专题05：突破数轴上的动点问题（4大考点+8大重点常考题型）2025-2026学年苏科版七年级上学期数学期末复习最常考16大重点专题突破系列

该初中数学讲义以数轴动点问题为核心，通过知识框架图系统梳理考点，涵盖动点表示数、距离计算、中点公式等核心公式，并用步骤分解表呈现“找五要素-表动点坐标-列方程求解”的通用解题流程，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型分类+变式拓展”的练习体系，涵盖单动点、双动点追及相遇等8类题型，如通过含参数定值问题培养推理意识，新定义问题发展创新意识。基础与能力提升练习分层设置，附解题技巧总结，助力不同层次学生掌握，也为教师提供精准教学的专题资源。

2025-2026七年级上学期期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题05：突破数轴上的动点问题（苏科版） 目录 【课标要求+题型预测】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 3 题型一：单动点问题 3 题型二：双动点——追及问题 9 题型三：双动点——相遇问题 14 题型四：含参数的定值问题 23 题型五：折线数轴问题 31 题型六：往返运动问题 43 题型七：数轴动点与最值问题 52 题型八：数轴动点与新定义问题 62 【突破三：基础运用突破】 72 【突破四：能力提升突破】 88 【课标要求+题型预测】 1．会用代数式表示数轴上运动的点对应的数，会用代数式表示数轴上两个点之间的距离；【解答题】 2. 能借助整式、一元一次方程相关知识解决数轴上单动点问题、双动点问题、相遇问题、追及问题、定值问题等。【解答题】 【突破一：考点知识突破】 考点1：数轴上动点表示的数计算方法（重要基础公式，要理解并牢记！！！） 数轴上的动点对应的数表示方法：数轴上的动点起始位置对应的数为, 以速度沿着数轴匀速向右（向左）运动，运动时间为，则运动后的点对应的数： 点对应的数 考点2：数轴上两点间的距离计算方法（重要基础公式，要理解并牢记！！！） 数轴上两个点A,B表示的数分别为: 1.若A,B两点是静止的, 且A在B的左侧，即，则A,B两点间的距离AB=(很好记：大数-小数) 2.若A,B两点是静止的, 且A在B的右侧，即，则A,B两点间的距离AB=(很好记：大数-小数) 3.若A,B两点是运动的,因为A,B的位置不能确定谁在左，谁在右，则A,B两点间的距离AB处理方法有二： 方法一：利用绝对值表示 方法二：分情况讨论 考点3：中点公式（重要基础公式，要理解并牢记！！！） 数轴上两个点A,B表示的数分别为，则AB的中点对应的数为 考点4：数轴动点问题的通用解题技巧和步骤（要理解并牢记！！！） 1.审题要审什么？（找五要素） （1）找动点运动的起始点； （这个通常都会在前1,2问解决或已知） （2）找动点运动的方向；（这个通常都会在题干中告诉，重点关注有无往返情况） （3）找动点运动的速度：（这个通常都会在题干中告诉或未知，也就是要求的）； （4）找动点运动的时间：（这个通常都是未知的，一般用字母t表示，也就是要求的）； （5）找动点运动的距离：（这个通常都会用含有时间t的整式表示，便于下面使用）. 2. 解决数轴动点问题的有什么解题技巧和策略吗？ （1）拿到题目，读懂题意，审题后，首先写出数轴上所有未知的点对应的数，将已知的点标在数轴上,未知的点用含有时间t的代数式表示出来； （2）表示出与题目相关的所有线段长或两点间的距离； （3）找出题目中所给的或隐含的等量关系，列方程求解； （4）最后要检验所求结果是否符合题意。 【突破二：重点题型突破】 题型一：单动点问题 【例题1】．一个动点在数轴上移动时，这个点所表示的数也会发生变化．如果点从原点开始，先向右移动3个单位长度得到点，再向右移动2个单位长度得到点，然后向左移动6个单位长度得到点，最后回到原点． (1)在数轴上表示出点的位置； (2)点与原点之间的距离是__________个单位长度； (3)点一共移动了多少个单位长度？ 【答案】(1)见详解 (2)1 (3)点一共移动了12个单位长度 【知识点】有理数的加减混合运算、数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据点的移动方向和单位进行列式计算，得出点，，在数轴上表示的数是，5，，然后再在数轴上表示出点的位置，即可作答． （2）由（1）得点在数轴上表示的数是，点与原点之间的距离是个单位长度； （3）充分理解题意，把移动的距离都相加，即可作答． 【详解】（1）解：∵点从原点开始，先向右移动3个单位长度得到点， ∴， 即点在数轴上表示的数是； ∵再向右移动2个单位长度得到点， ∴， 即点在数轴上表示的数是； ∵向左移动6个单位长度得到点， ∴ 即点在数轴上表示的数是； 在数轴上表示出点的位置，如图所示： （2）解：由（1）得点在数轴上表示的数是， 则 ∴点与原点之间的距离是个单位长度， 故答案为：1； （3）解：∵点从原点开始，先向右移动3个单位长度得到点，再向右移动2个单位长度得到点，然后向左移动6个单位长度得到点，最后回到原点．且点在数轴上表示的数是， ∴， ∴点一共移动了个单位长度． 【变式1】．如图所示，在数轴上点表示的数是，点位于点的左侧，与点的距离是个单位长度． (1)点表示的数是_______． (2)动点从点出发，沿着数轴的正方向以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒． ①点所表示的数为________；（用含的代数式表示） ②当_____秒时，点与点相距个单位长度． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）①根据两点间距离公式列出代数式即可；②分点在点左侧和右侧两种情况，根据两点间距离公式列出方程解答即可； 本题考查了数轴与有理数，列代数式，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，点表示的数为， 故答案为：； （2）解：①点所表示的数为， 故答案为：； ②当点在点左侧时，， 解得； 当点在点右侧时，， 解得； ∴或， 故答案为：或． 【变式2】．数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 【答案】(1)6，，10 (2)①3；②或2；③见解析 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上的距离计算及动点问题，解题的关键是利用非负数的性质求、的值，结合数轴的特点分析点的位置． （1）利用平方和绝对值的非负性求、，再计算两点距离； （2）①先根据条件确定点的位置，再计算、距离； ②设点表示的数，根据距离关系列方程求解； ③分三种情况分析、、的位置关系，确定点的移动方法． 【详解】（1）解：一个数的平方和绝对值都是非负数，且， ，解得， 、间的距离为， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ，所以或，所以或， 点C在数轴上表示的数为， 点B，C之间的距离为； ②由（2）①知点B，C之间的距离为3，当点P在点B，C之间时，点P到点B的距离为 ， 点P表示的数为； 当点P在点C的右侧时，点P到点C的距离为3， 点P表示的数为， 综上，点P表示的数为或2； ③点C向左移动13个单位长度，点B到点A，C的距离相等； 点C向右移动2个单位长度，点C到点A，B的距离相等； 点C向右移动17个单位长度，点A到点B，C的距离相等． 【变式3】．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、5，点P为数轴上一动点 ； (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)若点P到点A的距离为6，求点P对应的数； (3)若点P到点A、点B的距离之和为10，请求出点P对应的数． 【答案】(1) (2)或5 (3)或7 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，有理数的加减计算，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据题意可得点P为的中点，据此根据两点中点计算公式求解即可； （2）分点P在点A左边和点P在点A右边两种情况，根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （3）可求出，再分点P在上，点P在点A左边和点P在点B右边三种情况，根据点P到点A、点B的距离之和为10建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P到点A，点B的距离相等， ∴点P为的中点， ∵数轴上两点A、B对应的数分别为、5， ∴点P表示的数为； （2）解：当点P在点A左边时， ∵点P到点A的距离为6， ∴点P对应的数为； 当点P在点A右边时， ∵点P到点A的距离为6， ∴点P对应的数为； 综上所述，点P对应的数为或5； （3）解：∵数轴上两点A、B对应的数分别为、5， ∴， 当点P在上时，，不符合题意； 当点P在点A左边时，， ∴， ∴点P表示的数为； 当点P在点B右边时，， ∴， ∴点P表示的数为； 综上所述，点P表示的数为或7． 【变式4】．如图．点在数轴上对应的数为、4．点是数轴上的一个动点、 (1)当为中点时，求所对应的数； (2)当时，求所对应的数； (3)如果点以每秒2个单位长度的速度从数轴原点出发向右运动，设秒时，求出t的值． 【答案】(1)1 (2)1或7 (3)为或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程在数轴中的应用，能够根据题意，找到运动后点所对应的数，并能结合数轴列出方程是解题的关键． （1）由题意设对应的数为，列出一元一次方程求解即可； （2）由题意分当点在点左边时和当点在点右边时两种情况进行分析； （3）由题意分当点在点左边时和当点在点右边时两种情况进行分析求解即可． 【详解】（1）解：设对应的数为．则 解得 所以．对应的数是1； （2）当点在点左边时． 当点在点右边时． 所以．对应的数为1或7； （3）秒时．对应的数是． 当点在点左边时．即．解得 当点在点右边时．即．解得 综上．当为或时．． 题型二：双动点——追及问题 【例题2】．已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)；1 (2)①；②1或9秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1）由已知得，则，因为点 B在原点左边，即可求出； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是，计算即可求出； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则，然后解方程得到，得到点P运动距离为，再根据和P点在负半轴，即可求出；②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则；超过Q，则；由此求得答案即可． 此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 故答案为：，1； （2）①点P运动t秒时追上点Q，根据题意得， 解得， ∴当点P运动5秒时，点P追上点Q； ∴点P运动距离为 ∴ ∵此时P点在负半轴， ∴当点P追上点Q时，点P所表示的数是； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 当P不超过Q，则，解得； 当P超过Q，则，解得； 答：当点1秒或9秒点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【变式1】．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当运动秒时，点追上点；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为6，是数轴上在原点左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴点表示的数为， 当点运动到的中点时，点P表示的数为， 故答案为：，； （2）解：①根据题意，得， 解得， ∴当运动秒时，点追上点； ②根据题意得： 当点与点相遇前，点与点距离8个单位长度时，则， 解得； 当点与点相遇后，点与点距离8个单位长度时，则， 解得， ∴当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 【变式2】．已知a是最大的负整数，b是的相反数，，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ (3)在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，数轴见解析 (2)运动秒后，点可以追上点Q (3)存在，点对应的数是或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、求一个数的绝对值、用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值是解题的关键． （1）根据整数、相反数、绝对值有关概念求出a、b、c的值，然后在数轴表示即可； （2）设运动秒后，点可以追上点，点表示数，点表示，根据题意列方程求解即可； （3）设点M在数轴上对应的数为，根据题意分情况求解即可． 【详解】（1）解： a是最大的负整数，即； 是的相反数，即， ， 所以点、、在数轴上位置如图所示： （2）解：设运动秒后，点可以追上点， 则点表示数，点表示， 依题意得：， 解得：． 答：运动秒后，点可以追上点； （3）解：存在点，使到、、三点的距离之和等于， 设点M在数轴上对应的数为， 当在点左侧，，解得则M对应的数是：； 当在之间，，解得，不合题意，舍去； 当在之间，，解得，则对应的数是； 当在右侧时， 解得，不合题意，舍去， 综上所述：故使点到、、三点的距离之和等于，点M对应的数是或． 【变式3】．如果点M、N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为或或．利用数形结合思想解决下列问题： 已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． (1)点表示的数为___________，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)用含的代数式表示到点和点的距离：___________，___________． (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动．在点向点运动过程中，能否追上点？若能，请求出点运动几秒追上． 【答案】(1)，， (2)t， (3)在点向点运动过程中，能追上点，点运动8秒追上 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数、列代数式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）由点在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，可知点表示的数为，根据点在点的右侧，点与点的距离为16个单位长度，得出点表示的数为，由点表示的数与点表示的数互为相反数，即可得到点表示的数； （2）根据路程速度时间，可得，由可得； （3）在点向点运动过程中，设点运动秒追上点，根据点追上点时，点运动的路程点运动的路程，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度， ∴点表示的数为， ∵点B在A点右侧，点A与点B的距离为16个单位长度，且， ∴点表示的数为， ∵点C表示的数与点B表示的数互为相反数， ∴点表示的数为10； 故答案为：，，； （2）解：，； 故答案为：t，； （3）解：在点向点运动过程中，设点运动秒追上点， 根据题意得， 解得． 答：在点向点运动过程中，能追上点，点运动8秒追上． 【变式4】．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，（规定：数轴上两点之间的距离用两个大写字母表示．例如：点与点之间的距离记为），点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点表示的数分别是 和 ； (2)当点运动到点时，求的值； (3)若点一直沿数轴负方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，问点运动多少秒时追上点？此时点和点表示的数是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)点运动秒时追上点，点、所表示的数为 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据点M，N的运动速度及方向可找出秒时点M，N表示的数，再代入即可得出结论； （2）先求出当运动到点时所用的时间，从而求出点N移动的距离，然后把点M和点N移动的距离相加即可； （3）先求出点运动到点时所用时间，得出此时，设此时点运动秒时追上点，得出，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， ∴当时，点表示的数为，点表示的数为． （2）解：当运动到点时，点所用的时间为，则点移动的距离为， ∴． （3）解：点运动到点时，， 此时点表示的数为，则此时， 设此时点运动秒时追上点， 则：， 解得：， 即：点运动秒时追上点． 点、所表示的数为． 题型三：双动点——相遇问题 【例题3】．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______． (3)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【答案】(1)10，2 (2)， (3)时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数为1 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据数轴上两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答； （2）根据路程=时间×速度和数轴上两点间的距离公式解答； （3）根据数轴上两点间的距离公式得到，结合已知条件列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7， ∴，线段的中点表示的数为， 故答案为：10，2； （2）解：点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（）， ∴t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，； （3）解：由（2）可得t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴P、Q两点相遇时， ∴， 解得， ∴时， ∴， ∴相遇点所表示的数为1 【变式1】．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ． (2)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的3倍，2秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位，此时，点与之间的距离为 ； ②若运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数为 ； ③点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点与点能相遇？ 【答案】(1)，1，6 (2)①3，8；②；③秒 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性 【分析】（1）由绝对值非负性、平方非负性，结合非负数和为零的条件列方程求解即可得到答案； （2）①根据数轴上点的运动情况计算即可得到答案；②由题意直接求解即可得到答案；③根据题意，当点到达点时，点到达点，设再经过秒钟，点与点能相遇，由相遇问题列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，，且， ，， ，， 为最小的正整数， ， 故答案为：，1，6； （2）解：①点走过的路程为2，时间为2，， 速度为1个单位长度每秒， 点的速度是点的速度的3倍， 点的速度为3个单位长度每秒，此时点运动到点， 间距离为8个单位长度， 故答案为：3，8； ②动点从原点出发，向负半轴运动，速度为1个单位长度每秒，若运动时间为秒， 用含的代数式表示点表示的数为， 故答案为：； ③由题意可知，当点到达点时，点到达点， ， 设再经过秒钟，点与点能相遇， 则，解得， 再经过秒钟，点与点能相遇． 【变式2】．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒． (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值为或 (3)t的值为2 (4)t的值为或或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据数轴上两点A、B表示的数分别为、10，列式求出线段中点表示的数，根据N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒，得到点N表示的数为，即可求出； （2）由M、N两点相距6个单位，可得，即可解得答案； （3）求出的中点P表示的数是，根据点P与数轴上表示的点重合列式计算，可解得答案； （4）分四种情况：当时，列式， 当时，列式，当时，列式，当时，列式，分别解方程可得结果． 本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A、B表示的数分别为、10， ∴线段的中点表示的数为， ∵N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒， ∴点N表示的数为， 故答案为：，； （2）解：∵点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动， ∴点M表示的数为， 点N表示的数为， ∵M、N两点相距6个单位， ∴， 解得或， ∴t的值为或； （3）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴的中点P表示的数是， ∴， 解得， ∴t的值为2； （4）解：M从A到B所需时间为（秒）， N从B到A所需时间为（秒）， 当时，M表示的数为，点N表示的数为，P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是，N表示的数是，P表示的数为， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或或． 【变式3】．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)求数轴上点表示的数，并直接写出点表示的数（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点、同时出发．求： ①若点沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇时，此时点表示的数； ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)所表示的数为8，所表示的数为： (2)①4；②秒或秒或4秒或16秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题）、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）①根据相遇问题的特点求解即可；②分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10， ∴，即数轴上点所表示的数为8， ∵动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴所表示的数为：； （2）解：①根据题意得秒，， 答：点表示的数是4； ②当点向左运动时， 点不超过，则秒， 点超过，则秒， 当点向右运动时， 点不超过，则秒， 点超过，则秒， 答：当点与点间的距离为6个单位长度时，点的运动时间为秒或秒或4秒或16秒． 【变式4】．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．满足，机器人M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，1秒后，机器人N从点B出发， 以每秒2个单位长度的速度向左运动．根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回点A处，机器人M到达点A立即停止，在机器人M返回点A的同时，机器人N以原速返回向点B方向运动．设机器人M运动时间为秒． (1)点A与点B之间的距离是 ； (2)求两个机器人M、N相遇的时间及相遇点P所表示的数； (3)两个机器人在相遇点P返回后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10？若存在，求出此时的值及机器人N所在位置表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)13 (2)M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5 (3)时，N对应的数为；时，N对应的数为18 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上点的平移（动点问题）、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用∶ （1）根据非负数的性质可求出a，b的值，即可求解； （2）根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，可得到关于t的方程，即可求解； （3）根据题意得M返回A时，，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴点A表示的数为，点B表示的数为8， ∴点A与点B之间的距离是； 故答案为：13 （2）解：根据题意得，点M表示的数为，点N表示的数为， ∴， 解得：， 此时点P表示的数为； 综上所述，M，N相遇的时间为秒，此时相遇点P表示的数是5； （3）解：根据题意得：M返回A时，， 当时，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10， ∴， 解得：， 此时点N表示的数为； 当时，，则， 解得：， 此时，N对应的数为18； 综上所述，时，N对应的数为；时，N对应的数为18． 题型四：含参数的定值问题 【例题4】．如图，在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)______；______； (2)动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度． ①运动几秒时，点与点距离个单位长度； ②动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，设运动时间为秒，请问，是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值． 【答案】(1)，； (2)①秒或秒； ②存在，的值为，这个定值为． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性 【分析】利用绝对值及偶次方的非负性，可得出，，解之可得出，的值； ①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据点与点距离个单位长度，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； ②存在，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可得出，，，将其代入中，可得出，结合的值是定值，可得出，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：①当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得，， 即或， 解得：或， 答：运动秒或秒时，点与点距离个单位长度； ②存在，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，， ， 时，， 当时，为定值． 答：存在，的值为，这个定值为． 【变式1】．如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B数轴上位于A点左侧一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数____（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q同时出发． 问点P运动多少秒时，？ 若M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值在某一个时间段t内为定值．求出这个定值，并直接写出在哪一个时间段内． 【答案】(1) (2)点P运动秒或7秒时，当时，为定值，该定值为2 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，含绝对值的方程，绝对值的意义，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数． （1）由点A表示的数为8，，即得点B表示的数是，根据点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，可得点P表示的数是； （2）①设运动时间为t秒，可得，即有，从而解得或，得到答案； ②运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，则中点M表示的数为，当时；当时；分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为8，， ∴点B表示的数是， ∵点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒， ∴点P表示的数是； （2）解：①设运动时间为t秒，则运动后Q表示的数是，由（1）知点P表示的数是， ∴， ∵， ∴， 解得或， 答：点P运动秒或7秒时，； ②运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 则的中点M表示的数为， ∴， ∴当时， ， 当时， ， ∴当时，为定值，该定值为2． 【变式2】．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，表示点A与点B之间的距离． (1)求a，b的值； (2)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①点P表示的数为_______； ②若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值； ③若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m，使得的值为定值？若存在，求出m的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或10；③存在，，定值为 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及整式加减的应用，根据绝对值及平方的非负性求出a，b的值以及找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据绝对值及平方的非负性求出结论即可； （2）①运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为； ②分三种情况：点A、B在相遇前时或点A、B在相遇时或点A、B在相遇后，分别求出即可； ③当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为，求出，依题意求出结论即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：①如图所示： 当时，， 若点A向右运动，点B向左运动，则运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为． ∵动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动t秒时，P点表示的数为； ②分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时， ∵， ∴， 解得； 点A、B在相遇时，，此时A与B重合， 则， 解得； 显然，点A，B在相遇后，大于，不符合条件． 综上所述，或10； ③当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为， ， 当时，上式的值不随时间t的变化而改变． ∴存在常数，使得的值为定值， 此时． 【变式3】．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ； (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ； (3)如图3，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1) (2) (3)若的值是一个定值，m的值为 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查数轴的特点，两点之间的距离，理解题意，掌握数轴上两点之间距离的计算是关键． （1）根据相反数，最大负整数，多项式的次数的概念计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，结合题意即可求解； （3）根据题意，分别表示出运动后的点表示的数，根据距离的计算列式求解即可． 【详解】（1）解：∵a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵表示数的点到表示数的点的距离与表示数的点到表示数的点的距离的和，且， ∴的最小值为， 当时，， 当时，，且， 当时，， ∴的最大值为7； （3）解：假设t秒，点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，则运动后表示的数为， 点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，则点F运动后表示数为，点G运动后表示数为， ∴， ∴， 当时，即，是定值， ∴， 解得，； 当时，即，是定值， ∴， 解得，； 综上所述，若的值是一个定值，m的值为． 【变式4】．【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是，A到C的距离可以用表示，计算方法：或． （1）填空：_______，_______． 【构建联系】（2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是_______，点Q表示的数是_______；（用含t的代数式表示） ②求运动多少秒时，P、Q两点间的距离？ 【深入探究】（3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 【答案】（1）10,16 （2）① ②2或8 （3）点D向左运动， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用， 对于（1），根据两点之间的距离计算即可； 对于（2），①用点B表示的数加上点P的运动路程可得点P表示的数，进而表示点Q表示的数； ②先表示出，即可得出方程，求出解即可； 对于（3），先表示出运动过程中点A，C表示的数，再分两种情况：表示出，根据其是一个定值得出答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：10，16； （2）①由点P，Q的运动速度可知运动过程中点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：，； ②， 解得或， 所以运动2秒或8秒时，两点之间的距离； （3）由题意可知，运动过程中点A表示的数是，点C表示的数是， 分两种情况：当点D向左运动时，点D表示的数是， 由的值始终是一个定值，得， 解得； 当点D向右运动时，点D表示的数是， 由的值始终是一个定值，得， 解得舍去． 综上所述，点D向左运动，． 题型五：折线数轴问题 【例题5】．数轴上点表示，点表示，点表示，点表示如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度． 动点从点出发，以个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为______； (2)当点、都运动到折线段上时， 、两点间的和谐距离______用含有的代数式表示； C、两点间的和谐距离______用含有的代数式表示； ______时，、两点相遇； (3)当______时，、两点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度； 当______时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【答案】(1) (2)，， (3)或；或 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值方程、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论． （1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即可得M、N两点在折线数轴上的和谐距离； （2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案； （3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案． 【详解】（1）解：当秒时，表示的数是，表示的数是， 则、两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：； （2）解：当秒时，M表示的数是，N表示的数是， ∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为， 故答案为：12； 由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C， ∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是， ∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离， ∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同， ∴， 解得， 故答案为：，，； （3）解：∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得或， 由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C， ∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 当，即M在从点O运动到点C时， ，即， ∴或， 解得或， 当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等， 故答案为：或；8或． 【变式1】．有理数a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，其中点A在原点的左边，与原点的距离为10个单位长度，且a、b、c满足． (1)则 ， ， ． (2)在数轴上A、B两点之间的距离，B、C两点之间的距离，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”、我们称A，C两点在折线数轴上的路程为三段的和、动点P从点A出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒． ①当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ②当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ③当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度． 【答案】(1)，， (2)的值不随时间t的变化而变化，且 (3)①19；②8；③5 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，非负数的性质，整式的加减计算，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）先根据题意求出点A表示的数，即a的值，再根据非负数的性质可求出b、c的值； （2）分别表示出点A，点B，点C运动t秒后表示的数，再根据两点之间的距离计算公式表示出，再计算即可得到结论； （3）①求出点P到达点O和到达点B的时间，则可求出时，点P和点Q表示的数，再根据两点之间的距离计算公式求解即可；②同理求出时，点P和点Q表示的数，再根据两点之间的距离计算公式求解即可；③同理求出时，点P和点Q表示的数，再根据两点之间的距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在原点的左边，与原点的距离为10个单位长度， ∴点A表示的数为，即； ∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不随时间t的变化而变化，且； （3）解：①由（1）可知，， ∴点P运动到点O的时间为秒，点P运动到点B的时间为秒， ∴当时，点P在上运动， ∴当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度； ②由（3）①可知，当时，点P在上运动， ∴当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度； ③由（3）①可知，当时，点P在上运动， ∴当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q在折线数轴上相距个单位长度． 【变式2】．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，点A、O、B、C、D、E为数轴上的点，为原点，表示的数是为线段的中点，表示的数是12，D表示的数是18，将点向右移动4个单位长度得点．如图2，我们将数轴在点、点、点和点处均可折一次，可折后处于水平位置．线段与处均产生了一个坡度，且坡度的倾斜程度相同，我们称这样的数轴为“弯折数轴”．其中为“弯折数轴”原点．在“弯折数轴”上，每个点对应的数就是把“弯折数轴”拉直后对应的数，两点间的距离就是把“弯折数轴”拉直后两点间的距离． 动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动，同时，动点从点出发以相同速度沿着“弯折数轴”向左运动，当点运动到点后立即掉头返回向右运动（掉头时间不计），两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置保持初始速度不变．当点运动到点时，两个点同时停止运动．设运动时间为秒．问： (1)点从点运动到点用时__________秒； (2)在运动过程中，当为何值时点与点在点处相遇？并求出点在数轴上对应的数； (3)在点从点O运动到点C的过程中，是否存在某一时刻，使得M、B两点的距离等于N、C两点距离？若存在，请求出所有的值，并把求的过程写出来；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)15秒 (2)秒，相遇点 P对应的数是  (3)存在，秒或秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了动点与数轴，一元一次方程与动点几何，在数轴上表示有理数，两点之间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出 ，再结合动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动, 动点下坡时候的速度是初始速度的2倍，进行列式计算，得点从点运动到点用时15秒． （2）先理解题意，得，，根据动点下坡时候的速度是初始速度的2倍，得下坡时候的速度是每秒2个单位长度，再计算点运动从点E到点B处的时间是秒，经分析，他们相遇的点P在线段上，再分别整理得，，代入，进行计算，即可作答． （3）理解题意，再分类讨论，且结合作图，根据进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：点A、O、B、C、D、E为数轴上的点，点为原点，点表示的数是为线段的中点，点表示的数是12， ∴ ， ∵动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动, 动点下坡时候的速度是初始速度的2倍， ∴下坡时候的速度是每秒2个单位长度 则（秒）； ∴点从点运动到点用时15秒． （2）解：依题意，点B表示的数是6， ∵表示的数是12，D表示的数是18，将点向右移动4个单位长度得点． ∴，， ∵动点下坡时候的速度是初始速度的2倍， ∴下坡时候的速度是每秒2个单位长度， 点运动从点E到点B处的时间是（秒）， 由（1）得点从点运动到点用时15秒． 当点停止不动时，已经从点掉头，且在线段上停止，与点的距离为， 故他们相遇的点P在线段上， 则， ∴，， ∴， ∴， 解得； 此时相遇点 P对应的数是 ； （3）解：存在秒或秒，使得M、B两点的距离等于N、C两点距离，过程如下： 依题意，点到点B的运动时间是（秒），点到点的运动时间是（秒）， 当点在上时，点在时， 即， 如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴； 点运动从点E到点B处的时间是（秒）， 当点在上时，点在时，且点还没到点， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴无解； 当从点掉头，且没停止运动，如图所示： 此时， ∴， ∵ ∴ ∴（秒） 综上：秒或秒，使得M、B两点的距离等于N、C两点距离． 【变式3】．如图，已知数轴上点与点相距个单位长度，点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的左侧，点表示的数与点表示的数互为相反数． (1)点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点后，运动停止．设移动时间为秒，在点运动过程中， ①请求出点运动几秒后与点相遇？ ②两点之间的距离能否为个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． (3)点在数轴上，，将图的数轴在点处各折一下，得到图的“折线数轴”，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点的初始速度分别是个单位长度秒和个单位长度秒，点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，直接写出此时点表示的数． 【答案】(1)，， (2)①秒；②或 (3) 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】（）根据题意解答即可； （）①移动秒，点表示的数为，点表示的数为，进而根据题意列出方程即可求解；②由题意可得点到达点需要的时间为秒，当两点之间的距离为个单位时，可得，解方程即可求解； （）由题意可得，即可得点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； 点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒，即得到点和点在线段上相遇，设点表示的数为，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度， ∴点表示的数为， ∵点与点相距个单位长度，点在点的左侧， ∴点表示的数为， ∵点表示的数与点表示的数互为相反数， ∴点表示的数为， 故答案为：，，； （2）解：①移动秒，点表示的数为，点表示的数为， 当点与点相遇时，， 解得， 答：点运动秒后与点相遇； ②两点之间的距离能为个单位． 点到达点需要的时间为秒， 当两点之间的距离为个单位时，则， 整理得， 解得或，符合题意， 当时，点表示的数为； 当时，点表示的数为； 综上，两点之间的距离能为个单位，此时点表示的数为或； （3）解：∵点表示的数为, ∴， ∵折叠后，， ∴， 由题意可得，点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； 点到达点的时间为，到达点的时间为秒， ∴点和点在线段上相遇， 设点表示的数为，则， 解得， ∴此时点表示的数为． 【变式4】．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点，点，点，点处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点表示，点表示4，点表示8，点表示12，点表示14，我们称点和点在数轴上相距18个长度单位．动点从点出发，以4单位/秒的速度沿着“坡面数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变，当点运动至点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒，问： (1)动点从点运动至点需要________秒，此时点所对应的数是________； (2)，两点在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，两点在数轴上相距的长度是，两点在数轴上相距长度的2倍． 【答案】(1)；8 (2)点所对应的数 (3)或秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握时间等于路程除以速度，正确的列出方程． （1）根据时间等于路程除以速度，分成三部分进行求解即可； （2）先求出点到达点时，的位置，再求出两者还需要经过多长时间相遇，以及这段时间点的路程，即可得出结论； （3）分点分别在段时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：点上坡时速度为单位/秒，下坡时速度为单位/秒， 点上坡时速度为单位/秒，下坡时速度为单位/秒， ，，，，， ∴点从点运动至点需要（秒）； 点从点运动到点需要（秒），从点运动到点需要：（秒） ∴当点从点运动至点时，点运动到点； ∴点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由（）可知，，两点在处相遇时，点在段， 点由到点用时为秒， 点从到用时为秒，从又运动了： ， 当点到达点时，点距离点单位长度， 再经过秒，相遇， 点经过的路程为：单位长度， 点为， 故点对应数为． （3）解：当点在段时，点在段时， ，， ∴，此方程无解；不符合题意； 当点在段时，点在 段， 若 ，则 ，， ，解得：秒； 当点在段时，点在段，，， ，解得：秒（不符合题意） 当点在段，点在段，，． ∴，解得：秒； 当点在段，点在段，，． ∴，解得：秒，不符合题意； 综上所述，或秒． 题型六：往返运动问题 【例题6】．如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值； (2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 【答案】(1)，，14 (2)22，11 (3)或15 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根绝绝对值的非负性求解； （2）根据数轴上两点间距离公式计算出，根据线段的运动速度及方式确定点P与点C重合时点N所在位置； （3）在运动过程中：点P所表示数为：，点Q的起始位置所表示数为：，分，，三个阶段，表示出点Q所表示的数，根据列绝对值方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴，，； （2）解：当秒时，点P与点C重合， ∵A所表示数为，C所表示数为14， ∴， ∴点P从A运动到点C所用时间为：（秒）， 故答案为：22； 线段的运动时间为（秒）， 线段从B运动到C所用时间为：（秒）， ∵数轴上点N起始位置所表示数为：， ∴线段运动17秒后，点N所表示数为：； （3）解：点Q的起始位置所表示数为：； 在运动过程中：点P所表示数为：， ①当，即时，点Q第一次由B向C运动， 点Q所表示数为：， ， 解得（舍去）或（舍去）； ②当，即时，点Q第一次由C向B运动， 点Q所表示数为：， 即：， 解得或； ③当，即时，点Q第二次由B向C运动， 点Q所表示数为：， ， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所述：t的值为或15． 【变式1】．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)或或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n的值即可； （2）根据，结合两点间距离公式得出，分情况讨论，求出结果即可； （3）分四种情况讨论：当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧：当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧：当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，； （2）解：∵点P在数轴上对应的数为x，， ∴根据两点间距离公式可得：， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； ∴当或时，． （3）解：当点P到达点N时，需要的时间为： （秒）， 此时点Q到达， 当点Q向点N运动时，点P在点Q右侧： ， 解得：； 当点Q向点N运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q左侧： ， 解得：； 当点Q到达点N后，向点M运动时，点P在点Q右侧： ， 解得： 综上分析可知：当或或或时，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度． 【变式2】．已知数轴上点对应的数为，点对应的数为，且满足． (1)求、的值． (2)点，分别从点，同时出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，点以每秒个单位长度的速度向右移动；点从点出发，与点，同时开始移动，在之间以每秒个单位长度的速度往返移动．设移动时间为秒． ①用含的代数式表示点对应的数为，点对应的数为． ②当点，相遇时，求点移动的总距离． ③当时，判断是否等于，并说明理由． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)①点对应的数为，点对应的数为；②点移动的总距离为12；③当时，等于 【知识点】列代数式、绝对值非负性、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了非负数的性质（用于求解、）、数轴上点的移动规律、相遇问题的等量关系及往返运动中距离的计算．解题关键是准确把握各点的运动状态，结合公式建立等式或计算距离． （1）依据非负数的性质（平方数与绝对值均为非负数，其和为时各自为）求解、的值； （2）①利用“数轴上点向右移动后表示的数=初始数+速度时间”确定点、对应的数； ②先通过、相遇时对应数相等求出时间，再结合“路程=速度时间”计算点移动的总距离； ③当时，分别求出、、的位置，进而计算与的距离并比较． 【详解】（1）因为任何数的平方和绝对值都是非负数，即，． 又因，所以只有当且时等式成立． 由，解得；由，解得． （2）①点从（对应数）出发，以每秒个单位长度向右移动，秒后移动的距离为3t，故点对应的数为． 点从（对应数）出发，以每秒个单位长度向右移动，秒后移动的距离为，故点对应的数为． 故答案为：，． ②当点、相遇时，它们对应的数相等，即． 移项得，合并同类项得，解得． 点的速度为每秒个单位长度，移动时间为秒，根据“路程=速度时间”，点移动的总距离为． ③当时， 点对应的数：； 点对应的数：； 点移动的距离为，移动个单位后到达． ， 所以． 【变式3】．已知数轴上两点表示的数分别为，且满足． (1)直接写出_______，_______； (2)若点表示的数为，点分别从两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度秒，设两点运动时间为秒： ①当点在之间，且时，求出此时的值； ②当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点M运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，两点相遇时的值． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性 【分析】本题是新定义题型，主要考查数轴的应用，一元一次方程的应用，绝对值及偶次方的非负性等知识，进行分类讨论是解题关键． （1）由绝对值及偶次方的非负性解答即可； （2）①由数轴上两点间的距离公式先求出，由题意得，根据列出关于的方程，解方程即可； ②由题意知点的运动路程为，点的运动路程为，分四种情况：、、、．分别根据相遇问题列出关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵．且，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是4， ∴， ∵点速度为5个单位长度/秒，点速度为3个单位长度/秒，点从点出发，点从点出发， ∴， ∵， ∴， 解得：． ②由题意得，，， ∵点的运动路程为，点的运动路程为，点运动的时间为（秒）， Ⅰ．点第一次运动到点前，的取值范围是， 当、第一次相遇时，有， 解得：； Ⅱ．当点到达点返回但未到达点且点未到达点时，、两点相遇，的取值范围是， 点运动时间为，点运动时间为， 则， 解得：（，故舍去）； Ⅲ．当点到达点返回但未到达点，且点到达点返回时，、两点相遇，的取值范围是， 则， 解得：； Ⅳ．当点从点返回时，、两点相遇，的取值范围是， 则， 解得：， 综上所述，在此运动过程中，、两点相遇时，或或． 【变式4】．已知数轴上，三点表示的数分别为、、，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设两点运动时间为 秒： (1)当秒时，线段 ， (2)当点在，之间，线段 ， （用含字母的代数式表示）．若，求出此时的值； (3)当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，当，两点运动了多少秒时，它们第二次相遇． 【答案】(1)； (2)；； (3)秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，掌握数轴上两点之间距离的表示方法，以及仔细分析点的运动情况是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离以及点的运动情况即可解答； （2）由数轴上两点间的距离公式先求出，由题意得，则，根据列出关于的方程，解方程即可； （3）由题意得，点的运动路程为，点的运动路程为，点运动的时间为秒，当点、第一次相遇时有：；当点到达点返回但未到达回，且点到达点返回时，、两点第二次相遇，则，解方程判断是否符合题意即可解答． 【详解】（1）解：点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，且秒， ，， 故答案为：，； （2）解：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ， 点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动， ， ， ， 解得：， 故答案为：，，； （3）解：由题意得：，， 点的运动路程为，点的运动路程为，点运动的时间为（秒）， 当点、第一次相遇时有：，解得：； 当点到达点返回但未到达回，且点到达点返回时，、两点第二次相遇，则， 解得：， ，符合题意， 所以，当，两点运动秒时，它们第二次相遇． 题型七：数轴动点与最值问题 【例题7】．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段AB的中点表示的数为． 若点、、在数轴上对应的数为、、0，且，点、分别从点、出发，同时向右匀速运动，的速度为2个单位长度／秒，的速度为1个单位长度／秒，设运动的时间为秒． (1)直接写出 ， ． (2)①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为 ，点表示的数为 ． ②当，求t的值； (3)若点为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，的值会随着的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)①；②或 (3)当时，有最小值，最小值是． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、整式的加减运算、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，绝对值方程与一元一次方程的应用，绝对值的化简，熟练的利用绝对值的含义表示数轴上两点之间的距离是解本题的关键. （1）根据可得：，求解的值即可得到答案； （2）①利用数轴上点的移动向右移动用加法，向左移动用减法，从而可得答案；②先利用代数式表示的长度，再列绝对值方程，解方程即可； （3）利用中点对应的数先表示对应的数，再分别求解 再列式表示，再分三种情况讨论即可得到答案. 【详解】（1）解： ， ， 解得： 点、、在数轴上对应的数为、、0， 在数轴上对应的数分别为 故答案为： （2）解：① 点、分别从点、出发，同时向右匀速运动，的速度为2个单位长度/秒， 的速度为1个单位长度/秒，设运动的时间为秒， 秒后对应的数分别为： 故答案为： ②对应的数为 对应的数分别为： ， 或 解得：或， 所以当或时，； （3）解：对应的数为： 点为线段的中点， 对应的数为： 对应的数为： 为线段的中点， 对应的数为： ， 当时， ， 则时取得最小值，最小值为：， 当时，， ，此时无最小值； 当时，， ， 当时，最小值为：， 综上：当时，有最小值，最小值是． 【变式1】提出问题：在工厂的流水线上要放置一个物料筐，那么物料筐放置在何处能让所有人到该物料筐距离之和最小呢？ 给出定义：我们把点A到线段上任意一点距离的最小值称为点A到线段的距离，记为；并规定若点在线段上时则该点到线段的距离为0． 例：如图1，线段的端点P对应的数是1，端点Q对应的数是3；． 理解应用： （1）如图2，线段的端点P对应的数是，端点Q对应的数是1；_____________，_____________，_____________． （2）如果图2中的线段长度不变，线段在数轴上左右移动；当时，点Q对应的数是_____________． 解决问题： （3）如图3，数轴上有A、B、C、D四个点，对应的数分别为、2、5；数轴上有一个长度为2个单位的线段，线段可以在数轴上左右移动；则最小值是_____________，此时点M表示的数可以取的整数有_____________（写出整数值）． 【答案】（1），，；（2）4或8；（3）；、、、． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了数轴上的距离计算、绝对值的应用，熟练掌握点到线段距离的定义以及绝对值的性质是解题的关键． （1）根据点到线段距离的定义，判断点与线段的位置关系，计算距离． （2）根据，结合线段长度，分情况确定点对应的数． （3）设点表示的数为，则点表示的数为，分别表示出、、、，再分析其和的最小值及此时的整数值． 【详解】解：（1） ， ， ， 故答案为：，，； （2） 线段长度为． 当点在左侧时，对应的数为； 当点在右侧时，对应的数为． 故答案为：4或8； （3） 设点表示的数为，则点表示的数为． ， ， ， ， 当在到之间时，和最小． 最小值为． 此时点表示的数可以取的整数有，，、． 故答案为：；，，、． 【变式2】兴化千垛景区以油菜花田闻名，有一条笔直的观光道路，可以视为数轴．在数轴上，点表示景区入口，点、、分别表示三个油菜花田的入口，其对应的数分别为、1、3（单位：千米）．三个花田的油菜籽产量（单位：千公斤）分别为：田2千公斤，田2千公斤，田3千公斤．现计划在道路上设置一个油菜籽收集站，其位置对应的数为．运输成本为每千米每千公斤1元（即每运输1千公斤油菜籽经过1千米距离，成本为1元） 根据以上信息，结合数轴知识，解决以下问题： 【问题探究】 （1）若将数轴折叠，使点与点重合． ①则点与数______表示的点重合； ②若数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数． 【举一反三】 （2）点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、的距离之和为10，求的值； ②若点到点、、的距离之和最小，则______． 【问题解决】 （3）为了降低运输成本，收集站应建在何处（即为多少）才能使总运输成本最低？最低成本是多少？ 【答案】（1）①；    ②点表示的数为，点表示的数为1010.5；（2）①或；    ②；（3）点建在处；18元 【知识点】绝对值方程、整式的加减运算、数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，整式的加减运算，正确理解题意是解题的关键． （1）①先由折叠确定线段的中点为，则由数轴上两点距离公式即可求解； ②由数轴上两点距离公式即可求解； （2）①由题意得，然后分类讨论求解即可； ②点到点、、的距离之和表示为，然后分类讨论，化简绝对值求解； （3）总运输成本为，然后分类讨论，化简绝对值求解． 【详解】解：（1）①∵若将数轴折叠，使点与点重合， ∴线段的中点为， ， ∴点与数表示的点重合； 故答案为：； ②∵数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合， ∴N表示的数为：；M表示的数为：； （2）①由题意得，， 当时，则， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解，舍； ②点到点、、的距离之和表示为， 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和等于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； 当时，点到点、、的距离之和大于； ∴当到点、、的距离之和最小时，； （3）由题意得，总运输成本为， 当时，， 此时成本最低为（元）； 当时，， 此时成本最低为（元）； 当时，； 此时成本均大于元； 当时，， 此时成本最低为（元）， 综上：当时，成本最低且为元． 【变式3】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A 和点B 表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离． ，若 则可化简为． 若， 则可化简为， 请你利用数轴解决以下问题∶ (1)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，m满足，则m的值为 ； (2)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示2的点的右边，则 ； (3)已知点A， B， C， D在数轴上分别表示数a， b， c， d， 四个点在数轴上的位置如图所示， 若， ，， 则等于 ． (4)已知，数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q 点运动几秒钟后满足 的值最小？ 【答案】(1)， (2) (3) (4)秒 【知识点】整式加减的应用、线段的和与差、数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）由绝对值的意义可得或，再进一步求解即可； （2）由数轴上点P位于表示2的点的右边，即，再化简绝对值即可； （3）由数轴可得，再结合线段的和差关系可得答案； （4）求解当时，的值最小，最小值为，结合，每次向左移动个单位；进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或． （2）解：∵数轴上点P位于表示2的点的右边，即， ∴． （3）解：∵，， ，， ∴． （4）解：设Q点表示的数为时，的值最小， 当时， ， 当时， ， 此时， 当时， ， 此时， 当时， ， 此时， ∴当时，的值最小，最小值为， ∵数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度； ∴，则最终满足条件时，需要向左平移103个单位，由已知可得：每次向左移动个单位； ∴， ∴Q点运动次， ∴ ， ∴Q点运动秒钟满足条件． 【变式4】问题提出 (1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________． (2)问题探究 如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________． (3)问题解决 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)3； (2)3，2，7； (3)当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】（1）根据数轴的意义即可得解； （2）分四种情况分析点到三个点距离的和，通过比较确定最小值，从而求出所表示的数及运动的时间即可； （3）根据两点间的距离即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数的点到表示数的点与表示数的点的距离之和， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：根据题意，设点表示的数为， 当时，点到，，三点的距离和是：； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； ∴当时，点到，，三点的距离和最小值在范围内， 当即时，点到，，三点的距离和最小值是7，点所处位置对应的数字为2， 当时，点出发时间是：（秒）； 故答案为：3，2，7； （3）解：， 当点在或之间时，最小，为800米， 当点在或之间时，最小，为600米， 当点在或之间时，最小，为400米， 当点在或之间时，最小，为200米， 当点在位置时，最小，为0米， ∴最小距离和为：（米）， ∴当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米． 题型八：数轴动点与新定义问题 【例题8】．已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，直接写出此时点对应的数的值； (2)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”．如图，原点是点，的倍点．现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点P恰好是点，的“倍点”，请求出此时的值． 【答案】(1)或 (2)或或． 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上的动点问题，解决本题的关键是根据数轴上两点之间的距离，利用数形结合法列出方程． 根据点到点、点的距离之和为，分情况列方程求解； 把点、、表示的数用含的代数式表示出来，根据“倍点”分情况列方程求解． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，，， 点到点、点的距离之和为， ， 解得：； 当点在点、之间时，，， 可得：， 整理可得：， 故不成立； 当点在点右侧时，，， 可得：， 解得：； 综上所述，点对应的数的值为或； （2）解：运动秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ，， 点恰好是点，的“倍点”， 当时，可得：， 解得：或(不符合题意，舍去)； 当时，可得：， 解得：或； 综上所述，或或． 【变式1】．如图，在数轴上，点和点表示的数分别为和2，点为数轴上一点，定义点关于AB的特征值为． (1)当点表示的数为3时，__________； (2)若，求点表示的数； (3)M、N为数轴上两个动点，点表示的数为，点表示的数为．点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为．直接写出运动过程中的最小值以及此时的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为或 (3)的最小值为，此时 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的几何应用． （1）求出，，，进而代入计算即可； （2）求出，分两种情况作答即可； （3）由题意可知取得最大值时取得最大值，则P在线段外且位于线段上离线段较远的端点，根据取最小值，求出，进而求出此时的最大值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点和点表示的数分别为和2， ∴， ∵点表示的数为3， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设点表示的数为x， 当P在A左侧时，，解得：； 当P在B右侧时，，解得：； ∴点表示的数为或； （3）解：点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为， ∵恒定， ∴取得最大值时取得最大值， ∵， ∴此时P在线段外且位于线段上离线段较远的端点． ∵取最小值， ∴当， 即， 解得：， 此时的最大值， ∴最小值． 【变式2】．对于数轴上的三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如数轴上点所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，其中是点的“联盟点”的是_________； (2)若点分别表示数1、6，点M在点F的左侧，且点M是点的“联盟点”，求点M此时表示的数； (3)若点分别表示数、5，线段沿数轴负方向移动，速度为每秒3个单位长度，同时点A从沿数轴正方向移动，速度为每秒1个单位长度，设移动的时间为秒，当点A是点的“联盟点”时，求t的值． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、有理数的减法等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）利用数轴的性质分别求出，，，，，，，的值，再根据“联盟点”的定义即可得； （2）设点表示的数为，分两种情况：①当点在点的左侧，点的右侧时，②当点在点的左侧时，分别求出，再根据“联盟点”的定义建立方程，解方程即可得； （3）先求出移动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再分两种情况：①当点在点的左侧时，②当点在点的右侧时，分别求出，再根据“联盟点”的定义建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，，，，，，，， ∵25与21、2与2、6与2均不满足2倍的数量关系，， ∴点是点的“联盟点”， 故答案为：． （2）解：设点表示的数为， ①当点在点的左侧，点的右侧时，则， ∵点是点、的“联盟点”， ∴或， 解得或， ∴此时点表示的数为或； ②当点在点的左侧时，则， ∵点是点、的“联盟点”， ∴， 解得， ∴此时点表示的数为； 综上，此时点表示的数为或或． （3）解：由题意得：移动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当点在点的左侧时， 则，， ∵点是点、的“联盟点”， ∴或， 解得或； ②当点在点的右侧时， 则，， ∵点是点、的“联盟点”， ∴ ， 解得； 综上，的值为或或． 【变式3】．【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点． 【特例感知】 （1）如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点． ①【B，A】的幸运点表示的数是______； A．    B．0    C．1    D．2 ②试说明A是【C，E】的幸运点． （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． ①【M，N】的幸运点表示的整数为______； ②若数轴上存在一点Q，点N是【M，Q】的幸运点，点Q所表示的数为______． 【拓展应用】 （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．直接写出当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？ 【答案】（1）①B；②见解析；（2）①7；②6或2；（3）5或15或或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查一元一次方程的应用；能够理解题意，将所求问题转化为数轴与绝对值、数轴与一次方程的关系是解题的关键． （1）①由题意可知，点0到是到点距离的3倍；②由数轴可知，，，可得； （2）设【，】的幸运点为，表示的数为，由题意可得，求解即可；设点Q表示的数为q，由题意可得，求解即可； （3）由题意可得，，，分四种情况讨论：①当是【，】的幸运点时，②当是【，】的幸运点时，③当是【，】的幸运点时，，④当是【，】的幸运点时，． 【详解】（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍， 即，， 故答案为：B； ②由数轴可知，，， ， 是【C，E】的幸运点； （2）①设【M，N】的幸运点为P，P表示的数为p， ， ， 或， 或， 幸运点表示的数为整数， 故答案为：7； ②设点Q表示的数为q， 点N是【M，Q】的幸运点， ， 或， 或2， 故答案为：6或2； （3）由题意可得，，，， ①当P是【A，B】的幸运点时，， ， ； ②当P是【B，A】的幸运点时，， ， ； ③当A是【B，P】的幸运点时，， ， ； ④当B是【A，P】的幸运点时，， ， ； 为5或15或或时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点． 【变式4】．【阅读理解】：定义：对于数轴上不同的三个点P，Q，M，若满足，则称点M是点P关于点Q的“m倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点O是点关于点的“3倍特征点”，原点O也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】：在数轴上，已知点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足． （1）填空：若在线段AB上的点C表示的数是c，且点C是点A关于点B的“4倍特征点”，则 ； ， ； （2）在数轴上取两点D，E，点E在点D的右侧，且． ①若，且点B是点D关于点E的“m倍特征点”，求m的值； ②若点D与点A重合，现将线段DE从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点E运动到点B时运动停止．设运动时间为t秒，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求t的值． 【答案】（1）；4；2； （2）①或；②或或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、绝对值非负性、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了新定义，数轴，一元一次方程的应用，解题关键在于了解“m倍特征点”的定义． （1）由条件根据非负数的性质，可知，，再根据“4倍特征点”的定义求出； （2）①由，则D可能表示或，再根据列出方程计算m的值． ②用时间t表示出动点D．E．再由条件需6种情形分类讨论，从而求出t的值． 【详解】（1）∵． ∴，． 解得：，， ∵点C是点A关于点B的“4倍特征点”． ∴； （2）①∵． ∴D表示的数为或． ∵点B是点D关于点E的“m倍特征点”． ∴． ∵， 当D表示时， ∴E表示． ∴，解得：． 当D表示， ∴E表示． ∴，解得：； ②由题意可知D表示，E表示，． 若A是D关于E的“ 倍特征点”， ∴，即， ∴． 若A是E关于D的“ 倍特征点”． ∴，与题意不符，此情况不存在． 若D是A关于E的“ 倍特征点”． ∴，即， ∴． 若D是E关于A的“倍特征点”． ∴，即． ∴． ∵，故舍去． 若E是A关于D的“ 倍特征点”． ∴，与题意不符，此情况不存在． 若E是D关于A的“ 倍特征点”． ∴，即． ∴． 综上所述，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，t的值为或或． 【突破三：基础运用突破】 1．已知且a、b分别是点A、B在数轴上对应的数．若动点P、Q同时分别从点A、B出发在数轴上运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度． (1)直接写出a、b的值并在数轴上标注点A、B； (2)若点P沿数轴向正方向匀速运动、点Q沿数轴向负方向匀速运动，求P、Q相遇时在数轴上对应的数是多少？ (3)若点P、Q均沿数轴向正方向匀速运动，M为中点，N为中点，求运动几秒后，点M和点N相距3个单位长度？ 【答案】(1)，；图见解析 (2)、相遇时在数轴上对应的数是1 (3)运动5秒或11秒后，点和点相距3个单位长度 【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据非负数的性质求解即可，并在数轴表示出来； （2）设运动时间为秒，则点表示的数为：，点表示的数为：，再根据题意列方程求解即可； （3）设运动时间为秒，则点表示的数为：，点表示的数为：，根据题意可得点表示的数为：，点表示的数为：，再根据点和点相距3个单位长度，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点A、B在数轴上表示如下： （2）解：设运动时间为秒， 则点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意得， 解得：， ， 答：、相遇时在数轴上对应的数是1； （3）解：设运动时间为秒，则点表示的数为：，点表示的数为：， 点表示的数为：，点表示的数为：． 点和点相距3个单位长度， ， 解得：或， 答：运动5秒或11秒后，点和点相距3个单位长度． 2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①、两点间的距离_______，线段的中点表示的数为_______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为_______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①,；②， (2)或 (3)不发生变化，线段的长为 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、列代数式、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，用含的代数式表示出点运动后表示的数是解题的关键． （1）①利用数轴上两点间的距离公式和线段的中点公式，即可求值；②根据点，的出发点、运动方向、运动速度及运动时间，即可用含的代数式得出点，表示的数； （2）先根据两点间的距离公式得出，进一步得，即可求出的值； （3）根据题意，先将点，点表示的数用含的代数式表示，再根据两点间的距离公式得出线段的长即可． 【详解】（1）解：①由题意得， ， 线段的中点表示的数为：． 故答案为：,； ②由题意得，秒后，点表示的数为：， 点表示的数为：． 故答案为：，． （2）解：秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， ． 又， ， 解得，或． 即当或时，． （3）解：不发生变化． 点为的中点，点为的中点， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ． 答：线段的长度不发生变化，线段的长为． 3．阅读：如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，8．A到C的距离可以用表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数，8大于，用．用式子表示为：． 根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； (3)现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P，Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)不变，理由见解析 (3)当时，；当时，；当时， 【知识点】整式的加减运算、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了列代数式，数轴上两点间距离，整式的加减的应用，掌握数轴上两点间距离公式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边，根据数轴上两点间距离公式分别列出代数式即可； 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：不变，理由如下： ∵经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， 点C在点B的右边，点A在点B的左边， ∴，， ∴， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得， 当时，点在点处， ； 当时，点在点的右边， ； 当时，点在点的右边， ； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 4．【问题背景】 如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上数x到原点的距离为3，且x在原点左边，则x的值为 ； 【探索求知】 （2）若数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，求a表示的数； 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是－4，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发都沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，则运动几秒时，点P与点Q之间的距离PQ为1？（请写出求解过程） 【答案】（1） （2）或9 （3）或秒 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由数轴上数x到原点的距离为3，可列出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之可得出x的值，再结合x在原点左边，即可确定x的值； （2）根据数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，可列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由点A，B之间的距离结合点A表示的数，可找出点B表示的数，当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）根据题意得：， 解得：或， 又∵x在原点左边， ∴x的值为． 故答案为：； （2）根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：a表示的数为或9； （3）∵点A表示的数是，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧， ∴点B表示的数是， 当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：运动或秒时． 5．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且． (1) ， ， ； (2)若点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动．点P与点Q同时出发，经过多少秒后，点P与点Q距离为2； (3)在（2）的条件下，当点P与点Q相遇后，两点都立即掉头，速度不变，此时点N开始从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，当时，P、Q、N停止运动，请直接写出点P从A点出发到停止运动所用的总时长． 【答案】(1)，2，8； (2)4秒或秒； (3)． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、绝对值非负性 【分析】本题考查非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用： （1）根据非负性，进行求解即可； （2）求出点表示的数，利用两点间的距离列出方程进行求解即可； （3）求出相遇时点表示的数和所用时间，设从相遇开始，经过秒，，列出方程求出的值，进而求出总时间即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴； 故答案为：，2，8； （2）设运动t秒，则点表示的数为，点表示的数为， 当点P与点Q距离为2时，， 解得或； （3）由（2）可知，当相遇时，， 解得， 此时表示的数为， 设从相遇开始，经过秒，，此时点表示的数为，点表示，点表示的数为， 当第一次达到时，P、Q、N停止运动，此时点在点的右侧， ∴，， ∴，解得， ∴点P从A点出发到停止运动所用的总时长为． 6．综合与探究：数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离表示为，线段的中点表示的数为． 问题提出： (1)填空：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为5，两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)深入研究：若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒．求当为何值时，两点相遇？ (3)拓展探究：在（2）条件下，若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，当______时，线段的长度为5． 【答案】(1)8； (2) (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，数轴上两点中点计算公式，一元一次方程的应用，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键． （1）根据题目所给公式计算求解即可； （2）用含t的式子表示出运动t秒后点P和点Q表示的数，再根据两点相遇时，点P和点Q表示的数相同建立方程求解即可； （3）根据（2）所求利用两点中点计算公式表示出点M和点N表示的数，进而根据两点距离计算公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为5， ∴两点间的距离，线段的中点表示的数为； （2）解：运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 由题意得， 解得， ∴当时，两点相遇； （3）解：运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点为的中点，点为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∵线段的长度为5， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 7．【知识背景】如图，数轴上两点表示的数分别为，则两点的距离为，线段的中点表示的数为． 【知识运用】已知数轴上、两点对应的数分别为和，且．点为数轴上的一个动点． (1)填空：______，______，______． (2)若点点同时向左运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，求运动时间为多少秒时，点可以追上点？此时点所表示的数是多少？ (3)若点点同时向左运动，它们的速度都为个单位长度/秒，与此同时，点从数轴上表示的点处出发，以个单位长度/秒的速度向右运动．则经过多长时间后，点是点和点的中点？ 【答案】(1)，， (2)运动秒后，点可以追上点，此时点所表示的数是 (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】（）根据非负数的性质求出的值，进而根据两点间距离公式可求出； （）设运动时间为秒时，点可以追上点，根据题意列出方程求出的值，进而可求出点所表示的数； （）设经过秒后，点恰好是点和点的中点，则点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为，根据中点坐标公式列出方程即可求解； 本题考查了非负数的性质，两点间距离，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点表示的数分别为， ∴， 故答案为：，，； （2）解：设运动时间为秒时，点可以追上点， 由题意得，， 解得 ∵，， ∴此时点所表示的数为， 答：运动秒后，点可以追上点，此时点所表示的数是； （3）解：设经过秒后，点恰好是点和点的中点， 由题意得，此时，点所对应的数为，点所对应的数为，点所对应的数为， 则， 解得， 答：经过秒后，点是点和点的中点． 8．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，5 (2)①②当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式加减的应用、用数轴上的点表示有理数、绝对值非负性 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； ②根据题意得R表示的数是，故，当时，，可得时，为定值59；当时，，故时，为定值． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：，5； （2）①t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是； 故答案为：； ②存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值，理由如下： 根据题意得R表示的数是， ∴， ∴， 当时，， ∴时，为定值59； 当时，， ∴时，为定值； 综上所述，当时，的值为定值，这个定值是59或时，的值为． 9．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，满足．动点P从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．        (1)写出数轴上点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 　； (2)若点P从A点出发向左运动，点Q为的中点，在点P到达点B之前，求证为定值； (3)现有动点M，若点M从点B以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点P出发，当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，求：当时，则P点运动时间t的值为 　 　． 【答案】(1)16； (2)见解析 (3)秒或秒或秒或16秒 【知识点】绝对值非负性、行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】（1）解：由绝对值的非负性可求得，，故点A表示的数是16，点B表示的数是； （2）用参数的代数式表示线段，，，，，代入代简即可得证结论； （3）根据两动点的运动方向及速度，分4种情况讨论：点P在原点O的右侧，点M在原点O的左侧时；点P在原点O的右侧，点M在原点O的右侧；点P运动至原点左侧，点M在原点O的右侧；点P运动至原点左侧，当点M在原点O的左侧；根据分别建立方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴点A表示的数是16，点B表示的数是． 故答案为：16；-12． （2）证明：∵点A表示的数是16，点B表示的数是， ∴，，， ∵动点P从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为t秒， ∴，， ∵点Q为AP的中点， ∴， ∴， 在点P到达点B之前，即0＜t＜7时， ， ∴为定值． （3）∵点M从点B以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点P出发，运动时间为t秒， ∴，， 当点M在原点O的左侧时， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 当点M在原点O的右侧，点P在原点O的右侧时， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 当点P到达原点O时，运动时间为， 这时点M在原点O的右侧，， 当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒， ①当点M在原点O的右侧， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴(秒)， ②当点M在原点O的左侧， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴ (秒)， 综上所述，当时，则P点运动时间t的值为秒或秒或秒或16秒． 故答案为：秒或秒或秒或16秒． 【点睛】本题考查数轴表示点，绝对值的非负性，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用——行程问题；用代数式表示线段建立方程是解题的关键． 10．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【答案】(1)点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； (2)对应的数为：4； (3)当为2或5或8或，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）由分别在上的运动时间之和可得答案； （2）先判断相遇点在上，再列式计算即可； （3）分情况讨论：当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，当时，在上，在上，再利用、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A运动至C点需要的时间 （秒） 答：点P从点A运动至C点需要的时间是18秒； （2）解：当时，重合，而的运动路程为， ∴此时在上，即相遇点在上， ∴相遇时间为， ∴对应的数为：； （3）解：当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 此时方程无解， 当时，在上，在上， ∵、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． ∴， 解得：， 综上：当为2或5或8或，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【突破四：能力提升突破】 1．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【知识点】绝对值方程、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类谈论求出四种情况下的时间即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，，点P对应的数为， 根据题意可得， ∵， ∴， 解得：或 ∴的值为或． （3）解：由上可知，， 当点在，点在上运动时，，， ∴当时，即， 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 当点、两点都在上运动时，，， ∴当时，即 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 综上，当时，运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合思想，分类讨论的方法． 2．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“二分点”．特别地，当两个点重合时，我们规定：它们之间的距离为0． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以点B是点A，点C的“二分点”． (1)若点A表示的数为，点B表示的数为4． ①下列各数，0，2所对应的点分别为，，，则在点为，，中，是点A，点B的“二分点”的是 ； ②若点M为数轴上一动点，且点B是点A，点M的“二分点”，请直接写出点M所表示的数； (2)数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为20．一只电子蚂蚁P从点A出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向右运动，到达点B后立刻返回，速度变为原来的倍．另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以6个单位每秒的速度沿数轴向左运动，与电子蚂蚁P第一次相遇后，速度变为原来的一半．若两只电子蚂蚁同时出发，设运动时间为秒，求当t为何值时， A、P、Q三个点中恰有一个点为其余两点的“二分点”？（写出解题过程） 【答案】(1)①，②或； (2)或或或或或或或， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查的是新定义的含义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）①先分别计算，，与之间的距离，再结合新定义判断即可；②设点表示的数为，当点B是点A，点M的“二分点”，时，，可得点时的中点，或重合；再建立方程求解即可； （2）分情况画出图形，结合速度分别表示运动过程中对应的数，再结合图形与新定义的含义再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①解：，， ∴， 不是点A，B的“二分点”； ， 是点A，B的“二分点”； 不是点A，B的“二分点”； ∴是点A，B的“二分点”的是， ②设点表示的数为， 当点B是点A，点M的“二分点”，时，， ∴点时的中点，或重合； 当点时的中点， ， 解得：， 当重合；则， ∴对应的数为：或； （2）解：由题意可得：对应的数为：，对应的数为：， 如图， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，则为的“二分点”， ∴， 解得：， 如图，两点相遇之后，此时的速度变为原来的一半， 相遇时，对应的数为：， ∴此时对应的数为：， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，是的“二分点”， ∴， 解得：，经检验符合题意； 当与重合时， ∴，解得：， 此时以每秒个单位返回，如图， 此时对应的数为：，对应的数为：， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，则是的“二分点”， ∴， 解得：， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，则是的“二分点”， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） 当时，点与点重合， 此时，则点是的“二分点”， 综上：或或或或或或或， 3．如图，在数轴上有两个长方形和，长方形的长是6个单位长度，宽是4个单位长度，长方形的长是10个单位长度，宽是3个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为14． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________，点A在数轴上表示的数是________． (2)若点P在线段上，且点P到点D与到点E的距离和为20，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向左匀速运动，设两个长方形重叠部分的面积为S． ①整个运动过程中，S首次达到最大值时，D点所表示的数是_______． ②当时，求此时D点所表示的数． 【答案】(1)6， (2) (3)①；②或 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由题意得出点H在右面10个单位长度处，点Aa在左面20个单位长度处，即可解答； （2）设点P表示的数是，根据点P在线段上，分别用表示出，，再根据，列出方程求解即可； （3）①根据S首次达到最大值时，点A与点E重合，列出关于t的方程求解即可； ②由题意可求出两个长方形重叠部分的长为个单位长度，分类讨论：①当长方形与长方形重合之前，时和②当长方形与长方形重合之后，时，分别画出图形，列出关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：因为点E在数轴上表示的数是，是10个单位长度， 所以点H在数轴上表示的数是； 因为是6个单位长度，E，D两点之间的距离为14， 所以点A在数轴上表示的数是； （2）解：因为是6个单位长度，点A在数轴上表示的数是， 所以点D在数轴上表示的数是． 设点P表示的数是， 因为点P在线段上， 所以，． 因为点P到点D与到点E的距离和为20， 所以， 解得：， 所以点P表示的数是； （3）解：①S首次达到最大值时，即点A与点E重合时，如图， 由题意可知未移动之前． 移动的距离为，E移动的距离为， 所以， 解得：， 所以移动的距离为， 所以此时，即点A与点E重合时所表示的数为：， 所以此时D点所表示的数是； ②由题意可知两个长方形重叠部分的宽为3个单位长度，且， 所以两个长方形重叠部分的长为个单位长度． 分类讨论：①当长方形与长方形重合之前，时，如图， 所以此时D点所表示的数是，E点所表示的数是， 所以， 解得：， 所以此时D点所表示的数是； ②当长方形与长方形重合之后，时，如图， 所以此时A点所表示的数是，H点所表示的数是， 所以， 解得：， 所以此时A点所表示的数是， 所以此时D点所表示的数是． 综上可知此时D点所表示的数为或． 4．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”，例如，如图1，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”．若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为．    (1) ， ，点，点之间的距离是 ，的最小值是 ； (2)若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从点处以2个单位秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，则 ． 【答案】(1)，，，6 (2)2或0或10 (3)，，， 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用， （1）根据非负数的性质可求出m、n的值，点，点之间的距离即为，表示点到点和点的距离之和，当点在点和点之间时，可得最小值； （2）根据点P所处的位置分情况讨论，由不同的线段的倍数关系求出答案即可； （3）当点是点，点的“联盟点”时，则，，再分情况讨论，先分别表示点和点表示的数，再求出，，最后列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，满足， ∴，， 解得：，， 点，点之间的距离为， 表示点到点和点的距离之和，当点在点和点之间时，有最小值为线段的长，即6， 故答案为：，4，6，6； （2）解：∵点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”， ∴分以下三种情况： 当点在点和点之间时， 若时，则，解得：； 若时，则，解得：； 当点在点的右侧时，则，即，解得：， ∴点在数轴上对应的数为2或0或10； （3）解：当相遇时，秒，此时运动路程， 当到达点时，秒， 点立刻原速返回，且到达点后停止运动时，秒， 当点是点，点的“联盟点”时，则，， 当时，即与相遇之前，点表示的数为，点表示的数为，则，， 各点位置如图：    若时，则，解得：，不合题意； 若时，则，解得：，符合题意； 当时，两点相遇之后，到达点之前， 此时，点立刻原速返回，点表示的数为，点表示的数为，则，， 各点位置如图：    若时，则，解得：，符合题意； 若时，则，解得：，符合题意； 当时，两点相遇之后，到达点之后，点停止之前， 此时，点表示的数为，点表示的数为，则，，， 各点位置如图：    ∴时，则，解得：，符合题意； 当时，到达点之后，点停止，此时点与点是同一个点，，不存在两倍关系， 综上所述，或或或． 故答案为：，，，． 5．如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分． (3)当点C在线段上，且时，求t的值． (4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 【答案】(1)， (2)5，． (3)t的值为或； (4)6或时，． 【知识点】列代数式、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据数轴上点运动时表示的数：右加左减的原则即可表示； （2）线段与线段开始有重叠部分时，此时点B与点C重合，此时这两点坐标相等，由（1）中结论得到关于t的一元一次方程，解方程即可；当点A与点D重合后，两线段不再有重叠部分，也可得关于t的一元一次方程，解方程即可； （3）分两种情况：点C在线段上，点D在点B的右侧；点C在线段上，点D在点B的左侧；由建立方程求解即可； （4）分两种情况：点C在线段上，此时点D与点B重合，易求得；点C在点A左侧，列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：B点表示的数为：， ，且点表示的数为14，则C点表示的数为， 所以点C表示的数为：； 故答案为：；； （2）解：当点B与点C重合时， 由题意得：， 解得：； 即从5秒开始，两线段开始有重叠部分； 当点A与点D重合时，点D表示的数为，点A表示的数为， 由题意得：， 解得：； 即秒后，两线段不再有重叠部分； 故答案为：5；； （3）解：点A、B、C、D四点表示的数分别为； 当点C在线段上，点D在点B的右侧； ，， ∵， ∴， 解得：； 当点C在线段上，点D在点B的左侧； ， ∵， ∴， 解得：； 综上，当点C在线段上，且时，t的值为或； （4）解：当点C在线段上时， ∵， ∴； ∵， ∴两点重合； 由（2）知，当时，B、C重合， 当两点重合时，点D表示的数为：， 由于5秒后到点B与点D相遇，运动速度为原来的2倍， 则有， 解得：； 当点C在点A左侧时， 当C运动6秒时，点C表示的数为，继续运动后C表示的数为：， 则， 解得：； 综上，当t的值为6或时，． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026七年级上学期期末专题复习——16大重点专题突破系列 专题05：突破数轴上的动点问题（苏科版） 目录 【课标要求+题型预测】 1 【突破一：考点知识突破】 1 【突破二：重点题型突破】 3 题型一：单动点问题 3 题型二：双动点——追及问题 5 题型三：双动点——相遇问题 7 题型四：含参数的定值问题 9 题型五：折线数轴问题 14 题型六：往返运动问题 18 题型七：数轴动点与最值问题 21 题型八：数轴动点与新定义问题 26 【突破三：基础运用突破】 30 【突破四：能力提升突破】 36 【课标要求+题型预测】 1．会用代数式表示数轴上运动的点对应的数，会用代数式表示数轴上两个点之间的距离；【解答题】 2. 能借助整式、一元一次方程相关知识解决数轴上单动点问题、双动点问题、相遇问题、追及问题、定值问题等。【解答题】 【突破一：考点知识突破】 考点1：数轴上动点表示的数计算方法（重要基础公式，要理解并牢记！！！） 数轴上的动点对应的数表示方法：数轴上的动点起始位置对应的数为, 以速度沿着数轴匀速向右（向左）运动，运动时间为，则运动后的点对应的数： 点对应的数 考点2：数轴上两点间的距离计算方法（重要基础公式，要理解并牢记！！！） 数轴上两个点A,B表示的数分别为: 1.若A,B两点是静止的, 且A在B的左侧，即，则A,B两点间的距离AB=(很好记：大数-小数) 2.若A,B两点是静止的, 且A在B的右侧，即，则A,B两点间的距离AB=(很好记：大数-小数) 3.若A,B两点是运动的,因为A,B的位置不能确定谁在左，谁在右，则A,B两点间的距离AB处理方法有二： 方法一：利用绝对值表示 方法二：分情况讨论 考点3：中点公式（重要基础公式，要理解并牢记！！！） 数轴上两个点A,B表示的数分别为，则AB的中点对应的数为 考点4：数轴动点问题的通用解题技巧和步骤（要理解并牢记！！！） 1.审题要审什么？（找五要素） （1）找动点运动的起始点； （这个通常都会在前1,2问解决或已知） （2）找动点运动的方向；（这个通常都会在题干中告诉，重点关注有无往返情况） （3）找动点运动的速度：（这个通常都会在题干中告诉或未知，也就是要求的）； （4）找动点运动的时间：（这个通常都是未知的，一般用字母t表示，也就是要求的）； （5）找动点运动的距离：（这个通常都会用含有时间t的整式表示，便于下面使用）. 2. 解决数轴动点问题的有什么解题技巧和策略吗？ （1）拿到题目，读懂题意，审题后，首先写出数轴上所有未知的点对应的数，将已知的点标在数轴上,未知的点用含有时间t的代数式表示出来； （2）表示出与题目相关的所有线段长或两点间的距离； （3）找出题目中所给的或隐含的等量关系，列方程求解； （4）最后要检验所求结果是否符合题意。 【突破二：重点题型突破】 题型一：单动点问题 【例题1】．一个动点在数轴上移动时，这个点所表示的数也会发生变化．如果点从原点开始，先向右移动3个单位长度得到点，再向右移动2个单位长度得到点，然后向左移动6个单位长度得到点，最后回到原点． (1)在数轴上表示出点的位置； (2)点与原点之间的距离是__________个单位长度； (3)点一共移动了多少个单位长度？ 【变式1】．如图所示，在数轴上点表示的数是，点位于点的左侧，与点的距离是个单位长度． (1)点表示的数是_______． (2)动点从点出发，沿着数轴的正方向以每秒个单位长度的速度运动．设运动时间为秒． ①点所表示的数为________；（用含的代数式表示） ②当_____秒时，点与点相距个单位长度． 【变式2】．数轴上的定点表示的数分别是，且满足． (1)___________，___________；，间的距离为___________； (2)数轴上一点距点7个单位长度，其表示的数满足． ①求点之间的距离； ②当数轴上的点到点的距离是点到点的距离的2倍时，求点表示的数； ③沿数轴移动点，要使得，，其中一点到另外两点的距离相等，直接写出点所有的移动方法（写出方向和距离）． 【变式3】．已知数轴上两点A、B对应的数分别为、5，点P为数轴上一动点 ； (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)若点P到点A的距离为6，求点P对应的数； (3)若点P到点A、点B的距离之和为10，请求出点P对应的数． 【变式4】．如图．点在数轴上对应的数为、4．点是数轴上的一个动点、 (1)当为中点时，求所对应的数； (2)当时，求所对应的数； (3)如果点以每秒2个单位长度的速度从数轴原点出发向右运动，设秒时，求出t的值． 题型二：双动点——追及问题 【例题2】．已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求： ①当点P追上点Q时，点P所表示的数是多少？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【变式1】．已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【变式2】．已知a是最大的负整数，b是的相反数，，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ (3)在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 【变式3】．如果点M、N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为或或．利用数形结合思想解决下列问题： 已知数轴上点A与点B的距离为16个单位长度，点A在原点的左侧，到原点的距离为26个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒． (1)点表示的数为___________，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)用含的代数式表示到点和点的距离：___________，___________． (3)当点运动到点时，点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动．在点向点运动过程中，能否追上点？若能，请求出点运动几秒追上． 【变式4】．如图，数轴上，两点对应的有理数分别为和，（规定：数轴上两点之间的距离用两个大写字母表示．例如：点与点之间的距离记为），点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点同时从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒． (1)当时，数轴上的点表示的数分别是 和 ； (2)当点运动到点时，求的值； (3)若点一直沿数轴负方向运动，点运动到点时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，问点运动多少秒时追上点？此时点和点表示的数是多少？ 题型三：双动点——相遇问题 【例题3】．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为7，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动． 设运动时间为t秒（）． 【综合运用】 (1)A、B两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______． (3)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【变式1】．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． (1) ， ， ． (2)动点、同时从原点出发，点向负半轴运动，点向正半轴运动，点的速度是点速度的3倍，2秒钟后，点到达点． ①点的速度是每秒 个单位，此时，点与之间的距离为 ； ②若运动时间为秒，用含的代数式表示点表示的数为 ； ③点到达点后，改变方向，按原速度向负半轴方向运动，再经过几秒，点与点能相遇？ 【变式2】．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒． (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 【变式3】．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在右侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． (1)求数轴上点表示的数，并直接写出点表示的数（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，若点、同时出发．求： ①若点沿数轴向左匀速运动，当点与点相遇时，此时点表示的数； ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为6个单位长度？ 【变式4】．如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为．满足，机器人M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，1秒后，机器人N从点B出发， 以每秒2个单位长度的速度向左运动．根据机器人程序设定，机器人M遇到机器人N后立即降速，以原速的一半返回点A处，机器人M到达点A立即停止，在机器人M返回点A的同时，机器人N以原速返回向点B方向运动．设机器人M运动时间为秒． (1)点A与点B之间的距离是 ； (2)求两个机器人M、N相遇的时间及相遇点P所表示的数； (3)两个机器人在相遇点P返回后，是否存在某一时刻，使得机器人M到点A的距离与机器人N到点B的距离之和为10？若存在，求出此时的值及机器人N所在位置表示的数；若不存在，请说明理由． 题型四：含参数的定值问题 【例题4】．如图，在数轴上点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且，满足． (1)______；______； (2)动点，分别从点，点同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度． ①运动几秒时，点与点距离个单位长度； ②动点，分别从点，点出发的同时，动点也从原点出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒个单位长度．记点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，点与点之间的距离为，设运动时间为秒，请问，是否存在的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此值和这个定值． 【变式1】．如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B数轴上位于A点左侧一点，且．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数____（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，且点P，Q同时出发． 问点P运动多少秒时，？ 若M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值在某一个时间段t内为定值．求出这个定值，并直接写出在哪一个时间段内． 【变式2】．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足，表示点A与点B之间的距离． (1)求a，b的值； (2)动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点A，B在数轴上运动，点A，B的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒． ①点P表示的数为_______； ②若点A向右运动，点B向左运动，，求t的值； ③若点A向左运动，点B向右运动，问是否存在常数m，使得的值为定值？若存在，求出m的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 【变式3】．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ； (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ； (3)如图3，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【变式4】．【问题背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，若已知，则．如图，已知数轴上有A、B、C三个点，它们表示的数分别是，A到C的距离可以用表示，计算方法：或． （1）填空：_______，_______． 【构建联系】（2）现有动点P从B点出发，以每秒1个单位长度的速度向右移动，同时点Q从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒． ①填空：运动过程中点P表示的数是_______，点Q表示的数是_______；（用含t的代数式表示） ②求运动多少秒时，P、Q两点间的距离？ 【深入探究】（3）若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点D从原点开始以每秒m个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中，点D始终在A、C两点之间的线段上，且的值始终是一个定值，求D点运动的方向及m的值． 题型五：折线数轴问题 【例题5】．数轴上点表示，点表示，点表示，点表示如图，将数轴在原点和点、处各折一下，得到一条“折线数轴”在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点和点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度． 动点从点出发，以个单位秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，过点后继续以原来的速度向终点运动；点从点出发的同时，点从点出发，一直以个单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为秒． (1)当秒时，、两点在折线数轴上的和谐距离为______； (2)当点、都运动到折线段上时， 、两点间的和谐距离______用含有的代数式表示； C、两点间的和谐距离______用含有的代数式表示； ______时，、两点相遇； (3)当______时，、两点在折线数轴上的和谐距离为个单位长度； 当______时，、两点在折线数轴上的和谐距离与、两点在折线数轴上的和谐距离相等． 【变式1】．有理数a、b、c在数轴上所对应的点分别为A、B、C，其中点A在原点的左边，与原点的距离为10个单位长度，且a、b、c满足． (1)则 ， ， ． (2)在数轴上A、B两点之间的距离，B、C两点之间的距离，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”、我们称A，C两点在折线数轴上的路程为三段的和、动点P从点A出发，以2个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度每秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒． ①当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ②当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度； ③当时，点P和点Q在折线数轴上相距 个单位长度． 【变式2】．数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，点A、O、B、C、D、E为数轴上的点，为原点，表示的数是为线段的中点，表示的数是12，D表示的数是18，将点向右移动4个单位长度得点．如图2，我们将数轴在点、点、点和点处均可折一次，可折后处于水平位置．线段与处均产生了一个坡度，且坡度的倾斜程度相同，我们称这样的数轴为“弯折数轴”．其中为“弯折数轴”原点．在“弯折数轴”上，每个点对应的数就是把“弯折数轴”拉直后对应的数，两点间的距离就是把“弯折数轴”拉直后两点间的距离． 动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“弯折数轴”向右运动，同时，动点从点出发以相同速度沿着“弯折数轴”向左运动，当点运动到点后立即掉头返回向右运动（掉头时间不计），两个点上坡时的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，水平位置保持初始速度不变．当点运动到点时，两个点同时停止运动．设运动时间为秒．问： (1)点从点运动到点用时__________秒； (2)在运动过程中，当为何值时点与点在点处相遇？并求出点在数轴上对应的数； (3)在点从点O运动到点C的过程中，是否存在某一时刻，使得M、B两点的距离等于N、C两点距离？若存在，请求出所有的值，并把求的过程写出来；若不存在，请说明理由． 【变式3】．如图，已知数轴上点与点相距个单位长度，点在原点的右侧，到原点的距离为个单位长度，点在点的左侧，点表示的数与点表示的数互为相反数． (1)点表示的数为__________，点表示的数为__________，点表示的数为__________． (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左移动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当点到达点后，运动停止．设移动时间为秒，在点运动过程中， ①请求出点运动几秒后与点相遇？ ②两点之间的距离能否为个单位？如果能，请求出此时点表示的数；如果不能，请说明理由． (3)点在数轴上，，将图的数轴在点处各折一下，得到图的“折线数轴”，点从点出发沿着“折线数轴”运动至点，同时点从点出发沿着“折线数轴”向点运动，点的初始速度分别是个单位长度秒和个单位长度秒，点运动到折线时速度才会发生变化，“上坡”时速度为初始速度一半，“下坡”时速度为初始速度倍，离开折线后速度恢复为初始速度．当点和点相遇时，直接写出此时点表示的数． 【变式4】．数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题．如图将一条数轴在原点，点，点，点处各折一下，得到一条“坡面数轴”．图中点表示，点表示4，点表示8，点表示12，点表示14，我们称点和点在数轴上相距18个长度单位．动点从点出发，以4单位/秒的速度沿着“坡面数轴”的正方向运动，同时，动点从点出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变，当点运动至点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒，问： (1)动点从点运动至点需要________秒，此时点所对应的数是________； (2)，两点在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，两点在数轴上相距的长度是，两点在数轴上相距长度的2倍． 题型六：往返运动问题 【例题6】．如图，在数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a，b，c，且a，b，c满足式子；如图：动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点P运动5秒后，长度为6个单位的线段（M为线段左端点且与点B重合，N为线段右端点）从B点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点N到达点C后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点M到达点B后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点P运动时间为t秒． (1)求a，b，c的值； (2)当　 　秒时，点P与点C重合，并求出此时线段上点N所表示的数； (3)记线段的中点为Q，在运动过程中，当点P与点Q的距离为1个单位时，求t的值． 【变式1】．“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返一次；将这条直线看成数轴，起点记为M，折返点记为N，主席台记为点O，两位同学分别记为点P，Q；若动点P、Q从M点同时出发向N点运动，到达N点后折返到M点； 已知：数轴上点M、N对应的数分别为m、n，且满足． (1)直接写出m、n的值； (2)设点P在数轴上对应的数为x，那么当x为多少时能使得？ (3)已知点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，当动点P到达点N后，点Q开始改变速度，以a个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，P、Q两点相距2个单位长度，求a的值． 【变式2】．已知数轴上点对应的数为，点对应的数为，且满足． (1)求、的值． (2)点，分别从点，同时出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，点以每秒个单位长度的速度向右移动；点从点出发，与点，同时开始移动，在之间以每秒个单位长度的速度往返移动．设移动时间为秒． ①用含的代数式表示点对应的数为，点对应的数为． ②当点，相遇时，求点移动的总距离． ③当时，判断是否等于，并说明理由． 【变式3】．已知数轴上两点表示的数分别为，且满足． (1)直接写出_______，_______； (2)若点表示的数为，点分别从两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度秒，设两点运动时间为秒： ①当点在之间，且时，求出此时的值； ②当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点M运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，两点相遇时的值． 【变式4】．已知数轴上，三点表示的数分别为、、，点，分别从，两处同时出发相向匀速运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，设两点运动时间为 秒： (1)当秒时，线段 ， (2)当点在，之间，线段 ， （用含字母的代数式表示）．若，求出此时的值； (3)当点运动到点时，立刻以原来的速度返回，到达点后停止运动；当点运动到点时，立刻以原来速度返回，到达点后再次以相同速度返回向点运动，如此在，之间不断往返，直至点停止运动时，点也停止运动．求在此运动过程中，当，两点运动了多少秒时，它们第二次相遇． 题型七：数轴动点与最值问题 【例题7】．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离为，线段AB的中点表示的数为． 若点、、在数轴上对应的数为、、0，且，点、分别从点、出发，同时向右匀速运动，的速度为2个单位长度／秒，的速度为1个单位长度／秒，设运动的时间为秒． (1)直接写出 ， ． (2)①用含t的代数式表示：t秒后，点M表示的数为 ，点表示的数为 ． ②当，求t的值； (3)若点为线段的中点，为线段的中点，、在运动的过程中，的值会随着的改变而改变，请直接写出当t满足什么条件时，有最小值，最小值是多少？ 【变式1】提出问题：在工厂的流水线上要放置一个物料筐，那么物料筐放置在何处能让所有人到该物料筐距离之和最小呢？ 给出定义：我们把点A到线段上任意一点距离的最小值称为点A到线段的距离，记为；并规定若点在线段上时则该点到线段的距离为0． 例：如图1，线段的端点P对应的数是1，端点Q对应的数是3；． 理解应用： （1）如图2，线段的端点P对应的数是，端点Q对应的数是1；_____________，_____________，_____________． （2）如果图2中的线段长度不变，线段在数轴上左右移动；当时，点Q对应的数是_____________． 解决问题： （3）如图3，数轴上有A、B、C、D四个点，对应的数分别为、2、5；数轴上有一个长度为2个单位的线段，线段可以在数轴上左右移动；则最小值是_____________，此时点M表示的数可以取的整数有_____________（写出整数值）． 【变式2】兴化千垛景区以油菜花田闻名，有一条笔直的观光道路，可以视为数轴．在数轴上，点表示景区入口，点、、分别表示三个油菜花田的入口，其对应的数分别为、1、3（单位：千米）．三个花田的油菜籽产量（单位：千公斤）分别为：田2千公斤，田2千公斤，田3千公斤．现计划在道路上设置一个油菜籽收集站，其位置对应的数为．运输成本为每千米每千公斤1元（即每运输1千公斤油菜籽经过1千米距离，成本为1元） 根据以上信息，结合数轴知识，解决以下问题： 【问题探究】 （1）若将数轴折叠，使点与点重合． ①则点与数______表示的点重合； ②若数轴上、（其中点在点的左侧）两点之间的距离为2025，且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数． 【举一反三】 （2）点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、的距离之和为10，求的值； ②若点到点、、的距离之和最小，则______． 【问题解决】 （3）为了降低运输成本，收集站应建在何处（即为多少）才能使总运输成本最低？最低成本是多少？ 【变式3】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A 和点B 表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离． ，若 则可化简为． 若， 则可化简为， 请你利用数轴解决以下问题∶ (1)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，m满足，则m的值为 ； (2)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示2的点的右边，则 ； (3)已知点A， B， C， D在数轴上分别表示数a， b， c， d， 四个点在数轴上的位置如图所示， 若， ，， 则等于 ． (4)已知，数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q 点运动几秒钟后满足 的值最小？ 【变式4】问题提出 (1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________． (2)问题探究 如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________． (3)问题解决 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？ 题型八：数轴动点与新定义问题 【例题8】．已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，直接写出此时点对应的数的值； (2)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”．如图，原点是点，的倍点．现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点P恰好是点，的“倍点”，请求出此时的值． 【变式1】．如图，在数轴上，点和点表示的数分别为和2，点为数轴上一点，定义点关于AB的特征值为． (1)当点表示的数为3时，__________； (2)若，求点表示的数； (3)M、N为数轴上两个动点，点表示的数为，点表示的数为．点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为．直接写出运动过程中的最小值以及此时的值． 【变式2】．对于数轴上的三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如数轴上点所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点的“联盟点”． (1)若点A表示数，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，其中是点的“联盟点”的是_________； (2)若点分别表示数1、6，点M在点F的左侧，且点M是点的“联盟点”，求点M此时表示的数； (3)若点分别表示数、5，线段沿数轴负方向移动，速度为每秒3个单位长度，同时点A从沿数轴正方向移动，速度为每秒1个单位长度，设移动的时间为秒，当点A是点的“联盟点”时，求t的值． 【变式3】．【新定义】：A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的幸运点． 【特例感知】 （1）如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的幸运点． ①【B，A】的幸运点表示的数是______； A．    B．0    C．1    D．2 ②试说明A是【C，E】的幸运点． （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为，点N所表示的数为4． ①【M，N】的幸运点表示的整数为______； ②若数轴上存在一点Q，点N是【M，Q】的幸运点，点Q所表示的数为______． 【拓展应用】 （3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以3个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．直接写出当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？ 【变式4】．【阅读理解】：定义：对于数轴上不同的三个点P，Q，M，若满足，则称点M是点P关于点Q的“m倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点O是点关于点的“3倍特征点”，原点O也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】：在数轴上，已知点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足． （1）填空：若在线段AB上的点C表示的数是c，且点C是点A关于点B的“4倍特征点”，则 ； ， ； （2）在数轴上取两点D，E，点E在点D的右侧，且． ①若，且点B是点D关于点E的“m倍特征点”，求m的值； ②若点D与点A重合，现将线段DE从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点E运动到点B时运动停止．设运动时间为t秒，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求t的值． 【突破三：基础运用突破】 1．已知且a、b分别是点A、B在数轴上对应的数．若动点P、Q同时分别从点A、B出发在数轴上运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度． (1)直接写出a、b的值并在数轴上标注点A、B； (2)若点P沿数轴向正方向匀速运动、点Q沿数轴向负方向匀速运动，求P、Q相遇时在数轴上对应的数是多少？ (3)若点P、Q均沿数轴向正方向匀速运动，M为中点，N为中点，求运动几秒后，点M和点N相距3个单位长度？ 2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空： ①、两点间的距离_______，线段的中点表示的数为_______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为_______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 3．阅读：如图，已知数轴上有A，B，C三个点，它们表示的数分别是，8．A到C的距离可以用表示，计算方法：C表示的数8，A表示的数，8大于，用．用式子表示为：． 根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ； (2)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由； (3)现有动点P，Q都从A点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P移动6秒时，点Q才从A点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P移动的时间为t秒，写出P，Q两点间的距离（用含t的代数式表示）． 4．【问题背景】 如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 【问题发现】 （1）若数轴上数x到原点的距离为3，且x在原点左边，则x的值为 ； 【探索求知】 （2）若数轴上表示a和2的两点之间的距离为7，求a表示的数； 【拓展延伸】 （3）若点A表示的数是－4，点B与点A的距离是6，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发都沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒5个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，则运动几秒时，点P与点Q之间的距离PQ为1？（请写出求解过程） 5．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，且． (1) ， ， ； (2)若点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动．点P与点Q同时出发，经过多少秒后，点P与点Q距离为2； (3)在（2）的条件下，当点P与点Q相遇后，两点都立即掉头，速度不变，此时点N开始从点B出发，以每秒1个单位的速度向左运动，当时，P、Q、N停止运动，请直接写出点P从A点出发到停止运动所用的总时长． 6．综合与探究：数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离表示为，线段的中点表示的数为． 问题提出： (1)填空：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为5，两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； (2)深入研究：若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒．求当为何值时，两点相遇？ (3)拓展探究：在（2）条件下，若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，当______时，线段的长度为5． 7．【知识背景】如图，数轴上两点表示的数分别为，则两点的距离为，线段的中点表示的数为． 【知识运用】已知数轴上、两点对应的数分别为和，且．点为数轴上的一个动点． (1)填空：______，______，______． (2)若点点同时向左运动，点的速度为个单位长度/秒，点的速度为个单位长度/秒，求运动时间为多少秒时，点可以追上点？此时点所表示的数是多少？ (3)若点点同时向左运动，它们的速度都为个单位长度/秒，与此同时，点从数轴上表示的点处出发，以个单位长度/秒的速度向右运动．则经过多长时间后，点是点和点的中点？ 8．如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1) ； ； (2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度． ①t秒时，点P表示的数是 ，点Q表示的数是 ． ②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒n（n＞1）个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出此n值和这个定值；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，满足．动点P从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．     (1)写出数轴上点A表示的数是 　 　，点B表示的数是 　 　； (2)若点P从A点出发向左运动，点Q为的中点，在点P到达点B之前，求证为定值； (3)现有动点M，若点M从点B以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点P出发，当点P到达原点O后M立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，求：当时，则P点运动时间t的值为 　 　． 10．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示8，点表示16，我们称点和点在数轴上相距22个单位长度．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒． (1)动点从点运动至点需要多少秒？ (2)、两点相遇时，求相遇点在“折线数轴”上所对应的数是多少？ (3)求当为何值时，、两点在数轴上相距的距离与、两点在数轴上相距的距离相等． 【突破四：能力提升突破】 1．已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 2．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“二分点”．特别地，当两个点重合时，我们规定：它们之间的距离为0． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以点B是点A，点C的“二分点”． (1)若点A表示的数为，点B表示的数为4． ①下列各数，0，2所对应的点分别为，，，则在点为，，中，是点A，点B的“二分点”的是 ； ②若点M为数轴上一动点，且点B是点A，点M的“二分点”，请直接写出点M所表示的数； (2)数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为20．一只电子蚂蚁P从点A出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向右运动，到达点B后立刻返回，速度变为原来的倍．另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以6个单位每秒的速度沿数轴向左运动，与电子蚂蚁P第一次相遇后，速度变为原来的一半．若两只电子蚂蚁同时出发，设运动时间为秒，求当t为何值时， A、P、Q三个点中恰有一个点为其余两点的“二分点”？（写出解题过程） 3．如图，在数轴上有两个长方形和，长方形的长是6个单位长度，宽是4个单位长度，长方形的长是10个单位长度，宽是3个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为14． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________，点A在数轴上表示的数是________． (2)若点P在线段上，且点P到点D与到点E的距离和为20，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向左匀速运动，设两个长方形重叠部分的面积为S． ①整个运动过程中，S首次达到最大值时，D点所表示的数是_______． ②当时，求此时D点所表示的数． 4．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”，例如，如图1，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”．若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为． (1) ， ，点，点之间的距离是 ，的最小值是 ； (2)若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从点处以2个单位秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，则 ． 5．如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分． (3)当点C在线段上，且时，求t的值． (4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $