重难点专题06 函数单调性及应用（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本专项围绕函数单调性构建“判断证明-区间求解-综合应用-抽象拓展”的递进式方法体系，通过性质法、定义法等技巧提炼与典例变式，培养逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断与证明|5题（含变式）|性质法“同增同减”“同增异减”，定义法四步（取值-作差-定号-结论）|从具体函数图象/性质判断到定义严格证明，夯实基础| |单调区间求解|7题（含变式）|图象法“定义域优先+趋势判断”，复合函数“同增异减”法则|结合定义域，从直观图象到复合函数逻辑推理，深化理解| |单调性应用|27题（含变式）|求参（初等/复合/分段函数）、比较大小（单调性+区间）、解不等式（去f+定义域）、求最值（端点/顶点）|从单一应用到综合问题，体现单调性工具性价值| |抽象函数单调性|8题（含变式）|抽象函数单调性证明四步（取值-变形-定号-结论），结合函数性质（和/差/积/商型）|从具体到抽象，培养数学抽象与逻辑推理能力|

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点专题06函数单调性及应用 00 题型概览 重难点一图象法、性质法判断涵函数单调性 具体函数单调性的判断与证明 重难点二定义法证明函数单调性 函 重难点一 图象法求函数的单调区间 求函数的单调区间 数的单调 重难点二复合函数单调区间的求解 重难点一根据单调性求参 性及应 重难点二 利用单调性比较大小 函数单调性的应用 重难点三利用单调性解不等式 重难点四利用单调性求最值（值域） 抽象函数单调性的证明及应用 点强化 【具体函数单调性的判断与证明】 【重难点一性质法判断函数的单调性】 啸方法 图象法、性质法判断函数的单调性 1.图象法判断函数的单调性 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性· 从左往右看，呈上升趋势→增： 呈下降趋势→减 2. 性质法判断函数的单调性 (①)组合函数∫(x)+g(x)的单调性一“同增同减” 在公共区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. ①增函数（↑）+增函数（↑）=增函数↑ 第1页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②减函数（↓）+减函数(1)=减函数↓ (2)复合函数g)的单调性：一“同增异减” 在公共区间D上，外层函数y=)和内层函数u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”· 内函数↑，外函数↑，→复合函数↑ 内函数，外函数1，→复合函数1一结论：同增异减 内函数↑，外函数1，→复合函数 内函数↓，外函数↑，→复合函数 (3)其他运算性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性 ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a·x)具有相同的单调性； 当a<0时，f(x)与a·fx)具有相反的单调性 ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，fx)与fx具有相反的单调性： a 当a<0时，f(x)与Fx具有相同的单调性 ④若f(x)≥0，则f(x)与Vfx)具有相同的单调性. 1.下列函数在区间0,1上单调递增的是() A.y=1-x B.y=x2-2x C.y=x D.y=2 【练习】下列函数中，在区间0，+∞上单调递减的是() A.y=-3 B.y=5-x2 C.y=3x D.y=x 2.下列命题中正确的是() 第2页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.若fx是增函数，gx是增函数，则fxgx是增函数 B.若fx是减函数，gx是减函数，则fx+gx是减函数 C.若fx是增函数，gx是减函数，则fx-gx是减函数 D.若fx是奇函数，gx是偶函数，则fxgx是偶函数 【变式】设函数fx在R上为增函数，则下列结论正确的是() A.y=fX在R上为增函数 B.y=fX在R上为减函数 C.y=- x在R上为增函数 1 D.y=-fx在R上为减函数 3.已知函数fx=x,gx=1,则() A.fx+gx在区间0，+∞上单调递增 B.fx+gx在区间0，+∞上单调递减 C.fx-gx在区间0，+o∞上单调递减D.fx-gx在区间0，+o∞上单调递增 【变式】若函数y=ax与y=-b在(0，+o)上都单调递减，则y=aX2+bx在(0，+o0)上() A,单调递增 B.单调递减 C.先减再增 D.先增再减 【重难点二定义法证明函数的单调性】 第3页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ©啸方法定义法证明函数的单调性 1.定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差∫()一∫()，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负 的式子 (3)定号：确定∫(x)一∫()的符号. (4)结论：根据∫(x)一f(x2)的符号及定义判断单调性. 2.关键一变形 (①)变形的原则：尽量使结果为乘除法，由此可以通过确定每部分的符号，来确定整体的符号特征 (2)常用的变形技巧：①多项式→因式分解；②分式→通分；③根式→有理化 4已知函数fX-2一X子K≥0，月定义证明正数断X作定义城0，+上为增硒效： 变式】已知函数X上用定义法判断fx在区何-2，+∞上的单调性， 第4页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.己知函数fx满足，fx+1=2x+2 x2+2X+2 (1)求fx (2)用定义法判断fx在1，+o∞上的单调性，并求fx在1,2上的值域. 【变式】己知函数fx装的图象过点L1.f3-是 (1)求实数a和b的值； (2)判断函数fx在2，+∞上的单调性，并利用定义证明你的结论， 第5页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重点强化 【求函数的单调区间】 【重难点一图象法求函数的单调区间】 ©妹方法 图象法求函数的单调区间 1.由函数图象确定函数的单调区间 作出函数的图象（或者草图），观察图象即可确定函数的单调区间 从左往右看，呈上升趋势→增区间： 呈下降趋势→减区间 2.解题步骤： ①求函数定义域 ②画出函数图象（大致草图） ③根据图象确定函数的单调区间 【注意】 ①单调区间必须是定义域子集； ②单调区间只能用“，”或“和”进行连接，不能用“U”。 ③区间的端点不影响函数单调性 6.函数r=fp的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是() A.定义域为-5,0,2,6：单调递增区间为[-5,0]U|2,6 第6页 6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.定义域为-5,0U2,61:单调递增区间为-5,0,2,6 c.定义域为-5,0,2,6：单调递增区间为(-5,0)U2,6 D.定义域为-5,0U2,6:单调递增区间为-5,0,12,6 【变式】己知函数y=fx的定义域为-1,5，其图象如图所示，则下列说法中错误的是() A.fx的单调递减区间为0,2 B.fx的最大值为3 C.x的最小值为-1 D.fx的单调递增区间为-1,0U2,5 1345 7.函数fx)=X-2x+4的单调区间为（） A.在R上单调递增 B.在R上单调递减 C.在(-∞，1)单调递增，在(1，+∞)单调递减D.在-∞，1)单调递减，在(1，+∞)单调递增 8.已知函数fx=x-23-x,则函数fx的单调增区间是() A.-0,2.5和3，+oB.-00,2.5 C.2,2.5和3，+o D.2,2.5 第7页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知函数fx-X+2x+3”下列结论正确的是（） A.函数fx的减区间-oo,-1U1,3 B.函数fx在-1,1上单调递减 c.函数fx在0,1上单调递增 D.函数fx的增区间是-1,3引 【重难点二复合函数单调区间的求解】 ©味方法 复合函数单调区间的求解 1.原理：复合函数fg(6》的单调性：一“同增异减” 在公共区间D上，外层函数y=和内层函数u=gx)的单调性的关系是“同增异减”. 2.解题步聚 (1)求定义域 (2)确定内外层函数及各自的单调区间 外层：y=fw),先求u的范围及对应单调性，再转化为x的范围，单调性不变 内层：山=gx),根据图象确定x的范围及对应的单调性 (3)取X的公共区间（交集），单调性根据“同增异减”法则确定 9. 函数fx=3x-5x-2的单调递增区间是（） A. -0,6 B.5 c, D.2,+0 第8页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】函数f(x)=V8+2x-x 的单调递减区间是() A.-0∞，1 B.1,+0o C.[1,4 D.[-2,1] 10.函数fxx4的单润道增区间为() A.-00,0 B.-∞，-2和-2,0 C.0,+∞ D.0,2和2，+o 【变式】数fX4x中3的年调递特区间是() A.-0,2 B.-00,1,1,2 C.-0,1,2,3D.2,3,3,+o 第9页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.函数y可交-4X 1的单调递减区间是() A.-00,2 B.-00,0) C.(2,+oo) D.4,+o 【变式】函数X二百一士。一的单调递减区间是《 A.4,+0o B.0,4 c.4,8 D.-0,4 第10页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.已知fx是定义域为0，+o∞的减函数，则f4-x是() A.定义域为0，+o的增函数 B.定义域为-∞，4的增函数 C.定义域为0，+o∞的减函数 D.定义域为-∞，4的减函数 【变式】若函数f1+x在其定义域1,2上单调递增，则函数f1-x() A.在其定义域-2，-1上单调递增 B.在其定义域-2，-1上单调递减 c.在其定义域-1,0上单调递增 D.在其定义域-1,0上单调递减 重点强化 【函数单调性的应用】 【重难点一根据单调性求参】 啸方法 根据函数的单调性求参 1.根据初等函数的单调性求参 2种思路： ①直接转化为解析式中的系数应满足的条件特征 第11页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 判断 开口向上时：对称轴左侧 ⑦ 次 开口 减右侧增 确定参 方向 数满足 和对 开口向下时：对称轴左侧 数 的条件 称轴 增右侧减 增函数 次项系数大于0 ②一次函数 减函数 一次项系数小于0 在每一个象限内，单调递减 比例系数k大于0 ③反比例函数 在每一个象限内，单调递增 比例系数k小于0 ②结合图象，先求出完整的单调区间（带参），再根据题中已知区间是完整单调区间的子集，转化 为集合的包含关系求参 2.根据复合函数的单调性求参 复合函数的单调性求参，一般是先确定外层函数的单调性，进而转化为求解内层函数的相关特征。 满足两方面： ①内层函数的单调性 ②满足定义域，进而转化为内层函数在区间上的恒成立问题【易漏、易错点】 3.根据分段函数的单调性求参 分段函数在定义域上单调递增（减），应满足2个条件 ①每一段上都单调递增（减） ②在分割点处的函数值大小比较【易漏、易错点】 若是增函数，则在断点处，前一段的函数值≤后一段的函数值（左边≤右边）， 若是减函数，则在断点处，前一段的函数值≥后一段的函数值（左边之右边) 【注】绝对值型函数，除可用图象变换确定图象外，也可讨论去绝对值，转化为分段函数进行求解 13.“函数fx=k-1x-3在R上为增函数”是“k>2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.(多选)己知函数f(x)=x2-mx+3(m∈R)在区间[1,2]上单调递增，则m的可能取值是 第12页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.2 B.-2 C.4 D.-4 【变式】已知函数fx)=4X2-x-8在5,10上具有单调性，则实数k的取值范围是（） A.（40,80) B.40,80 C.（-∞，40]U[80,+∞）D. (-∞，40)U(80,+∞) 15.函数fx=aX-a-1x-2在区间-0,2上是增函数，则实数。的取值范围是（） 刘分c-号0 【变式】若函数f(x=QX-2x+4在区间1,3]上不具有单调性，则实数。的取值范国是 第13页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.“k>0”是“函数fx=x+k在0，+∞上单调递增”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式】若函数f(x=2x+m在区间(-o0,2)上单调递减，则实数m的取值范围是(） A.（-00,4] B.[4,+o) C.（-∞，-4] D.[-4,+∞) 17.已知函数fxX-4x若fxm,m+1单调递增，则m的范围为 【变式】已知函数fx=2xx-3在区间a,a+3上单调，则实数a一定不可能为() 第14页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-5 B.-2 C.3 D.2 18.已知函数fx=ax+1,则“a>0”是“fx在1，+oo上单调递增”的(） X A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式】己知函数fx=x+b在(1，+o0)上单调递增，则实数b的取值范国是() A.(-0,-1]B.(-00,1] C.[-1,+o0) D.[1,+o) 第15页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9若函数y=X-是+1，+0止单调递增，则实数a的取值范围是() A.-00,-1 B.【-1,+∞ C.-0,1 D.1,+oo) (复合函数) 20.已知y=ax+3 在3，+∞上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求a的取值范围. X+1 【变式】（多选）函数f(x)=2X一m在区间(n,+0)上单调递增，则下列说法正确的是(). X+1 A.m<-2 B.m>-2 c.n≤-1 D.n2-1 第16页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.已知函数fx=X2-x+21,2上单调递减，则。的取值范围是一 【变式1】已知函数f(x)=7+2ax-又满足在区间[-1,1]内任意实数x≠x:都有 x1-xfx-fx,<0则a的取值范围为 【变式2】函数fx=√X-2x-3在区间-0，a上单调递减，则α的取值范围为 第17页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.若函数fx=VaX+2x-1在[2，+0)上单调递增，则实数。的取值范围是（） A.[-2,+00)B.-2,+o C.[0,+∞) D.0,+o (分段函数) 23.己知函数fx= X+3-3Q,X<0对任意的x1X,∈R总满足以下不等关系： -x+a,x≥0 x1-为fx,-fx2<0:则实数a的取值范围为() aaa引slo咖e C.ala<1 D.aaz1) 第18页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知fx= a+2x+a,X>2在R上满足fx-fx0:则实数n的取值范围为 -2ax2+X,X≤2 X1-X2 () 4./ -X2+4ax+1,x<1 24. 函数f(x)= 1-3a+3,x21 满足对任意的x1,X,∈R且x≠X,都有fx-fx0 X1-X2 则a的取值范围是() A.( B分别 c.*0) D.吃别 【变式】已知函数f(x=乙满足对任意实数X1≠x2,都有x1-x2)[f(x)-f(x2]<0成立，则实数a 的取值范围是 第19页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【重难点二利用单调性比较大小】 城方法 利用单调性比较大小 1.原理 根据函数单调性的定义，当函数在区间内单调递增，则自变量x越大，则函数值y越大 当函数在区间内单调递减，则自变量x越大，则函数值y越小 2.利用函数单调性比较大小的思路步骤 ①确定函数的单调区间 ②确定自变量所处的区间，是处于同一单调区间还是处于不同的单调区间 ③根据单调性，根据自变量的大小的关系，判断函数值的大小关系 处于同一单调区间→直接由单调性确定大小关系 处于不同单调区间→可借助中间量或图象特征进行比较 【注】 ①二次函数不同区间的函数值大小比较，结合图象，比较自变量与对称轴的距离关系，进而确定对 应函数值的大小关系 ②常用中间量：0,1，特殊取值等 25.若函数fx在-∞，-1上是增函数，则下列关系式中成立的是() f-2f-小sf-2 B.f-f-2 cf-2<f-1<f- Df-2f引f- 第20页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知定义域为R的函数fx:Vx'x∈R:x1<x都有x1-xfx-fx<0:则 () A.f3<fπ<f2 B.f(n)<f(3)<f(2) c.f2<fπ<f3 D.fπ<f2<f3) 26.已知函数fx在区间0，+o∞上单调递增，且a>b>0,则下列不等式一定成立的是() A.fla)-flb)<0 B.flal-fo C.fa)D.fla)- a-b a-b 【变式】已知fx在-∞，+∞上是减函数，a,b∈R,且a+b≤0，则有() A.fla)+f(b)s-fla)-f(b) B.f(a+f(b)2-f(a)-f(b) C.fla)+f(b)sfl-a)+f-b) D.fa+flbl≥f-a+f-b 27.已知二次函数fX=aX+bx+c的最大值为f4则（） A.f5>f2>f8 B.f8>f5>f2 c.f8)>f(2)>f(5) D.f2>f8>f5 第21页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知函数fxX=aX2+bx+1:且不等式fx≥0的解集为x-1≤x≤3到若m=f-5引 n=f-2,p=f2,则m,n,p的大小关系正确的是() A.m>p>n B.p>n>m C.m>n>p D.n>m>p 2双已知晒藏fx的定义城0*且脑或fx在0，+四上单调进减则f口-a+1门r经的 大小关系为一· 【安式】已知函数fW=X+文X∈1，+x,则下列不给式祖限立的是(） A.fl8)>f(k2+2k+4) B.f6>fk2+2k+4 C.f4<fk2+2k+4 D.f(2)<f(k2+2k+4) 第22页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【重难点三利用单调性解不等式】 ©婊方法 利用单调性解不等式（抽象不等式） 1.关键：去f转化为自变量的大小比较，从而解关于自变量的不等式 2利用函数单调性解不等式的思路步骤 ①确定函数的单调性：图象法、性质法、定义法 ②变形式子，将题中要求不等式化为f(M)下f(N)的标准形式 ③根据单调性去方保留自变量：增函数M<N,减函数M>N; ④添加M,N满足的函数定义域要求；【易漏点】 ⑤解不等式组，取交集得解集。 【注】当题目中的不等式不能直接利用已知函数的单调性进行求解，但在变形过程中满足某种结构 特征时，有可能需要构造新的函数，再利用新函数的单调性进行求解 29.已知f(x)是定义在[-1,1]上的减函数，且f(x-1)<f(1-3x),则x的取值范围是 【变式】已知函数f(x)是定义在(0，+0)上的减函数，则不等式1x+1<fx2-x+2的解集为 () A.（-1,+o) B.（-00,-1) C.(1,+o) D.(-o,1) 第23页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (有解析式，先判断单调性) 30.P加两数K=x号 (1)判断fx在0，+o∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明： (2)求解关于x的不等式f2x2+x>fx2+2 (复合函数) 31.己知函数fx= x-1 (1)用函数单调性的定义证明函数fx在区间1，+o∞上单调递减： 2)若函数fx定义域为1，+'且fa2>f2a+3?求实数。的取值范围. 第24页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (绝对值分段函数) 2已知两数T(x)-=登+k测X于的不等武f-4-xf佳x的解突为 【变式】已知函数fxx+x-4:则不等式fx>f3x的解集为（） A.-o,0U3,+0o B.-00,-2U2,+∞) C.-00,-4U3,+o D.-0,-4U1,+o 第25页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (一般分段函数) 33.已知函数fx= x,x<0 x+1,x≥0 则不等式fx>f引-x的解集是 【变式】已知蹈数fX=,x≥0，圆不等式fx+2>fX+2x的解集为 -2x2,x<0, 34.已知函数y=fx的定义域为R:满足fk-fx0且f4|=0:则不等式x-21fX<0的 X2-X1 解集为() A.-00,2 B.4,+0o C.-0,2U4,+o D.-00,2U4,+∞ 第26页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】若函数fX在R单调递增，且f1=0,则清足fX<0的x的取值范围是( X-2 A.-o,-1U0,1B.2,+ooC.-1,0lU1,+∞) D.1,2 (构造函数) 35.已知完义域为R的函数fx对于任意的x'X且x,*X都有x上M>1f2=4则 X2-X1 不等式fX-x<X-x+2的解集是（） 第27页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-1,2 B.-0,-1U2,+∞ c.-2,1 D.-00,-2U1,+∞ 【变式】已知定义在R上的函数fx满足f1013=2026,对任意的实数x1、x2,且X1<x2, fx-fx小x-x:则不等式fx-10131<x的解集为一 【重难点四利用单调性求最值（值域）】 ©妹方法 利用单调性求最值（值域） 第28页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.原理： 函数在闭区间单调→最值直接在区间左右端点取： 函数在闭区间有增有减→最值在端点处、顶点处产生 【注意】开区间，端点处无定义，所以在端点处无对应最值。 2.利用函数单调性求最值（值域）的思路步骤 ①确定给定区间，函数的单调性：图象法、性质法、定义法 ②计算端点处、顶点处的函数值； ③对比所有函数值，选出整个区间上的最大、最小值。 36.函数fx=x+x,x∈[0,4]的值域为() A.[0,3] B.[1,4] c.[0,6] D.[0,4] 【变式】函数fx-3-x-2x-2的值域为(） A.l0,1 B.-2,0 c.-2,1 D.-1,2 37.函数y=x+1-x-2的值域是 38.已知x∈R,则x-2+x+1的最小值为() 第29页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式】函数y=x+1川+X-6x+g的值域为 (复合函数) 3数断x2在区同2,4上9最大但、最小位分别为《) A.31 5'2 8.31 3’2 c31 3'3 第30页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式】已知函数f(x)=2x+1 求该函数在区间1,4上的最大值和最小值 X+2 重点强化 【抽象函数的单调性及应用】 妹方法 抽象函数的单调性的证明 1.从抽象函数单调性的证明步骤 ①取值：设1,3是该区间内的任意两个值，且x1<2. f(x】 ②变形：作差∫()-f)或作商f() f(x) ©定号：确定f)一寸（的符号（与0的大小比较），或f(x2)与1的大小 ④结论：根据③中的定号结果，根据单调性的定义判断单调性， 2.关健一变形 第31页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “和”型：先减后加→X1=(x1-x2)+x2 “差”型：先加后减一X1=(x+X2)-x2 常用变形 “积”型：先除后乘一X=式X “商”型：先乘后除→X1= X1'X2 (“和”型) 40.已知f(x)定义域为R,对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时，f(x)<1, f-1=2. ()试判断fx在R上的单调性，并证明： (②)解不等式：f3x-4x-2+2f(x)>4 【变式】已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(y)=f(x+y)-4,f(2)=0,且当x>0时， f(x)>-4 (①)求f(0),f1),f(-1)的值： (2)证明：fx)在R上单调递增： (3)求不等式[f2x+1P+2f(2x-1)<0的解集 第32页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 41.已知函数fx满足Vx,y∈R,2fx+y=fx·fy,且当x>0时，fx>2. (1)求f0的值： (2)判断fx的单调性并证明： 3)若f1=4且x∈2,4，fx+ax-1<4fx求a的取值范围. 【变式】已知函数fx满足：对任意实数x,y,f引x>0,fx+y=3fxfy川，且当x>0时， f(x)<f(o). ()求f0的值： (2)证明：fx是R上的单调递减函数： 第33页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)若对vx∈R,f3fax2+x-1s 求实数a的取值范围. (“差”型) 42.已知函数fx对任意的实数x,y都有fx-y=fx-fy+2,并且当x<0时，fx>2. (1)判断并证明fx的单调性： (2)当a>0时，求关于x的不等式fax2+2≥fa+1x+f-1的解集. 【变式】已知函数fx对Vx,y∈R,都有fx-y=fx-fy且x<0时，fx>0 (1)求f-1+f1的值： (2)判断函数fx的单调性，并给出证明： (3)若f1=-2,求不等式fx-1+f3-2x<4的解集. 第34页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (“积”型) 43.已知函数fx的定义域为0，+oo,对任意正实数m,n,恒有fmn=fm+fn,且当x>1时， fx >0 (1)求证：f1=0,且当0<x<1时，fx<0: (2)判断fx在0，+o∞上的单调性： 3)若存在x使得f2x-x>f3-m求实数m的取值范围， 【变式】已知fx的定义域为0，+o,Vx,y∈0，+o∞，fxy=fx+fy+2.且当x∈0,1时， fx>-2. (1)求f1的值： 第35页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)判断fx在0，+o∞上单调性并给出证明； ef号1且f9-+fx-1+7>0求的联指范围 (“商”型) 4已知定义在倒0，+o上的商数rx对任藏，b∈0，+均布1号fo-b且当 x>1时，fx<0. (1)求f1的值： (2)判断fx的单调性并予以证明： (3)若f2=-3,解不等式f2x-1≥-6. 第36页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【度1卫知五数ix的定文城光(0，+ofx-fy=f产x1时fx<0且 f(3)=-1,满足不等式f(x)-f(x-1)+2≤0的x的取值范围为 (一般推导) 45.设fx是定义在0，+o∞上的不恒为0的函数，且满足：①Vx,y∈(0，+∞)， ff=2fx:®当0<x<1时fx小>2则下列结论错误的是（) A.f1=2 B.Vx∈0，+o,fx>0 C.fx在1，+oo上是减函数 D.fx的最小值为2 第37页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 46.(多选)已知定义在0，+o∞上的函数fx满足下列条件：①f引xy=xfy+yfx:②当x>1时， fx<0.则() A.f1=0 B.f C.当x>1时，fx2<2fx刘 D.fx在1，+o上单调递减 4.(多选)已知函数fx的定义域为R对任意。，b∈R都有f0=f口-b当x0时， f b 0<fx<1,则() Ax后R花- B.当x<0时，fx>1 C.fx是减函数 D.r3空则不等式2rf的解突多4 第38页 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第39页 重难点专题06 函数单调性及应用 【具体函数单调性的判断与证明】 【重难点一 性质法判断函数的单调性】 图象法、性质法判断函数的单调性 1. 图象法判断函数的单调性 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 从左往右看，呈上升趋势 → 增； 呈下降趋势 → 减 2．性质法判断函数的单调性 (1) 组合函数f（x）+g（x）的单调性——“同增同减” 在公共区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． ①增函数（）增函数（）增函数 ②减函数（）减函数（）减函数 (2) 复合函数f(g(x))的单调性：——“同增异减” 在公共区间D上，外层函数y＝f(u)和内层函数u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． （3）其他运算性质： ①与（C为常数）具有相同的单调性. ②若为常数，则当时，与具有相同的单调性； 当时，与具有相反的单调性. ③若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. ④若，则与具有相同的单调性. 1．下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式直接判断即可. 【详解】为上的减函数；，在上单调递减； 为上的增函数，符合题意；在上单调递减； 故选：C 【练习】下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数、二次函数以及一次函数的性质一一分析即可. 【详解】对A，根据反比例函数性质知在区间上单调递增，故A错误； 对B，在上单调递减，故B正确； 对C，在上单调递增，故C错误； 对D，当时，，其在上单调递增，故D错误. 故选：B. 2．下列命题中正确的是（    ） A．若是增函数，是增函数，则是增函数 B．若是减函数，是减函数，则是减函数 C．若是增函数，是减函数，则是减函数 D．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数 【答案】B 【分析】选项ACD取特殊函数逐项判断，选项B利用单调性的定义判断. 【详解】A. 令，则在R上不具有单调性，排除A选项； B. 任取，且，设， 因为是减函数，所以 ，即； 因为是减函数，所以，即； 则， ， 则，即，所以在R上是减函数，故正确； C. 令，则在R上是增函数，排除C选项； D. 令，则是奇函数，排除D选项； 故选： B. 【变式】设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】D 【分析】利用特殊函数排除A、B、C，即可得答案. 【详解】由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是R，排除B， 、在R上不是单调函数，且后一个函数定义域不为R，排除A、C， 若函数在上为增函数，则在上为减函数，D对. 故选：D 3．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据对勾函数单调性判断AB；根据函数单调性性质判断CD. 【详解】对于选项AB：在内单调递减，在内单调递增，故AB错误； 对于选项CD：因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，故D正确； 故选：D. 【变式】若函数与在上都单调递减，则在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减再增 D．先增再减 【答案】B 【分析】根据常见函数的性质，先判断出的符号，然后由二次函数的开口方向，对称轴范围进行判断. 【详解】根据正比例函数，反比例函数性质，若函数与在上都单调递减， 则，于是二次函数开口向下，对称轴， 于是在上单调递减. 故选：B 【重难点二 定义法证明函数的单调性】 定义法证明函数的单调性 1.定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号． (4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性． 2.关键——变形 (1)变形的原则：尽量使结果为乘除法，由此可以通过确定每部分的符号，来确定整体的符号特征 (2)常用的变形技巧：①多项式→因式分解；②分式→通分；③根式→有理化 4．已知函数，用定义证明函数在定义域上为增函数； 【答案】见解析 【分析】根据增函数的定义，作差证明即可； 【详解】 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； 【变式】已知函数，用定义法判断在区间上的单调性； 【答案】见解析 【分析】利用定义法，设，再化简求得即可判断； 【详解】证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. 5．已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 【变式】已知函数的图象过点，且. (1)求实数a和b的值； (2)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1)，. (2)函数在上是减函数，证明见解析 【分析】（1）根据函数经过的点坐标计算即可. （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由的图象过点，得，即, 又，得， 联立解得：，. （2）由（1）知，函数在上是减函数. 证明如下： 设，则 ， 由，得，，，， 因此，即， 所以函数在上是减函数. 【求函数的单调区间】 【重难点一 图象法求函数的单调区间】 图象法求函数的单调区间 1. 由函数图象确定函数的单调区间 作出函数的图象（或者草图），观察图象即可确定函数的单调区间 从左往右看，呈上升趋势 → 增区间； 呈下降趋势 → 减区间 2. 解题步骤： ①求函数定义域 ②画出函数图象（大致草图） ③根据图象确定函数的单调区间 【注意】 ①单调区间必须是定义域子集； ②单调区间只能用“，”或“和”进行连接，不能用“”。 ③区间的端点不影响函数单调性 6．函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（    ）    A．定义域为；单调递增区间为 B．定义域为；单调递增区间为， C．定义域为；单调递增区间为 D．定义域为；单调递增区间为 【答案】D 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【详解】由图象可知定义域为，函数的单调递增区间有2个，即，. 故选：D. 【变式】已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 7．函数的单调区间为（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【分析】求出函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】的对称轴为，开口向上， 所以在单调递减，在单调递增， 故选：D 8．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 【变式】已知函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的减区间 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数的增区间是 【答案】C 【分析】利用图象的变换知识作出的图象，可得单调区间，进而可得答案. 【详解】由，作出函数的图象， 利用图象的变换可得，如图所示： 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增. 故选：C. 【重难点二 复合函数单调区间的求解】 复合函数单调区间的求解 1. 原理：复合函数f(g(x))的单调性：——“同增异减” 在公共区间D上，外层函数y＝f(u)和内层函数u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 2. 解题步骤 （1） 求定义域 （2） 确定内外层函数及各自的单调区间 外层：y＝f(u)，先求u的范围及对应单调性，再转化为x的范围，单调性不变 内层：u＝g(x)，根据图象确定x的范围及对应的单调性 （3）取的公共区间（交集），单调性根据“同增异减”法则确定 9．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 【变式】函数f（x）＝的单调递减区间是（   ） A． B． C．[1,4] D．[－2,1] 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再换元，然后利用复合函数单调性“同增异减”的方法求解. 【详解】由题可知，，解得. 令，则， 因为在上单调递减，而在上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”， 所以在上单调递减. 故选：C. 10．函数的单调递增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性可得出函数的单调递增区间. 【详解】对于函数，则，解得， 故函数的定义域为， 令，， 由可得，由可得或， 因为外层函数在上为减函数， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 因为外层函数在上为减函数， 内层函数在上为减函数，在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的增区间为、. 故选：B. 【变式】函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 11．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性判断即可. 【详解】由题可得：，解得：或，所以函数的定义域为：， 令，则在上单调递减，在上单调递增； 则在上单调递减；结合复合函数单调性可得函数的单调递减区间是； 故选：D 【变式】函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【详解】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B 12．已知是定义域为的减函数，则是（   ） A．定义域为的增函数 B．定义域为的增函数 C．定义域为的减函数 D．定义域为的减函数 【答案】B 【分析】先根据的定义域求出的定义域，再通过复合函数单调性判断其单调性. 【详解】因为的定义域为，所以的定义域为， 令，则， 是一次函数，在定义域上是减函数； 已知是定义域为的减函数，所以在定义域上是减函数， 根据复合函数“同增异减”的单调性原则，为减函数，为减函数，两者单调性相同，因此在定义域上是增函数. 故选：B. 【变式】若函数在其定义域上单调递增，则函数（　　） A．在其定义域上单调递增 B．在其定义域上单调递减 C．在其定义域上单调递增 D．在其定义域上单调递减 【答案】B 【分析】根据抽象函数的定义域可判断函数的定义域，根据复合函数的单调性可判断函数单调性. 【详解】因为函数的定义域为，所以，即函数的定义域为； 对于函数，由可得，即函数的定义域为，故CD错误； 对于函数在上单调递增，由于其内层函数为单调增函数，所以可得在上单调递增； 对于函数，由于其内层函数为单调减函数，所以可得在上单调递减. 故选：B 【函数单调性的应用】 【重难点一 根据单调性求参】 根据函数的单调性求参 1.根据初等函数的单调性求参 2种思路： ①直接转化为解析式中的系数应满足的条件特征 ②结合图象，先求出完整的单调区间（带参），再根据题中已知区间是完整单调区间的子集，转化为集合的包含关系求参 2.根据复合函数的单调性求参 复合函数的单调性求参，一般是先确定外层函数的单调性，进而转化为求解内层函数的相关特征。 满足两方面： ①内层函数的单调性 ②满足定义域，进而转化为内层函数在区间上的恒成立问题 【易漏、易错点】 3.根据分段函数的单调性求参 分段函数在定义域上单调递增（减），应满足2个条件 ①每一段上都单调递增（减） ②在分割点处的函数值大小比较 【易漏、易错点】 若是增函数，则在断点处，前一段的函数值后一段的函数值（左边右边）， 若是减函数，则在断点处，前一段的函数值后一段的函数值（左边右边） 【注】绝对值型函数，除可用图象变换确定图象外，也可讨论去绝对值，转化为分段函数进行求解 13．“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】函数在上为增函数， 等价于，即， 所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14．（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 【变式】已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的对称轴，依题意可得或，解得即可. 【详解】函数的对称轴为， 依题意或， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C 15．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式】若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】讨论两种情况，其中，时先求出函数的对称轴，再根据二次函数在区间上不具有单调性，可判断对称轴在区间上，进而得到答案. 【详解】时，，，在上单调递减，具有单调性，不符合题意； 时，的图象为抛物线，对称轴为， 根据题意，在上不具有单调性， 所以，解得. 故答案为： 16．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 【变式】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 17．已知函数，若在单调递增，则m的范围为______. 【答案】. 【分析】由题意，结合二次函数性质得单调区间，进一步结合已知即可列不等式求解. 【详解】由题意， 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 若在单调递增， 则或，解得或. 故答案为：. 【变式】已知函数在区间上单调，则实数一定不可能为（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】当时，，当时，，结合二次函数的图象与性质，分别求出的单调区间，建立关于的不等式（组），解之，结合选项即可求解. 【详解】当时，， 是一条开口向上的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增； 当时，， 是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的增区间为和，减区间为. 若在上单调递减，则，无解； 若在上单调递增，则或， 解得或. 故选：D 18．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】任取，且，化简得到，转化为恒成立，求得，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】任取，且， 则 ， 若函数在上单调递增，则恒成立， 因为，可得，则，即恒成立， 又因为且，可得，则，所以， 所以“”是“在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式】已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，根据函数在上单调递增，结合函数的性质即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，因此， 当时， 为对勾函数，在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以，则， 所以实数b的取值范围是. 故选：B 19．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分、、三种情况讨论，当时结合对勾函数的性质得到不等式组，解得即可. 【详解】若，则在上单调递增，符合题意； 若，则，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，符合题意； 当，则，则， 由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 要使函数在上单调递增， 则，解得； 综上可得实数的取值范围是. 故选：B （复合函数） 20．已知在上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求的取值范围. 【答案】 【分析】先将函数进行变形，根据题中两个条件分别求得参数范围，最后求交集即为答案. 【详解】将函数进行变形，其单调性由分式决定， 该分式严格递减当且仅当分子，即， 因为分母在恒成立，故函数值符号由分子决定， 由函数值不恒为负，即存在使得成立， 当时，，满足条件， 当时，需存在使，即，解得， 综上，不恒为负的条件为， 联立两个条件，的取值范围为. 【变式】（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】变形给定函数，再利用反比例函数单调性，分类讨论求出单调区间，进而判断列式求解. 【详解】函数的定义域为， 当，即时，函数在上单调递减，不符合题意； 当，即时，为常数函数，不符合题意； 当，即时，函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，且， 因此，且，AC错误，BD正确. 故选：BD 21．已知函数在上单调递减，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】结合函数定义域与二次函数单调性计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 【变式1】已知函数满足在区间内任意实数，都有，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用单调性定义及复合函数单调性法则可得答案. 【详解】因为在区间内任意实数，都有， 设，则， 所以函数 在 上单调递减， 令， 根据复合函数的单调性即外层函数单调递增， 则需满足：（1） 在 上恒成立； （2） 在 上单调递减. 二次函数 开口向下，对称轴为 ， 为使 在 上单调递减，只需； 同时， 在 上恒成立， 由于 时 在 上递减，最小值在 处取得， 故需 ，解得 ， 综上， 的取值范围为 . 故答案为： 【变式2】函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 22．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据内函数的单调性结合非负性可求参数的取值范围. 【详解】设，则该函数在上单调递增且在上恒成立， 故，则在上单调递增，且恒成立，符合题设； 若，则，故， 综上，， 故选：C. （分段函数） 23．已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 【变式】已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 24．函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合函数单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数满足对且，都有， 可得函数在上单调递增，因此， 解得，则实数的取值范围是. 故选：D 【变式】已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【分析】先由给定不等式，判断出是整个实数域上的单调递减函数.分别让段的二次函数满足对称轴在区间右侧、段的反比例函数满足系数为正，保证两段各自单调递减.再验证分段点处左侧函数值不小于右侧极限值，衔接两段单调性，联立条件解得的取值范围. 【详解】题干中条件对任意不等实数恒成立，则函数在R上是严格单调递减函数， 故是开口向上的抛物线，其对称轴为，即： ; 在上递减的充要条件是系数， 且 整理得, 综合三个条件，得的取值范围是. 【重难点二 利用单调性比较大小】 利用单调性比较大小 1.原理 根据函数单调性的定义，当函数在区间内单调递增，则自变量x越大，则函数值y越大 当函数在区间内单调递减，则自变量x越大，则函数值y越小 2.利用函数单调性比较大小的思路步骤 ①确定函数的单调区间 ②确定自变量所处的区间，是处于同一单调区间还是处于不同的单调区间 ③根据单调性，根据自变量的大小的关系，判断函数值的大小关系 处于同一单调区间 →直接由单调性确定大小关系 处于不同单调区间 →可借助中间量或图象特征进行比较 【注】 ①二次函数不同区间的函数值大小比较，结合图象，比较自变量与对称轴的距离关系，进而确定对应函数值的大小关系 ②常用中间量：0,1，特殊取值等 25．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 【变式】已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 26．已知函数在区间上单调递增，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要利用函数单调性的概念逐项判断即可. 【详解】因为在上单调递增，且，所以，； 判断斜率符号：两点连线斜率，所以选项D正确； 排除其他选项： 选项A：，A错误； 选项B：斜率为正，B错误； 选项C：取，则，，两者相等，C错误. 【变式】已知在上是减函数，，且，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性比较函数值的大小关系。 【详解】由题意知，得到． 在上是减函数， ， ，故选D． 27．已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案. 【详解】因为二次函数的最大值为， 所以的图象关于直线对称，所以，且在上是减函数， 因为，所以. 故选：A． 【变式】已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【详解】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 28．已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为_____． 【答案】 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 【变式】已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由定义法得到函数在上单调递增，然后求自变量的范围，从而得到正确结论. 【详解】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 【重难点三 利用单调性解不等式】 利用单调性解不等式（抽象不等式） 1.关键：去f，转化为自变量的大小比较，从而解关于自变量的不等式 2.利用函数单调性解不等式的思路步骤 ①确定函数的单调性：图象法、性质法、定义法 ②变形式子，将题中要求不等式化为的标准形式 ③根据单调性去f，保留自变量：增函数，减函数； ④添加满足的函数定义域要求； 【易漏点】 ⑤解不等式组，取交集得解集。 【注】当题目中的不等式不能直接利用已知函数的单调性进行求解，但在变形过程中满足某种结构特征时，有可能需要构造新的函数，再利用新函数的单调性进行求解 29．已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性在定义域内列不等式解不等式即可求解的取值范围. 【详解】因为是定义在上的减函数， 若，可得，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 【变式】已知函数是定义在上的减函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性，列出不等式，求出结果即可. 【详解】可知恒成立，恒成立， 由是定义在上的减函数，且， 可得，解得． 故选：C. （有解析式，先判断单调性） 30．已知函数． (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求解关于的不等式． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2)或. 【分析】（1）证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （2）根据，及函数单调性，得到不等式，求出解集. 【详解】（1）在区间上单调递增，理由如下： 对于，，且， 则， 因为，，且，所以，， 于是，即，故在区间上单调递增； （2） ，要使不等式有意义，须有（即）， 由（1）得在区间上单调递增， 故，即， 解得（舍去）或， 所以或. 所以不等式的解集为或. （复合函数） 31．已知函数. (1)用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若函数定义域为，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用单调性的定义法来证明即可； （2）利用函数的定义域和单调性来求解不等式即可. 【详解】（1）因为 ，且， 则， 因为，则，， 则，即，故在上单调递减； （2）由（1）在上单调递减，函数定义域为， 所以 ，解得， 所以所求实数的范围是. （绝对值分段函数） 32．已知函数，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将原函数整理成分段函数，分析分段的单调性，根据函数单调性求解集. 【详解】由题知时，，则在上单调递增，时，，则在上单调递减； ①当，即时，可知 ， 因为自变量时，在上单调递减， 则，原不等式无解； ②当时，即时，可知， 因为自变量时，在上单调递增， 因此，即原不等式恒成立，其解集为； ③当且时，即时， 由可得，解得，故， 综上所述，关于的不等式的解集为， 故答案为：. 【变式】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式写成分段函数形式，可知函数关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，即可将不等式转化为，解不等式即可. 【详解】由已知， 作出函数图象如图所示， 可知函数关于对称，且在上单调递减，在上单调递增， 则不等式可转化为， 解得或， 即不等式的解集为， 故选：C. （一般分段函数） 33．已知函数，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】根据函数的单调性对不等式进行求解，从而确定正确答案. 【详解】依题意，函数在上单调递增， 所以不等式可化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【变式】已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 34．已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由 ，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为 或 或， 即或. 故选：C 【变式】若函数在R单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】通过讨论化简不等式，结合函数的单调性解不等式即可. 【分析】因为函数在R单调递增，且， 所以当时，， 不等式可化为， 所以， 当时，， 不等式可化为， 所以满足条件的不存在， 当时，，不满足关系， 所以满足的x的取值范围是， 故选：D. （构造函数） 35．已知定义域为R的函数，对于任意的，，且，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，变形可得，设，根据单调性的定义，可得的单调性，将条件整理为，根据的单调性，即可得答案. 【详解】由，得，即， 设，则，所以在R上单调递增， 由，得， 因为，所以， 由，可得， 因为在R上单调递增，所以，解得. 故选：A 【变式】已知定义在R上的函数满足，对任意的实数、，且，，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】设，即可判断的单调性，不等式等价于，结合函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，因为对任意的实数且，， 所以，即， 所以在上是减函数，因为，所以， 不等式， 所以，解得，即不等式的解集为. 故答案为： 【重难点四 利用单调性求最值（值域）】 利用单调性求最值（值域） 1. 原理： 函数在闭区间单调 → 最值直接在区间左右端点取； 函数在闭区间有增有减 → 最值在端点处、顶点处产生 【注意】开区间，端点处无定义，所以在端点处无对应最值。 2. 利用函数单调性求最值（值域）的思路步骤 ①确定给定区间，函数的单调性：图象法、性质法、定义法 ②计算端点处、顶点处的函数值； ③对比所有函数值，选出整个区间上的最大、最小值。 36．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，再利用函数的单调性可求出函数的值域. 【详解】因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故选：C 【变式】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 37．函数的值域是______． 【答案】 【分析】讨论去绝对值，得到分段函数，求出各段上的值域，求并集得解. 【详解】由， 当时，单调递增，所以， 故函数的值域为. 故答案为：. 38．已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，分，，三种情况去掉绝对值符号得到的解析式及值域，即可得解. 【详解】设，. 所以当时，； 当时，； 当时，. 所以当时，的最小值为3， 故选：C 【变式】函数的值域为__________． 【答案】 【分析】将原函数转化为两个绝对值之和的形式，再通过绝对值的几何意义或分段讨论的方法求解函数的值域. 【详解】∵ ， ∴ 原函数可化为. 方法一：从几何意义分析，表示数轴上点到点的距离，表示数轴上点到点的距离， 故表示数轴上点到点与点的距离之和. 当点位于点和点之间（含端点）时，距离之和取得最小值，最小值为； 当点位于点左侧或点右侧时，距离之和随向两侧延伸逐渐增大，无最大值. 方法二：通过零点分段法验证： 当时，，此时函数单调递减，； 当时，； 当时，，此时函数单调递增，. 综上，函数的值域为. （复合函数） 39．函数在区间上的最大值、最小值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据分式型函数的单调性进行求解即可. 【详解】，该函数在上单调递增， 所以， 故选：B 【变式】已知函数，求该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】最小值为，最大值为. 【分析】利用定义法，设，再化简求得即可判断函数单调性；再由的单调性即可判断最值. 【详解】，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. 则的最小值为，最大值为. 【抽象函数的单调性及应用】 抽象函数的单调性的证明 1. 从抽象函数单调性的证明步骤 ①取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. ②变形：作差f (x1)－f (x2)或作商 ③定号：确定f (x1)－f (x2)的符号（与0的大小比较），或与1的大小 ④结论：根据③中的定号结果，根据单调性的定义判断单调性． 2. 关键——变形 常用变形 （“和”型） 40．已知定义域为，对任意都有，当时，，． (1)试判断在上的单调性，并证明； (2)解不等式：． 【答案】(1)单调递减，证明如下： 令，，，且， 则， 因为，所以，，即，， 所以在上单调递减． (2)． 【分析】（1）利用赋值法结合单调性的定义判断和证明即可； （2）由转化为，然后根据单调性求解. 【详解】（1）在上单调递减，证明略； （2），即， 即为，即为， 即为. 因为在上单调递减， 所以，即， 则，解得， 所以不等式的解集为． 【变式】已知函数的定义域为，满足，，且当时，. (1)求，，的值； (2)证明：在上单调递增； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，， (2) 任取，且， 则 当时，，，，， ， 在上单调递增； (3) 【分析】（1）根据已知条件分别赋值和，以及，即可求出； （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【详解】（1）因为对任意，都有，即 所以，令，则，所以； 令，则，由，所以； 令，，则，因为，， 所以； （2）略 （3）由于， 所以等价于， 即，解得：， 令，，则，解得， 因为在上单调递增，，， 则等价于， 解得；， 所以不等式的解集为 41．已知函数满足，且当时，． (1)求的值； (2)判断的单调性并证明； (3)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 在上单调递增．证明如下： 因为， 所以令，则有. 因为当时，，所以当时，， 所以，所以可得. 任取，且， 再令，可得，即． 因为，所以，所以，所以． 因为，所以可得，所以在上单调递增； (3)． 【分析】（1）令，并将其代入，即可求出的值； （2）令，并将其代入原式，得到.任取，且，再令，并将其代入原式，利用所给条件，根据单调性的定义证明的单调性即可； （3）利用（2）的结论及条件将原不等式转化为，①. 令，其对称轴为.通过讨论对称轴与区间的位置关系，将①式能成立转化为函数在上的最小值，通过解不等式，即可求出的取值范围. 【详解】（1）令，则有． 因为当时，，所以不恒成立，故； （2）略 （3）令，则有，因为，所以. 则由， 可得． 由（2）可知，在上单调递增，则有， 故，①. 令，其对称轴为. 若，即，则函数在上单调递增，要使①能成立， 须满足，解得，所以； 若，即，则函数在上单调递减， 在上单调递增，要使①能成立，须满足 ， 整理可得，解得，所以； 若，即，则函数在上单调递减，要使①能成立， 须满足 ，解得，所以． 综上，可知的取值范围为． 【变式】已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）略 （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． （“差”型） 42．已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，． (1)判断并证明的单调性； (2)当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)减函数，证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）利用函数的单调性及条件含参讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）令，解得， 又当时，，可判断为减函数， 证明如下： ，，不妨设，根据题意， 得， 因为，所以， 所以，所以，即， 所以为减函数； （2）原不等式可化为， 即， 因为为减函数，所以， 即，则， 当时，有，解为， 当时，有，解为， 当时，有，解为， 综上，当时，解集为，当时，解集为， 当时，解集为. 【变式】已知函数对， 都有且时，. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明： (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则， 因为当时，，又，则，所以， 即，即， 所以在上单调递减； (3) 【分析】（1）根据所给条件利用赋值法计算可得； （2）根据函数单调性的定义，利用作差法证明即可； （3）首先求出，即可求出，从而将转化为，结合函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为， 都有， 令，可得， 令，可得， 所以； （2）略 （3）因为，则， 令，可得，所以为奇函数， 令，则， 所以不等式，即， 即， 即， 即，解得， 所以不等式的解集为. （“积”型） 43．已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 【变式】已知的定义域为.且当时，. (1)求的值； (2)判断在上单调性并给出证明； (3)若，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 在上单调递减，证明如下： 不妨设，所以 ， 又，所以， 所以，所以，即， 所以在上单调递减. (3)或. 【分析】（1）通过赋值得到； （2）利用单调性的定义判断和证明即可； （3）根据将不等式变形为，然后利用赋值的思路得到，即可将不等式变形为，最后利用单调性解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得. （2）略 （3）因为， 所以， 即， 取，得，解得， 所以，， 又因为在上单调递减. 所以，即得， 所以或. （“商”型） 44．已知定义在区间上的函数，对任意均有，且当时，. (1)求的值； (2)判断的单调性并予以证明； (3)若，解不等式. 【答案】(1)0 (2) 在区间上单调递减，证明如下： 任取，且，则， 因为当时，，所以 由得 ，所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. (3) 【分析】（1）可对，进行赋值求出； （2）先设，且，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由及可求，然后再根据单调性把原不等式进行转化即可求解． 【详解】（1）令，代入得， 故. （2）略 （3）由得，即， 又，所以. 由得， 由（2）知，函数在区间上单调递减， 得解得 因此不等式的解集为. 【变式】已知函数的定义域是且当时，，且，满足不等式的的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用函数的单调性定义得到在递减，然后将不等式转化为求解. 【详解】， 任取，则， 因为时，，所以 故 所以因此在递减， 不等式，即 . 故答案为： （一般推导） 45．设是定义在上的不恒为0的函数，且满足：①，；②当时，．则下列结论错误的是（    ） A． B．， C．在上是减函数 D．的最小值为2 【答案】D 【详解】令，，得，则或． 若，令，则对，， 这与“是定义在上的不恒为0的函数”矛盾， ，故A正确； 当时，由②可知； 当时，由选项A可知，； 当时，，由②可知， 令，，则，故； 综上，，，故B正确； 对，且，则，由②得， ，即， 在上为减函数，从而在上是减函数，故C正确； 在开区间上为减函数， 没有最小值，故D错误． 46．（多选）已知定义在上的函数满足下列条件：①；②当时，．则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递减 【答案】ACD 【分析】利用赋值法判断AB，利用赋值法，以及不等式，判断C，根据函数单调性的定义，再结合赋值法和不等式判断D. 【详解】A选项，令，得，所以，A正确； B选项，令，得，，不恒为0，故B错误； C选项，令，得，当时，，，所以，所以，C正确； D选项，设任意，，且，令，， 则有，即， 由于，故有，，， 所以，即，故在上单调递减，D正确． 47．（多选）已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，则（   ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】令，即可求出；令，计算可判断A；根据题意，当时，，可得，可判断B；利用单调性定义结合题意证明单调性，即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数的单调性解不等式即可判断D. 【详解】令，则，即， 令，所以，即，故A错误. 当时，，所以， 由，得，.故B正确： 任取,且，则 ， 因为，所以，所以， 又当时，，当时，，所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减，故C正确： 因为，又， ， 所以，由不等式， 得， 又在上单调递减，所以，即，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：BCD. 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $