上的一点，轴于点A，轴于点B，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点 反比例函数解析式的确定 1.待定系数法 反比例函数只有一个未知参数，仅需给出图象上任意_________，将坐标代入，算出，即可写出完整函数解析式。 2.实际应用问题建模步骤 第一步：梳理题干等量关系，判断变量间反比例关系； 第二步：设反比例函数形式，利用已知条件求出； 第三步：结合实际场景限制自变量，标注的_________（如长度、人数大于0等）。 补充提醒：实际问题中常为正数，自变量不能取0，书写解析式时必须附带取值范围才完整。 要点速测 4．一个反比例函数的图象经过点，则这个函数的表达式是______． 题型1反比例函数的定义 ▌例1 在下列函数表达式中，x均表示自变量．①；②；③；④；⑤；⑥其中反比例函数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 ▌例2 若是反比例函数，则m的值为_______． ▌迁移练1-1下列函数中是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2若函数是反比例函数，则m的值是（） A．2 B． C． D．0 ▌迁移练1-3若函数是反比例函数，则k的值为__________． 题型2反比例函数的图象与增减性 ▌例1 若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． ▌例2 已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 ▌迁移练2-1反比例函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2已知反比例函数，点在这个函数的图象上，那么当时，y随x的增大而______．（增大或减小） ▌迁移练2-3若点、都在双曲线上，且，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型3反比例函数图象上点的坐标特征应用 ▌例1 在平面直角坐标系中，过点的直线与的图象交于和两点，则的值为（     ） A． B．1 C． D．3 ▌例2 已知函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象关于原点对称 B．函数图象关于直线对称 C．函数图象关于对称 D．函数图象关于直线对称 ▌迁移练3-1如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． ▌迁移练3-2直线与双曲线交于、两点，则____________． ▌迁移练3-3如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 题型4待定系数法求解析式 ▌例1 某函数符合如下条件：①图像经过；②当时，随的增大而减小．请写出一个满足条件的函数表达式：____________． ▌例2 已知与成正比例，与成反比例．当时；当时；试写出变量与变量的函数关系式？当时求的值是多少？ ▌迁移练4-1已知y与x成反比例，z与y成正比例，又当时，；当时，． (1)求z关于x的函数表达式； (2)当时，求z的值． ▌迁移练4-2如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式． (2)将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． ▌迁移练4-3如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______． 题型5 图形面积与比例系数 ▌例1 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 ▌例2 如图，反比例函数的图象经过矩形的边的中点D，则矩形的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 ▌迁移练5-1如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数图象上，轴于点，轴于点，连结，，若，，则的值为（     ） A． B．3 C． D．4 ▌迁移练5-2如图，点和点分别在反比例函数和两个图象上，轴且交轴于点，若，则的值为（     ） A．3 B． C．4 D． ▌迁移练5-3如图，A、B两点在反比例函数的图象上，且A、B两点关于原点对称，轴于点M，轴于点N，连接，则图中阴影部分的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6反比例函数的实际应用 ▌例1 “杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． ▌例2 某气球内充满了一定的质量的气体，当温度不变时，气球内的压力P（千帕）是气球的体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示（注：千帕是一种压强单位）． (1)求这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的压力是多少千帕？ ▌迁移练6-1成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． ▌迁移练6-2如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ ▌迁移练6-3学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 题型7反比例函数与一次函数的交点及不等式解集 ▌例1 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象直接写出不等式的解集． ▌例2 如图，已知一次函数（）与反比例函数（）的图象的一个交点为． (1)在图中画出一次函数（）的图象并求出k，m的值； (2)若一次函数的图象与y轴交于点A，点M是反比例函数的图象在第一象限上一点，且，求的面积． ▌迁移练7-1如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 ▌迁移练7-2如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出的的取值范围； (3)求的面积． ▌迁移练7-3如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，并延长交反比例函数图象于点C，直线交x轴于点D． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P是x轴上一点，当时求点P的坐标． 难点一 反比例函数与一次函数的图象综合判断 难点分析： 1.忽略反比例函数定义域，联立方程求解后不剔除的无效解； 2.混淆“整个定义域”和“单个象限”的增减性，直接跨象限比较函数值大小； 3.根据图像判断、参数取值范围时，不会结合交点坐标、象限位置建立不等式。 解题处理方法： 1.联立与一次函数解析式，化为一元二次方程，结合判别式判断交点个数； 2.比较函数值大小时，以为分界，分左右两个象限单独讨论； 3.观察图像所在象限确定正负，结合交点横坐标、纵坐标列出不等式求解参数。 难点精练 ▌例1 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． ▌例2 函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-1函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练1-3在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 难点二 反比例函数中的动点与存在性问题 难点分析： 1.