第二章 有理数 专题2.1 数轴动点问题 2026-2027学年苏科版七年级数学上册

该初中数学讲义以“点、线、式”三步策略为核心构建数轴动点问题知识体系，通过表格清晰呈现初始位置、移动距离、动点表示等解题步骤，梳理相遇、相距、新定义三大题型的内在逻辑，突出数形结合思想的重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，如相遇问题中“相向运动求时间”“相距距离列方程”等变式题，引导学生用含t的代数式表示动点位置，培养抽象能力和推理意识。新定义题型如“美好点”问题，强化模型意识，每个题型配举一反三练习，基础生掌握方法，优生拓展思维，助力教师精准分层教学。

专题2.1 数轴动点问题 【新教材苏科版】 【知识讲解】 1 【题型1 相遇问题】 2 【题型2 相距问题】 7 【题型3 新定义问题】 12 【举一反三】 20 【知识讲解】 数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想.解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略.即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置移动距离. 向左移动:初始位置移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 【题型1 相遇问题】 【例1】已知数轴上点对应的数是，点对应的数是．若点从点出发以每秒个单位的速度运动，与此同时，点从点出发以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． (1)若点与相向运动，当，相遇时，求运动时间； (2)若点与同时向左运动，当与相距个单位长度时，求运动时间； (3)若点与相向运动，点对应的数是，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：点对应的数是，点对应的数是，点与相向运动， 依题意，秒后，点表示的数是，点表示是的数是， 当，相遇时，， 解得：； （2）解：依题意，点与同时向左运动，则点表示的数是，点表示是的数是， 当在点的左边时，， 解得：； 当在点的右边时，， 解得：； 综上所述，当或时，与Q相距个单位长度； （3）点表示的数为，点表示的数是，点表示的数是， ， ， ， 解得或． 【变式1-1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： 两点间的距离_____，线段的中点表示的数为_____； 用含的代数式表示：秒后，_____；_____． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 【答案】(1) ，     ， (2)当时，、两点相遇，相遇点所表示的数为 (3)当或时， 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，利用中点公式即可求出线段的中点表示的数； 根据点，的出发点、运动方向、运动速度以及运动时间，即可用含的代数式表示出、； （2）根据、两点相遇时，、两点表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出相遇点所表示的数； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，可得，又，所以，解绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解： 两点间的距离，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； 点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ，， 故答案为：，； （2）解：当、两点相遇时，、两点表示的数相等， ， 解得：， 当时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）解： 秒后，点表示的数为，点表示的数为， ， 又， ， 解得：或， 当或时，． 【变式1-2】如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请直接写出的中点M所对应的数为________； (2)动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ (3)若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ 【答案】(1)40 (2)点C对应的数是； (3)点D对应的数是． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题； （1）根据中点公式可列式算得答案； （2）设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；，根据表示的数相同列方程可得t的值，从而可得C表示的数； （3）设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；，列方程可解得的值． 【详解】（1）解：M点对应的数为， 故答案为：40； （2）解：设动点P、Q经过t秒相遇， 则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；， 根据题意得， 解得， ∴， 答：点C对应的数是； （3）解：设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；， 根据题意得， 解得， ∴， 答：点D对应的数是． 【变式1-3】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)图中点向右移动个单位长度，表示的数为______；图中点向左移动个单位长度，表示的数为_____． (2)图中点移动个单位长度，表示的数为______；图中点移动个单位长度，表示的数为______． (3)点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点、同时运动，设运动时间为秒，则点表示的数为______，点表示的数为______．(用含的式子表示) (4)当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【答案】(1)； (2)或；或 (3)； (4)当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为 【分析】（1）根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （2）分别分两种情况：向左移动、向右移动，并根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （4）结合（3）的结论，根据、两点相遇即点表示的数与点表示的数相同，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， 又∵，， ∴点向右移动个单位长度，表示的数为；图中点向左移动个单位长度，表示的数为， 故答案为：；； （2）∵，；，， ∴点移动个单位长度，表示的数为或；图中点移动个单位长度，表示的数为或， 故答案为：或；或； （3）设运动时间为秒， ∵点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且点、同时运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；； （4）由（3）知：运动时间为秒，点、同时运动，则点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，即点与点重合， ∴， 解得：， ∴， ∴当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为. 【变式1-4】如图，、两点在数轴上分别表示有理数、，且，点为原点，点在数轴上、两点之间，且． (1)直接写出______，______，点所对应的数是______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为（秒）． ①若，求的值； ②若点、出发的同时，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，直接写出当为何值时，点恰好是线段的中点． 【答案】(1)，，2 (2)①或；②当时，点M恰好是线段的中点． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，绝对值的非负性，两点间的距离，以及一元一次方程的实际应用： （1）根据非负性，两点间的距离，求出以及点C所对应的数即可； （2）①根据两点间的距离公式，结合，列出绝对值方程进行求解即可； ②根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点C在数轴上O，B两点之间，且， ∴点表示的数为：2； 故答案为：，，2； （2）解：①由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意，得：， 解得：或； ②由题意得：点M表示的数为：， ∵点表示的数为：，点表示的数为：， ∴由题意得， 解得：； 当时，点M恰好是线段的中点． 【题型2 相距问题】 【例2】如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，始终以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向终点运动，同时，动点从原点出发，也沿着“折线数轴”的正方向朝终点运动，点在线段以单位/秒的速度运动，在段以单位/秒的速度运动，设运动时间为秒．问： (1)动点、谁先到达终点？请通过计算说明． (2)、两点第一次相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)当为______时，、两点在数轴上相距的长度为个单位？ 【答案】(1)动点先到达终点，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，根据题意列方程求解是解题的关键． （1）分别求出到达所用时间，再比较即可得到答案； （2）根据题意得到、两点在段第一次相遇，列方程求解即可； （3）根据题意分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：动点的运动时间为秒， 动点的运动时间为秒， ， 动点先到达终点； （2）解:秒， ， 、两点在段第一次相遇， 根据题意得， 解得， ， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（2）知秒时，第一次相遇， 则有， 解得； 当到达点时，运动了个单位，此时超过 个单位，则在到达之前有一次相距个单位且在前面， 则， 解得； 在过追上之前又有一次相距个单位， 则， 解得； 假设超过之后又有一次相距个单位， 则有， 解得（不符合题意，舍去）， 综上所述，当为或或时，、两点在数轴上相距的长度为个单位， 故答案为：或或 【变式2-1】如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80．现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： (1)点C在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上还是负半轴上？ (2)在两只电子蚂蚁相遇前，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【答案】(1)正半轴 (2)当两只蚂蚁运动17秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据两点相遇时，两点表示的数相同建立方程求解即可； （2）设两只电子蚂蚁运动的时间为，根据两点所走的距离加上15等于点A和点B的距离建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒时，两只电子蚂蚁相遇， 由题意得， 解得， ∴点在数轴上所对应的数为， ∴点在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上． （2）解：设两只电子蚂蚁运动的时间为， 由题意可得， 解得， 答：当两只蚂蚁运动17秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度． 【变式2-2】如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足．点是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，线段的长为_____． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则点C在数轴上表示的数? (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到原点O时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【答案】(1)30，，36 (2)点在数轴上表示的数为6或； (3)当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键． （1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）分点C在点B的左侧和右侧两种情形计算即可； （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，分类列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ． 故点表示的数为30，点表示的数为，线段的长为36； 故答案为：30，，36； （2）解：点在线段上， ， ， 点在数轴上表示的数为； 点在射线上， ， ， 点在数轴上表示的数为． 故点在数轴上表示的数为6或； （3）解：经过秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当时，点还在点处， ； 当时，点在点的右侧， ， 解得：； 当时，点在点的左侧， ， 解得：． 综上所述：当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度． 【变式2-3】如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点是，且，满足． (1)求出点与点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； (3)现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点运动到点时，点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点运动的时间为秒，当为何值时，点与点相距个单位长度？ 【答案】(1)； (2)或； (3)秒或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、解一元一次方程．解决本题的关键是用含的代数式表示出点的位置，再根据两点之间的距离公式列方程． 根据绝对值的非负性和平方的非负性可得：，，解方程即可求出、的值； 点到点的距离是点到点的距离的倍，列方程求解，本题分为当点在点与点之间时，当点在点的右侧时两种情况． 根据点和之间的距离和点运动的速度可以求出点运动到点的时间，根据点与点相距个单位，可以列方程求解，本题分为当点在点右侧时和当点在点左侧时，两种情况． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点与点之间的距离为； （2）解：设点所表示的数为， 当点在点与点之间时， 根据题意可得：， 解得：； 当点在点的右侧时， 根据题意可得：， 解得：； 点表示的数是或； （3）解：点运动到点的时间是（秒）． 经过秒后，点表示的数是，点表示的数是， 当点在点右侧时，，解得； 当点在点左侧时，，解得； 所以当为秒或秒时，点与点相距1个单位长度． 【题型3 新定义问题】 【例3】定义：若为数轴上三个不同的点，若点到点的距离和点到点的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点，例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0．则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点． (1)若点表示的数分别为，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入） (2)若点表示的数分别为，且是的美好点，求点表示的数． (3)如图，数轴上三点分别表示的数为、、，点从点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，在点出发的同时，点从点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，当点到达点时，点停止运动．直接写出为何值时，点恰好为的美好点？ 【答案】(1) (2)或2 (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，以及新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）设点表示的数为，根据新定义，列出方程进行求解即可； （3）先求出点，点表示的数，再根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点、、表示的数分别为3、6、7． 点到点的距离是4，到点的距离是3， ∴点是的美好点． 故答案为： （2）设点表示的数为， 点表示的数分别为， 点到点的距离是2，到点的距离是， 点是的美好点， ， 或2； （3）由题意，得：点表示的数为，点表示的数为． 点表示的数为2， ，， 点恰好为的美好点， ． 当时，； 解得：； 当时，． 解得：． 【变式3-1】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【答案】(1) (2)①或或；②50或110或70 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． （1）根据“友好点”的定义，分别验证三点即可． （2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据“友好点”的定义，当点P在点A的右侧，，，当点P在点A的左侧， ,进行分类讨论，列出方程求解即可．②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“友好点”；点B是点A、点P的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，然后根据“友好点”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴不是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， 综上，是点M，N的“友好点”， 故答案为： （2）解：设点P表示的数为x， ∵点A表示数， 点B表示的数30， ∴①若点P在点B的左侧，， 当点P在点A的右侧，， ∵点P是点A，B的“友好点”， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得； 当点P在点A的左侧，， 此时，, ∴， 解得； 综上，点P表示的数为或或； ②若点P在点B的右侧，则， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 综上，点P表示的数为50或110或70． 故答案为：50或110或70． 【变式3-2】如图，数轴上、两个点表示的数分别是，且满足，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出：__________，__________． (2)若为的中点，为的中点，则__________． (3)对于数轴上的点、，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为__________． ②若点是点的“关联点”，且，请出求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)①或； 的值为6或 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是根据题意，得出两点之间的距离，列出方程求解． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （2）根据题意得出点P表示的数为，根据中点的表示方法得出点M表示的数为，点N表示的数为，求出，即可得出结论； （3）①根据题意得出点P表示的数为，，即可求解；②先得出点P表示的数为，则，，然后进行分类讨论：当点Q在点P左边时，点Q表示的数为，得出，，根据，列出方程求解即可；当点Q在点P右边时，点Q表示的数为，推出点B在点Q左边，则，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴点P表示的数为， ∵M为的中点，N为的中点，， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， ∴线段的长度为4； （3）解：①∵点P从点A出发向右运动，，， ∴点P表示的数为， ∵，， ∴， ∴点Q表示的数为或， 故答案为：或； ②∵点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 当点Q在点P左边时，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； 当点Q在点P右边时，点Q表示的数为， ∵， ∴点B在点Q左边， ∴，， ∴， 解得：或（舍去）； 综上：或． 【变式3-3】【概念学习】定义：点，A，B，M为数轴上的任意三点（点不与A，B重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点C，D，E表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是_____； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是_____． 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值． 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点表示的数分别是，且不与重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    【答案】（1）①②或；（2）或；（3） 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①分别求出点C，D，E到点，点的距离，根据新定义，进行判断即可； ②设表示的数为，根据新定义列出方程进行求解即可； （2）点表示的数为，根据新定义，列出方程进行求解即可； （3）根据新定义，得到，根据，且，推出，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵点，点表示的数分别是和6，点C，D，E表示的数分别是，，3， ∴，， ， ∴， ∴是的2值点的点是； ②设表示的数为，则：，解得：或； 故答案为：或； （2）由题意，点表示的数为，则：， ∵， ∴，解得：或； （3）由题意，得：， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三】 1、数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)，，， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解； 对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数. 【详解】（1）解：， ∴. 则点C是点A，B的3阶伴侣点. 故答案为：3. （2）解：， M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为； M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为. 综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，. 2、已知a是最大的负整数，，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点D到点A的距离刚好是5，则点D叫做点A的“幸福点”．求点A的幸福点D所表示的数； (3)若动点P从点B出发沿数轴向负方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向负方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？ 【答案】(1)，，，数轴见解析 (2)点A的幸福点D所表示的数为或4； (3)运动2秒后，点Q可以追上点P． 【分析】（1）根据最大的负整数是，，的相反数是4，解答即可． （2）根据平移思想解答即可． （3）根据题意，点P表示的数为，点Q表示的数为，结合点Q可以追上点P，列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据最大的负整数是，，的相反数是4， 得，，． 数轴表示如下： ． （2）解：根据题意，得点D表示的数为或， 点A的幸福点D所表示的数为或4； （3）解：根据点P和点Q分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左运动，秒过后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得， 解得． 3、已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】(1)40 (2) 【分析】此题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程式的实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． （1）求与90和的一半即是点M表示的数； （2）先求出的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数； 【详解】（1）解：M点对应的数是：； 故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90， ， 设t秒后P、Q相遇， ，解得， 此时点P走过的路程为， 此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是． 故答案为：． 4、已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：，，，解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，表示的数是，表示的数是， 根据题意可得：，即：，解得：或，故选：． 5、已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】 40 【详解】解：（1）M点对应的数是：；故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90，， 设t秒后P、Q相遇，，解得， 此时点P走过的路程为，此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是．故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 数轴动点问题 【新教材苏科版】 【知识讲解】 1 【题型1 相遇问题】 2 【题型2 相距问题】 7 【题型3 新定义问题】 12 【举一反三】 20 【知识讲解】 数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想.解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略.即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置移动距离. 向左移动:初始位置移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 【题型1 相遇问题】 【例1】已知数轴上点对应的数是，点对应的数是．若点从点出发以每秒个单位的速度运动，与此同时，点从点出发以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． (1)若点与相向运动，当，相遇时，求运动时间； (2)若点与同时向左运动，当与相距个单位长度时，求运动时间； (3)若点与相向运动，点对应的数是，当时，求的值． 【变式1-1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： 两点间的距离_____，线段的中点表示的数为_____； 用含的代数式表示：秒后，_____；_____． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 【变式1-2】如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请直接写出的中点M所对应的数为________； (2)动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ (3)若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ 【变式1-3】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)图中点向右移动个单位长度，表示的数为______；图中点向左移动个单位长度，表示的数为_____． (2)图中点移动个单位长度，表示的数为______；图中点移动个单位长度，表示的数为______． (3)点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点、同时运动，设运动时间为秒，则点表示的数为______，点表示的数为______．(用含的式子表示) (4)当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【变式1-4】如图，、两点在数轴上分别表示有理数、，且，点为原点，点在数轴上、两点之间，且． (1)直接写出______，______，点所对应的数是______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为（秒）． ①若，求的值； ②若点、出发的同时，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，直接写出当为何值时，点恰好是线段的中点． 【题型2 相距问题】 【例2】如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，始终以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向终点运动，同时，动点从原点出发，也沿着“折线数轴”的正方向朝终点运动，点在线段以单位/秒的速度运动，在段以单位/秒的速度运动，设运动时间为秒．问： (1)动点、谁先到达终点？请通过计算说明． (2)、两点第一次相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)当为______时，、两点在数轴上相距的长度为个单位？ 【变式2-1】如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80．现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： (1)点C在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上还是负半轴上？ (2)在两只电子蚂蚁相遇前，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【变式2-2】如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足．点是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，线段的长为_____． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则点C在数轴上表示的数? (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到原点O时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【变式2-3】如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点是，且，满足． (1)求出点与点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； (3)现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点运动到点时，点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点运动的时间为秒，当为何值时，点与点相距个单位长度？ 【题型3 新定义问题】 【例3】定义：若为数轴上三个不同的点，若点到点的距离和点到点的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点，例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0．则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点． (1)若点表示的数分别为，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入） (2)若点表示的数分别为，且是的美好点，求点表示的数． (3)如图，数轴上三点分别表示的数为、、，点从点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，在点出发的同时，点从点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，当点到达点时，点停止运动．直接写出为何值时，点恰好为的美好点？ 【变式3-1】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【变式3-2】如图，数轴上、两个点表示的数分别是，且满足，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出：__________，__________． (2)若为的中点，为的中点，则__________． (3)对于数轴上的点、，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为__________． ②若点是点的“关联点”，且，请出求的值． 【变式3-3】【概念学习】定义：点，A，B，M为数轴上的任意三点（点不与A，B重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点C，D，E表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是_____； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是_____． 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值． 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点表示的数分别是，且不与重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    【举一反三】 1. 数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 2. 已知a是最大的负整数，，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点D到点A的距离刚好是5，则点D叫做点A的“幸福点”．求点A的幸福点D所表示的数； (3)若动点P从点B出发沿数轴向负方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向负方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？ 3. 已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 4. 已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 5. 已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 数轴动点问题 【新教材苏科版】 【知识讲解】 1 【题型1 相遇问题】 2 【题型2 相距问题】 7 【题型3 新定义问题】 12 【举一反三】 20 【知识讲解】 数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想.解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略.即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置移动距离. 向左移动:初始位置移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 【题型1 相遇问题】 【例1】已知数轴上点对应的数是，点对应的数是．若点从点出发以每秒个单位的速度运动，与此同时，点从点出发以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． (1)若点与相向运动，当，相遇时，求运动时间； (2)若点与同时向左运动，当与相距个单位长度时，求运动时间； (3)若点与相向运动，点对应的数是，当时，求的值． 【变式1-1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： 两点间的距离_____，线段的中点表示的数为_____； 用含的代数式表示：秒后，_____；_____． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 【变式1-2】如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请直接写出的中点M所对应的数为________； (2)动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ (3)若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ 【变式1-3】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)图中点向右移动个单位长度，表示的数为______；图中点向左移动个单位长度，表示的数为_____． (2)图中点移动个单位长度，表示的数为______；图中点移动个单位长度，表示的数为______． (3)点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点、同时运动，设运动时间为秒，则点表示的数为______，点表示的数为______．(用含的式子表示) (4)当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【变式1-4】如图，、两点在数轴上分别表示有理数、，且，点为原点，点在数轴上、两点之间，且． (1)直接写出______，______，点所对应的数是______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为（秒）． ①若，求的值； ②若点、出发的同时，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，直接写出当为何值时，点恰好是线段的中点． 【题型2 相距问题】 【例2】如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，始终以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向终点运动，同时，动点从原点出发，也沿着“折线数轴”的正方向朝终点运动，点在线段以单位/秒的速度运动，在段以单位/秒的速度运动，设运动时间为秒．问： (1)动点、谁先到达终点？请通过计算说明． (2)、两点第一次相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)当为______时，、两点在数轴上相距的长度为个单位？ 【变式2-1】如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80．现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： (1)点C在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上还是负半轴上？ (2)在两只电子蚂蚁相遇前，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【变式2-2】如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足．点是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，线段的长为_____． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则点C在数轴上表示的数? (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到原点O时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【变式2-3】如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点是，且，满足． (1)求出点与点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； (3)现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点运动到点时，点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点运动的时间为秒，当为何值时，点与点相距个单位长度？ 【题型3 新定义问题】 【例3】定义：若为数轴上三个不同的点，若点到点的距离和点到点的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点，例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0．则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点． (1)若点表示的数分别为，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入） (2)若点表示的数分别为，且是的美好点，求点表示的数． (3)如图，数轴上三点分别表示的数为、、，点从点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，在点出发的同时，点从点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，当点到达点时，点停止运动．直接写出为何值时，点恰好为的美好点？ 【变式3-1】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【变式3-2】如图，数轴上、两个点表示的数分别是，且满足，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出：__________，__________． (2)若为的中点，为的中点，则__________． (3)对于数轴上的点、，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为__________． ②若点是点的“关联点”，且，请出求的值． 【变式3-3】【概念学习】定义：点，A，B，M为数轴上的任意三点（点不与A，B重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点C，D，E表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是_____； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是_____． 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值． 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点表示的数分别是，且不与重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    【举一反三】 1. 数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 2. 已知a是最大的负整数，，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点D到点A的距离刚好是5，则点D叫做点A的“幸福点”．求点A的幸福点D所表示的数； (3)若动点P从点B出发沿数轴向负方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向负方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？ 3. 已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 4. 已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 5. 已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 数轴动点问题 【新教材苏科版】 【知识讲解】 1 【题型1 相遇问题】 2 【题型2 相距问题】 7 【题型3 新定义问题】 12 【举一反三】 20 【知识讲解】 数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想.解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略.即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 解题步骤及方法： 移动过程(思维过程) 解题步骤及方法: 初始位置 一般为已知 移动距离 速度x时间(设时间为t) 移动后对应的点 向右移动:初始位置移动距离. 向左移动:初始位置移动距离. 移动后和其他点的距离 一般位置不确定，用t表示，那么和其他点的大小就不确定，所以表示距离时要带绝对值. 根据线段距离关系列方程 列方程，解方程求t的值. 注意:计算动点移动后和其它点的距离时，如不能确定左右位置关系，需要用绝对值来表示距离. 【题型1 相遇问题】 【例1】已知数轴上点对应的数是，点对应的数是．若点从点出发以每秒个单位的速度运动，与此同时，点从点出发以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒． (1)若点与相向运动，当，相遇时，求运动时间； (2)若点与同时向左运动，当与相距个单位长度时，求运动时间； (3)若点与相向运动，点对应的数是，当时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：点对应的数是，点对应的数是，点与相向运动， 依题意，秒后，点表示的数是，点表示是的数是， 当，相遇时，， 解得：； （2）解：依题意，点与同时向左运动，则点表示的数是，点表示是的数是， 当在点的左边时，， 解得：； 当在点的右边时，， 解得：； 综上所述，当或时，与Q相距个单位长度； （3）点表示的数为，点表示的数是，点表示的数是， ， ， ， 解得或． 【变式1-1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： 两点间的距离_____，线段的中点表示的数为_____； 用含的代数式表示：秒后，_____；_____． (2)求当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)求当为何值时，． 【答案】(1) ，     ， (2)当时，、两点相遇，相遇点所表示的数为 (3)当或时， 【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式可求出的长，利用中点公式即可求出线段的中点表示的数； 根据点，的出发点、运动方向、运动速度以及运动时间，即可用含的代数式表示出、； （2）根据、两点相遇时，、两点表示的数相同，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出相遇点所表示的数； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，可得，又，所以，解绝对值方程即可求解． 【详解】（1）解： 两点间的距离，线段的中点表示的数为， 故答案为：，； 点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动， ，， 故答案为：，； （2）解：当、两点相遇时，、两点表示的数相等， ， 解得：， 当时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）解： 秒后，点表示的数为，点表示的数为， ， 又， ， 解得：或， 当或时，． 【变式1-2】如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请直接写出的中点M所对应的数为________； (2)动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度向右运动，设动点P、Q在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ (3)若动点P从B点出发，以5单位/秒的速度向左运动，同时动点Q从A点出发，以3单位/秒的速度也向左运动，设动点P、Q在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数是多少吗？ 【答案】(1)40 (2)点C对应的数是； (3)点D对应的数是． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上的动点问题； （1）根据中点公式可列式算得答案； （2）设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；，根据表示的数相同列方程可得t的值，从而可得C表示的数； （3）设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；，列方程可解得的值． 【详解】（1）解：M点对应的数为， 故答案为：40； （2）解：设动点P、Q经过t秒相遇， 则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；， 根据题意得， 解得， ∴， 答：点C对应的数是； （3）解：设动点P、Q经过t秒相遇，则动点P、Q经过秒后，所在位置表示的数分别为：；， 根据题意得， 解得， ∴， 答：点D对应的数是． 【变式1-3】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)图中点向右移动个单位长度，表示的数为______；图中点向左移动个单位长度，表示的数为_____． (2)图中点移动个单位长度，表示的数为______；图中点移动个单位长度，表示的数为______． (3)点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点、同时运动，设运动时间为秒，则点表示的数为______，点表示的数为______．(用含的式子表示) (4)当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【答案】(1)； (2)或；或 (3)； (4)当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为 【分析】（1）根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （2）分别分两种情况：向左移动、向右移动，并根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （4）结合（3）的结论，根据、两点相遇即点表示的数与点表示的数相同，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， 又∵，， ∴点向右移动个单位长度，表示的数为；图中点向左移动个单位长度，表示的数为， 故答案为：；； （2）∵，；，， ∴点移动个单位长度，表示的数为或；图中点移动个单位长度，表示的数为或， 故答案为：或；或； （3）设运动时间为秒， ∵点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且点、同时运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；； （4）由（3）知：运动时间为秒，点、同时运动，则点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，即点与点重合， ∴， 解得：， ∴， ∴当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为. 【变式1-4】如图，、两点在数轴上分别表示有理数、，且，点为原点，点在数轴上、两点之间，且． (1)直接写出______，______，点所对应的数是______； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为（秒）． ①若，求的值； ②若点、出发的同时，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，直接写出当为何值时，点恰好是线段的中点． 【答案】(1)，，2 (2)①或；②当时，点M恰好是线段的中点． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，绝对值的非负性，两点间的距离，以及一元一次方程的实际应用： （1）根据非负性，两点间的距离，求出以及点C所对应的数即可； （2）①根据两点间的距离公式，结合，列出绝对值方程进行求解即可； ②根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点C在数轴上O，B两点之间，且， ∴点表示的数为：2； 故答案为：，，2； （2）解：①由题意得：点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意，得：， 解得：或； ②由题意得：点M表示的数为：， ∵点表示的数为：，点表示的数为：， ∴由题意得， 解得：； 当时，点M恰好是线段的中点． 【题型2 相距问题】 【例2】如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，始终以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向终点运动，同时，动点从原点出发，也沿着“折线数轴”的正方向朝终点运动，点在线段以单位/秒的速度运动，在段以单位/秒的速度运动，设运动时间为秒．问： (1)动点、谁先到达终点？请通过计算说明． (2)、两点第一次相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)当为______时，、两点在数轴上相距的长度为个单位？ 【答案】(1)动点先到达终点，理由见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，根据题意列方程求解是解题的关键． （1）分别求出到达所用时间，再比较即可得到答案； （2）根据题意得到、两点在段第一次相遇，列方程求解即可； （3）根据题意分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：动点的运动时间为秒， 动点的运动时间为秒， ， 动点先到达终点； （2）解:秒， ， 、两点在段第一次相遇， 根据题意得， 解得， ， 相遇点所对应的数是； （3）解：由（2）知秒时，第一次相遇， 则有， 解得； 当到达点时，运动了个单位，此时超过 个单位，则在到达之前有一次相距个单位且在前面， 则， 解得； 在过追上之前又有一次相距个单位， 则， 解得； 假设超过之后又有一次相距个单位， 则有， 解得（不符合题意，舍去）， 综上所述，当为或或时，、两点在数轴上相距的长度为个单位， 故答案为：或或 【变式2-1】如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80．现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： (1)点C在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上还是负半轴上？ (2)在两只电子蚂蚁相遇前，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【答案】(1)正半轴 (2)当两只蚂蚁运动17秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据两点相遇时，两点表示的数相同建立方程求解即可； （2）设两只电子蚂蚁运动的时间为，根据两点所走的距离加上15等于点A和点B的距离建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒时，两只电子蚂蚁相遇， 由题意得， 解得， ∴点在数轴上所对应的数为， ∴点在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上． （2）解：设两只电子蚂蚁运动的时间为， 由题意可得， 解得， 答：当两只蚂蚁运动17秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度． 【变式2-2】如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足．点是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_____，线段的长为_____． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则点C在数轴上表示的数? (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到原点O时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【答案】(1)30，，36 (2)点在数轴上表示的数为6或； (3)当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键． （1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）分点C在点B的左侧和右侧两种情形计算即可； （3）经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，分类列方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， ． 故点表示的数为30，点表示的数为，线段的长为36； 故答案为：30，，36； （2）解：点在线段上， ， ， 点在数轴上表示的数为； 点在射线上， ， ， 点在数轴上表示的数为． 故点在数轴上表示的数为6或； （3）解：经过秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当时，点还在点处， ； 当时，点在点的右侧， ， 解得：； 当时，点在点的左侧， ， 解得：． 综上所述：当为4秒、7秒和11秒时，、两点相距4个单位长度． 【变式2-3】如图，在数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点是，且，满足． (1)求出点与点之间的距离； (2)若在数轴上存在一点，且点到点的距离是点到点的距离的倍，求点所表示的数； (3)现有动点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；当点运动到点时，点从点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动．设点运动的时间为秒，当为何值时，点与点相距个单位长度？ 【答案】(1)； (2)或； (3)秒或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值和平方的非负性、解一元一次方程．解决本题的关键是用含的代数式表示出点的位置，再根据两点之间的距离公式列方程． 根据绝对值的非负性和平方的非负性可得：，，解方程即可求出、的值； 点到点的距离是点到点的距离的倍，列方程求解，本题分为当点在点与点之间时，当点在点的右侧时两种情况． 根据点和之间的距离和点运动的速度可以求出点运动到点的时间，根据点与点相距个单位，可以列方程求解，本题分为当点在点右侧时和当点在点左侧时，两种情况． 【详解】（1）解：， ，， ，， 点与点之间的距离为； （2）解：设点所表示的数为， 当点在点与点之间时， 根据题意可得：， 解得：； 当点在点的右侧时， 根据题意可得：， 解得：； 点表示的数是或； （3）解：点运动到点的时间是（秒）． 经过秒后，点表示的数是，点表示的数是， 当点在点右侧时，，解得； 当点在点左侧时，，解得； 所以当为秒或秒时，点与点相距1个单位长度． 【题型3 新定义问题】 【例3】定义：若为数轴上三个不同的点，若点到点的距离和点到点的距离的2倍的和为10，我们就称点C是的美好点，例如：点M、N、P表示的数分别为、2、0．则点P到点M的距离是6，到点N的距离是2，那么点P是的美好点，而点P就不是的美好点． (1)若点表示的数分别为，则 是[ ， ]的美好点．（空格内分别填入） (2)若点表示的数分别为，且是的美好点，求点表示的数． (3)如图，数轴上三点分别表示的数为、、，点从点出发以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，在点出发的同时，点从点出发以每秒2个单位长度向右匀速运动，当点到达点时，点停止运动．直接写出为何值时，点恰好为的美好点？ 【答案】(1) (2)或2 (3)或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，以及新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）设点表示的数为，根据新定义，列出方程进行求解即可； （3）先求出点，点表示的数，再根据新定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：点、、表示的数分别为3、6、7． 点到点的距离是4，到点的距离是3， ∴点是的美好点． 故答案为： （2）设点表示的数为， 点表示的数分别为， 点到点的距离是2，到点的距离是， 点是的美好点， ， 或2； （3）由题意，得：点表示的数为，点表示的数为． 点表示的数为2， ，， 点恰好为的美好点， ． 当时，； 解得：； 当时，． 解得：． 【变式3-1】对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“友好点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“友好点”． (1)若点M表示数， 点N表示的数4，下列各数0，1，2所对应的点分别为，其中是点M，N的“友好点”的是___________； (2)点A表示数， 点B表示的数30，P在为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“友好点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“友好点”，写出此时点P表示的数___________． 【答案】(1) (2)①或或；②50或110或70 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的实际应用，正确理解题意和应用分类讨论思想是解题关键． （1）根据“友好点”的定义，分别验证三点即可． （2）①设点P在数轴上所表示的数为x．根据“友好点”的定义，当点P在点A的右侧，，，当点P在点A的左侧， ,进行分类讨论，列出方程求解即可．②分三种情况进行解答，即点A是点P，点B的“友好点”；点B是点A、点P的“友好点”；点P是点A、点B的“友好点”，然后根据“友好点”的定义列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴不是点M，N的“友好点”， ∵， ∴， ∴是点M，N的“友好点”， 综上，是点M，N的“友好点”， 故答案为： （2）解：设点P表示的数为x， ∵点A表示数， 点B表示的数30， ∴①若点P在点B的左侧，， 当点P在点A的右侧，， ∵点P是点A，B的“友好点”， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得； 当点P在点A的左侧，， 此时，, ∴， 解得； 综上，点P表示的数为或或； ②若点P在点B的右侧，则， 当，， 解得， 当，， 解得， 当，， 解得， 综上，点P表示的数为50或110或70． 故答案为：50或110或70． 【变式3-2】如图，数轴上、两个点表示的数分别是，且满足，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出：__________，__________． (2)若为的中点，为的中点，则__________． (3)对于数轴上的点、，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为__________． ②若点是点的“关联点”，且，请出求的值． 【答案】(1) (2)4 (3)①或； 的值为6或 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是根据题意，得出两点之间的距离，列出方程求解． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答； （2）根据题意得出点P表示的数为，根据中点的表示方法得出点M表示的数为，点N表示的数为，求出，即可得出结论； （3）①根据题意得出点P表示的数为，，即可求解；②先得出点P表示的数为，则，，然后进行分类讨论：当点Q在点P左边时，点Q表示的数为，得出，，根据，列出方程求解即可；当点Q在点P右边时，点Q表示的数为，推出点B在点Q左边，则，，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴点P表示的数为， ∵M为的中点，N为的中点，， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， ∴线段的长度为4； （3）解：①∵点P从点A出发向右运动，，， ∴点P表示的数为， ∵，， ∴， ∴点Q表示的数为或， 故答案为：或； ②∵点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 当点Q在点P左边时，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）； 当点Q在点P右边时，点Q表示的数为， ∵， ∴点B在点Q左边， ∴，， ∴， 解得：或（舍去）； 综上：或． 【变式3-3】【概念学习】定义：点，A，B，M为数轴上的任意三点（点不与A，B重合），若点到点的距离是点到点的距离的倍，则称点是的值点”，记作：．例如，点表示的数为1，点表示的数为，点表示的数为3，此时，则点是的“2值点”，记作：．    【初步认知】 （1）如图，点，点表示的数分别是和6；    ①若点C，D，E表示的数分别是，，3，则这三个点中是的2值点的点是_____； ②若点是数轴上的一点，且，则点所表示的数是_____． 【深入思考】 （2）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为20，从某时刻开始，若点从原点出发向右在数轴上做匀速直线运动，且点的速度为2单位/秒，设运动时间为秒，当时，请求出的值． 【综合运用】 （3）在（1）的条件下，若点表示的数分别是，且不与重合，点，且，求点的值（用含的式子表示）．    【答案】（1）①②或；（2）或；（3） 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①分别求出点C，D，E到点，点的距离，根据新定义，进行判断即可； ②设表示的数为，根据新定义列出方程进行求解即可； （2）点表示的数为，根据新定义，列出方程进行求解即可； （3）根据新定义，得到，根据，且，推出，即可得出结论． 【详解】解：（1）①∵点，点表示的数分别是和6，点C，D，E表示的数分别是，，3， ∴，， ， ∴， ∴是的2值点的点是； ②设表示的数为，则：，解得：或； 故答案为：或； （2）由题意，点表示的数为，则：， ∵， ∴，解得：或； （3）由题意，得：， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三】 1、数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为，则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． (1)如图，C是点A、B的______阶伴侣点； (2)若数轴上两点M、N分别表示和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)，，， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据“伴侣点”的定义即可求解； 对于（2），分三种情况讨论可求M、N的阶伴侣点所表示的数. 【详解】（1）解：， ∴. 则点C是点A，B的3阶伴侣点. 故答案为：3. （2）解：， M、N的阶伴侣点在的左边时，所表示的数为； M、N的阶伴侣点在和4中间时，所表示的数为或；M、N的阶伴侣点在4的右边时，所表示的数为. 综上所述，M、N的阶伴侣点所表示的数为，，，. 2、已知a是最大的负整数，，c是的相反数，且a，b，c分别是点A，B，C在数轴上对应的数． (1)求a，b，c的值，并在如图的数轴上标出点A，B，C； (2)在数轴上，若点D到点A的距离刚好是5，则点D叫做点A的“幸福点”．求点A的幸福点D所表示的数； (3)若动点P从点B出发沿数轴向负方向运动，动点Q同时从点A出发也沿数轴向负方向运动，点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？ 【答案】(1)，，，数轴见解析 (2)点A的幸福点D所表示的数为或4； (3)运动2秒后，点Q可以追上点P． 【分析】（1）根据最大的负整数是，，的相反数是4，解答即可． （2）根据平移思想解答即可． （3）根据题意，点P表示的数为，点Q表示的数为，结合点Q可以追上点P，列方程解答即可． 【详解】（1）解：根据最大的负整数是，，的相反数是4， 得，，． 数轴表示如下： ． （2）解：根据题意，得点D表示的数为或， 点A的幸福点D所表示的数为或4； （3）解：根据点P和点Q分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向左运动，秒过后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得， 解得． 3、已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】(1)40 (2) 【分析】此题考查数轴上的点表示的数，一元一次方程式的实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可． （1）求与90和的一半即是点M表示的数； （2）先求出的长，再设t秒后P、Q相遇即可得出关于t的一元一次方程，求出t的值，可求出P、Q相遇时点P移动的距离，进而可得出C点对应的数； 【详解】（1）解：M点对应的数是：； 故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90， ， 设t秒后P、Q相遇， ，解得， 此时点P走过的路程为， 此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是． 故答案为：． 4、已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且、满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点、同时出发，当、两点相距个单位长度时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：，，，解得：，， 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，表示的数是，表示的数是， 根据题意可得：，即：，解得：或，故选：． 5、已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】 40 【详解】解：（1）M点对应的数是：；故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90，， 设t秒后P、Q相遇，，解得， 此时点P走过的路程为，此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是．故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $