第2章 2.3 一元二次方程的根与系数的关系-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级上册“一元二次方程的根与系数的关系”，通过已知一根求另一根等例题导入，衔接方程解法与判别式知识，搭建从基础应用到综合提升的学习支架。 其亮点在于分层训练与素养渗透，结合中考真题及菱形边长计算等实际问题培养数学思维与模型意识，强调判别式前提的易错警示发展推理能力，助力学生提升解题与应用能力，为教师提供系统教学资源。

数 学 九年级上册 SK 1 2 3 第2章 一元二次方程 4 2.3 一元二次方程的根与系数 的关系 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 1.【2025贵州铜仁期中】已知一元二次方程 有一个根为2，则另一 根是( ) C A.2 B.3 C.4 D.1 【解析】设方程的另一根为，则，解得 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.【2025江苏南京期中】已知方程有两个不相等的实数根， ， 则下列方程中，两个根分别是， 的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 方程有两个不相等的实数根，， ， ，，， 方程 的两 个根分别是， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.已知,是关于的方程 的两个实数根，下列结论正确的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】，是关于的方程 的两个实数根， ， ，故A不符合题意； ，是关于的方程的两个实数根， ， ，，， ，故B符 合题意；，是关于的方程的两个实数根， ， ，故C，D不符合题意.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 4.【2026湖北武汉期中】若关于的一元二次方程 的两 个根互为相反数，则 的值为___. 2 【解析】 关于的一元二次方程 的两个根互为相反 数，，解得， 的值为2.故答案为2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 关键点拨 根据题意得到 是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 5.设与为一元二次方程的两根，则 的值为____. 20 【解析】由题意可知， ， ，故答案为20. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.若，是方程的两个实数根，则 的值为___. 4 【解析】，是方程的两个实数根，，， ，故答案为4. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 7.【2025广东深圳期中】已知实数 ， 满足 ， ，且，则 的值为____. 【解析】 方程可变形为，且实数 ， 满足，且， ， 是方程 的两个根，，故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 8.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程 的两 个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为( ) C A. B. C. D. 【解析】设方程的两根分别为，，， 分别 是一个菱形的两条对角线长，且菱形的面积为11，，即 菱 形对角线垂直且互相平分， 该菱形的边长为 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 9.若一元二次方程的两个实数根分别是,，则关于 的一次函数 的图象一定不经过第____象限. 二 【解析】 方程的两个实数根分别是，，， ， 则一次函数的表达式为， 该一次函数的图象经过第一、三、四象限， 不经过第二象限，故答案为二. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 10.【2026浙江嘉兴期末】全国家电“以旧换新”政策自实施以来，某市9月已投 入约800万元用于首批家电“以旧换新”补贴，考虑年底换家电的数量可能会持续 增长，现计划投入资金逐月增加，到11月底，计划累计投入约3 200万元用于家电 “以旧换新”补贴. （1）设投入资金的月平均增长率为 ，求到11月底，投入资金的月平均增长率 （只需列出方程）； 【解】由题意可得， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 （2）设（1）中方程的两根分别为,，且，求 的值. 【解】将（1）中的方程整理可得中方程的两根分别为 ， ，， ， ，即 ，解得或 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 刷易错 易错点 忽略运用根与系数的关系时,必须满足方程有实数根这一 前提 11.已知关于的一元二次方程有两个实数根和 .当 时， 的值为__. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 【解析】根据题意得， ， .，或.当 时， ，解得，而，所以舍去；当 时， ，即，解得.综上,的值为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 易错警示 利用一元二次方程的根与系数的关系求方程中字母参数的值时，千万不要忘记先 利用方程有实数根得到 ，进而求出字母的取值范围.因为根与系数的 关系是在一元二次方程有根的前提下使用的. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 提升 1.【2025江苏南京调研，中】关于的方程（ 为常数）的根的情况， 下列结论中正确的是( ) C A.有两个正根 B.有两个负根 C.有一个正根，一个负根 D.无实数根 【解析】，，， 方程有 两个不相等的实数根.， 方程的两个实数根异号， 方程 有一个正根，一个负根，故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 关键点拨 解本题的关键是综合利用根的判别式和根与系数的关系判断解的情况. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 2.【2025江苏宿迁期中，中】若，为方程 的两根，则 的值为( ) B A.1 B. C. D.4 049 【解析】，为方程的两根， ， ，，，， ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 3.［中］若关于的方程有两个实数根， ，则 的最小值为( ) D A.1 B.2 C. D. 【解析】根据题意得，解得 . ，，，故的最小值为 .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 4.【2025上海徐汇区期中，中】设，是方程 的两个有理数根， 已知，则 的值为___. 1 【解析】，是方程的两个有理数根， ， ，， ，解 得，，，， ，故答案为1. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 5.【2025福建泉州质检，中】如图，直线 与反比例函数 图象交于，两点，若，则 的值为____. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】令，，设方程的两个根为， ，且 ，， ， . ， 直线与轴交于点 ， ， ， ，，，.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 6.【2026广东广州期中，较难】解决下列问题： （1）已知，满足，，求 的值. 【解】，满足，，， 是一元二次方程 的两个实数根，, ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （2）已知和是关于，的方程组 的两组不相等 的实数解.问：是否存在实数，使得？若存在，求出 的值；若 不存在，请说明理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 【解】存在.和是关于，的方程组 的两组不相 等的实数解，， ， .方程组消去 ， 得，则，是一元二次方程 的两个实数 根，， ， ， ，即 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 ，则，或，解得 或 .当时，一元二次方程为 ，则 ，无实数解，舍去；当 时， 一元二次方程为 ，则 ，有两个不相等的实数解，符 合题意.综上所述， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 刷素养 走向重高 7.思想方法 转化思想 【2026江苏南京质检，较难】我们知道，解一元二次方程 时，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们 还可以解一些新的方程，例如一元三次方程 ，可以通过因式分解 把它转化为，通过解方程和 ，可得方程 的解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （1）用“转化”的思想求方程 的解. 【解】，,即， ， 解得,.当时，左边，右边，左边 右边，是原方程的解；当时，左边 ，右 边，左边右边，不是原方程的解. 原方程的解为 . （2）方程的解是，___， ____. 1 【解析】，， ， 或或，解得，，，故答案为1， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 （3）若三次方程的解为，， ，则 ____，_ ___， __. 【解析】将原方程变形为 方程的解为,,， 可表 示为 ， ，与 对比系数可得， ， ，故答案为，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 $