动点坐标处理难度大 动点在双曲线上、坐标轴或直线上运动，坐标含未知数，学生难以设出动点横、纵坐标，无法结合建立等式；点位置变化时分段讨论意识薄弱，容易漏解。 2.存在性问题条件转化困难 题目要求存在点满足等腰三角形、平行四边形、直角、面积定值等条件，不会把几何等量关系转化为含未知数的方程，几何条件与反比例函数代数式子无法衔接。 3.多情况分类容易遗漏 动点存在上下、左右、双曲线上两支多种位置，等腰三角形分三条边分别为底边、平行四边形分不同顶点组合，做题时常只算出一种情况，丢失多组答案。 4.结合几何意义综合计算易出错 动点移动后图形形状改变，面积、线段长度随动点变化，不会拆分矩形、三角形套用，计算时忘记取绝对值，出现符号错误。 二、解题处理方法： 1.合理设动点坐标，利用反比例等量关系简化计算 若动点在上，直接设，用单参数表示横纵坐标；动点在坐标轴上则设或，减少未知数数量，结合消元列式。 2.分步拆解存在性条件，几何条件代数化 第一步梳理题目要求的几何特征（平行四边形、直角、等腰、面积固定）； 第二步写出对应边长相等、垂直斜率乘积为、面积公式等代数等式； 第三步代入动点坐标，得到关于参数的方程并求解。 3.固定分类标准，完整讨论所有可能性 等腰三角形：分三边分别为底边三种情况； 平行四边形：分三组顶点为对角线三种组合； 动点跨双曲线两支、坐标轴两侧时，分、两类讨论，避免漏解。 4.结合图像与几何意义分段计算面积 动点位置改变后拆分不规则图形为矩形、直角三角形，统一使用、计算；所有面积结果只取正数，忽略本身正负。 5.检验解的合理性，舍去无效答案 求出参数后，验证动点是否符合图像范围、自变量，舍去使点不存在、图形不成立的解。 难点精练 ▌例1 如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上．已知轴于点，轴于点，原点恰好是线段的中点，连接，的面积为6，． (1)求反比例函数的解析式； (2)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点、点的坐标；若不存在，请说明理由． ▌例2 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点为原点，，，反比例函数上的图象经过的中点，交于点． (1)求反比例函数和直线的解析式； (2)若点为反比例函数图象上一个动点，点为轴上一个动点，是否存在以，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． ▌迁移练2-1如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (3)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． ▌迁移练2-2如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． ▌迁移练2-3如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，与轴交于点，若，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是坐标轴上的一动点，是否存在，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 基础达标 1．反比例函数的图象一定经过下列哪个点（     ） A． B． C． D． 2．已知点，在反比例函数的图象上，则，满足（    ） A． B． C． D． 3．某水果超市准备用300元购进一批橙子进行销售，则购进橙子的数量y（斤）与橙子单价x（元/斤）之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，且）与反比例函数（是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（     ） A． B．或 C．或 D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是 （    ） A． B． C． D． 6．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．反比例函数过点和，则________． 8．一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为时，压强为；当体积为时，压强为____________． 9．如图，已知点A在反比例函数图象上，轴于点C，点B在x轴的负半轴上，且的面积为3，则该反比例函数的表达式为______． 10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 11．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 12．如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． (1)求关于的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 13．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，直角边在轴上，的中点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求的值及点的坐标； (2)将线段沿轴向左平移一定的距离，使得点的对应点落在轴上，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，求平移的距离． 能力进阶 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A、C均在函数的图象上，顶点B在函数的图象上，且轴，轴．若，则线段的长为（   ） A．1 B． C． D．2 15．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻的函数关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（     ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，的取值范围是 16．如图，矩形的边、分别在、轴上，函数的图象经过边的中点，交于点，若四边形的面积为，则的值为______． 17．如图，已知反比例函数的图象上有一组点，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①，②，③．．．”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，．．．，则______，______，______（用含的式子表示）． 18．如图，在平面直角坐标系中，点A、C关于坐标原点对称，且均在反比例函数 图象上，轴于点B，轴于点 D，连结、，则四边形的面积为_______． 19．如图，在直角坐标系中，已知点，等边三角形的顶点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)把向右平移a个单位长度，对应得到，当这个函数图象经过一边的中点时，求a的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第二象限内的图象相交于点． (1)求的值； (2)将直线向上平移后与反比例函数图象在第二象限内交于点，与轴交于点，且的面积为，求直线的解析式． 21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； (3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $