专题03 函数的单调性（题型专练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 以“定义理解-证明应用-拓展延伸”为主线，系统构建函数单调性的方法体系与知识逻辑，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义判断与证明|2题型（各1典例+3变式）|定义五要素深度解析、四步证明法（取值-作差-定号-结论）|从概念内涵到严谨证明，培养逻辑推理| |单调区间与参数|2题型（各1典例+3变式）|图象法/常见函数法求区间、参数范围两种思路|从定性分析到定量计算，提升数学应用意识| |单调性应用|4题型（各1典例+3变式）|解不等式转化策略、分段函数单调性判定、最值四类情况|从简单应用到综合问题，构建知识网络| |平均变化率与二次函数最值|2题型（各1典例+3变式）|平均变化率公式法、二次函数“三点一轴”数形结合|从基础运算到专项突破，强化数学语言表达|

专题03函数的单调性 （题型突破·举一反三） 题型01 利用定义判断函数的单调性 题型02 利用定义证明函数的单调性 题型03求函数的单调区间 题型04利用单调性求参数 题型05利用单调性解不等式 题型06分段函数的单调性 题型07平均变化率 题型08图象法求函数的最值 题型09 利用单调性求函数的最值 题型10 二次函数的最值 ▌题型01 利用定义判断函数的单调性 函数在I上单调递增（减）与增（减）函数概念的深度理解 （1）定义中对区间I的理解：①I⊆D（定义域）；②区间I一定是连续的； （2）定义中x1，x2同属于区间I且具有任意性； （3）单调递增：x1＜x2⇔f（x1）＜f（x2）；单调递减：x1＜x2⇔f（x1）＞f（x2）； （4）函数y＝f（x）若在定义域上的两个子区间I1，I2上分别都单调递增（减），但f（x）在I1∪I2上不一定单调递增（减）； （5）只有y＝f（x）在其定义域D上单调递增（减）才称y＝f（x）为增（减）函数. 【典例1】若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 【变式3】已知函数在上有定义，设甲：在上单调递增，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 ▌题型02 利用定义证明函数的单调性 利用定义证明函数单调性的步骤 （1）取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2； （2）作差变形：作差f（x1）－f（x2）（或f（x2）－f（x1）），并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式； （3）定号：确定f（x1）－f（x2）（或f（x2）－f（x1））的符号，当符号不确定时，进行分类讨论； （4）结论：根据定义确定单调性. 【典例2】证明：函数是严格增函数. 【变式1】已知函数，证明：函数在上单调递减； 【变式2】用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【变式3】已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的单调性． ▌题型03 求函数的单调区间 1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间. 2.一个函数出现两个或两个以上的区间上具有相同的单调性，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 【典例3】函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【变式1】已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【变式2】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3】函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] ▌题型04 利用单调性求参 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 （1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； （2）借助常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的单调性求解. 需注意若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的. 【典例4】已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． ▌题型05 利用单调性解不等式 利用函数的单调性解不等式的方法 利用函数的单调性解不等式，实质上是单调性的逆用，即由函数值的大小得到自变量的大小.若f（x）为增函数，则当f（x1）＜f（x2）时x1＜x2，当f（x1）＞f（x2）时x1＞x2.若f（x）为减函数，则当f（x1）＜f（x2）时x1＞x2，当f（x1）＞f（x2）时x1＜x2.需要注意的是求解时不要忘了函数的定义域对参数的限制. 【典例5】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． ▌题型06 分段函数的单调性 【典例6】已知是R上的增函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】函数 在区间上单调递减，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【变式2】若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． ▌题型07 平均变化率 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是： 【典例7】5．（25-26高二下·重庆璧山·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（25-26高二下·四川绵阳·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C．3 D．4 【变式2】（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式3】（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．4 B．12 C． D． ▌题型08 图象法求函数的最值 图象法求函数最值的一般步骤 【典例8】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 【变式1】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【变式2】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在区间上的最大值为3，最小值为 C．在上有最小值，有最大值3 D．当直线与的图象有三个交点时 【变式3】对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值． ▌题型09 利用单调性求函数的最值 利用函数的单调性求最值的四种常见情况 （1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上是增函数，则最小值为f（a），最大值为f（b），值域为[f（a），f（b）]；　 （2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上是减函数，则最小值为f（b），最大值为f（a），值域为[f（b），f（a）]；　 （3）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么函数y＝f（x），x∈[a，c]在x＝b处有最大值f（b）； （4）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么函数y＝f（x），x∈[a，c]在x＝b处有最小值f（b）. 【典例9】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式1】（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)求函数的最大值与最小值. 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. ▌题型10 二次函数的最值 二次函数最值问题的类型及求解策略 类型 ①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动 求解 策略 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 【典例10】（25-26高一下·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）函数在区间上的最大值和最小值分别为（   ） A．3， B．1， C．2， D．4， 【变式3】（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求函数在上的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03函数的单调性 （题型突破·举一反三） 题型01 利用定义判断函数的单调性 题型02 利用定义证明函数的单调性 题型03求函数的单调区间 题型04利用单调性求参数 题型05利用单调性解不等式 题型06分段函数的单调性 题型07平均变化率 题型08图象法求函数的最值 题型09 利用单调性求函数的最值 题型10 二次函数的最值 ▌题型01 利用定义判断函数的单调性 函数在I上单调递增（减）与增（减）函数概念的深度理解 （1）定义中对区间I的理解：①I⊆D（定义域）；②区间I一定是连续的； （2）定义中x1，x2同属于区间I且具有任意性； （3）单调递增：x1＜x2⇔f（x1）＜f（x2）；单调递减：x1＜x2⇔f（x1）＞f（x2）； （4）函数y＝f（x）若在定义域上的两个子区间I1，I2上分别都单调递增（减），但f（x）在I1∪I2上不一定单调递增（减）； （5）只有y＝f（x）在其定义域D上单调递增（减）才称y＝f（x）为增（减）函数. 【典例1】若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 【变式1】已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确；排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 【变式2】下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 【答案】B 【解析】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 【变式3】已知函数在上有定义，设甲：在上单调递增，乙：，则（   ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】对于充分性，由单调递增性质显然有，充分性成立， 对于必要性，考虑，此时，但其在上不是单调递增的，必要性不成立.故选A ▌题型02 利用定义证明函数的单调性 利用定义证明函数单调性的步骤 （1）取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2； （2）作差变形：作差f（x1）－f（x2）（或f（x2）－f（x1）），并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式； （3）定号：确定f（x1）－f（x2）（或f（x2）－f（x1））的符号，当符号不确定时，进行分类讨论； （4）结论：根据定义确定单调性. 【典例2】证明：函数是严格增函数. 【解】设，， 任取，且， 则， ，，， 所以，即， 所以函数在上是严格增函数. 【变式1】已知函数，证明：函数在上单调递减； 【解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于，所以， 所以，即， 所以函数在区间上单调递减. 【变式2】用函数单调性的定义证明：在上为单调递增函数． 【解】设，则， 由题意得，，， 则有，即，且， 故在上为单调递增函数. 【变式3】已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的单调性． 【解】（1）由，所以，解得， 所以函数定义域为. （2）在上单调递增，证明如下： 的定义域为， ∴任取， 则 ， ，，又有， 所以，即， 是上的单调递增. ▌题型03 求函数的单调区间 1.求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间. 2.一个函数出现两个或两个以上的区间上具有相同的单调性，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 【典例3】函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，.故选：B 【变式1】已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【解析】由图象知，该函数的单调递增区间为和，故选：B． 【变式2】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为.故选：C. 【变式3】函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【解析】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减.故选：C. ▌题型04 利用单调性求参 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 （1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； （2）借助常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数等）的单调性求解. 需注意若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的. 【典例4】已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的对称轴为， 依题意或，解得或，所以实数的取值范围是.故选：C 【变式1】“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为在上是增函数，可得，即， 显然“”能推出“”，反之则不成立， 所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，，故选：C. 【变式3】已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 【答案】D 【解析】函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为. 因为该函数在 上单调，因此，需满足：或， 解得：或 .故选：D ▌题型05 利用单调性解不等式 利用函数的单调性解不等式的方法 利用函数的单调性解不等式，实质上是单调性的逆用，即由函数值的大小得到自变量的大小.若f（x）为增函数，则当f（x1）＜f（x2）时x1＜x2，当f（x1）＞f（x2）时x1＞x2.若f（x）为减函数，则当f（x1）＜f（x2）时x1＞x2，当f（x1）＞f（x2）时x1＜x2.需要注意的是求解时不要忘了函数的定义域对参数的限制. 【典例5】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以．故选：B. 【变式1】（25-26高一上·河北邢台·期末）已知是定义在上的增函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知是定义在上的增函数，不等式， 则，解得，不等式的解集为，故A正确．故选：A． 【变式2】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 又是函数图象上两点，故， 该函数是上的减函数，故， 解得，即不等式解集为，故选：B． 【变式3】（25-26高一上·四川德阳·期末）已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得．故选：A． ▌题型06 分段函数的单调性 【典例6】已知是R上的增函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在上单调递增， 要想是R上的增函数，需满足， 解得，故的取值范围为.故选：C 【变式1】函数 在区间上单调递减，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，二次函数的开口向上，对称轴方程为， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得.故选：B. 【变式2】若函数，满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为对任意实数，都有成立，所以是上的增函数， 则，解得，即实数的取值范围是.故选：D. 【变式3】已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为时，是单调减函数， 又因为在上单调，所以，故时，单调递诚， 则只需满足，解得，故选：B. ▌题型07 平均变化率 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是： 【典例7】5．（25-26高二下·重庆璧山·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为， 所以函数在区间上的平均变化率为. 【变式1】（25-26高二下·四川绵阳·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解析】， ， ，， 因此平均变化率为. 【变式2】（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】. 【变式3】（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．4 B．12 C． D． 【答案】A 【解析】函数在区间上的平均变化率为：. ▌题型08 图象法求函数的最值 图象法求函数最值的一般步骤 【典例8】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的部分图象如下，则下列说法中正确的是（    ） A．在区间内，的最小值为 B．在区间内，的最大值为 C．在区间内，的最小值为 D．在区间内，的最大值为 【答案】C 【解析】对于A，在区间内，由于区间左端点取不到， 所以没有最小值，A错误； 对于B，在区间内，因为区间右端点取不到， 则没有最大值，B错误； 对于C，在区间内，的最小值为，C正确； 对于D，在区间内，因为区间端点取不到， 则没有最大值，D错误．故选C. 【变式1】（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【解析】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和， 但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.故选：D. 【变式2】（25-26高一上·山西太原·阶段检测）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递减，在上单调递增 B．在区间上的最大值为3，最小值为 C．在上有最小值，有最大值3 D．当直线与的图象有三个交点时 【答案】C 【解析】A选项，由函数图像可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A错； B选项，由图像可得，在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图像可得，在上有最小值，有最大值，故C正确； D选项，由图像可得，为使直线与的图象有三个交点，只需，故D错. 故选：C. 【变式3】对于每个实数x，设f(x)取y＝4x＋1，y＝x＋2，y＝－2x＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f(x)的解析式，并求f(x)的最大值． 【解】由直线y＝4x＋1与y＝x＋2求得交点； 由直线y＝x＋2与y＝－2x＋4，求出交点. 由图象可看出： , f(x)的最大值为.    ▌题型09 利用单调性求函数的最值 利用函数的单调性求最值的四种常见情况 （1）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上是增函数，则最小值为f（a），最大值为f（b），值域为[f（a），f（b）]；　 （2）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上是减函数，则最小值为f（b），最大值为f（a），值域为[f（b），f（a）]；　 （3）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，那么函数y＝f（x），x∈[a，c]在x＝b处有最大值f（b）； （4）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，那么函数y＝f（x），x∈[a，c]在x＝b处有最小值f（b）. 【典例9】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由在上单调递增， 所以． 【变式1】（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在上的最小值为.故选：A 【变式2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断并证明函数的单调性； (2)求函数的最大值与最小值. 【解】（1）函数在区间上是减函数，证明如下： 任取且， ， 因为且， 所以，，， 所以，即， 所以是上的减函数. （2）由（1）知是上的减函数， 所以，. 【变式3】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数，. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)求函数的最大值和最小值. 【解】（1）在上是增函数，证明如下： 任取且， . ， ，， ，即， 在上为增函数. （2）由（1）知，在上为增函数， 则，. ▌题型10 二次函数的最值 二次函数最值问题的类型及求解策略 类型 ①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动 求解 策略 抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 【典例10】（25-26高一下·山西太原·开学考试）已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且． (1)求二次函数的表达式； (2)若，求函数的最大值． 【解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数， 又因为，所以， 即二次函数； （2）由（1）知二次函数， 当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增，所以，， 当，，故原函数的值域为. 【变式2】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）函数在区间上的最大值和最小值分别为（   ） A．3， B．1， C．2， D．4， 【答案】C 【解析】函数的图像开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 又，所以当时，函数取得最小值. 故选：C 【变式3】（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，求函数在上的最大值. 【解】（1）当时，不等式，解得， 即不等式的解集为， （2）当时，函数， 即函数为开口向上的二次函数，对称轴为, 又易知，对称轴在轴的左侧，所以函数在上单调递增，且3距离对称轴较远， 所以函数在上的最大值为，即. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $