专题44 一次函数的简单应用（题型专练）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 以一次函数应用为主线，通过8类题型构建“方法总结-典例示范-变式迁移”体系，实现从数学眼光抽象问题、数学思维推理求解到数学语言表达的素养落地。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |行程问题|1典例+3变式|图像解读四要点+五步解题法|从路程公式抽象一次函数，通过图像交点与分段分析解决相遇、距离问题| |利润问题|1典例+3变式|总利润表达式+增减性判断法|建立销量与售价函数关系，结合自变量范围求最值| |方案设计/选择/阶梯计价/几何/工程/其他|各1典例+3变式|函数建模+不等式约束+整数解筛选|从实际情境抽象分段函数，通过临界点分析与范围限制解决最优方案、计价等问题|

专题44 一次函数的简单应用 （题型突破·举一反三） 题型01 行程问题 题型02 利润问题 题型03 方案设计问题 题型04 方案选择问题 题型05 阶梯计价问题 题型06 几何问题 题型07 工程问题 题型08 其他问题 ▌题型01 行程问题 1. 行程的基础公式：路程=速度×时间， 一次函数形式： ：代表速度；，距离随时间增大而变大；的绝对值越大，速度越快。 ：时的路程，初始位置（出发时距离参考点的距离）。 2. 图像解读要点： （1）倾斜上升线段：匀速远离； （2）倾斜下降线段：匀速靠近； （3）水平线段：不变，静止、停留； （4）图像交点：同一时刻，两人距离参考点路程相等 → 相遇。 3.常见结论 （1） 匀速运动，路程与时间为一次函数；静止时，函数为常数函数（图像水平）。 （2）两个动点图像交点 ⇒ 相遇；交点横坐标=相遇时间，纵坐标=相遇时路程。 （3）求某时刻两人距离：同一，两个作差取绝对值。 （4）求相距指定距离：列解方程。 4. 解题步骤 （1）看坐标轴：分清横轴是时间，纵轴是路程； （2）提取关键点：起点、终点、拐点、交点坐标； （3）待定系数法，分段求出每一段函数解析式； （4）相遇：令；相距一定距离：列； （5）算出结果，检验时间是否在本段自变量取值范围内，舍去不合理解。 【典例1】（2025春•莱州市期末）A，B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲乙两人与A地的距离y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OP与EF交于点M，下列说法：①y乙＝﹣2x+12；②线段OP对应的y甲与x的函数关系式为y甲＝18x；③两人相遇地点与A地的距离是9km；④经过小时或小时时，甲乙两个相距3km．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】（2025秋•兴化市期末）如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段OP、MN分别表示小红、小芳两人距离A地的距离y（米）与跑步时间x（分钟）的函数图象． （1）AC＝　 　 米； （2）记线段OP、MN的交点为Q，求Q点坐标，并解释该点的实际意义； （3）若小红到达B地后，3分钟后小芳也到达B地，求A、B两地间的距离． 【变式1-2】（2026春•中山市期末）综合与应用 某生态保护区内，A点为保护区入口，B点为区内一处观测站，A，B两点直线距离为50公里．甲是一名护林员，于某日下午1点驾驶低速电动巡逻车从A点出发前往B点，沿区内主路行驶，该主路为A点和B点间一条直线道路．乙是另一名护林员，同日下午2点驾驶高性能越野摩托车从A点出发，沿相同路线前往B点．如图，图中的折线CDE和线段MN分别表示甲、乙离A点的距离s（单位：千米）与该日下午时间t（单位：时）之间的关系．请根据图象回答下列问题： （1）求图中线段DE所在直线的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）求甲出发几小时后两人在途中相遇； （3）两人均佩戴应急通讯设备，最大通讯距离为10千米．乙到达B点后停留半小时（处理观测站事务），然后立即按原路以原速度返回A点．求乙从A点出发到最终回到A点的整个过程中，两人能够保持通讯的总时长． 【变式1-3】（2026春•西城区校级期中）王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（km）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系． 根据图象回答问题： （1）学校与图书馆的距离是　 　 km；王鹏在图书馆停留的时间为　 　 分钟； （2）相遇前，二人之间的距离的最大值是　 　 km； （3）当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？ ▌题型02 利润问题 1. 基础公式 （1）单件利润 = 售价 − 进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 × 销售量 （3）销售量随售价变化，一般是一次函数：：销量，：售价）， 总利润 (售价-成本)×销量，代入后得到 关于的一次函数。 2. 常见结论 （1）先求销量与售价的一次函数； （2）列出总利润表达式，化简为一次函数； （3）根据题意找到售价的取值范围； （4） 判断正负： 当时，随增大而增大，范围右端点利润最大； 当时，随增大而减小，范围左端点利润最大。 3. 解题步骤 （1）分清变量：确定自变量（售价/降价），列出销量； （2） 写出总利润公式，化简得到利润的一次函数； （3）根据题意，列出自变量取值范围（成本、售价限制，非负数）； （4）判断正负，利用增减性，在区间端点计算最值；检验结果符合实际意义。 【典例1】（2026春•东湖区校级期末）某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共600kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于200kg，且不高于400kg，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 【变式1-1】（2025秋•沛县期末）某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 【变式1-2】（2026春•岚山区期末）文具店购进A，B两种型号的计算器进行零售，进价和零售价如下表所示： 类型 进价（元/个） 零售价（元/个） A型计算器 40 60 B型计算器 25 40 若购进A型计算器x个，B型计算器y个，正好花费5000元．请解决下列问题． （1）y＝　 　 （用含x的代数式表示）； （2）根据市场销售情况，B型计算器的进货数量不多于A型计算器的，请问文具店如何进货，才能使两种计算器全部售完后能获得最大利润？ 【变式1-3】（2026•高新区校级模拟）某网店为了备货“618”电商节，积极进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种产品． 产品信息： ①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元； ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同． （1）从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； （2）在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以130元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润． ▌题型03 方案设计问题 1. 解题思路 （1）先建立总费用/总收益的一次函数； （2）利用题干约束（总量、数量关系、预算限制）列不等式，锁定范围； （3）为物品数量，只能取整数； （4）根据的正负判断增减，选出最优方案（费用最少或利润最大）。 2. 解题步骤 （1）设变量：设其中一种物品数量为； （2）列函数：写出总费用（总利润）关于的一次函数； （3）列不等式：根据数量、预算、比例限制，列出不等式组，求出x取值范围； （4）找整数：代表个数，取范围内全部整数，得到所有可行方案； （5）判增减：看正负，确定最优方案； （6） 作答：写出最优方案以及最小费用/最大利润。 【典例1】（2026•广东校级一模）【素材呈现】 在全球气候变暖的大背景下，二氧化碳排放量持续走高是亟需应对的重要难题，开展植树造林等绿化工作可以助力实现碳中和．根据相关统计结果，2棵成年的阔叶树种（例如杨树）和2棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收564千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收1520千克二氧化碳． 【问题解决】 （1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． ①求w与a的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的三分之一，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【变式1-1】（2026春•龙岗区期中）为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球．已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元． （1）求排球、足球的单价各是多少元； （2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的．若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用． 【变式1-2】（2026春•沈阳校级期末）某校计划引入智能扫地机器人．八年级数学学习小组承接本次调研任务，通过实地测试、数据分析、方案比对，在有限采购预算下，设计出效率最优的扫地机器人采购方案，为学校采购决策提供依据． 学习小组根据商家提供的A型智能扫地机器人进行连续工作测试数据，推算出机器人扫地平均速度v（平方米/小时）与连续工作时间t（小时）存在变化规律．某一段时间内测试结果的图象如图所示，其中0≤t≤6为匀速减缓工作阶段．t＝6时，机器人进入稳定工作状态，平均速度为n平方米/小时．已知图象经过点（0，140），（2，120）． （1）当0≤t≤6时，求扫地平均速度v与工作时间t的函数关系式． （2）求机器人稳定工作状态时的平均速度n的值． （3）学校拟采购A、B两种型号智能机器人共4台，为节约设备损耗，所有机器人均采用稳定模式工作： ①A型机器人：单价0.3万元/台，稳定工作平均速度为n平方米/小时； ②B型机器人：单价0.2万元/台，稳定工作平均速度为60平方米/小时． 本次采购总预算不超过1万元，请求出扫地速度最快的采购方案，并说明理由． 【变式1-3】（2026•市中区模拟）绿动未来——树木固碳护家园 【素材呈现】 为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，10棵成年杨树和10棵成年冷杉每年大约吸收2820千克二氧化碳，而5棵成年杨树和6棵成年冷杉每年大约吸收1520千克二氧化碳． 【问题解决】 （1）填空：每年每棵成年杨树大约吸收二氧化碳 千克； （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． ①求w与a的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． ▌题型04 方案选择问题 设自变量（购买数量、里程、时间等），写出每个方案对应的总费用函数： ， 1. 令，解方程，得到临界点。 2. 以临界点为分界，分三段讨论： 临界点：比较，，选费用小的方案 临界点：两个方案费用一样 临界点：另一个方案更划算。 【典例1】（2025秋•梅县区期末）梅州某健身房暑期面向全体市民推出会员制优惠活动，方案如下： 方案一：在微信朋友圈转发一次宣传广告，成为普通会员，每次健身费用享受8.5折优惠； 方案二：缴纳180元会费，成为VIP会员，每次健身费用享受5折优惠． 已知优惠前每次健身费用为a元，设某市民暑期健身x次，按照方案一所需费用为y1元，且y1＝k1x；按照方案二所需费用为y2元，且y2＝k2x+b，其对应函数图象如图所示． （1）求y2的函数表达式； （2）求a和k1的值； （3）若市民小李计划暑期前往该健身房健身12次，选择哪种方案所需费用较少？并说明理由． 【变式1-1】（2026•云南模拟）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示． （1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式； （2）请根据函数图象，选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 【变式1-2】（2026春•新泰市期末）为了“不忘历史，学习英雄”，学校开展“红色丰碑”演讲比赛；王老师负责为获奖同学购买奖品，现甲、乙两个商店正在做促销活动，分别给出了不同的优惠方案： 甲商店优惠方案：购买奖品金额超过300元后，超出300元的部分按8折收费； 乙商店优惠方案：购买奖品金额超过500元后，超出500元的部分按a折收费； 如果王老师到乙商店购买奖品，当奖品金额是600元时，实际需支付570元． （1）填空：a＝　 　 ． （2）如果王老师到甲商店购买奖品金额x元，求实际支付y元与奖品金额x元之间的函数表达式． （3）如果王老师购买奖品的金额超过800元，那么到哪个商店进行采购更合算？ 【变式1-3】（2026春•临邑县期末）某服装店招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成25元； 方案二：底薪3000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成20元． 设销售人员每月售出x件商品，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为y1，y2（单位：元）． （1）分别写出y1，y2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． （2）若销售人员小王某月售出了150件商品，则他应该选择哪种方案，才能得到更高的月工资？请说明理由．（3）根据每月售出商品的件数，销售人员小王应如何选择方案，才能得到更高的月工资？ ▌题型05 阶梯计价问题 1.不同区间，单价不一样，函数分段，每一段都是一次函数；图像由多条线段拼接而成。如水费、电费、燃气费、出租车车费。 2.阶梯收费规则：用量在第1档，单价；超过一档额度，超出部分按第2档单价；再超，执行第3档单价。总费用是用量的分段一次函数。 3. 常用结论 （1）分段函数，一段一解析式，必须标注每一段自变量取值范围； （2）求费用：先看用量x落在第几档，代入对应段解析式； （3）已知总费用反求用量：先估算，判断费用落在第几档，再列式计算； （4）图像特征：每一段倾斜直线；单价越大，线段倾斜程度越陡；水平线段极少出现。 4. 解题步骤 （1）读懂收费规则，找到每一档的分界数量； （2）分段列出函数，每一段后面必须带上范围； （3）已知用量求费用：判断属于哪一段，代入对应式子； （4）已知总费用反求用量：先计算各档最大费用，判断费用落在第几档；再列方程求解； （5）检验结果，看算出的是否匹配本段区间。 【典例1】（2025秋•秦都区期末）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民12月份用水x吨，应交水费y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果该户居民12月交水费20元，那么该户居民12月用了多少吨水？ 【变式1-1】（2026春•如皋市期末）为了满足不同客户的需求，话费公司推出两种流量套餐： 套餐种类 计费方式 A 基础费用每月30元（包含15GB通用流量），超过部分每GB收费1元； B 通用流量2.5元/GB，当月使用流量达到20GB后不再收取额外费用． （1）请分别写出A，B套餐所需费用y（单位：元）与当月使用流量x（单位：GB）之间的函数关系式； （2）某消费者每月使用流量超过20GB，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由． 【变式1-2】（2026春•渭滨区校级期末）某市出租车车费标准如下：3km以内（含3km）收费8元；超过3km的部分每千米收费1.6元． （1）写出应收费y（元）与出租车行驶路程x（km）之间的关系式（其中x＞3）． （2）小亮乘出租车行驶4km，应付车费多少元？ （3）如果小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？ 【变式1-3】（2026春•汉台区期末）某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运20kg行李，超出部分每千克按经济舱全票价的1.5%计费．张叔叔出差携带的行李超过20kg，他这次乘坐经济舱的全票价为2000元．设他携带的行李为xkg，需交的行李费用为y元． （1）请写出y与x之间的关系式； （2）若张叔叔希望托运行李的费用不超过150元，则他最多可携带的行李为多少千克？ ▌题型06 几何问题 1. 求关键点坐标：直线与坐标轴交点、两直线交点； 2. 在坐标系标出点； 3. 求线段长度：坐标差取绝对值； 4. 面积：底乘高、割补法、铅锤高水平宽； 5. 平行/垂直：利用的关系求解析式； 6. 存在性：分类讨论，列方程，检验解是否符合题意。 【典例1】（2026•呼和浩特模拟）道路隔离护栏在交通管理中发挥着多重作用，主要包括分隔与规范交通、安全防护与事故预防、导向与警示作用等，如图1．将该图简化为立柱和栅栏，如图2，所有栅栏和立柱均相同，栅栏两侧都有立柱．栅栏的宽度为290cm，立柱的宽度为10cm（不计材料厚度）．回答以下问题： （1）请你用函数解析式表示道路隔离护栏的总长度L（单位：cm）与栅栏数n（单位：个）的关系； （2）在路程为310m的相邻两个路口之间安装道路隔离护栏（无间断，笔直安装），道路隔离护栏两侧尽可能接近路口两侧，求最多可以安装多少个栅栏？ 【变式1-1】（2025春•长乐区校级期中）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． （1）求鸡场的长y（米）与宽x（米）的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围． 【变式1-2】如图1，把一个长方体铁块放置在高为50cm的圆柱形容器内，袁浪浪以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．他根据实验数据制作如图2所示的函数图象，其中容器顶部离水面的距离为y（厘米），注水时间为x（分）． （1）长方体的高度为 　 　 cm． （2）求该容器水面没过长方体后与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）袁浪浪将长方体铁块去掉后，重新做注水实验，且水面上升速度为5厘米/分，他发现当容器顶部离水面的距离为a厘米时，两次实验的时间相同，求a的值． 【变式1-3】将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸按如图的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm （1）求5张白纸粘合后的长度； （2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，写出y与x之间的关系式，并求x＝20时，y的值． ▌题型07 工程问题 1. 分清变量：横轴时间，纵轴一般是剩余工作量； 2. 提取关键点：开工点、停工拐点、完工点； 3. 分段用待定系数法，写出每一段函数，标注自变量范围； 4. 合作：效率相加；停工：效率为0； 5. 完工条件：剩余工作量；工程量差值用绝对值列式； 6. 算出结果，检验是否在本段区间，舍去不合理解。 【典例1】（2026春•永定区期末）某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业x天累计生产服装的数量为y件，y与x之间的关系如图所示． （1）这批服装一共有　 　 件； （2）求增加工人后y与x的函数表达式； （3）已知这批服装的出厂价为每件100元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件70元，从第6天起每件的成本比原先增加了5元，问：前多少天的总利润恰好为13500元？（利润等于出厂价减去成本） 【变式1-1】（2026春•沙河口区校级期末）冷链快递中转仓库，观测时段内，生鲜入库、出库速度保持恒定．前4小时只入库不出库，接下来8小时入、出库同时进行，12小时后停止入库，只出库．如图为仓库内生鲜货物总重量y（kg）与时间t（h）的图象（其中0≤t≤4与4＜t≤12与12＜t≤a时，线段的解析式不同）． （1）当0≤t≤4时，求y关于t的函数解析式； （2）求a的值． 【变式1-2】（2026•延边州模拟）为保障城市居民夏季用电稳定，甲、乙两个电力工程队同时对某段老旧输电线路进行改造升级，两队每天改造的线路长度均保持不变，合作一段时间后，乙队因设备检修停工，由甲队单独完成了剩余任务，甲、乙两队改造的线路总长度y（m）与甲队施工时间x（天）之间的关系如图所示． （1）甲队比乙队多施工了　 　 天； （2）求乙队停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当甲队改造的总长度比乙队改造总长度多130m时，求乙队已经停工的天数． 【变式1-3】（2026春•朝阳区校级期末）本学期，我校地理学科组织了以“粽香润地学，仓韵育家园”为主题的学科文化节活动．活动中，七年级和八年级各组建一支代表队参与包粽子．八年级代表队先独立包粽子，一段时间后，七年级代表队加入，两队共同包粽子，且各自的包粽速度保持不变．两队包粽子的总个数y（个）与活动开始后经过的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）八年级代表队每小时包粽子　 　 个，七年级代表队每小时包粽子　 　 个． （2）求七年级代表队加入后，y与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． （3）当包完的粽子数量恰好是总数量的时，求八年级代表队包粽子的个数． ▌题型08 其他问题 1. 审题：分清自变量、因变量； 2. 找两组对应，待定系数求； 3. 根据实际，写出自变量取值范围； 4. 根据正负，判断增减性，求值/求范围； 5. 检验结果，符合题意再作答。 【典例1】（2026春•盂县期末）某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1kgA种食材和1kgB种食材共需68元，购买5kgA种食材和3kgB种食材共需280元． （1）求A，B两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共36kg，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【变式1-1】（2026春•南皮县校级月考）在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数y（次/分）与这个人年龄x（岁）满足关系式：y＝kx+b（其中k，b均为常数）． （1）根据图1中提供的信息，求一次函数的表达式； （2）图2中，一位69岁的老人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为20次，他是否有危险？为什么？ 【变式1-2】（2026春•长汀县期末）小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务． 信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图． 信息二：图2是6个碗叠放的总高度y（cm）和碗的数量x（个）的函数图象． 根据以上信息，完成以下任务： （1）任务一：写出碗叠放的总高度y（cm）和碗的数量x（个）的函数表达式：　 　 ． （2）任务二：碗柜某隔层的内部净高为20cm，底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由． 【变式1-3】（2026春•郊区期末）探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为16%时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中t（s）为燃烧时间，y（%）为氧气含量． 完成下列任务 任务一 当燃烧时间为150s时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题44 一次函数的简单应用 （题型突破·举一反三） ▌题型01 行程问题 【典例1】C． 【变式1-1】 【解答】解：（1）根据函数图象得：AC＝1200米； 故答案为：1200； （2）根据函数图象可知小红速度为：（米/分）， 小芳速度为：（米/分）， 相遇时小红用的时间为：（分钟）， 相遇时小红跑的路程为：200×4＝800（米）， ∴点Q（4，800），点Q表示小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米． （3）设A、B两地的距离为s米．则： ， 解得s＝600， 答：A、B两地的距离为600米． 【变式1-2】 【解答】解：（1）设图中线段DE所在直线的解析式为s＝kt+b（k≠0）， 将D（2，20），E（5，50）代入s＝kt+b得：， 解得：， ∴图中线段DE所在直线的解析式为s＝10t（2≤t≤5）； （2）设图中线段MN所在直线的解析式为s＝mt+n（m≠0）， 将M（2，0），N（3，50）代入s＝mt+n得：， 解得：， ∴图中线段MN所在直线的解析式为s＝50t﹣100（2≤t≤3）． 联立两直线的解析式组成方程组得：， 解得：． 答：甲出发2.5小时后两人在途中相遇； （3）画出乙从B点返回A点的函数图象（线段PQ），如图所示， 根据题意得：图中线段PQ所在直线的解析式为s＝50﹣50（t﹣3.5）＝﹣50t+225（3.5≤t≤4.5）．当2≤t≤3时，|10t﹣（50t﹣100）|＝10， 即100﹣40t＝10或40t﹣100＝10， 解得：t或t； 当3.5≤t≤4.5时，|﹣50t+225﹣（10t）|＝10， 即225﹣60t＝10或60t﹣225＝10， 解得：t或t， ∴乙从A点出发到最终回到A点的整个过程中，两人能够保持通讯的总时长为（）+（）（小时）． 答：乙从A点出发到最终回到A点的整个过程中，两人能够保持通讯的总时长为小时． 【变式1-3】 【解答】解：（1）图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（km）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系．由图可得： 学校与图书馆的距离是4km；王鹏在图书馆停留的时间为30﹣15＝15分钟； 故答案为：4，15； （2）由图象可知，线段OA所在直线，s是t的正比例函数， 设OA所在直线的函数解析式为s＝kt（k≠0）， 代入（15，4），得：4＝15k， 解得：， OA所在直线的函数解析式为， AB所在直线的函数解析式为s＝4（15≤t≤30）， 同理：BC所在直线的函数解析式为， 同理：OD所在直线的函数解析式为， 当0≤t≤15时，， 当t＝15时，取得最大值为：； 当15≤t≤30时，二人之间的距离为：， 当t＝15时，取得最大值为：； 当30≤t≤45时，王鹏查完资料，从原路往回返，与李明的距离一直缩小， ∴二人之间的距离的最大值是km； 故答案为：； （3）由（2）得OD所在直线的函数解析式为，BC所在直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴． ▌题型02 利润问题 【典例1】 【解答】解：（1）当0≤x≤200时，设y＝k′x，则200k′＝3000， 解得k′＝15， ∴y＝15x； 当x＞200时，设y＝kx+b，由条件可得： ， 解得， ∴y＝12x+600． ∴； （2）设利润为w元，购进乙种产品x千克，乙种产品进价为3000÷200＝15 （元/千克）， ①当x＝200时， w＝（12﹣8）×（600﹣200）+18×200﹣15×200＝2200， ②当200＜x≤400时，w＝（12﹣8）（600﹣x）+18x﹣（12x+600）＝2x+1800， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝400时，w最大值＝800+1800＝2600 （元）， 综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 【变式1-1】 【解答】解：（1）由题意可得， y＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000， 即y关于x的函数解析式为y＝﹣50x+15000； （2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍， ∴100﹣x≤3x， 解得x≥25， ∵y＝﹣50x+15000，k＝﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝13750，100﹣x＝75， 答：该商店购进A型25台、B型电脑75台时，才能使销售总利润最大，最大利润为13750元． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由题意可得，40x+25y＝5000， ∴； 故答案为：200； （2）由题意可得，， 解得， 设获得的总利润为w元， 根据题意得，， ∵﹣4＜0， ∴w随x的增大而减小， ∵x、y为整数， ∴当x＝85时，y为整数，且w有最大值， 此时， 答：购进A型计算器85个，B型计算器64个，可使全部售完后获得最大利润． 【变式1-3】 【解答】解：（1）①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元； ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同． 设甲种产品每箱的价格是x元，乙种产品每箱的价格是y元． 若选择条件①②，根据题意得 ， 解得， 若选择条件①③，根据题意得 ， 解得， 若选择条件②③，根据题意得 ， 解得， 答：甲种产品每箱的价格是100元，乙种产品每箱的价格是40元； （2）该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍， 设购进m箱甲种产品，总利润为w元． 根据题意得：m≥2（600﹣m）， 解得：m≥400， 结合实际可知m≤600， 因此400≤m≤600． 每箱甲种产品的利润为130﹣100＝30（元）， 每箱乙种产品的利润为80﹣40＝40（元）， 因此总利润w＝30m+40（600﹣m）＝﹣10m+24000， ∵﹣10＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝400时，w取得最大值，最大值为﹣10×400+24000＝20000 （元）， 答：当甲种产品数量为400箱时，该店获总利润最大，最大利润为20000元． ▌题型03 方案设计问题 【典例1】 【解答】解：（1）设每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳x千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳y千克，根据题意得： ， 解得， 答：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳172千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳110千克； （2）①w＝172a+110（100﹣a）＝62a+11000； ②由题意得， 解得a≤25， 由①得w＝62a+11000， ∴当a＝25时，w有最大是75棵， 答：采购杨树25棵，冷杉75棵一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【变式1-1】 【解答】解：（1）设排球的单价为a元，足球的单价为b元， 由题意可得：， 解得， 答：排球的单价为90元，足球的单价为70元； （2）设购买足球x个，则购买排球（60﹣x）个， ∵学校计划用不超过5200元的总费用一次性购买这款排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的， ， 解得10≤x≤15， ∵x为整数， ∴x＝10，11，12，13，14，15， 由于足球单价（70元）低于排球单价（90元），要使总费用最低，应尽可能多买足球，即x＝15， 此时：足球数量：15个， 排球数量：60﹣15＝45个， 总费用：45×90+15×70＝4050+1050＝5100元， 答：最省钱的方案是购买排球45个、足球15个，总费用为5100元． 【变式1-2】 【解答】解：（1）当0≤t≤6时，设v与t的函数的解析式为v＝kt+b（k≠0）， 由条件可得， 解得， ∴v与t的函数解析式为v＝﹣10t+140（0≤t≤6）； （2）由图可得，当t＝6时，n＝﹣10×6+140＝80， ∴机器人稳定工作速度n＝80； （3）采购A型机器人2台，B型机器人2台，扫地速度最快；理由如下： 设采购A型机器人x台，则采购B型机器人（4﹣x）台（x为非负整数）， ∵总预算不超过1万元， ∴0.3x+0.2（4﹣x）≤1， 解得x≤2， 设机器人总扫地速度为y平方米/小时， 根据两种机器人工作速度得：y＝80x+60（4﹣x）＝20x+240， ∵20＞0，y随x的增大而增大，x≤2且x为非负整数， ∴当x＝2时，总扫地速度y取得最大值， 此时4﹣x＝2，y＝20×2+240＝280（平方米/小时）． ∴采购A型机器人2台，B型机器人2台，扫地速度最快． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设每年每棵成年杨树大约吸收二氧化碳千克，每棵成年冷杉大约吸收二氧化碳千克． 则， 解得， ∴每年每棵成年杨树大约吸收二氧化碳千克． 故答案为：； （2）①已知购买杨树棵，则购买冷杉为棵， ， ， ， ②由题意得 解得， ∵中， ∴随的增大而增大， ∴当=33时，取得最大值，为67． ∴采购方案为购买杨树33棵，冷杉67棵时，吸收的二氧化碳总量最大． ▌题型04 方案选择问题 【典例1】 【解答】本题考查了一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键．本题考查了一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键；解：（1）把（3，330）和（0，180）代入y2＝k2x+b， 得3k2+b＝330，① b＝180，② 将②代入①，得k2＝50， 所以y2的函数表达式为y2＝50x+180． （2）由（1）知y2的函数表达式为y2＝50x+180． 令x＝1，得y2＝50×1+180＝230． 由题意，得230﹣180＝50（元），即一次健身享受5折优惠后的费用为50元， 所以a＝50÷50%＝100． 由方案一知k1＝100×85%＝85． （3）选择方案二所需费用较少． 理由：由（1）（2）知y1＝85x，y2＝50x+180． 当x＝12时，y1＝85×12＝1020，y2＝50×12+180＝780． 因为780＜1020，所以选择方案二所需费用较少． 【变式1-1】 【解答】解：（1）由题意可得，y甲＝0.85x； 乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x； 当x＞300时，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90 由上可得，y乙与x的函数关系式为； （2）由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，结合图象可知， 当x＜600时，选择甲商店更合算； 当x＝600时，两家商店所需费用相同； 当x＞600时，选择乙商店更合算． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由题意，得500+（600﹣500）570， 解得x＝7， 故答案为：7； （2）由题意，得y甲； （3）由题意，得y乙＝0.7x+150（x＞500）， 0.8x+60＝0.7x+150，解得x＝900， 0.8x+60＞0.7x+150，解得x＞900， 0.8x+60＜0.7x+150，解得x＜900， 当800＜x＜900时，到甲商店更合算；当x＝900时，两家商店任选一个；当x＞900时，到乙商店更合算． 【变式1-3】 【解答】解：（1）设销售人员每月售出x件商品，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为y1，y2（单位：元）， 依题意，得：y1＝25x（x≥0）， 当0≤x≤100时，依题意得：y2＝3000； 当x＞100时，依题意得：y2＝3000+20（x﹣100）＝20x+1000， 综上所述，； （2）他应该选择方案二，才能得到更高的月工资．理由如下： 方案一：当x＝150时，y1＝25×150＝3750（元）； 方案二：当x＝150时，y2＝20×150+1000＝4000（元）； 3750＜4000， ∴他应该选择方案二，才能得到更高的月工资； （3）当x＝100时，得：y1＝25×100＝2500＜3000． ∵25＞0， ∴y1随x的增大而增大． ∴当0≤x≤100时，y1＜y2． 当x＞100时， 令y1＜y2，得：25x＜20x+1000． 解得x＜200； 令y1＝y2，得：25x＝20x+1000． 解得x＝200． 令y1＞y2，得：25x＞20x+1000． 解得x＞200． 综上所述，当0≤x＜200时，选择方案二能得到更高的月工资；当x＝200时，选择方案一和方案二得到的月工资相同；当x＞200时，选择方案一能得到更高的月工资． ▌题型05 阶梯计价问题 【典例1】 【解答】解：（1）当0≤x≤6时，y＝1.5x， 当x＞6时，y＝1.5×6+2.2（x﹣6）＝2.2x﹣4.2， 综上所述，； （2）∵1.5×6＝9＜20， ∴该户居民12月的用水量超过6吨， 在y＝2.2x﹣4.2中， 当y＝20时，2.2x﹣4.2＝20， 解得x＝11， 答：该户居民 12月用了11吨水． 【变式1-1】 【解答】解：（1）A套餐：当0≤x≤15，yA＝30； 当x＞15，yA＝30+（x﹣15）＝x+15， yA， B套餐：当0≤x≤20，yB＝2.5x； 当x＞20，yB＝2.5×20＝50， yB， （2）x＞20时，yA＝x+15，yB＝50， 令x+15＝50，得x＝35， ①20＜x＜35，yA＜yB，选A套餐； ②x＝35，两种套餐费用相等； ③x＞35，yA＞yB，选B套餐． 【变式1-2】 【解答】解：（1）3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分每千米收费1.6元， 当x＞3时，总车费等于起步费加上超出的费用， 因此应收费y（元）与出租车行驶路程x（km）之间的关系式：y＝8+1.6（x﹣3）＝1.6x+3.2（x＞3）； （2）将x＝4代入y＝1.6x+3.2得y＝1.6×4+3.2＝9.6， 答：应付车费9.6元； （3）将y＝16代入y＝1.6x+3.2得16＝1.6x+3.2， 解得x＝8， 答：出租车行驶了8千米． 【变式1-3】 【解答】解：（1）当行李重量x＞20时，超出免费托运的重量为（x﹣20）kg． 每千克超重行李的费用为2000×1.5%＝30（元）， 因此，y＝30（x﹣20）＝30x﹣600（x＞20）； （2）已知托运费用不超过150元，即y≤150． 将y＝30x﹣600代入不等式30x﹣600≤150， 解得x≤25， 因此，张叔叔最多可携带的行李为25千克． ▌题型06 几何问题 【典例1】 【解答】解：（1）L随栅栏数n的增加而增加， 由护栏的总长度L随栅栏数n的变化规律得L＝290n+10（n+1）＝300n+10， 即L＝300n+10； （2）310m＝31000cm， 由题意，得L＝300n+10≤31000， 解得n≤103.3， ∵n为正整数， ∴最多可以安装103个栅栏． 【变式1-1】 【解答】解：（1）鸡场的长y（米）与宽x（米）的函数关系式为y＝40﹣2x． （2）根据题意，得， 解得11≤x＜20， ∴自变量x的取值范围是11≤x＜20． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由题意可得：0至3min时，容器顶部离水面的距离变小得快，3分钟后容器顶部离水面的距离变小减慢， 故长方体的高为50﹣30＝20（cm）； 故答案为：20； （2）容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由题意得， 解得， ∴该容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式为yx+35； 当y＝0时，x+35＝0，解答x＝21， ∴自变量x的取值范围为3≤x≤21； （3）∵重新做注水实验，水面上升速度为5厘米/分， ∴a＝50﹣5x， 在yx+35中，令y＝a得ax+35， 解得， ∴a的值为． 【变式1-3】 【解答】解：（1）由题意，得 30×5﹣3×（5﹣1）＝138． 所以5张白纸粘合后的长度为138cm． （2）y＝30x﹣3（x﹣1）＝27x+3． 所以y与x的关系式为y＝27x+3． 当x＝20时，y＝27×20+3＝543． 所以当x＝20时，y的值为543cm． ▌题型07 工程问题 【典例1】 【解答】解：（1）根据图象可知，这批服装一共有800件； 故答案为：800； （2）设增加工人后y与x的函数表达式为y＝mx+n（m≠0），由题意可得： ， 解得， ∴y＝60x﹣100（5＜x≤15）； （3）设前x天的总利润恰好为13500元． 当x≤5时，，不符合题意； 当x＞5时，6000+（60x﹣100﹣200）（100﹣70﹣5）＝13500， 解得x＝10， 答：前10天的总利润恰好为13500元． 【变式1-1】 【解答】解：（1）由图象可知，0≤t≤4时函数为正比例函数，设y关于t的函数解析式为y＝kt（k≠0），将（4，2000）代入得： 4k＝2000， 解得：k＝500， ∴y关于t的函数解析式为y＝500t（0≤t≤4）； （2）入库速度：（kg/h）， 4到12小时时长：（h）， 货物增加量：（kg）， 每小时净增量：（kg）， 出库速度：（kg/h）， 12时仓库存货3000kg，全部出库用时：（h）， ∴a＝12+8＝20． 【变式1-2】 【解答】解：（1）甲队工作55天，乙队工作25天， 甲队比乙队多施工了55﹣25＝30天； 故答案为：30； （2）设乙队停工后y关于x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），由条件可得： ， 解得， ∴函数解析式为y＝6x+50（25≤x≤55）． （3）由（1）可知，甲队单独改造30天，改造的长度是380﹣200＝180（m），甲队每天改造6m． 前25天是甲乙合作改造完成200m， 则乙单独改造的长度是200﹣6×25＝50（m）， 当甲改造的长度是50+130＝180（m）时， 工作天数是180÷6＝30（天）， 所以乙队已停工的天数是30﹣25＝5（天）． 【变式1-3】 【解答】解：（1）根据题意得：八年级代表队每小时包粽子的数量为150÷3＝50（个）； 七年级代表队每小时包粽子的数量为（600﹣150）÷（8﹣3）﹣50＝40（个）． 故答案为：50，40； （2）设七年级代表队加入后，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（3，150），（8，600）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴七年级代表队加入后，y与x之间的函数关系式为y＝90x﹣120； （3）当y＝600240时，90x﹣120＝240， 解得：x＝4， ∴50x＝50×4＝200（个）． 答：当包完的粽子数量恰好是总数量的时，八年级代表队包了200个粽子． ▌题型08 其他问题 【典例1】 【解答】解：（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克， 由题意得， 解得， ∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元； （2）设A种食材购买m千克，B种食材购买（36﹣m）千克，总费用为w元，由题意得： w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080， 24≤m ∵k＝8＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元）， ∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元． 【变式1-1】 【解答】解：（1）依题意得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）他没有危险；理由如下： 当x＝69时，得：（次/分）， 即69岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数为128次/分， 而这位老人心跳为：（次/分）， ∵120＜128， ∴他没有危险． 【变式1-2】 【解答】解：（1）由图1知：增加4个碗，总高度增加8cm， ∴每增加一个碗，总高度增加8÷4＝2cm， 由图2知：当x＝0时，y＝4.5，且y与x是一次函数， ∴写出碗叠放的总高度y（cm）和碗的数量x（个）的函数表达式：y＝2x+4.5； 故答案为：y＝2x+4.5； （2）将15个碗分成两摞叠放，一摞7个碗，另一摞8个碗， 当x＝7时，y＝2×7+4.5＝18.5＜20， 当x＝8时，y＝2×8+4.5＝20.5＞20， ∴将15个碗分成两摞叠放，不能全部放入该隔层． 【变式1-3】 【解答】解：任务一：设蜡烛熄灭前，氧气含量与燃烧时间之间的函数关系式为：y＝kx+b， 把（0，50），（120，38）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y＝﹣0.1x+50， 当x＝150时，y＝﹣0.1×150+50＝﹣15+50＝35， ∴当燃烧时间为150s时，密闭容器中的氧气含量是35%； 任务二：当容器内的含氧量约为16%时，蜡烛会熄灭， ∴把y＝16代入y＝﹣0.1x+50中得：16＝﹣0.1x+50， 解得：x＝340， ∴当蜡烛燃烧340分钟时，会因为氧气不足而熄灭． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题44 一次函数的简单应用 （题型突破·举一反三） 题型01 行程问题 题型02 利润问题 题型03 方案设计问题 题型04 方案选择问题 题型05 阶梯计价问题 题型06 几何问题 题型07 工程问题 题型08 其他问题 ▌题型01 行程问题 1. 行程的基础公式：路程=速度×时间， 一次函数形式： ：代表速度；，距离随时间增大而变大；的绝对值越大，速度越快。 ：时的路程，初始位置（出发时距离参考点的距离）。 2. 图像解读要点： （1）倾斜上升线段：匀速远离； （2）倾斜下降线段：匀速靠近； （3）水平线段：不变，静止、停留； （4）图像交点：同一时刻，两人距离参考点路程相等 → 相遇。 3.常见结论 （1） 匀速运动，路程与时间为一次函数；静止时，函数为常数函数（图像水平）。 （2）两个动点图像交点 ⇒ 相遇；交点横坐标=相遇时间，纵坐标=相遇时路程。 （3）求某时刻两人距离：同一，两个作差取绝对值。 （4）求相距指定距离：列解方程。 4. 解题步骤 （1）看坐标轴：分清横轴是时间，纵轴是路程； （2）提取关键点：起点、终点、拐点、交点坐标； （3）待定系数法，分段求出每一段函数解析式； （4）相遇：令；相距一定距离：列； （5）算出结果，检验时间是否在本段自变量取值范围内，舍去不合理解。 【典例1】（2025春•莱州市期末）A，B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF分别表示甲乙两人与A地的距离y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系，且OP与EF交于点M，下列说法：①y乙＝﹣2x+12；②线段OP对应的y甲与x的函数关系式为y甲＝18x；③两人相遇地点与A地的距离是9km；④经过小时或小时时，甲乙两个相距3km．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点与A地的距离，可判断①③，根据函数图象中的数据，可以计算出线段OP对应的y甲与x的函数关系式，从而判断②，结合解析式，可以得到经过多少小时，甲、乙两人相距3km，可判断④． 【解答】解：设y乙与x的函数关系式是y乙＝kx+b， ∵点E（0，12），F（2，0）在函数y乙＝kx+b的图象上， ∴， 解得， ∴y乙与x的函数关系式是y乙＝﹣6x+12，故①错误，不符合题意； 当x＝0.5时，y乙＝﹣6×0.5+12＝9， 即两人相遇地点与A地的距离是9km，故③正确，符合题意； 设线段OP对应的y甲与x的函数关系式是y甲＝ax， ∵点（0.5，9）在函数y甲＝ax的图象上， ∴9＝0.5a， 解得a＝18， ∴线段OP对应的y甲与x的函数关系式是y甲＝18x，故②正确，符合题意； 令|18x﹣（﹣6x+12）|＝3， 解得，x1，x2， ∴经过小时或小时时，甲、乙两人相距3km，故④正确，符合题意； ∴正确的有②③④，共3个， 故选：C． 【变式1-1】（2025秋•兴化市期末）如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段OP、MN分别表示小红、小芳两人距离A地的距离y（米）与跑步时间x（分钟）的函数图象． （1）AC＝　1200　 米； （2）记线段OP、MN的交点为Q，求Q点坐标，并解释该点的实际意义； （3）若小红到达B地后，3分钟后小芳也到达B地，求A、B两地间的距离． 【分析】（1）根据函数图象直接得出答案即可； （2）根据图象求出两个人的速度，然后求出他们相遇的时间，再求出相遇时小红距离出发点的距离，即可求出点Q的坐标； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【解答】解：（1）根据函数图象得：AC＝1200米； 故答案为：1200； （2）根据函数图象可知小红速度为：（米/分）， 小芳速度为：（米/分）， 相遇时小红用的时间为：（分钟）， 相遇时小红跑的路程为：200×4＝800（米）， ∴点Q（4，800），点Q表示小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米． （3）设A、B两地的距离为s米．则： ， 解得s＝600， 答：A、B两地的距离为600米． 【变式1-2】（2026春•中山市期末）综合与应用 某生态保护区内，A点为保护区入口，B点为区内一处观测站，A，B两点直线距离为50公里．甲是一名护林员，于某日下午1点驾驶低速电动巡逻车从A点出发前往B点，沿区内主路行驶，该主路为A点和B点间一条直线道路．乙是另一名护林员，同日下午2点驾驶高性能越野摩托车从A点出发，沿相同路线前往B点．如图，图中的折线CDE和线段MN分别表示甲、乙离A点的距离s（单位：千米）与该日下午时间t（单位：时）之间的关系．请根据图象回答下列问题： （1）求图中线段DE所在直线的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）求甲出发几小时后两人在途中相遇； （3）两人均佩戴应急通讯设备，最大通讯距离为10千米．乙到达B点后停留半小时（处理观测站事务），然后立即按原路以原速度返回A点．求乙从A点出发到最终回到A点的整个过程中，两人能够保持通讯的总时长． 【分析】（1）根据点D，E的坐标，利用待定系数法，即可求出图中线段DE所在直线的解析式，结合点D，E的横坐标，即可得出自变量的取值范围； （2）根据点M，N的坐标，利用待定系数法，即可求出图中线段MN所在直线的解析式，联立两直线的解析式组成方程组，解之即可得出结论； （3）画出乙从B点返回A点的函数图象（线段PQ），求出线段PQ所在直线的解析式，分2≤t≤3及3.5≤t≤4.5两种情况考虑，根据两人相距10千米，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将两段时间相加，即可求出结论． 【解答】解：（1）设图中线段DE所在直线的解析式为s＝kt+b（k≠0）， 将D（2，20），E（5，50）代入s＝kt+b得：， 解得：， ∴图中线段DE所在直线的解析式为s＝10t（2≤t≤5）； （2）设图中线段MN所在直线的解析式为s＝mt+n（m≠0）， 将M（2，0），N（3，50）代入s＝mt+n得：， 解得：， ∴图中线段MN所在直线的解析式为s＝50t﹣100（2≤t≤3）． 联立两直线的解析式组成方程组得：， 解得：． 答：甲出发2.5小时后两人在途中相遇； （3）画出乙从B点返回A点的函数图象（线段PQ），如图所示， 根据题意得：图中线段PQ所在直线的解析式为s＝50﹣50（t﹣3.5）＝﹣50t+225（3.5≤t≤4.5）．当2≤t≤3时，|10t﹣（50t﹣100）|＝10， 即100﹣40t＝10或40t﹣100＝10， 解得：t或t； 当3.5≤t≤4.5时，|﹣50t+225﹣（10t）|＝10， 即225﹣60t＝10或60t﹣225＝10， 解得：t或t， ∴乙从A点出发到最终回到A点的整个过程中，两人能够保持通讯的总时长为（）+（）（小时）． 答：乙从A点出发到最终回到A点的整个过程中，两人能够保持通讯的总时长为小时． 【变式1-3】（2026春•西城区校级期中）王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（km）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系． 根据图象回答问题： （1）学校与图书馆的距离是　4　 km；王鹏在图书馆停留的时间为　15　 分钟； （2）相遇前，二人之间的距离的最大值是　　 km； （3）当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？ 【分析】（1）根据函数图象直接求解即可； （2）根据待定系数法分别得出OA所在直线的函数解析式为，AB所在直线的函数解析式为s＝4（15≤t≤30），同理：BC所在直线的函数解析式为，同理：OD所在直线的函数解析式为，分别作差求解即可； （3）由（2）得OD所在直线的函数解析式为，BC所在直线的函数解析式为，求出交点坐标，代入函数解析式即可求解． 【解答】解：（1）图中折线O﹣A﹣B﹣C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（km）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系．由图可得： 学校与图书馆的距离是4km；王鹏在图书馆停留的时间为30﹣15＝15分钟； 故答案为：4，15； （2）由图象可知，线段OA所在直线，s是t的正比例函数， 设OA所在直线的函数解析式为s＝kt（k≠0）， 代入（15，4），得：4＝15k， 解得：， OA所在直线的函数解析式为， AB所在直线的函数解析式为s＝4（15≤t≤30）， 同理：BC所在直线的函数解析式为， 同理：OD所在直线的函数解析式为， 当0≤t≤15时，， 当t＝15时，取得最大值为：； 当15≤t≤30时，二人之间的距离为：， 当t＝15时，取得最大值为：； 当30≤t≤45时，王鹏查完资料，从原路往回返，与李明的距离一直缩小， ∴二人之间的距离的最大值是km； 故答案为：； （3）由（2）得OD所在直线的函数解析式为，BC所在直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴． ▌题型02 利润问题 1. 基础公式 （1）单件利润 = 售价 − 进价（成本） （2）总利润 = 单件利润 × 销售量 （3）销售量随售价变化，一般是一次函数：：销量，：售价）， 总利润 (售价-成本)×销量，代入后得到 关于的一次函数。 2. 常见结论 （1）先求销量与售价的一次函数； （2）列出总利润表达式，化简为一次函数； （3）根据题意找到售价的取值范围； （4） 判断正负： 当时，随增大而增大，范围右端点利润最大； 当时，随增大而减小，范围左端点利润最大。 3. 解题步骤 （1）分清变量：确定自变量（售价/降价），列出销量； （2） 写出总利润公式，化简得到利润的一次函数； （3）根据题意，列出自变量取值范围（成本、售价限制，非负数）； （4）判断正负，利用增减性，在区间端点计算最值；检验结果符合实际意义。 【典例1】（2026春•东湖区校级期末）某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共600kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于200kg，且不高于400kg，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 【分析】（1）分两种情况，利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况，根据一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）当0≤x≤200时，设y＝k′x，则200k′＝3000， 解得k′＝15， ∴y＝15x； 当x＞200时，设y＝kx+b，由条件可得： ， 解得， ∴y＝12x+600． ∴； （2）设利润为w元，购进乙种产品x千克，乙种产品进价为3000÷200＝15 （元/千克）， ①当x＝200时， w＝（12﹣8）×（600﹣200）+18×200﹣15×200＝2200， ②当200＜x≤400时，w＝（12﹣8）（600﹣x）+18x﹣（12x+600）＝2x+1800， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝400时，w最大值＝800+1800＝2600 （元）， 综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 【变式1-1】（2025秋•沛县期末）某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y关于x的函数解析式； （2）根据该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，可以得到相应的不等式，从而可以得到x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到当购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润为多少． 【解答】解：（1）由题意可得， y＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000， 即y关于x的函数解析式为y＝﹣50x+15000； （2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍， ∴100﹣x≤3x， 解得x≥25， ∵y＝﹣50x+15000，k＝﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝13750，100﹣x＝75， 答：该商店购进A型25台、B型电脑75台时，才能使销售总利润最大，最大利润为13750元． 【变式1-2】（2026春•岚山区期末）文具店购进A，B两种型号的计算器进行零售，进价和零售价如下表所示： 类型 进价（元/个） 零售价（元/个） A型计算器 40 60 B型计算器 25 40 若购进A型计算器x个，B型计算器y个，正好花费5000元．请解决下列问题． （1）y＝　200　 （用含x的代数式表示）； （2）根据市场销售情况，B型计算器的进货数量不多于A型计算器的，请问文具店如何进货，才能使两种计算器全部售完后能获得最大利润？ 【分析】（1）根据购进两种型号的计算器的费用之和等于5000元列出方程，再变形，即可求解； （2）先根据题意列不等式求出x的范围，再设获得的总利润为w元，得到w＝﹣4x+3000，根据一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得，40x+25y＝5000， ∴； 故答案为：200； （2）由题意可得，， 解得， 设获得的总利润为w元， 根据题意得，， ∵﹣4＜0， ∴w随x的增大而减小， ∵x、y为整数， ∴当x＝85时，y为整数，且w有最大值， 此时， 答：购进A型计算器85个，B型计算器64个，可使全部售完后获得最大利润． 【变式1-3】（2026•高新区校级模拟）某网店为了备货“618”电商节，积极进行网络直播销售．根据以下提供的信息，该网店购进了甲、乙两种产品． 产品信息： ①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元； ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同． （1）从以上①②③中任选2个作为已知条件，求甲、乙两种产品每箱的价格； （2）在（1）的条件下，该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍，现将甲、乙两种产品分别以130元/每箱，80元/每箱的价格进行销售，若购进的这批产品全部售完，当甲种产品数量为多少时，该店获总利润最大，并求出最大利润． 【分析】（1）从三个条件中任选两个，根据等量关系列出二元一次方程组，求解即可得到甲、乙两种产品每箱的价格，任意选两个条件所得结果一致； （2）根据甲种产品数量的限制条件列出一元一次不等式，得到甲种产品数量的取值范围，再根据利润关系得到总利润关于甲种产品数量的一次函数，利用一次函数的性质即可求出最大利润． 【解答】解：（1）①3箱甲种产品和4箱乙种产品共需460元； ②甲种产品每箱价格比乙种产品每箱的价格多60元； ③2箱甲种产品和5箱乙种产品的进价相同． 设甲种产品每箱的价格是x元，乙种产品每箱的价格是y元． 若选择条件①②，根据题意得 ， 解得， 若选择条件①③，根据题意得 ， 解得， 若选择条件②③，根据题意得 ， 解得， 答：甲种产品每箱的价格是100元，乙种产品每箱的价格是40元； （2）该店购进甲、乙两种产品共600箱，且甲种产品的数量不低于乙种产品数量的2倍， 设购进m箱甲种产品，总利润为w元． 根据题意得：m≥2（600﹣m）， 解得：m≥400， 结合实际可知m≤600， 因此400≤m≤600． 每箱甲种产品的利润为130﹣100＝30（元）， 每箱乙种产品的利润为80﹣40＝40（元）， 因此总利润w＝30m+40（600﹣m）＝﹣10m+24000， ∵﹣10＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝400时，w取得最大值，最大值为﹣10×400+24000＝20000 （元）， 答：当甲种产品数量为400箱时，该店获总利润最大，最大利润为20000元． ▌题型03 方案设计问题 1. 解题思路 （1）先建立总费用/总收益的一次函数； （2）利用题干约束（总量、数量关系、预算限制）列不等式，锁定范围； （3）为物品数量，只能取整数； （4）根据的正负判断增减，选出最优方案（费用最少或利润最大）。 2. 解题步骤 （1）设变量：设其中一种物品数量为； （2）列函数：写出总费用（总利润）关于的一次函数； （3）列不等式：根据数量、预算、比例限制，列出不等式组，求出x取值范围； （4）找整数：代表个数，取范围内全部整数，得到所有可行方案； （5）判增减：看正负，确定最优方案； （6） 作答：写出最优方案以及最小费用/最大利润。 【典例1】（2026•广东校级一模）【素材呈现】 在全球气候变暖的大背景下，二氧化碳排放量持续走高是亟需应对的重要难题，开展植树造林等绿化工作可以助力实现碳中和．根据相关统计结果，2棵成年的阔叶树种（例如杨树）和2棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收564千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收1520千克二氧化碳． 【问题解决】 （1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？ （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． ①求w与a的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的三分之一，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【分析】（1）设每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳x千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳y千克，根据2棵成年的阔叶树种（例如杨树）和2棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收564千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收1520千克二氧化碳．列二元一次方程组求解即可； （2）①购买杨树a棵，则购买的冷杉树为（100﹣a）棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出w与a的函数关系式即可；②根据规定采购杨树的棵数不超过冷杉的三分之一，列出不等式求出a的取值范围，再根据一次函数的性质可知w随a的增大而增大，从而确定采购方案． 【解答】解：（1）设每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳x千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳y千克，根据题意得： ， 解得， 答：每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳172千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳110千克； （2）①w＝172a+110（100﹣a）＝62a+11000； ②由题意得， 解得a≤25， 由①得w＝62a+11000， ∴当a＝25时，w有最大是75棵， 答：采购杨树25棵，冷杉75棵一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【变式1-1】（2026春•龙岗区期中）为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球．已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元． （1）求排球、足球的单价各是多少元； （2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的．若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用． 【分析】（1）根据购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据学校计划用不超过5200元的总费用一次性购买这款排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的，，可以列出不等式组，然后求解，再根据球的个数为整数，即可写出相应的购买方案． 【解答】解：（1）设排球的单价为a元，足球的单价为b元， 由题意可得：， 解得， 答：排球的单价为90元，足球的单价为70元； （2）设购买足球x个，则购买排球（60﹣x）个， ∵学校计划用不超过5200元的总费用一次性购买这款排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的， ， 解得10≤x≤15， ∵x为整数， ∴x＝10，11，12，13，14，15， 由于足球单价（70元）低于排球单价（90元），要使总费用最低，应尽可能多买足球，即x＝15， 此时：足球数量：15个， 排球数量：60﹣15＝45个， 总费用：45×90+15×70＝4050+1050＝5100元， 答：最省钱的方案是购买排球45个、足球15个，总费用为5100元． 【变式1-2】（2026春•沈阳校级期末）某校计划引入智能扫地机器人．八年级数学学习小组承接本次调研任务，通过实地测试、数据分析、方案比对，在有限采购预算下，设计出效率最优的扫地机器人采购方案，为学校采购决策提供依据． 学习小组根据商家提供的A型智能扫地机器人进行连续工作测试数据，推算出机器人扫地平均速度v（平方米/小时）与连续工作时间t（小时）存在变化规律．某一段时间内测试结果的图象如图所示，其中0≤t≤6为匀速减缓工作阶段．t＝6时，机器人进入稳定工作状态，平均速度为n平方米/小时．已知图象经过点（0，140），（2，120）． （1）当0≤t≤6时，求扫地平均速度v与工作时间t的函数关系式． （2）求机器人稳定工作状态时的平均速度n的值． （3）学校拟采购A、B两种型号智能机器人共4台，为节约设备损耗，所有机器人均采用稳定模式工作： ①A型机器人：单价0.3万元/台，稳定工作平均速度为n平方米/小时； ②B型机器人：单价0.2万元/台，稳定工作平均速度为60平方米/小时． 本次采购总预算不超过1万元，请求出扫地速度最快的采购方案，并说明理由． 【分析】（1）当0≤t≤6时，设v与t的函数的解析式为v＝kt+b（k≠0），再将（0，140），（2，120）代入求解即可； （2）由图可得，当t＝6时，机器人的工作状态开始稳定； （3）设采购A型机器人x台，则采购B型机器人（4﹣x）台，根据题意求出x的范围，再设机器人总扫地速度为y平方米/小时，列出一次函数进行求解即可． 【解答】解：（1）当0≤t≤6时，设v与t的函数的解析式为v＝kt+b（k≠0）， 由条件可得， 解得， ∴v与t的函数解析式为v＝﹣10t+140（0≤t≤6）； （2）由图可得，当t＝6时，n＝﹣10×6+140＝80， ∴机器人稳定工作速度n＝80； （3）采购A型机器人2台，B型机器人2台，扫地速度最快；理由如下： 设采购A型机器人x台，则采购B型机器人（4﹣x）台（x为非负整数）， ∵总预算不超过1万元， ∴0.3x+0.2（4﹣x）≤1， 解得x≤2， 设机器人总扫地速度为y平方米/小时， 根据两种机器人工作速度得：y＝80x+60（4﹣x）＝20x+240， ∵20＞0，y随x的增大而增大，x≤2且x为非负整数， ∴当x＝2时，总扫地速度y取得最大值， 此时4﹣x＝2，y＝20×2+240＝280（平方米/小时）． ∴采购A型机器人2台，B型机器人2台，扫地速度最快． 【变式1-3】（2026•市中区模拟）绿动未来——树木固碳护家园 【素材呈现】 为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，10棵成年杨树和10棵成年冷杉每年大约吸收2820千克二氧化碳，而5棵成年杨树和6棵成年冷杉每年大约吸收1520千克二氧化碳． 【问题解决】 （1）填空：每年每棵成年杨树大约吸收二氧化碳 千克； （2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． ①求w与a的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【分析】（1）设每棵杨树、冷杉每年吸收二氧化碳的量分别为千克、千克，根据题目给出的两组数量关系，列二元一次方程组求解的值． （2）①已知购买杨树棵，则购买冷杉为棵，结合（1）中求出的单棵吸收量，根据总吸收量=杨树吸收量+冷杉吸收量列出与的函数关系式．②先根据杨树棵数不超过冷杉的一半列出一元一次不等式，求出的取值范围；再结合一次函数的增减性，确定使最大的值，从而得到采购方案． 【解答】解：（1）设每年每棵成年杨树大约吸收二氧化碳千克，每棵成年冷杉大约吸收二氧化碳千克． 则， 解得， ∴每年每棵成年杨树大约吸收二氧化碳千克． 故答案为：； （2）①已知购买杨树棵，则购买冷杉为棵， ， ， ， ②由题意得 解得， ∵中， ∴随的增大而增大， ∴当=33时，取得最大值，为67． ∴采购方案为购买杨树33棵，冷杉67棵时，吸收的二氧化碳总量最大． ▌题型04 方案选择问题 设自变量（购买数量、里程、时间等），写出每个方案对应的总费用函数： ， 1. 令，解方程，得到临界点。 2. 以临界点为分界，分三段讨论： 临界点：比较，，选费用小的方案 临界点：两个方案费用一样 临界点：另一个方案更划算。 【典例1】（2025秋•梅县区期末）梅州某健身房暑期面向全体市民推出会员制优惠活动，方案如下： 方案一：在微信朋友圈转发一次宣传广告，成为普通会员，每次健身费用享受8.5折优惠； 方案二：缴纳180元会费，成为VIP会员，每次健身费用享受5折优惠． 已知优惠前每次健身费用为a元，设某市民暑期健身x次，按照方案一所需费用为y1元，且y1＝k1x；按照方案二所需费用为y2元，且y2＝k2x+b，其对应函数图象如图所示． （1）求y2的函数表达式； （2）求a和k1的值； （3）若市民小李计划暑期前往该健身房健身12次，选择哪种方案所需费用较少？并说明理由． 【分析】（1）把（3，330）和（0，180）代入y2＝k2x+b，即可求解； （2）令x＝1，得y2＝50×1+180＝230．求出一次健身享受5折优惠后的费用为50元，即可求解； （3）由（1）（2）知y1＝85x，y2＝50x+180．计算当x＝12时的函数值，即可比较． 【解答】本题考查了一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键．本题考查了一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键；解：（1）把（3，330）和（0，180）代入y2＝k2x+b， 得3k2+b＝330，① b＝180，② 将②代入①，得k2＝50， 所以y2的函数表达式为y2＝50x+180． （2）由（1）知y2的函数表达式为y2＝50x+180． 令x＝1，得y2＝50×1+180＝230． 由题意，得230﹣180＝50（元），即一次健身享受5折优惠后的费用为50元， 所以a＝50÷50%＝100． 由方案一知k1＝100×85%＝85． （3）选择方案二所需费用较少． 理由：由（1）（2）知y1＝85x，y2＝50x+180． 当x＝12时，y1＝85×12＝1020，y2＝50×12+180＝780． 因为780＜1020，所以选择方案二所需费用较少． 【变式1-1】（2026•云南模拟）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示． （1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式； （2）请根据函数图象，选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式； （2）由点A的意义并结合图象解答即可． 【解答】解：（1）由题意可得，y甲＝0.85x； 乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙＝x； 当x＞300时，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90 由上可得，y乙与x的函数关系式为； （2）由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，结合图象可知， 当x＜600时，选择甲商店更合算； 当x＝600时，两家商店所需费用相同； 当x＞600时，选择乙商店更合算． 【变式1-2】（2026春•新泰市期末）为了“不忘历史，学习英雄”，学校开展“红色丰碑”演讲比赛；王老师负责为获奖同学购买奖品，现甲、乙两个商店正在做促销活动，分别给出了不同的优惠方案： 甲商店优惠方案：购买奖品金额超过300元后，超出300元的部分按8折收费； 乙商店优惠方案：购买奖品金额超过500元后，超出500元的部分按a折收费； 如果王老师到乙商店购买奖品，当奖品金额是600元时，实际需支付570元． （1）填空：a＝　7　 ． （2）如果王老师到甲商店购买奖品金额x元，求实际支付y元与奖品金额x元之间的函数表达式． （3）如果王老师购买奖品的金额超过800元，那么到哪个商店进行采购更合算？ 【分析】（1）由“当金额是600元时，实际只需支付了570”可得方程300+（600﹣300）570，再解即可； （2）根据甲商店优惠方案即可求出y甲与奖品金额x元之间的函数表达式； （3）根据题意求出y乙与奖品金额x元之间的函数表达式，再结合（2）的结论列方程和不等式解答即可． 【解答】解：（1）由题意，得500+（600﹣500）570， 解得x＝7， 故答案为：7； （2）由题意，得y甲； （3）由题意，得y乙＝0.7x+150（x＞500）， 0.8x+60＝0.7x+150，解得x＝900， 0.8x+60＞0.7x+150，解得x＞900， 0.8x+60＜0.7x+150，解得x＜900， 当800＜x＜900时，到甲商店更合算；当x＝900时，两家商店任选一个；当x＞900时，到乙商店更合算． 【变式1-3】（2026春•临邑县期末）某服装店招聘销售人员，提供了如下两种月工资方案： 方案一：没有底薪，每售出一件商品提成25元； 方案二：底薪3000元，售出的前100件商品没有提成，超过100件的部分，每售出一件商品提成20元． 设销售人员每月售出x件商品，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为y1，y2（单位：元）． （1）分别写出y1，y2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． （2）若销售人员小王某月售出了150件商品，则他应该选择哪种方案，才能得到更高的月工资？请说明理由．（3）根据每月售出商品的件数，销售人员小王应如何选择方案，才能得到更高的月工资？ 【分析】（1）根据两种方案，写出函数解析式即可； （2）将x＝150分别代入，求出y值进行比较即可； （3）分0≤x≤100，x＞100，再根据y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2，进行求解即可． 【解答】解：（1）设销售人员每月售出x件商品，方案一、方案二中销售人员的月工资分别为y1，y2（单位：元）， 依题意，得：y1＝25x（x≥0）， 当0≤x≤100时，依题意得：y2＝3000； 当x＞100时，依题意得：y2＝3000+20（x﹣100）＝20x+1000， 综上所述，； （2）他应该选择方案二，才能得到更高的月工资．理由如下： 方案一：当x＝150时，y1＝25×150＝3750（元）； 方案二：当x＝150时，y2＝20×150+1000＝4000（元）； 3750＜4000， ∴他应该选择方案二，才能得到更高的月工资； （3）当x＝100时，得：y1＝25×100＝2500＜3000． ∵25＞0， ∴y1随x的增大而增大． ∴当0≤x≤100时，y1＜y2． 当x＞100时， 令y1＜y2，得：25x＜20x+1000． 解得x＜200； 令y1＝y2，得：25x＝20x+1000． 解得x＝200． 令y1＞y2，得：25x＞20x+1000． 解得x＞200． 综上所述，当0≤x＜200时，选择方案二能得到更高的月工资；当x＝200时，选择方案一和方案二得到的月工资相同；当x＞200时，选择方案一能得到更高的月工资． ▌题型05 阶梯计价问题 1.不同区间，单价不一样，函数分段，每一段都是一次函数；图像由多条线段拼接而成。如水费、电费、燃气费、出租车车费。 2.阶梯收费规则：用量在第1档，单价；超过一档额度，超出部分按第2档单价；再超，执行第3档单价。总费用是用量的分段一次函数。 3. 常用结论 （1）分段函数，一段一解析式，必须标注每一段自变量取值范围； （2）求费用：先看用量x落在第几档，代入对应段解析式； （3）已知总费用反求用量：先估算，判断费用落在第几档，再列式计算； （4）图像特征：每一段倾斜直线；单价越大，线段倾斜程度越陡；水平线段极少出现。 4. 解题步骤 （1）读懂收费规则，找到每一档的分界数量； （2）分段列出函数，每一段后面必须带上范围； （3）已知用量求费用：判断属于哪一段，代入对应式子； （4）已知总费用反求用量：先计算各档最大费用，判断费用落在第几档；再列方程求解； （5）检验结果，看算出的是否匹配本段区间。 【典例1】（2025秋•秦都区期末）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民12月份用水x吨，应交水费y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）如果该户居民12月交水费20元，那么该户居民12月用了多少吨水？ 【分析】（1）分0≤x≤6和x＞6两种情况，根据所给收费标准列出对应的函数关系式即可； （2）可求出该户居民12月的用水量超过6吨，把y＝20代入y＝2.2x﹣4.2中求出x的值即可得到答案． 【解答】解：（1）当0≤x≤6时，y＝1.5x， 当x＞6时，y＝1.5×6+2.2（x﹣6）＝2.2x﹣4.2， 综上所述，； （2）∵1.5×6＝9＜20， ∴该户居民12月的用水量超过6吨， 在y＝2.2x﹣4.2中， 当y＝20时，2.2x﹣4.2＝20， 解得x＝11， 答：该户居民 12月用了11吨水． 【变式1-1】（2026春•如皋市期末）为了满足不同客户的需求，话费公司推出两种流量套餐： 套餐种类 计费方式 A 基础费用每月30元（包含15GB通用流量），超过部分每GB收费1元； B 通用流量2.5元/GB，当月使用流量达到20GB后不再收取额外费用． （1）请分别写出A，B套餐所需费用y（单位：元）与当月使用流量x（单位：GB）之间的函数关系式； （2）某消费者每月使用流量超过20GB，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由． 【分析】（1）根据题意分别表示出函数关系式即可； （2）结合函数的图象和函数解析式的性质求解即可． 【解答】解：（1）A套餐：当0≤x≤15，yA＝30； 当x＞15，yA＝30+（x﹣15）＝x+15， yA， B套餐：当0≤x≤20，yB＝2.5x； 当x＞20，yB＝2.5×20＝50， yB， （2）x＞20时，yA＝x+15，yB＝50， 令x+15＝50，得x＝35， ①20＜x＜35，yA＜yB，选A套餐； ②x＝35，两种套餐费用相等； ③x＞35，yA＞yB，选B套餐． 【变式1-2】（2026春•渭滨区校级期末）某市出租车车费标准如下：3km以内（含3km）收费8元；超过3km的部分每千米收费1.6元． （1）写出应收费y（元）与出租车行驶路程x（km）之间的关系式（其中x＞3）． （2）小亮乘出租车行驶4km，应付车费多少元？ （3）如果小波付车费16元，那么出租车行驶了多少千米？ 【分析】（1）根据3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分每千米收费1.6元，即可推导得到x＞3时应收费y（元）与出租车行驶路程x（km）之间的关系式； （2）将x＝4代入y＝1.6x+3.2计算即可； （3）将y＝16代入y＝1.6x+3.2求解即可． 【解答】解：（1）3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分每千米收费1.6元， 当x＞3时，总车费等于起步费加上超出的费用， 因此应收费y（元）与出租车行驶路程x（km）之间的关系式：y＝8+1.6（x﹣3）＝1.6x+3.2（x＞3）； （2）将x＝4代入y＝1.6x+3.2得y＝1.6×4+3.2＝9.6， 答：应付车费9.6元； （3）将y＝16代入y＝1.6x+3.2得16＝1.6x+3.2， 解得x＝8， 答：出租车行驶了8千米． 【变式1-3】（2026春•汉台区期末）某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运20kg行李，超出部分每千克按经济舱全票价的1.5%计费．张叔叔出差携带的行李超过20kg，他这次乘坐经济舱的全票价为2000元．设他携带的行李为xkg，需交的行李费用为y元． （1）请写出y与x之间的关系式； （2）若张叔叔希望托运行李的费用不超过150元，则他最多可携带的行李为多少千克？ 【分析】（1）当行李重量x＞20时，超出免费托运的重量为（x﹣20）kg，求出每千克超重行李的费用，再结合题意列出关系式即可； （2）由题意可得30x﹣600≤150，求解即可． 【解答】解：（1）当行李重量x＞20时，超出免费托运的重量为（x﹣20）kg． 每千克超重行李的费用为2000×1.5%＝30（元）， 因此，y＝30（x﹣20）＝30x﹣600（x＞20）； （2）已知托运费用不超过150元，即y≤150． 将y＝30x﹣600代入不等式30x﹣600≤150， 解得x≤25， 因此，张叔叔最多可携带的行李为25千克． ▌题型06 几何问题 1. 求关键点坐标：直线与坐标轴交点、两直线交点； 2. 在坐标系标出点； 3. 求线段长度：坐标差取绝对值； 4. 面积：底乘高、割补法、铅锤高水平宽； 5. 平行/垂直：利用的关系求解析式； 6. 存在性：分类讨论，列方程，检验解是否符合题意。 【典例1】（2026•呼和浩特模拟）道路隔离护栏在交通管理中发挥着多重作用，主要包括分隔与规范交通、安全防护与事故预防、导向与警示作用等，如图1．将该图简化为立柱和栅栏，如图2，所有栅栏和立柱均相同，栅栏两侧都有立柱．栅栏的宽度为290cm，立柱的宽度为10cm（不计材料厚度）．回答以下问题： （1）请你用函数解析式表示道路隔离护栏的总长度L（单位：cm）与栅栏数n（单位：个）的关系； （2）在路程为310m的相邻两个路口之间安装道路隔离护栏（无间断，笔直安装），道路隔离护栏两侧尽可能接近路口两侧，求最多可以安装多少个栅栏？ 【分析】（1）根据总长度L＝n个栅栏的宽度+（n+1）个立柱的宽度，列式即可． （2）统一单位后，列不等式求解即可． 【解答】解：（1）L随栅栏数n的增加而增加， 由护栏的总长度L随栅栏数n的变化规律得L＝290n+10（n+1）＝300n+10， 即L＝300n+10； （2）310m＝31000cm， 由题意，得L＝300n+10≤31000， 解得n≤103.3， ∵n为正整数， ∴最多可以安装103个栅栏． 【变式1-1】（2025春•长乐区校级期中）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长18米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． （1）求鸡场的长y（米）与宽x（米）的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据x和y的数量关系解答即可； （2）根据y的取值范围列关于x的一元一次不等式组并求其解集即可． 【解答】解：（1）鸡场的长y（米）与宽x（米）的函数关系式为y＝40﹣2x． （2）根据题意，得， 解得11≤x＜20， ∴自变量x的取值范围是11≤x＜20． 【变式1-2】如图1，把一个长方体铁块放置在高为50cm的圆柱形容器内，袁浪浪以一定的速度往容器内注水，注满容器为止．他根据实验数据制作如图2所示的函数图象，其中容器顶部离水面的距离为y（厘米），注水时间为x（分）． （1）长方体的高度为 　20　 cm． （2）求该容器水面没过长方体后与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）袁浪浪将长方体铁块去掉后，重新做注水实验，且水面上升速度为5厘米/分，他发现当容器顶部离水面的距离为a厘米时，两次实验的时间相同，求a的值． 【分析】（1）直接利用一次函数图象结合水面高度的变化得出长方体的高； （2）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用函数图象得出自变量x的取值范围； （3）根据水面上升速度为5厘米/分，结合（2）的解析式列出方程组，即可解得答案． 【解答】解：（1）由题意可得：0至3min时，容器顶部离水面的距离变小得快，3分钟后容器顶部离水面的距离变小减慢， 故长方体的高为50﹣30＝20（cm）； 故答案为：20； （2）容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由题意得， 解得， ∴该容器水面没过长方体后y与x之间的函数关系式为yx+35； 当y＝0时，x+35＝0，解答x＝21， ∴自变量x的取值范围为3≤x≤21； （3）∵重新做注水实验，水面上升速度为5厘米/分， ∴a＝50﹣5x， 在yx+35中，令y＝a得ax+35， 解得， ∴a的值为． 【变式1-3】将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸按如图的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm （1）求5张白纸粘合后的长度； （2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，写出y与x之间的关系式，并求x＝20时，y的值． 【分析】（1）根据5张粘合后的长度＝5张不粘合的总长度﹣粘合的长度就可以求出结论； （2）根据等量关系：粘合后的长度＝总长度﹣粘合的长度，就可以求出解析式，再把x的值代入解析式就可以求出函数值． 【解答】解：（1）由题意，得 30×5﹣3×（5﹣1）＝138． 所以5张白纸粘合后的长度为138cm． （2）y＝30x﹣3（x﹣1）＝27x+3． 所以y与x的关系式为y＝27x+3． 当x＝20时，y＝27×20+3＝543． 所以当x＝20时，y的值为543cm． ▌题型07 工程问题 1. 分清变量：横轴时间，纵轴一般是剩余工作量； 2. 提取关键点：开工点、停工拐点、完工点； 3. 分段用待定系数法，写出每一段函数，标注自变量范围； 4. 合作：效率相加；停工：效率为0； 5. 完工条件：剩余工作量；工程量差值用绝对值列式； 6. 算出结果，检验是否在本段区间，舍去不合理解。 【典例1】（2026春•永定区期末）某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业x天累计生产服装的数量为y件，y与x之间的关系如图所示． （1）这批服装一共有　800　 件； （2）求增加工人后y与x的函数表达式； （3）已知这批服装的出厂价为每件100元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件70元，从第6天起每件的成本比原先增加了5元，问：前多少天的总利润恰好为13500元？（利润等于出厂价减去成本） 【分析】（1）根据图象可知，这批服装一共有800件； （2）设增加工人后y与x的函数表达式为y＝mx+n（m≠0），把A（5，200）、B（15，800）代入解析式得到二元一次方程组，解方程组即可； （3）设前x天的总利润恰好为13500元，根据题意列出方程，即可求解． 【解答】解：（1）根据图象可知，这批服装一共有800件； 故答案为：800； （2）设增加工人后y与x的函数表达式为y＝mx+n（m≠0），由题意可得： ， 解得， ∴y＝60x﹣100（5＜x≤15）； （3）设前x天的总利润恰好为13500元． 当x≤5时，，不符合题意； 当x＞5时，6000+（60x﹣100﹣200）（100﹣70﹣5）＝13500， 解得x＝10， 答：前10天的总利润恰好为13500元． 【变式1-1】（2026春•沙河口区校级期末）冷链快递中转仓库，观测时段内，生鲜入库、出库速度保持恒定．前4小时只入库不出库，接下来8小时入、出库同时进行，12小时后停止入库，只出库．如图为仓库内生鲜货物总重量y（kg）与时间t（h）的图象（其中0≤t≤4与4＜t≤12与12＜t≤a时，线段的解析式不同）． （1）当0≤t≤4时，求y关于t的函数解析式； （2）求a的值． 【分析】（1）0～4小时只入库，图象是过原点的正比例函数，代入图象上点（4，2000）求出比例系数，得到解析式； （2）先由前4小时总量算出入库速度，再通过4～12小时货物增量求出每小时净增量，进而算出出库速度；最后用12点总货物量除以出库速度得到清空仓库时长，加上12得到a． 【解答】解：（1）由图象可知，0≤t≤4时函数为正比例函数，设y关于t的函数解析式为y＝kt（k≠0），将（4，2000）代入得： 4k＝2000， 解得：k＝500， ∴y关于t的函数解析式为y＝500t（0≤t≤4）； （2）入库速度：（kg/h）， 4到12小时时长：（h）， 货物增加量：（kg）， 每小时净增量：（kg）， 出库速度：（kg/h）， 12时仓库存货3000kg，全部出库用时：（h）， ∴a＝12+8＝20． 【变式1-2】（2026•延边州模拟）为保障城市居民夏季用电稳定，甲、乙两个电力工程队同时对某段老旧输电线路进行改造升级，两队每天改造的线路长度均保持不变，合作一段时间后，乙队因设备检修停工，由甲队单独完成了剩余任务，甲、乙两队改造的线路总长度y（m）与甲队施工时间x（天）之间的关系如图所示． （1）甲队比乙队多施工了　30　 天； （2）求乙队停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当甲队改造的总长度比乙队改造总长度多130m时，求乙队已经停工的天数． 【分析】（1）根据图象获取信息即可找到甲乙工作时间的关系； （2）由题意得到已知点坐标：（25，200）（55，380），再利用待定系数法求解即可； （3）由题意分析得到甲队每天的改造长度，得到在乙队停工时，甲乙各自完成长度，得到甲队比乙队改造总长度多130m时实际的改造长度，则可知乙队停工的时间． 【解答】解：（1）甲队工作55天，乙队工作25天， 甲队比乙队多施工了55﹣25＝30天； 故答案为：30； （2）设乙队停工后y关于x的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），由条件可得： ， 解得， ∴函数解析式为y＝6x+50（25≤x≤55）． （3）由（1）可知，甲队单独改造30天，改造的长度是380﹣200＝180（m），甲队每天改造6m． 前25天是甲乙合作改造完成200m， 则乙单独改造的长度是200﹣6×25＝50（m）， 当甲改造的长度是50+130＝180（m）时， 工作天数是180÷6＝30（天）， 所以乙队已停工的天数是30﹣25＝5（天）． 【变式1-3】（2026春•朝阳区校级期末）本学期，我校地理学科组织了以“粽香润地学，仓韵育家园”为主题的学科文化节活动．活动中，七年级和八年级各组建一支代表队参与包粽子．八年级代表队先独立包粽子，一段时间后，七年级代表队加入，两队共同包粽子，且各自的包粽速度保持不变．两队包粽子的总个数y（个）与活动开始后经过的时间x（时）之间的函数图象如图所示． （1）八年级代表队每小时包粽子　50　 个，七年级代表队每小时包粽子　40　 个． （2）求七年级代表队加入后，y与x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）． （3）当包完的粽子数量恰好是总数量的时，求八年级代表队包粽子的个数． 【分析】（1）利用八年级代表队每小时包粽子的数量＝前3个小时包粽子的总数量÷3，可求出八年级代表队每小时包粽子的数量；利用七年级代表队每小时包粽子的数量＝3至8小时内包粽子的总数量÷（8﹣3）﹣八年级代表队每小时包粽子的数量，即可求出七年级代表队每小时包粽子的数量； （2）根据图中点的坐标，利用待定系数法，求出y与x之间的函数关系式； （3）代入y＝240，求出x的值，再将其代入50x中，即可求出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：八年级代表队每小时包粽子的数量为150÷3＝50（个）； 七年级代表队每小时包粽子的数量为（600﹣150）÷（8﹣3）﹣50＝40（个）． 故答案为：50，40； （2）设七年级代表队加入后，y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（3，150），（8，600）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴七年级代表队加入后，y与x之间的函数关系式为y＝90x﹣120； （3）当y＝600240时，90x﹣120＝240， 解得：x＝4， ∴50x＝50×4＝200（个）． 答：当包完的粽子数量恰好是总数量的时，八年级代表队包了200个粽子． ▌题型08 其他问题 1. 审题：分清自变量、因变量； 2. 找两组对应，待定系数求； 3. 根据实际，写出自变量取值范围； 4. 根据正负，判断增减性，求值/求范围； 5. 检验结果，符合题意再作答。 【典例1】（2026春•盂县期末）某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1kgA种食材和1kgB种食材共需68元，购买5kgA种食材和3kgB种食材共需280元． （1）求A，B两种食材的单价． （2）该小吃店计划购买两种食材共36kg，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程； （2）设A种食材的单价为m元/千克，B种食材的单价为（36﹣m）元/千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，根据题意可以列出相应的不等式，求出m的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克， 由题意得， 解得， ∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元； （2）设A种食材购买m千克，B种食材购买（36﹣m）千克，总费用为w元，由题意得： w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080， 24≤m ∵k＝8＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元）， ∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元． 【变式1-1】（2026春•南皮县校级月考）在正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数y（次/分）与这个人年龄x（岁）满足关系式：y＝kx+b（其中k，b均为常数）． （1）根据图1中提供的信息，求一次函数的表达式； （2）图2中，一位69岁的老人在跑步，医生在途中给他测得10秒心跳为20次，他是否有危险？为什么？ 【分析】（1）根据题意得当x＝9时，y＝168，当x＝30时，y＝154，运用待定系数法求解即可； （2）求出当x＝69时y的值，和这位老人心跳的次数，比较即可解答． 【解答】解：（1）依题意得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）他没有危险；理由如下： 当x＝69时，得：（次/分）， 即69岁的人在运动时所能承受的最高心跳次数为128次/分， 而这位老人心跳为：（次/分）， ∵120＜128， ∴他没有危险． 【变式1-2】（2026春•长汀县期末）小华家有15个相同的碗，阅读以下信息，完成任务． 信息一：图1是6个碗整齐叠放的示意图． 信息二：图2是6个碗叠放的总高度y（cm）和碗的数量x（个）的函数图象． 根据以上信息，完成以下任务： （1）任务一：写出碗叠放的总高度y（cm）和碗的数量x（个）的函数表达式：y＝2x+4.5　 ． （2）任务二：碗柜某隔层的内部净高为20cm，底面足够大，能否将15个碗分成两摞叠放，并放入该隔层？并说明理由． 【分析】（1）由图1知：增加一个碗，总高度增加8÷4＝2cm，由图2知：当x＝0时，y＝4.5，且y与x是一次函数，据此求解即可； （2）把x＝7，x＝8分别代入（1）所求函数解析式，即可判断． 【解答】解：（1）由图1知：增加4个碗，总高度增加8cm， ∴每增加一个碗，总高度增加8÷4＝2cm， 由图2知：当x＝0时，y＝4.5，且y与x是一次函数， ∴写出碗叠放的总高度y（cm）和碗的数量x（个）的函数表达式：y＝2x+4.5； 故答案为：y＝2x+4.5； （2）将15个碗分成两摞叠放，一摞7个碗，另一摞8个碗， 当x＝7时，y＝2×7+4.5＝18.5＜20， 当x＝8时，y＝2×8+4.5＝20.5＞20， ∴将15个碗分成两摞叠放，不能全部放入该隔层． 【变式1-3】（2026春•郊区期末）探究蜡烛在密闭容器中的燃烧时间与容器中的含氧量之间的关系． 素材一 在蜡烛燃烧过程中会消耗氧气．因此，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为16%时，蜡烛会熄灭． 素材二 使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，记录数据，并根据数据绘制出如图所示的函数图象．其中t（s）为燃烧时间，y（%）为氧气含量． 完成下列任务 任务一 当燃烧时间为150s时，密闭容器中的氧气含量是多少？ 任务二 请预测当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【分析】任务一：先利用待定系数法求出一次函数解析式，然后再进行计算即可解答； 任务二：利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：任务一：设蜡烛熄灭前，氧气含量与燃烧时间之间的函数关系式为：y＝kx+b， 把（0，50），（120，38）代入y＝kx+b中得： ， 解得：， ∴y＝﹣0.1x+50， 当x＝150时，y＝﹣0.1×150+50＝﹣15+50＝35， ∴当燃烧时间为150s时，密闭容器中的氧气含量是35%； 任务二：当容器内的含氧量约为16%时，蜡烛会熄灭， ∴把y＝16代入y＝﹣0.1x+50中得：16＝﹣0.1x+50， 解得：x＝340， ∴当蜡烛燃烧340分钟时，会因为氧气不足而熄灭． 1 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $