专题 2.6 直角三角形 专项突破讲与练- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学直角三角形核心知识点，从定义（有一个内角为90°的三角形）出发，系统梳理两锐角互余、斜边中线等于斜边一半的性质，以及两角互余判定直角三角形的定理，构建从概念到性质再到判定的完整学习支架。 资料亮点在于分层设计题型，基础夯实部分通过角度计算、斜边中线基础应用等培养抽象能力与几何直观，综合提升部分结合全等、折叠等知识发展推理意识。同步检测覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化应用意识。

专题 2.6 直角三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】直角三角形的定义 2 【知识点二】直角三角形的性质定理 2 【知识点三】直角三角形的判定定理 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】利用两锐角互余求角度 3 【题型 2】斜边中线定理线段求值证明（基础） 5 【题型 3】角度判定直角三角形 7 四.题型精析（综合提升） 11 【题型 4】斜边中线定理线段求值证明 11 【题型 5】直角三角形性质综合证明 15 五.同步检测 21 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 21 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 31 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 掌握直角三角形的定义与表示方法，熟知直角三角形的基本构成要素。 2. 熟练掌握直角三角形两大核心性质：两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半，能规范运用几何语言书写推理过程。 3. 掌握直角三角形的判定定理，能通过角度关系判定直角三角形。 4. 能结合直角三角形性质解决角度计算、线段求值、几何证明等基础与综合题型。 （二）重难点 重点：直角三角形两锐角互余的性质；直角三角形斜边中线定理；直角三角形的角度判定方法。 难点：斜边中线定理的灵活综合应用；利用直角三角形性质结合三角形内角和、全等知识解决综合题型。 二.知识梳理与解读 【知识点一】直角三角形的定义 有一个内角为90°（直角）的三角形叫做直角三角形。 图1 表示方法：直角三角形可用符号Rt△表示，如直角三角形ABC记作Rt△ABC。 边角名称：如图1：直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。 【知识点二】直角三角形的性质定理 性质1：直角三角形两锐角互余 定理内容：直角三角形的两个锐角之和为90°，即两锐角互余。 几何语言：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 【要点提示】 1. 该性质由三角形内角和180°推导得出，是直角三角形角度计算的核心依据； 2. 已知直角三角形一个锐角，可直接求另一个锐角，无需重复推导内角和； 3. 常用于几何倒角、角度等量代换题型。 性质2：直角三角形斜边中线定理（核心重难点） 定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 图2 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB的中点，则 。 【要点提示】 1. 定理适用前提：必须是直角三角形、必须是斜边中点、必须是斜边上的中线，腰上的中线不满足此性质； 2. 定理可直接实现直角三角形与等腰三角形的转化，推导得AD=BD=CD； 3. 解题万能辅助线：直角三角形遇斜边中点，优先连接斜边中线，构造等线段、等角条件； 4. 此定理为考试高频考点，可直接用于计算、证明，无需重复证明。 【知识点三】直角三角形的判定定理 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言：在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则∠C=90°，△ABC为直角三角形。 【要点提示】 1. 该判定是“直角三角形两锐角互余”的逆命题，为真命题，可直接作为判定依据； 2. 无需算出具体角度，只需证明两个内角和为90°，即可判定三角形为直角三角形； 3. 结合角度比例、角度和差计算，是判定直角三角形的常用方法。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用两锐角互余求角度 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，垂足是． （1）图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边． （2）和有什么关系？和呢？ 【答案】（1）解：图中有三个直角三角形，分别是、、；的直角边是、，斜边是；的直角边是、，斜边是；的直角边是、，斜边是；（2）与互为余角，． 【分析】（1）依据，即可得到直角三角形及其直角边和斜边． （2）依据余角的定义以及同角的余角相等，即可得出结论． 解：（1）略 （2）∵， ∴， 与互为余角， ，， ． 【变式1】（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）如图，在的方格纸中，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，根据方格特点证明，得到，即可得出． 解：如图， 由方格可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 【答案】35 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得． 解：∵在中，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，相交于点．求的大小． 【答案】 【分析】利用题目已知角度和三角形内角和，计算和的度数，再用即可求解． 解：， ， ． 【题型 2】斜边中线定理线段求值证明（基础） 【例题2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，所作即所求， 【分析】本题考查用尺规作线段的垂直平分线，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．作边的中点D，即作边的垂直平分线，交于点D，连接即可． 解：略． 【变式1】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（    ） A．24 B．20 C．15 D．12 【答案】D 解：∵直角三角形斜边上的中线为4， ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得斜边长为， ∵斜边上的高为3， ∴面积为． 【变式2】（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为______________________． 【答案】/50度 【分析】先根据直角三角形斜边中点的性质可得，再由垂直可得的度数，由此可解． 解：∵在中，，是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式3】（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】先根据角平分线的性质得到，再结合直角三角形斜边中线性质得出线段关系，进而得到角的关系，通过内错角相等证明两直线平行． 解：证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 3】角度判定直角三角形 【例题3】（24-25七年级下·全国·单元复习）（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析；（2）是直角三角形，理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． （1）求证：； （2）若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 【答案】（1）证明：， ， 又、、在一条直线上， ∴ ，即． （2）证明：， ， 中，， ， ，即为直角三角形． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形得到，再由，则，即可证明； （2）根据全等三角形得到，而在中，，则，即可证明为直角三角形． 解：（1）略 （2）略 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】斜边中线定理线段求值证明 【例题4】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵是边上的高线， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴点是边的中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴； （2） 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线，三角形外角的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质与判定及三角形的高线与中线是解题的关键； （1）由是边上的中线，得到是斜边上的中线，从而得到，又有，即可证明； （2）根据是边上的高线，，可求得，由是斜边上的中线，得到，再根据，得到，最后根据，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵是边上的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，是斜边上的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】 作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出，的长，故，据此即可求解． 解：作，使得，连接交于点，连接，如图所示， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 的最小值为10． 【变式2】（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边的长为2，则的长为________ ． 【答案】 【分析】根据已知分别求出，，，找到规律即可解答． 解：在中，点为中点，， ∴， 在中，点为中点，， ∴， 同理 …， ∴ 当时，则． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，．求的周长． 【答案】（1）见解析；（2）9 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 解：（1）证明：∵于点D，于点E， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故． （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为9． 【题型 5】直角三角形性质综合证明 【例题5】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线于点，点在直线上，点是线段上的一点（点不与点、重合），，交直线、于点、， （1）求证：； （2）请在图中画出和的角平分线、，猜想与的位置关系并证明． 【答案】（1）见解析；（2）与的位置为，证明见解析，图见解析 【分析】（1）根据题意得，推出，，即可得证； （2）设交于点，根据角平分线的定义得到，，由，，推出，得到，推出，，得到，即可判定． 解：（1）证明：直线于点，， ，， ，， ； （2）如图，、即为所求， 与的位置为，证明如下： 设交于点， 、分别平分和， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，，平分交于点E，点P为线段上一点，与度数之比为k、若为直角三角形，且，则k的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．1或 【答案】B 【分析】本题综合考查了平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是由判断出的取值范围，得到为直角．设，则，根据题意求得，根据，结合等腰三角形等角对等边及三角形外角的性质易知，推出，求出x的值，即可得出结果． 解：解析：设，则． ∵平分． ∴． ∵． ∴， ∵， 结合等腰三角形等角对等边及三角形外角的性质易知．即， ∴． ∵为直角三角形， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在等边三角形中，为边上一点，延长到点，使，连接． （）若，则的度数是______．（用含的代数式表示） （）过点作于点，的延长线与的延长线交于点，则的度数是______． 【答案】 /度 【分析】（）由等边三角形的性质及已知得，即得，进而根据三角形内角和定理即可求解； （）由等边三角形的性质及已知得，，即得，，进而得到，再根据直角三角形的性质即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（）∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （）∵是等边三角形，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）问题探究： （1）课本原题：如图①，在等腰中，，D是的中点，，点E，F分别在，上，求证：； 某校八年级学生非常聪明，他们发现在这个图形中，除了，还存在其他边、角的数量关系，数学老师要求同学们把能找出的关系找出来，某同学就发现了以下问题： （2）如图②，连接，交于点G，则与有怎样的数量关系？请写出结论并证明． 【答案】（1）证明：连接，如图： ， 在等腰中， ∵， ∴， ∵D是中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴即， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：如图： ，理由如下： ∵，， ∴， ∵为的外角， ∴， ∵， ∴ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三线合一，中点的性质，外角的概念和全等三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）连接，根据等腰三角形中三线合一的知识，得到，，，然后根据全等三角形的判定知识即可求解； （2）根据等腰直角三角形的知识可得，然后再根据外角的知识即可求解 解：（1）略 （2）略 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知直角和的度数，用减去的度数即可求出的度数． 解：∵在中，， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解． 解：在中，是斜边上的中线， ， ， ． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质求出顶角的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中线，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半即可求解． 解：∵在中，，为的中线， ∴． 5．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，在中，，点，，分别为，，的中点．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 解：因为，点为的中点，， 故则的长为． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（    ） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可推出，再结合可得答案． 解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴得到的结论是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 7．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件是高, ，,得出,,又因为是角平分线,得出． 解： , 是角平分线 8．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·广东广州·期末）中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 10．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为________． 【答案】2026 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质求解即可 解：∵，互相垂直，即， 又∵点为公路的中点， ∴ ． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）若中，，则___________，是___________三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定． 利用三角形内角和定理求出的度数，再根据角度关系判断三角形的类型． 解：在中，． ，， 则． 是直角三角形． 故答案为：，直角． 12．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 【答案】或或 【分析】当点D在上时，，当点D在时，，求解即可； 解：当点D在上，且时， ，， ， ； ：当点D在上，且时， ； 当点D在上，时， 根据题意，得； 13．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【答案】9 【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明，结合已知条件利用证明，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解． 解：点，，在同一条直线上，， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 14．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 【答案】10 【分析】由折叠可得，点是的中点，再根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 解：∵将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定及性质，掌握相关的知识是解题的关键． 连接，，，由垂直平分线的性质得到，，从而由的周长是得到，根据，结合，，可得，证明，，得到，再由等腰三角形的“三线合一”与直角三角形斜边上中线的性质即可求解． 解：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴点H是的中点， ∴． 故答案为：6． 16．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． 【答案】的度数为或或 【分析】分、三种情况，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可求解． 解：∵，， ∴， 若，则； 若，如图， 则； 若，如图， 则； 综上，的度数为或或． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，平分交于点，于点，若，，求的度数． 【答案】 【分析】先求出，即可得出，再根据三角形内角和定理得出，然后根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 18．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，在和中，，是中点．求证：． 【答案】证明：∵，是中点． ∴，， ∴， ∴． 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出相等的边，再利用等边对等角证明结论． 解：证明：略 19．（24-25七年级下·云南文山·期末）小明将一块含角的直角三角板按如图①所示的方式放置，其中直角顶点落在直线l上．由、两点分别向直线l作垂线，垂足分别为、． （1）试猜想与 全等，并说明理由． （2）小明改变三角板的位置，如图②所示，上述结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1），证明见详解；（2）成立，证明见详解． 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可求解； （2）根据全等三角形的判定与性质即可求解． 解：（1）证明：猜想与全等； 理由如下： 由题意得：，， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）解：成立，证明如下： 由题意得：，， ， ，， ， 在与中， ， ． 20．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，两个相同的等腰直角三角板，将一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线，于D，E两点． （1）求证：； （2）若D，E两点分别在线段和上移动，若的长为a，的面积为y，且时，求y与x之间的函数关系式． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了全等的性质和判定、等腰三角形的性质与判定，函数解析式求解，掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接，证明，即可解答． （2）由（1）知，，则，由题意可知，是等腰直角三角形，，表示出，，根据即可求解． 解：（1）证明：连接， 是等腰直角三角形， ，， P是中点， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ， 由题意可知，是等腰直角三角形，， ， ， ， 即， 所以y与x之间的函数关系式为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.6 直角三角形（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】直角三角形的定义 2 【知识点二】直角三角形的性质定理 2 【知识点三】直角三角形的判定定理 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】利用两锐角互余求角度 3 【题型 2】斜边中线定理线段求值证明（基础） 4 【题型 3】角度判定直角三角形 5 四.题型精析（综合提升） 6 【题型 4】斜边中线定理线段求值证明 6 【题型 5】直角三角形性质综合证明 7 五.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 12 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 掌握直角三角形的定义与表示方法，熟知直角三角形的基本构成要素。 2. 熟练掌握直角三角形两大核心性质：两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半，能规范运用几何语言书写推理过程。 3. 掌握直角三角形的判定定理，能通过角度关系判定直角三角形。 4. 能结合直角三角形性质解决角度计算、线段求值、几何证明等基础与综合题型。 （二）重难点 重点：直角三角形两锐角互余的性质；直角三角形斜边中线定理；直角三角形的角度判定方法。 难点：斜边中线定理的灵活综合应用；利用直角三角形性质结合三角形内角和、全等知识解决综合题型。 二.知识梳理与解读 【知识点一】直角三角形的定义 有一个内角为90°（直角）的三角形叫做直角三角形。 图1 表示方法：直角三角形可用符号Rt△表示，如直角三角形ABC记作Rt△ABC。 边角名称：如图1：直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。 【知识点二】直角三角形的性质定理 性质1：直角三角形两锐角互余 定理内容：直角三角形的两个锐角之和为90°，即两锐角互余。 几何语言：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 【要点提示】 1. 该性质由三角形内角和180°推导得出，是直角三角形角度计算的核心依据； 2. 已知直角三角形一个锐角，可直接求另一个锐角，无需重复推导内角和； 3. 常用于几何倒角、角度等量代换题型。 性质2：直角三角形斜边中线定理（核心重难点） 定理内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 图2 几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB的中点，则 。 【要点提示】 1. 定理适用前提：必须是直角三角形、必须是斜边中点、必须是斜边上的中线，腰上的中线不满足此性质； 2. 定理可直接实现直角三角形与等腰三角形的转化，推导得AD=BD=CD； 3. 解题万能辅助线：直角三角形遇斜边中点，优先连接斜边中线，构造等线段、等角条件； 4. 此定理为考试高频考点，可直接用于计算、证明，无需重复证明。 【知识点三】直角三角形的判定定理 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言：在△ABC中，若∠A+∠B=90°，则∠C=90°，△ABC为直角三角形。 【要点提示】 1. 该判定是“直角三角形两锐角互余”的逆命题，为真命题，可直接作为判定依据； 2. 无需算出具体角度，只需证明两个内角和为90°，即可判定三角形为直角三角形； 3. 结合角度比例、角度和差计算，是判定直角三角形的常用方法。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用两锐角互余求角度 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，垂足是． （1）图中有几个直角三角形？是哪几个？分别说出它们的直角边和斜边． （2）和有什么关系？和呢？ 【变式1】（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）如图，在的方格纸中，的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，相交于点．求的大小． 【题型 2】斜边中线定理线段求值证明（基础） 【例题2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（    ） A．24 B．20 C．15 D．12 【变式2】（25-26八年级下·江西南昌·期末）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为______________________． 【变式3】（25-26九年级下·辽宁辽阳·开学考试）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接．求证：． 【题型 3】角度判定直角三角形 【例题3】（24-25七年级下·全国·单元复习）（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在上，且． （1）求证：； （2）若的延长线与相交于F，求证：为直角三角形． 四.题型精析（综合提升） 【题型 4】斜边中线定理线段求值证明 【例题4】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，，记斜边AC的中点为，连接，过点作，垂足为；记的中点为，连接，过点作，垂足为……按照这种规律继续操作下去，若斜边的长为2，则的长为________ ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． （1）求证：； （2）若，．求的周长． 【题型 5】直角三角形性质综合证明 【例题5】（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线于点，点在直线上，点是线段上的一点（点不与点、重合），，交直线、于点、， （1）求证：； （2）请在图中画出和的角平分线、，猜想与的位置关系并证明． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知，，平分交于点E，点P为线段上一点，与度数之比为k、若为直角三角形，且，则k的值为（    ） A．1 B． C．或1 D．1或 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在等边三角形中，为边上一点，延长到点，使，连接． （）若，则的度数是______．（用含的代数式表示） （）过点作于点，的延长线与的延长线交于点，则的度数是______． 【变式3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）问题探究： （1）课本原题：如图①，在等腰中，，D是的中点，，点E，F分别在，上，求证：； 某校八年级学生非常聪明，他们发现在这个图形中，除了，还存在其他边、角的数量关系，数学老师要求同学们把能找出的关系找出来，某同学就发现了以下问题： （2）如图②，连接，交于点G，则与有怎样的数量关系？请写出结论并证明． 五.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段检测）在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是斜边上的中线，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，为的中线，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，在中，，点，，分别为，，的中点．若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论（    ） A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 B．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半 C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D．如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 7．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·广东广州·期末）中，，，则______． 10．（25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为________． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）若中，，则___________，是___________三角形． 12．（25-26七年级下·河北承德·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点，点是边上一定点，连接．当与的边垂直时，的度数为__________． 13．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 14．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，将按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，连接，若，则的长为__________． 15．（25-26八年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，中，，，的垂直平分线相交于点P，分别交于点E，F，与，分别交于点D，G．，若的周长是，则________． 16．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，点在直线上，连接，在不添加其它辅助线的情况下，当图中存在两条互相垂直的线段时，的度数为_______． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·山西长治·期末）如图，在中，平分交于点，于点，若，，求的度数． 18．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，在和中，，是中点．求证：． 19．（24-25七年级下·云南文山·期末）小明将一块含角的直角三角板按如图①所示的方式放置，其中直角顶点落在直线l上．由、两点分别向直线l作垂线，垂足分别为、． （1）试猜想与 全等，并说明理由． （2）小明改变三角板的位置，如图②所示，上述结论还成立吗？请说明理由． 20．（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）如图所示，两个相同的等腰直角三角板，将一个三角板的直角顶点放在另一个三角板的斜边的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线，于D，E两点． （1）求证：； （2）若D，E两点分别在线段和上移动，若的长为a，的面积为y，且时，求y与x之间的函数关系式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $