重难点02 全等三角形八大常考模型（讲义）数学新教材人教版八年级上册

本讲义聚焦初中数学全等三角形八大常考模型，从平移、轴对称、旋转等基础模型到一线三等角、倍长中线等特殊模型，通过定义、图示、解题思路构建学习支架，系统梳理全等三角形判定与应用的脉络。 资料以模型为核心，每个模型配套即学即练、典例精析及变式巩固，培养学生几何直观与推理能力，助力教师课中系统教学，学生课后可通过题目训练强化模型应用，查漏补缺提升解题能力。

第十四章 全等三角形 重难点02 全等三角形八大常考模型 知识点一 平移模型 沿一边所在直线平移可使两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）在平移的直线上,根据线段的和(差)中点等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 即学即练 1．如图所示，已知是由向右平移所得，，则________． 知识点二 轴对称模型 所给图形沿某一直线折叠,直线两边的部分完全重合.图示: 常用解题思路: （1）利用公共边、线段的和差等得到对应边相等; （2）利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等 即学即练 2．已知：如图，，添加以下条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 知识点三 旋转模型 1.不共顶点:绕某一顶点旋转,再平移后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1）利用线段的和差、公共边等得到对应边相等;（2）利用平行线的性质得到对应角相等. 2.共顶点:绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合.图示: 常用解题思路: （1） 利用线段的中点等得到对应边相等;（2）利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等. 即学即练 3．如图，，，，是同一条直线上的点，，，．求证：． 知识点四 一线三等角模型 三等角()在同一直线上(等角可以为锐角、钝角、直角.特别地,等角为直角时,称为一线三垂直模型).图示: 常用解题思路: (1)等角为锐角或钝角时,利用已知等角三角形的内角和及外角等得到对应角相等; (2)等角为直角时,利用同角(等角)的余角相等得到对应角相等 即学即练 4．如图，在中，，，直线l过点C且与相交，，垂足为点E，，垂足为点D． 若，，则的长是__________． 知识点五 倍长中线模型 适用条件:已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题. 已知:如图,在中,是边上的中线 作法:如图,延长AD至点,使,连接. 结论:(SAS) 即学即练 5．如图，已知是的中线，，垂足为点A，若，，则的长为_____． 知识点六 半角模型模型 等边三角形含半角 已知:是等边三角形, ,, 结论:, 正方形含半角 已知:四边形是正方形,. 结论:,. 等腰直角三角形含半角 已知:是等腰直角三角形,,. 结论:. 即学即练 6．如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和． 知识点七 手拉手模型 基本模型 已知:在和中, ,连接相交于,连接 结论1:, 结论2:, 结论3:平分. 7．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上．下列结论中：①；②；③；④，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 知识点八 截长补短模型 适用条件:已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题. 已知:如图,在中,平分 截长法 作法:如图,在上取一点,使,连接， 结论: 补短法： 作法:如图,延长至点,使,连接， 结论: 即学即练 8．在中，，平分交边于点，，则____________°． 01 平移模型 典｜例｜精｜析 例1．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 变｜式｜巩｜固 变式1-1．如图，点B、E、C、F在同一条直线，，，请补充一个条件，使，可以补充的条件是__________（任意填写一个即可），对应全等的理由是__________．    变式1-2．如图，，将沿方向平移，使点A与点D重合，此时点E平移至点F处，则______，______． 变式1-3．将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 02 轴对称模型典｜例｜精｜析 例2．如图，点A，D在线段的同一侧，与相交于点E，连接，已知，现添加以下哪个条件仍不能判定的是（　　）    A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式2-1．如图，点在同一条直线上，，点和点在直线上方，连接，其中相交于点．求证：． 变式2-2．如图，玲玲想要测量池塘的长度，但点，之间的距离不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，聪明的她想了一个办法：先在直线的一边取一点，再在直线的另一边取一点，使得，且，同时，若测得，求的长． 变式2-3．如图，在四边形中，与相交于点O，．求证： (1) ； (2)． 03 旋转模型 典｜例｜精｜析 例3．如图，点、、，在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，，，．求证：． 变｜式｜巩｜固 变式3-1．如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交于点．若 则的长为____________． 变式3-2．在中，，，点M是边上的动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接．则的最小值为______． 变式3-3．如图，在中，，，是斜边上的两点，且．将绕点顺时针旋转后，得到，连接．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是__________．（请填写序号） 04 一线三等角模型 典｜例｜精｜析 例4．小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点B在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（    ） A．21 B．23 C．24 D．28 变｜式｜巩｜固 变式4-1．如图，在中，，点在边上，的中垂线交于点，若，，求的值． 变式4-2．如图，在中，， ，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于．    (1)当时， ， ；点从向的运动过程中，逐渐变 （填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由． (3)在点的运动过程中，与的长度可能相等吗？若可以，请直接写出的度数，请说明理由． 变式4-3．如图，点C在线段上，且，垂足别是点B、D、C，．    (1)求证：； (2)若，求的面积． 05 倍长中线模型 典｜例｜精｜析 例5．如图，在Rt中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（     ） A．5 B．4.8 C．4 D．5.2 变｜式｜巩｜固 变式5-1．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．依据小明的方法，可求得的取值范围是____________． 变式5-3．如图，在四边形中，，分别是，的中点，连接．若，，，则的长为________． 0б 半角模型模型 典｜例｜精｜析 例6．如图，三角形是边长为的等边三角形，以为边作等腰三角形，使得，且，点M是边上的一个动点，作交边于点N，且满足，则的周长为_________．    变｜式｜巩｜固 变式6-1．如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF． （1）依题意补全图形； （2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明． 变式6-2．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____． 变式6-3．如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，若是的中点，且，则的长为_______． 07 手拉手模型 典｜例｜精｜析 例7．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有（    ） A．①②④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 变｜式｜巩｜固 变式7-1．如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式7-2．如图，是的高，，，，过点作交于点．下列四个结论中： ①；②当时，；③；④． 所有正确结论的序号是___________． 变式7-3．如图，已知四边形是正方形，对角线相交于，设分别是上的点，若，，求四边形的面积． 08 截长补短模型 典｜例｜精｜析 例8．四边形中，平分，，，则的度数是______． 变｜式｜巩｜固 变式8-1．在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且，当，，时，的周长等于______． 变式8-2．如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，连结． （1）的度数为___________； （2）的面积___________． 变式8-3．如图，在平面直角坐标系中，，，为轴正半轴上一点，在第四象限，且，平分，．    (1)直接写出B点坐标； (2)求证：； (3)求四边形的面积． 1．如图，为的中线，，，，则______． 2．如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________． 3．如图，和关于直线对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，则图中有______对全等三角形． 4．已知：如图，四点B、E、C、F顺次在同一条直线上，A、D两点在直线 的同侧，，，．求证：． 5．如图所示，是的中线，，，垂足分别为F，E，．求证：．    6．如图，在，，，将点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求度数． 7．如图，，，，、交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求的度数．（用含α的式子表示） 8．如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 1．如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． (1)S△ABD = ．（直接写出结果） (2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形． 2．在中，，． (1)如图1，若，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求的值； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接，此时点B，C，E恰好共线，连接． ①求证：； ②求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十四章 全等三角形 重难点02全等三角形八大常考模型 理新知 教材全盘梳理 父知识点一 平移模型 沿一边所在直线平移可使两个三角形重合·图示： D B BD E 常用解题思路： (1)在平移的直线上，根据线段的和（差）中点等得到对应边相等；(2)利用平行线的性质得到对应角相等 。即学即练 1.如图所示，己知△DEF是由△ABC向右平移所得，∠A=50,∠ACB=30°，则∠E= B E D 【答案】100°/100度 【详解】解：由平移的性质可得，△ABC≌△DEF, ∴.∠A=∠EDC=50°，∠ACB=∠F=30°， ∴.∠E=180°-30°-50°=100°， 故答案为：100° 今知识点二 轴对称模型 所给图形沿某一直线折叠，直线两边的部分完全重合图示： 1/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 常用解题思路： (1)利用公共边、线段的和差等得到对应边相等； (2)利用对顶角、公共角、角的和差、垂直的定义等得到对应角相等 《父即学即练 2.己知：如图，∠ACB=∠DBC,添加以下条件，不能判定△ABC≌aDCB的是() D A.∠A=∠D B.∠ABC=∠DCB C.AC=DB D AB=DC 【答案】D 【详解】解：：在△ABC和△DCB中，已知BC=CB,∠ACB=∠DBC, 再添加∠A=∠D,根据AAS可证△ABC≌aDCB, 故A选项不符合题意： 再添加∠ABC=∠DCB,根据ASA可证△ABC≌△DCB,， 故B选项不符合题意： 再添加AC=DB,根据SAS可证△ABC2aDCB 故C选项不符合题意； 再添加AB=DC. 则对应相等的条件的位置关系是SSA,不能判定△ABC≌△DCB, 故D选项符合题意. 故选：D 《父知识点三旋转模型 1.不共顶点绕某一顶点旋转，再平移后两个三角形重合图示 2/55 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 常用解题思路： (1)利用线段的和差、公共边等得到对应边相等；(2)利用平行线的性质得到对应角相等， 2共顶点绕某一顶点旋转一定角度后两个三角形重合·图示： B D A 常用解题思路： (1)利用线段的中点等得到对应边相等；(2)利用角的和差、对顶角、垂直的定义等得到对应角相等 。。 《窗即学即练 3.如图，A,B,C,D是同一条直线上的点，AB=CD,AE∥DF,∠I=∠2.求证：BE=CF」 E A B 2 D 【答案】 证明：，AE∥DF, ∴.∠A=∠D, 在△ABE和△DCF中， ∠A=∠D AB=CD ∠1=∠2 ·.△ABE≌aDCF(ASA), 3/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=CF 【详解】略 《父知识点四 一线三等角模型 三等角（∠A=∠B=∠CPD)在同一直线上（等角可以为锐角、钝角、直角特别地，等角为直角时，称为一线 三垂直模型)图示： D D B 常用解题思路： (1)等角为锐角或钝角时，利用已知等角三角形的内角和及外角等得到对应角相等； (2)等角为直角时，利用同角（等角）的余角相等得到对应角相等 《个即学即练 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线I过点C且与AB相交，AE⊥1，垂足为点E, BD⊥I,垂足为点D.若AE=6,BD=4,则ED的长是 【答案】2 【详解】解：∠ACB=90°，AE⊥1，BD⊥1， .∠AEC=∠BDC=90°，∠ACE+∠BCD=90°=∠BCD+∠CBD .∠ACE=∠CBD, ..AC=BC, :.△ACE≌aCBD(AAS)」 ..CE=BD,AE=CD. AE=6,BD=4, 4/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .ED=CD-CE=AE-BD=6-4=2. 故答案为：2. 《。知识点五 倍长中线模型 适用条件：已知条件中涉及“中点”、“中线”等问题 己知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线 作法：如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接CE 结论：△ABD兰△ECD(SAS) 《◇即学即练 5.如图，已知AD是△ABC的中线，AB⊥AD,垂足为点A,若AB=5,AC=13,则BC的长为一 A B D 【答案】26 【分析】 【详解】解：延长AD到E使DE=AD,连接BE, :AD是BC的中线， .BD=DC. 又，∠CDA=∠BDE, 、.△ADC≌aEDB(SAS), .AC=BE, ,AC=13, .BE=13, ,AB⊥AD, 5/55 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAD=90°， 又AB=5, .AE=VBE2-AB2=V132-52=12, .AD=DE=6. .BD=√AB2+AD2=V52+62=V61, .BC=2BD=2√61. A B D E 《◇知识点六半角模型模型 等边三角形含半角 已知：△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，BD=CD, ∠EDF=60. F B 结论：EF=BE+CF,∠DEB=∠DEF,∠DFC=∠DFE D 正方形含半角 A D 己知：四边形ABCD是正方形，∠EAF=45° 结论：EF=BE+DF,∠AFD=∠AFE,∠AEB=∠AEF E 等腰直角三角形含半角 己知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90,∠DAE=45 结论：DE2=BD2+CE2 6/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 《今即学即练 6.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°，D,E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°， 若BD=3,CE=4,SMDE=15,求△ABD与△AEC的面积之和. A B D E 【答案】21 【详解】解：如答图，作△ADE关于AE的对称图形△AFE,连接CF,则AF=AD, A D 答图 ∠EAF=45°S.4FE=SADE=15 所以∠DAF=90°. 由题意，得∠BAC=90°， 所以∠CAF=∠BAD 在△ACF和△ABD中， AC=AB ∠CAF=∠BAD AF=AD 所以△ACF≌aABD(SAS), 所以CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°，S△4CF=S△AMBD, 所以∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°，即△CEF是直角三角形， 所议5m2cEcF-4x3-6, 所以S△ABD+S△ABc=S△MCF+S△HEc=SAAFE+S△cEF=15+6=21, 即△ABD与△AEC的面积之和为21. 7/55 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 窗知识点七 手拉手模型 基本模型 己知：在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE,连接BD,CE相交于P,连接AP 结论1：△ABD=△ACE,BD=CE, D 结论2：∠BPC=∠BAC, 结论3：PA平分∠BPE。 7.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边 DE上，下列结论中：①△ACE≌aBCD;②∠CDB=45°；③∠DAB=∠ACE:④AE2+AD2=2AC2,正 确的有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【详解】解：，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB,CE=CD, .∠ECD=90°=∠ACB,AB2=AC2+CB2, ∠CED=∠CDE=080-∠ECD)=080-90)=45, 2C4B=∠c1=5080°-乙AcB)-080-90）-45， .∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ACE=∠BCD, 在△ACE和△BCD中， 「CE=CD ∠ACE=∠BCD CA=CB :△ACE≌aBCD(SAS),故结论O正确； ∴.AE=BD, △BCD≌△ACE, :.∠CDB=∠CEA=45°，故结论②正确； 8/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ADB=∠CDE+∠CDB=45°+45°=90°， .AE2+AD2=BD2+AD2=AB2=AC2+CB2=AC2+AC2=2AC2, ∠DAB=90°-∠ABD 即AE2+AD2=2AC2，,故结论④正确： 如图，设AB与CD交于点O, E、 A 在△OAC和△OBD中，∠AOC=∠BOD,∠CAB=45°=∠CDB即∠CAO=∠ODB, :.180°-∠AOC-∠CAO=180°-∠BOD-∠ODB, ∴.∠ACO=∠OBD,即∠ACO=∠ABD, :.∠DAB=90°-∠ABD=90°-∠AC0=∠ACE,故结论③正确： ∴.正确的有4个 。知识点八 截长补短模型 适用条件：已知条件或求证中涉及“角的平分线”、“线段的和差倍分”等问题 已知：如图，在△ABC中， 截长法 AD平分∠BAC 作法如图，在AC上取一点E,使AE=AB,连接DE, 结论：△ABD兰AAED 补短法： D 作法：如图，延长AB至点E,使AE=AC,连接DE, 结论：AACD三△AED 《◇即学即练 &.在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC交AC边于点D,BC=AB+AD,则∠ABC= 【答案】45 【详解】解：设∠ABC=x, 9/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AC, ∠ABC=∠C=x, 在BC上取一点E,使BE=AB,连接DE, A B E ,BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD, BDBD, .△ABD≌aEBD(SAS) .AD=DE,∠A=∠DEB, .BC=AB+AD=BE+AD,BC=BE+EC, .AD=DE EC, ∴∠EDC=∠C=x, :∠DEB=∠C+∠EDC, ∠A=2∠C=2x, .x+2x+x=180°. .x=45°， .∠ABC=45°， 故答案为：45. 通题型 解题能力构建 。01平移模型 典例精析 例1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿射线AC方向平移得到△DEF,BC与DE交于点G, 若平移距离为2，EF=9,BG=3,则阴影部分的面积是(）· 10/55 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E G dd A D C F A.12 B.14 C.15 D.17 【答案】C 【详解】解：：将△ABC沿射线AC方向平移得到△DEF, ∴.△ABC≌aDEF, ,.S。ABc=S.DEF, S。Bc=S阴影+SDcG,S,DEr=S梯形EFCG+S,DcG, .S阴影=S梯形EFCG, ,将△ABC沿射线AC方向平移得到△DEF,平移距离为2， .EF=BC=9,CF=AD=2, BG=3, ..CG=BC-BG=6. ·5w形rcG=2×(9+6)×2=15, .S阴影=S梯形EFCG=15】 变式巩固 变式1-1.如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠B=∠DEF=90°，AB=ED,请补充一个条件，使 △ABC兰△DEF,可以补充的条件是 (任意填写一个即可)，对应全等的理由是 D 6 【答案】 ∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE或AC=DF或CB=FE) ASA(或AAS或HL或SAS 11/55 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】：∠B=LDEF=90°，AB=ED, ∴可再补充∠A=∠D,利用ASA可以判定△ABC兰△DEF, 也可以补充∠ACB=∠DFE,利用AAS可以判定△ABC兰△DEF: 也可补充AC=DF,利用HL可以判定△ABC兰△DEF: 也可补充CB=FE,利用SAS可以判定△ABC兰△DEF: 故答案为：∠A=∠D(或∠ACB=∠DFE或AC=DF或CB=FE):ASA(或AAS或HL或SAS) 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解 题的关键， 变式1-2.如图，AD∥BC,AD=BC,AE⊥BC,将△ABE沿AD方向平移，使点A与点D重合，此时点E 平移至点F处，则△ABE≌一，∠F=°. E 【答案】 △DCF 90 【详解】解：根据平移的性质，平移前后的图形全等， :△ABE沿AD方向平移，使点A与点D重合，点E平移至点F, .△ABE≌△DCF, 平移前后对应角相等， ∴∠F=∠AEB, AE⊥BC, .∠AEB=90°， ∠F=90°. 变式1-3.将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF. C (①)若∠B=74,∠F=26°，求∠A的度数： (2)若BC=4.5cm,EC=3.5cm,求△ABC平移的距离. 【答案】(1)80° 12/55 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)1cm 【分析】 【详解】(1)解：，平移， .△ABC≌△DEF ∴.∠2=∠F=26° ,∠B=74° :.∠A=180°-（∠2+∠B)=80° (2):BC=4.5cm,EC=3.5cm, :.BE=BC-EC=4.5-3.5=1(cm) ∴.△ABC平移的距离为1cn. ◆02轴对称模型 典1例精1析 例2.如图，点A,D在线段BC的同一侧，AC与BD相交于点E,连接AB,CD,已知I=∠2，现添加 以下哪个条件仍不能判定△ABC≌△DCB的是() D E 2 A.∠A=∠D B.AC=DB C.∠ABC=∠DCB D.AB=DC 【答案】D 【详解】解：，在△ABC和△DCB中，∠I=∠2，BC=CB, A、添加∠A=∠D,可以根据AAS证明△ABC≌△DCB,本选项不符合题意： B、添加AC=BD,可以根据SAS证明△ABC≌△DCB,本选项不符合题意： C、添加∠ABC=∠DCB,可以根据ASA证明△ABC≌△DCB,本选项不符合题意： D、添加AB=DC,利用SSA不能证明△ABC≌△DCB,本选项符合题意： 故选：D 变式巩固 变式2-l.如图，点A,D,B,E在同一条直线a上，AB=ED,点C和点F在直线Q上方，连接 13/55 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC,EF,BC,DF,其中BC,DF相交于点O,OB=OD,BC=DF.求证：△ABC≌△EDF. A D B E 【答案】 证明：：OB=OD .∠ODB=∠OBD 在△ABC和△EDF中， BC=DF .·{∠OBD=∠ODB AB=ED ∴△ABC≌△EDF(SAS) 【详解】略 变式2-2.如图，玲玲想要测量池塘的长度℉C,但点F，C之间的距离不能直接测量，已知点B,F,C, E在同一条直线I上，聪明的她想了一个办法：先在直线的一边取一点A,再在直线的另一边取一点D, 使得AC∥DF,且∠A=∠D,同时AB=DE,若测得BE=I0m,BF=2m,求FC的长 E B 【答案】6m 【详解】解：：AC∥DF, ∠ACB=∠DFE, 在△ABC和△DEF中， [∠A=∠D ∠ACB=∠DFE, AB=DE :.△ABC≌△DEF(AAS) .CE=BF=2, BE=10, 14/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CF=BE-BF-CE=6, 即FC的长6m 变式2-3.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O,AB=AD,∠I=∠2，求证： (1)BC=CD: (2)AC⊥BD 【答案】() 证明：AC=AC,AB=AD,∠I=∠2， .△ABC≌△ADC(SAS) .BC=CD (2) 证明：，△ABC≌△ADC ∴.∠BCO=∠DCO .BC=CD,CO=CO ∴.△OBC≌AODC(SAS) .∠B0C=∠D0C=x180°=90 故AC⊥BD 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 ◆03旋转模型 典例精」析 例3.如图，点A、C、D,B在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，AE=BF,CE=DF, AD=BC.求证：∠A=∠B. 15/55 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 【答案】 证明：，AD=BC, .AD-CD=BC-CD,即AC=BD ,在△ACE和△BDF中， AC=BD CE=DF AE=BF :.△ACE≌aBDF(SSS). ∠A=∠B 【分析】 【详解】略 变式巩固 变式3-1.如图，在RABC中，∠ACB=90,AC=BC=4,点D在射线BC上，将线段AD绕点A逆时 针旋转45得到线段AE,过点E作EF∥BC,交AB于点F,若EF=V2,则BD的长为」 A C D B 【答案】3或5 【详解】解：过点E作EG⊥AB于点G,如图： G D 16/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,将线段AD绕点A逆时针旋转45得到线段AE, .AE=AD,∠DAE=45, ∴.∠GAE+∠DAB=45°. ,∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠BAC=∠CBA=45°，即∠CAD+∠DAB=45°， ∴.∠GAE=∠CAD, 又，AE=AD,∠ACD=∠AGE, :.△ACD≌△AGE(A,A,S), ..EG=DC, .EF∥BC, ∴.∠EFG=∠ABC=45, .'.EG=GF, :EF=V2,且EG+GF2=EF2, ∴EG=1, DC=1, .BD=BC-DC=4-1=3, 当点D在点C左侧时，同理可得DC=1, .BD=BC+DC=4+1=5, 综上所述，BD的长为3或5. 【点睛】通过辅助线构造全等，把旋转条件转化为边的等量关系，再结合分类讨论避免漏解。 变式3-2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点M是边BC上的动点，连接AM,以AM为边 在其右侧作等边△AMN,连接CN.则CN的最小值为一· B M 【答案】2 【详解】解：：△AMN是正三角形， 17/55 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MAN=60°，AM=AN, 将△AMC绕着点A逆时针旋转60度，至AM与AN重合，点C的对应点为点F,连接CF,如图所示： ∴.△ANF≌△AMC,∠CAF=60°， ,AF=AC=4,MC=NF,∠AFN=∠ACM=90°， :.△CAF是等边三角形， .CF=AF=AC=4,∠AFC=60°， 记F所在的直线为l, 由题意可得：当CN⊥I时，则CN有最小值， :CN⊥1，∠AFN=90°. ∴.此时AF∥CN, :∠CFN=90°-60°=30°， .CN-iCF-x4-2. 变式3-3.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,D,E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°.将△ADC绕点 A顺时针旋转90°后，得到△AFB,连接EF,有下列结论：①∠EAF=45°；②BE=CD;③EA平分 ∠CEF；④BE2+DC2=DE2.其中正确的结论是 (请填写序号) B E 【答案】①③④ 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=AC, .∠C=∠ABC=45°， :将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB, .△AFB≌△ADC, .BF=DC,∠CAD=∠BAF,∠DAF=90°， 18/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∠BAE+∠DAC=45°， ∴.∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，故①正确： 即∠FAE=LDAE=45°， 在△FAE和△DAE中， AE=AE ∠FAE=∠DAE, AF=AD :AFAE≌ADAE(SAS), .∠FEA=∠DEA, 即EA平分∠CEF,故③正确. ∴.EF=DE, :将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB, .∠C=∠FBA=45°，BF=DC, ∠ABC=45°， .∠FBE=45°+45°=90°， 在RtAFBE中，由勾股定理得：BE2+BF2=EF2, .BF DC EF=DE :BE2+DC2=DE2,故④正确： :∠CAD与∠BAE不一定相等， .∴△ABE与△ACD不一定全等，不能推出BE=DC,故②错误， >04一线三等角模型 典例精」析 例4.小李用7块长为5cm,宽为2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好 可以放进一个等腰直角三角板(AB=BC,∠ABC=90°)，点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重 合，则两堵木墙之间的距离为()Cm 19/55 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E A.21 B.23 C.24 D.28 【答案】B 【详解】解：由题意可得AD=3×5=15cm,CE=4×2=8cm, ∠ABC=90°，∠ABC+∠ABD+∠CBE=180°， .∠ABD+∠CBE=90° .'∠ABD+∠DAB=90°， .∠CBE=∠DAB 在△ADB和△BEC中 ∠DAB=∠EBC ∠ADB=∠BEC, AB=BC ∴△ADB≌△BEC(AAS) .DB=CE =8cm,BE AD=15cm, DE=DB+BE=23cm」 故选：B, 变式1巩固 变式4-1.如图，在△ABC中，AB=AC=9,点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D,若 ∠ADE=∠B,CD=3BD,求CE的值. B D 【答案】3 【详解】解：AB=AC=9, .∠B=∠C, 20/55 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ADE=∠B,∠BAD=18O°-∠B-∠ADB,∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB ∴.∠BAD=∠CDE, :AE的中垂线交BC于点D, ∴AD=ED, 在△ABD与△DCE中， ∠BAD=∠CDE ∠B=∠C AD=DE ∴△ABD≌△DCE(AAS), .CD=AB=9,BD=CE, ·.·CD=3BD. ..CE=BD=3. 变式4-2.如图，在△ABC中，AB=AC=2,∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动(D不与B、C重 合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于E. A E 440X40° B D C (I)当∠BDA=I15°时，∠EDC=°，∠DEC=_°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变-（填 “大”或“小”)： (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE,请说明理由. (3)在点D的运动过程中，DA与DE的长度可能相等吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，请说明理由， 【答案】()25：115：小： (2) 当DC=2时，△ABD≌△DCE,理由如下： ∠B=∠C=40° ∴.∠DEC+∠EDC=180°-∠C=140°」 又：∠ADE=40°，∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°， ∴.∠ADB+∠EDC=140°， ∠ADB=∠DEC, 21/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当DC=2时， AB=AC=2. :AB=DC, 在△ABD和△DCE中， ∠B=∠C ∠ADB=∠DEC, AB=DC ∴△ABD≌△DCE(AAS). 即当DC=2时，△ABD≌△DCE,: 3)可能相等，110°， 在点D的运动过程中，DA与DE的长度可能相等，理由如下： .DA=DE, ∴.∠DAE=∠DEA, :∠ADE=40°， <D61=080-∠a0)=70. :∠AED=∠C+∠EDC,∠C=40°， .∠EDC=∠DEA-∠C=30°. .∠ADC=∠ADE+∠EDC=70°， .∠BDA=180°-∠ADC=110° 【分析】 【详解】(1)解：'∠BDA=115°， ∠ADC=180°-115°=65°， :∠ADE=40°， .∠EDC=∠ADC-∠ADE=25°， ∠C=40° ∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°， :∠B+∠BAD+∠BDA=180°， ∠BDA=180°-∠BAD-∠B, ·点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐增大， 22/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠BDA逐渐变小， 故答案为：25；115：小； (2)略 (3)略 【点睛】本题考查了邻补角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， 三角形外角的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键 变式4-3.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,垂足别是点B、D、C,BC=DE (I)求证：AC=CE: (2)若AB=2,DE=5,求△ACE的面积. 【答案】(1) 证明：，AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE ∴.∠ABC=∠CDE=∠ACB=90° ∴.∠ACB+∠ECD=90°，∠ECD+∠CED=90° .∠ACB=∠CED 在△ABC和△CDE中， [∠ACB=∠CED BC=DE ∠ABC=∠CDE .△ABC≌△CDE, .AC=CE: 29 (22 【分析】 【详解】(1)略： (2)由(I)知：△ABC≌aCDE 23/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'AB=DC=2,BC=DE=5, 在RtAACE中，AC=VAB2+BC2=V22+52=V29, .S△ACE= v29=29 ◆05倍长中线模型 典1例1精1析 例5.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD=8,CE=6,连接DE, 点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN,则MN的长度为() M E A.5 B.4.8 C.4 D.5.2 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作CG∥AD,连接DM并延长交CG于点G,连接EG, M ∠GCM=∠A :点M是AC的中点， .CM=AM, 又：∠GMC=∠DMA, .aGMC≌aDMA(ASA), ..CG=AD=8,GM=DM, :CG∥AD,∠B=90°， ∴.∠GCE=180°-∠B=90°， 24/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE=6, .GE=VCG+CE2=V82+62=10, :GM=DM,点N是DE的中点， .MN是△DEG中位线， :.MN-1GE-5 2 变式巩固 变式5-1.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接BE,CE.BD平分∠ABE, CEI‖AB,若CE=3,BE=8,则AB的长为() B E A.8 B.10 c.11 D.12 【答案】C 【详解】解：连接ED并延长，交AB于点F, B D G .CEll AB, ∠A=∠DCE, :点D为AC的中点， .'AD=CD, 在△ADF和△CDE中， 25/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠DCE AD=CD ∠ADF=∠CDE ∴.△ADF≌aCDE(ASA), .AF =CE=3,DF=DE, 延长BD至点G,使DG=BD,连接EG, 在△BDF和△GDE中， BD=GD ∠BDF=∠GDE, DF=DE ·△BDF≌aGDE(SAS), .BF=GE,∠FBD=∠G, :BD平分∠ABE, ,∠FBD=∠EBD, .∠G=∠EBD. .BE=GE,BF=BE=8, .AB=AF+BF=3+8=11 变式5-2.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,求BC边上 的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E,使 DE=AD,连接CE.依据小明的方法，可求得AD的取值范围是 E 【答案】1<AD<7 【详解】解：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE, :点D是BC的中点， ∴.BD=DC 又∠ADB=∠EDC, 26/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABD≌aECD(SAS), ∴.AB=CE=8, ..CE-AC<AE<AC+CE. 即2<AE<14, .1<AD<7, 变式5-3.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，连接EF.若∠A+∠B=90°， AD=3,BC=4,则EF的长为 F E B 【答案】2.5 【详解】解：连接DE,延长DE到点G;使DE=EG,连接BG,CG, ,E是边AB的中点， .AE=BE, D E G DE=EG .∠AED=∠BEG AE=BE .△ADE≌aBGE(SAS). ∴AD=BG,∠A=∠EBG, ,∠A+∠ABC=90°， ∠EBG+∠ABC=90°， ∴.∠GBC=90° AD=3,BC=4,, .'BG=AD=3, 根据勾股定理，得CG=VBG+BC2=5, :E,F分别是DG,CD的中点， 27/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF=CG=2.5: ◆06半角模型模型 典1例1精1析 例6.如图，三角形ABC是边长为lcm的等边三角形，以BC为边作等腰三角形BCD,使得DB=DC,且 ∠BDC=12O°，点M是AB边上的一个动点，作∠MDN交AC边于点N,且满足∠MDN=60°，则△AMN 的周长为. cm M B 0 【答案】2 【详解】解：如图，在AC延长线上截取CM=BM, A M 是等边三角形， 是顶角 的等腰三角形， D ---M:ABC △BDC ∠BDC=120° ∴.∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30° ∴.∠ABD=∠ACD=90°， ∠DCM1=90°， BD=CD 在RteBDM和RtACDM1中， BD=CD,∠ABD=∠DCM1=90°，CM1=BM, ∴：.Rt△BDM≌Rt△CDM(SAS). 得MD=M,D,∠MDB=∠MDC, 28/55 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠MDM,=120-∠MDB+∠M,DC=120°， ∴.∠NDM1=60°. :MD=M,D,∠MDN=∠NDM,=60°，DN=DN, AMDN≌aM,DN :.MN =NM, 故△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+AN+NM,=AM+AM,=AB+AC=2 故答案是：2 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解一些简单的结 论。 变式巩固 变式6-1.如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP,将射线AP绕点A逆时针旋转45°， 得到射线AQ,交直线CD于点Q,过点B作BE⊥AP于点E,交AQ于点F,连接DF, (1)依题意补全图形： (2)用等式表示线段BE,EF,DF之间的数量关系，并证明. 【答案】 (1)补全图形 P (2)BE+DF-EF 证明：延长FE到H使EH=EF 29/55 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B H .BE⊥AP ..AH=AF, ∴.∠HAP=∠AP-45° ,四边形ABCD为正方形， .'.AB=AD, ∠BAD=90° .∠BAP4∠2-45° .'∠1+∠BAP-459 ∴.∠1=∠2， ∴.△ABH≌△ADF, ∴.DF-BH, .BE+BH-EH-EF. .BE+DF=EF. 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线， 变式6-2.如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC=∠BDC=90°，BC=4,AB=AC,∠CBD=30°， M,N分别在BD,CD上，∠MAN=45°，则△DN的周长为. 【答案】2V3+2 30/55 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】将△ACN绕点A顺时针旋转，得到△ABE,如图： M 由旋转得：∠NAE=90°，AN=AE,∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN, '∠BAC=∠D=90°」 ∴.∠ABD+LACD=360°-90°-90°=180°， ∴.∠ABD+∠ABE=180°， E,B,M三点共线， :∠MAN=-45°，∠BAC=90°， ∴.∠E.AM=∠EAB+∠BAM=∠CAN4∠BAM=∠BAC-∠MAN=90°-45°=45°， ∴.∠EAM=∠MAN, 在△AEM和△AM中， AE=AN ∠EAM=∠NAM AM=AM ∴.△AEM≌△AM(SAS, ∴.MN=ME, ∴.N=CN4BM, :在Rt△BCD中，∠BDC-90°，∠CBD=30°，BC=4, .CD=2BC=2,BD=√BC2-CD=√4-22=23， '.△DMN的周长为DMHD4MN=DMDN+BM-CN=BD+DC=2V3+2, 故答案为：2V3+2 【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出辅助线是解此 题的关键 变式6-3.如图，正方形ABCD的边长为6，点E,F分别在边AB,BC上，若F是BC的中点，且 ∠EDF=45°，则BE的长为 31/55 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B F 【答案】4 【详解】解：延长F至G,使CG=AE,连接DG、EF,如图所示： D B C G :四边形ABCD是正方形， ∴.AD-AB=BC-CD=6,∠A=∠B=∠DCF=∠ADC-90°， ∴.∠DCG=90°， 「AE=CG 在△ADE和△CDG中 ∠A=∠DCG=90°， AD=CD ∴.△ADE≌△CDG(SAS), ∴.DE=DG,∠ADE=∠CDG, ∴.∠EDG=∠CDE+∠CDG=∠CDE+∠ADE-90°， :∠EDF-45, ∴.∠GDF=45°， DE=DG 在△EDF和△GDF中， ∠EDF=∠GDF DE=DE :.△EDF≌△GDF(SAS), ∴.EF=GF, F是BC的中点， ∴.BF=CF=3, 设AE-CGX,则EF-GF=CF+CG=3+x, 32/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BEF中，由勾股定理得：3+(6-)2=(3+x)2, 解得：-2，即AE-2, ∴.BE=AB-AE-6-2-4. 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了方程的思想，证明三 角形全等是解本题的关键. 吟07手拉手模型 典1例精析 例7.如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE, AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点O,连结PO.以下五个结论：①AD=BE: ②Pp∥AE;③OP=O0;④△CP2为等边三角形；⑤LA0B=60°.其中正确的有() A.①②④⑤ B.①②③④ C.②③④⑤ D.①③④⑤ 【答案】A 【详解】解：：等边△ABC、等边△CDE, .AC=BC,CD=CE,∠ACB=60°=∠DCE, .∠BCD=180°-∠ACB-∠DCE=60°， ∴.∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE, :AC=BC,∠ACD=∠BCE,CD=CE, 、△ACD≌aBCE(SAS), ,AD=BE,①正确，故符合要求： ·.LCAP=∠CBQ :∠CAP=∠CBQ,AC=BC,∠ACP=60°=∠BCQ, .△ACP≌aBCQ(ASA). ..CP=CO, .△CPQ为等边三角形，④正确，故符合要求： 33/55 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CPQ=60°=∠ACP .P2∥AE,②正确，故符合要求： .∠OPQ=∠DAC,∠OOP=∠BEC :·∠DAC、∠BEC不一定相等， :.OP=O0,不一定成立，③错误，故不符合要求： 由题意知，∠AOE=180°-（∠CAD+∠BEC) =180°-（∠CBE+∠BEC) =180°-∠ACB=120° .∠AOB=180°-∠AOE=60°，⑤正确，故符合要求： 故选：A, 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形 内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质， 平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键. 变」式巩固 变式7-1.如图，D为△ABC内一点，AB=AC,∠BAC=45°，将线段AD绕着点A顺时针旋转45°能与线 段AE重合，连接CD、BE、ED」 B (I)求证：BE=CD: (2)若∠AEB=I15°，求∠EDC的度数. 【答案】(1) 证明：由旋转性质可知，AD=AE,∠DAE=∠BAC=45°， :.∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=45°， .∠BAE=∠CAD AB=AC, ,△BAE≌aCAD(SAS), 34/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE =CD: (2)∠EDC的度数为177.5°. 【分析】 【详解】(1)略 (2)解：AD=AE,∠DAE=45°， .∠ADE=∠AED=67.5°， ,△BAE△CAD ∴.∠AEB=∠ADC=115° :.∠EDC=360°-∠ADC-∠ADE=360°-115°-67.5°=177.5°， .∠EDC的度数为177.5° 变式7-2.如图，AP是△ABC的高，∠BAP=a,AD=AC,∠DAC=2a,过点D作DEI‖AB交BC于点E. 下列四个结论中： ①∠ACB=∠BDE;②当a=45°时，BD⊥BC:③BD=DE:④BC=2BP+BE. 所有正确结论的序号是 【答案】②④ 【分析】 【详解】解：①在线段PC上截取PF=BP,连接AF, C F ,AP是△ABC的高， .∠APF=∠APB=90°， .AP=AP, 35/55 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△APF≌aAPB(SAS). ∴AF=AB,∠PAF=∠BAP=a, ,∠DAC=2a, .∠CAF=∠DAC-∠PAF-∠PAD=a-∠PAD, :∠DAB=∠BAP-∠PAD=U-∠PAD. ∴.∠CAF=∠DAB, AD=AC. △CAF≌aDAB(SAS), .∠ACB=∠ADB 即∠ACB≠∠BDE: 则①错误： ②当a=45时，∠DAC=2a=90°， .AD=AC, .∠ACD=∠ADC=45°， ∴.∠ACB+∠BCD=45°， ,∠ACB=∠ADB ∴.∠ADB+∠BCD=45°， ∴，∠ADB+∠BCD+∠ADC=∠BDC+∠BCD=90°， ∴.∠CBD=90°， .BD⊥BC: 则②正确： ③，DE I AB ∴∠BED=∠ABC, ,△APF≌△APB, .∠AFP=∠ABC, :∠AFP=∠CAF+∠ACF,∠CAF=∠BAD,∠ACF=∠ADB, ∴.∠ABC=∠BAD+∠ADB, ·∠DBE=180°-∠BAD-∠ADB-∠ABC=180°-2∠ABC=180°-2∠BED, 即∠DBE=180°-2∠BED. 36/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则当∠DBE=∠BED=60°时，BD=DE, 此时∠BAP=a=90°-60°=30°. 但题目中未给出的具体值，所以BD与DE不一定相等： 则③错误： ④，△CAF≌△DAB, .'CF=BD .'BC=BP+PF+BD=2BP+BD 由③得∠BED=∠ABC=∠BAD+∠ADB, DE ll AB .∠BAD=∠ADE, 则∠BED=∠ADE+∠ADB=∠BDE, .'BD=BE, ..BC=2BP+BE: 则④正确： 故答案为：②④. 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形、平行线的性质，角的和差等，在线段 PC上截取PF=BP,连接AF,利用截长补短构建全等三角形是解题的关键 变式7-3.如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O,设E、F分别是ADAB上的点， 若∠EOF=90°，DO=4,求四边形AEOF的面积. F B 【答案】8 【详解】解：：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O, DO=BO,AO=CO,且BD=AC,BD⊥AC, .D0=A0=4,∠AOD=90°， ,∠EOF=90°. .∠DOE=∠AOF=90°-∠AOE, 37/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=AB=AB=CB,∠DAB=∠ABC=90°， .∠ADB=∠ABD=45°，∠BAC=∠BCA=45°， ∠ADB=∠BAC, 在△DOE和△AOF中， ∠EDO=∠FAO DO=AO ∠DOE=∠AOF :.△DOE≌△AOF(ASA), .S.DOE=S.40F, 1 .S边形HBOF=S.A0E+SA0r=SAOE+S.DoE=S40n=)×4×4=8, :,四边形AEOF的面积是8. ◆08截长补短模型 典」例1精析 例8.四边形ABCD中，AC平分∠BAD,BC=DC,∠B=7O°，则∠D的度数是 【答案】70°或110° 【详解】解：如图，在线段AB取一点E,使得AD=AE, E :AC平分∠BAD, ∴∠DAC=∠EAC, 在△DAC和△EAC中， AD=AE ∠DAC=∠EAC, AC=AC ·.△DAC≌△EAC(SAS)」 ∴CE=CD, 38/55 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC=DC, ∴CE=CB, ∴∠CEB=∠B=70°， .∠CEA=∠CDA=110°， 当点D位于D'时， .CD=CD', .∠CDD'=∠CD'D=70°， 综上所述，∠D的度数是70°或110°， 故答案为：70°或110° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意画出相应的图形以及运用截长补短的方法构造全 等三角形是解本题的关键 变|式|巩1固 变式8-1.在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且 ∠EAF=∠BAD,当BC=4:DC=7:CF=1时，CEF的周长等于— 2 B 【答案】13 【分析】 【详解】解：在DF上取点G,使DG=BE, G :∠ABE+∠ABC=180°，∠ABC+∠ADC=180°， 39/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠D=∠ABE, 在△ADG与△ABE中 AB=AD ∠ABE=∠D, BE=DG ∴.△ABE≌ADG(SAS). AG=AE,∠EAB=∠DAG, ,∠EAB+∠GAB=∠DAG+∠GAB,即∠EAG=∠BAD, ∠EAF=∠BAD. ∠EAF=∠EAG :.∠FAE=∠GAF, 在△AFG与△AEF中 AG=AE ∠FAG=∠EAF AF=AF ∴.△AFG≌△AEF(SAS) ∴.EF=FG ∴.EF+BE=FG+DG=CD+CF ∴.aCEF的周长等于EF+CF+CE=EF+BE+BC+CF=CD+CF+BC+CF. :BC=4,DC=7,CF=1, ∴，△CEF的周长等于7+1+4+1=13 故答案：13」 变式8-2.如图，P是正△ABC内一点，PA=3,PB=4,PC=5,将线段PA以点A为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段4，连结C. P 40/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)∠APB的度数为 (2)△BPC的面积 【答案】 150° 3+4V5 【详解】解：(1)如图所示，连接PB, :线段PA以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AB, .△APP为等边三角形， .PA=PR=PA=3,∠PAP=∠PPA=60°， :△ABC是等边三角形， :AB=AC,∠BAC=60° .∠BAC-∠PAC=∠PAP-∠PAC,即∠BAP=∠CAP, (AB=AC 在 和 中， ∠BAP=∠CAR, △BAP△CA PA=PA .△BAP≌aCAR(SAS) .PB=PC=4,∠APB=∠APC, 在aPPC中，PP2+PC2=PC2. :.△PRC是直角三角形，∠PPC=90° .∠APB=∠APC=∠APP+∠PPC=60°+90°=150° (2)如图所示，过点P作PH1AR交A于点H, A 41/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△APP是等边三角形， 4H=R=-多PM3m=r-m 2 ,.3595 则5网-4PH=x3x3 2 24 1 1 S.me-PR-RC-x3x4-6, 由(1)知△BAP≌aCAP, .m+c.e 4 将线段PB以点B为旋转中心逆时针旋转60°， 同理可求得S△MPm+SABC=6+4V3； 将线段PC以点C为旋转中心逆时针旋转60°， 同理可求得S.c+Sr=6+253 4 S版=6.m+5+5m+Sc+8c+S加)=9+25,5 4 S.aPc=S.ABC-(S.aPB+S.rc)=3+43 变式8-3.如图，在平面直角坐标系中，A(-2,0),C(6,0),B为y轴正半轴上一点，D在第四象限，且 BC⊥CD,CA平分∠BCD,∠ABC+∠ADC=18O°. D (1)直接写出B点坐标： (2)求证：AB=AD； (3)求四边形ABCD的面积. 42/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1①)(0,6) (②)证明：过点A作AM⊥BC于点M,AN⊥CD,交CD的延长线于点N. y◆ M 平分 C ◇D AC ∠BCD :AM AN, :∠ABM+∠ADC=180°，∠ADN+∠ADC=180°， .∠ABM=∠ADN. ∠AMB=∠N=90°， .△AMB≌△AND(AAS). :AB=AD: (3)32 【分析】 【详解】(1)C(6,0), .0C=6, BC⊥CD. .∠BCD=90°， :AC平分∠BCD, .∠BCA=∠ACD=45°， '∠C0B=90°， ∴.∠OBC=∠OCB=45°， ∴.OB=0C=6」 ∴.B(0,6), 故答案为：(0,6)： (2)略 (3)A(-2,0),B(6,0). 43/55 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴0A=2,0C=6, AC=8, :AM⊥CM,∠ACM=45°， .AM=CM=42. △AMB兰△AND, SMB=S.AND, ∴.S四边形ABCD=S四边形AMCV, :∠AMC=∠MCN=∠N=90°， ∴.四边形AMCN是矩形， .AM =CM, ∴四边形AMCN是正方形， 六S边形1CD=S四边形4MCv=(4V2)2=32】 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角 形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题 刷好题 课时巩固精炼 1.如图，AD为△ABC的中线，AB⊥AD,AB=5,AD=6,则AC= B D 【答案】13 【详解】解：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. 为 的中线， D :AD△ABC 44/55 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BD=CD. BD=CD 交 和 中， ∠ADB=∠EDC △ABD △ECD AD=ED .△ABD≌△ECD(SAS) ∴CE=AB=5,∠CED=∠BAD. AB⊥AD, .∠BAD=90° .∠CED=90°」 AD=6. .AE=AD+DE =2AD=12. 在RtAACE中，由勾股定理， AC=VAE2+CE2=V122+52=V144+25=V169=13. 2.如图，已知等腰直角△ABC的顶点B,C分别在x、y轴上，∠ABC=90°，点B的坐标是(，0)，C的坐 标是(0,3)，则直线AC的函数关系式为 y C(0,3) OB1,0) 1 【答案】y=2x+3 【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D, C(0,3) OB(1,0) .∠ADB=∠BOC=90° ,△ABC为等腰直角三角形， ∠ABC=90°，AB=BC, 45/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABD+∠CB0=90°， 又：∠BOC=90°，即∠0CB+∠CB0=90°， .∠OCB=∠ABD 在△OCB与△DBA中， ∠BOC=∠ADB=90° ∠OCB=∠ABD BC=AB aOCB≌aDBA(AAS), ∴OB=DA,OC=BD, 又B(1,0),C(0,3). ∴OB=DA=1,OC=BD=3, ∴.OD=OB+BD=4, .A(4,1). 设直线AC的函数关系式为y=a+b(k≠0) [b=3 把C(0,3)A(4,1)代入y=+b(k≠0)：得14k+b=1 解得： k2 b=3 :直线4C的函数关系式为y= 1 2+3 3.如图，△ABD和△FEC关于直线I对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C,点B、C、D、E在同 一条直线上，则图中有一对全等三角形. 【答案】2 【详解】解：如图，设直线I交CD于点G,AD,CF交于点H, 46/55 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和 关于直线对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C, B .·△ABD △FEC .△ABD≌△FEC. 点B、C、D、E在同一条直线上， .CG=DG,HC=HD .HG=HG. ∴.ACHG≌ANHG, ∴.图中有2对全等三角形 故答案为：2. 4.己知：如图，四点B、E、C、F顺次在同一条直线上，A、D两点在直线BC的同侧，BE=CF, AB∥DE,∠ACB=∠DFE.求证：AC=DF, 【答案】证明：，BE=CF, ...BE+CE=CF +CE,BC=EF, ,AB∥DE, .∠B=∠DEF, :∠ACB=∠DFE, .△ACB≌aDFE(ASA」 .AC=DF 【详解】略 5.如图所示，AD是△ABC的中线，DF⊥AC,DE⊥AB,垂足分别为F,E,BE=CF.求证： Rt△CDF≌Rt△BDE. 47/55 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 【答案】 证明：，AD是△ABC的中线， ∴.CD=BD ,DF⊥AC,DE⊥AB, ∴.∠CFD=∠BED=90° ..BE=CF :.RtACDF≌Rt△BDE(HL) 【详解】略 6.如图，在△ABC,BA=BC,∠ABC=50°，将△ABC点B按逆时针方向旋转100°，得到△DBE,连接 AD,CE交于点F (I)求证：△ABD≌aCBE, (2)求∠AFC度数. 【答案】(1) 证明：由旋转得，AB=BD,BC=BE, :BA=BC, ∴.AB=BD=BC=BE, .∠ABC=∠DBE, ∴.∠ABD=∠CBE, 在△ABD和△CBE中 48/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=CB ∠ABD=∠CBE BD=BE ∴△ABD≌aCBE(SAS). (2)50° 【分析】 【详解】(1)略 (2)由旋转得，AB=BD=BC=BE,∠ABD=∠CBE=100°， 则∠BAD=∠ADB=∠BCE=∠BEC=40°， :∠ABE=∠ABD+∠DBE=150° ∴∠AFE=360°-∠ABE-∠BAD-∠BEC=130°， .∠AFC=180-∠AFE=50° 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和四边形内角和，解题关键是 熟悉旋转性质 7.如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=LDCE=a,AD、BE交于点H,连接CH, B (I)求证：AD=BE: (2)求证：CH平分∠AHE: (3)求∠CHE的度数.（用含a的式子表示） 【答案】(I) 证明：'∠ACB=∠DCE=a, ∠ACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， CA=CB ∠ACD=∠BCE. CD=CE ·.AACD≌△BCE(SAS), 49/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD=BE: (2) 证明：过点C作CM⊥AD于M,CN⊥BE于N, D BM △ACD≌△BCE, ∠CAM=LCBN, 在△ACM和△BCN中， ∠CAM=∠CBN ∠AMC=∠BNC=90°， AC=BC '△ACM≌△BCN(AAS). ∴CM=CN, :CM⊥AD于M,CN⊥BE于N, ∴.CH平分∠AHE: 6)<CE=90P 2. 【分析】 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：△ACD≌△BCE, ∴，∠CAD=∠CBE, :∠AMC=∠AMC, ∠AHB=∠ACB=a, .∠AHE=180°-a, 由(2)得CH平分∠AHE, ÷2cE=4E=180-a, 50/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即<CE=080-0×号=90- 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=9O°，AC=BC,点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长 线于点E,交BC的延长线于F,且BD=2AE.求证： D B (1)AF=BD: (2)BD平分∠ABC. 【答案】(I) 证明：，AE⊥BD, :.∠AEB=90°=∠ACB :.∠EAC+∠ADE=90°，∠DBC+∠BDC=90°， 又：∠ADE=∠BDC, ∴.∠EAC=∠CBD 在△ACF和△BCD中， ∠FAC=∠DBC AC=BC ∠ACF=∠BCD :.△ACF≌△BCD(ASA .'AF BD. (2)证明： .BD=2AE,BD=AF=AE+EF, .AE=EF,即E为AF中点. :BE⊥AF, ∴.BE垂直平分AF, ∴.BA=BF, ∴.BD平分∠ABC 【分析】 51/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略 (2)略 1.如图①，在△ABC中，AB-AC-4,∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D A B D 图① 图② (1)S△ABD=_.(直接写出结果) (2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△AB'D,设旋转角为α(a<90),在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当 时，四边形APDQ是正方形. 【答案】(1)4 (2)四边形APDQ的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当α=45°时，四边形APDO是正方形. 【分析】 【详解】(1)解：AB=AC=4,∠BAC=90°，AD⊥BC, .BD=CD m-5c*2 1.1 .BC= 1×1×4×4=4: 22 故答案为4： (2)解：①四边形APDQ的面积不会随旋转而变化.理由如下： 在△ABC中，·AB=AC,∠BAC=90°， .∠B=∠C=45°， AD⊥BC, ∴.∠BAD=∠DAC=45°， ∠B=∠DAQ=∠BAD=45°，BD=AD, 又：∠BDP+∠ADP=90°，∠AD0+∠ADP=∠PDQ=90°， .∠BDP=∠ADQ 在△BPD和△AQD中， 52/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠DAQ BD=AD ∠BDP=∠ADQ :.△BPD≌△MQD(ASA), .S边形APpO=SMPD+SHOD=SMAPD+SABPD=S8D=4； ②a=45°时，四边形APD0是正方形.理由如下： ∠PA0=90°， ∴.当DP⊥AB时， 而∠PD0=90°， .四边形APDQ为矩形， ∠PAD=45°， ..PA=PD, ∴.四边形APDQ是正方形，此时∠BDP=45°，即a=45°. B B D 图② 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角：旋转前、后的图形全等。也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定， 2.在△ABC中，AC=4,BC=V2, 图1 图2 (I)如图1，若∠ACB=120°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,连接CE,求BE的值： (2)如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE,连接CE,此时点B,C,E恰好共线，连接BD. ①求证：BE⊥DE; ②求△BED的面积. 53/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)BE=√2+4 (2)①证明：如图2， 图2 ,将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE, .∠CAE=90°，△ABC≌△ADE, ∴.AC=AE, :.△ACE为等腰直角三角形， :.∠ACE=∠AEC=45°， :点B,C,E三点共线， .∠ACB=∠AED=180°-∠ACE=135°， ∴.∠BED=∠AED-∠AEC=90°， .BE⊥DE ②5 【分析】 【详解】(1)解：，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE, :.∠CAE=60°，AC=AE ∴.△ACE为等边三角形， CE=AC=4,∠ACE=60°， .∠ACB=120°， ∴，∠ACB+∠ACE=180°，即点B,C,E三点共线， .BE=BC+CE=2+4. (2)①略. ②解：，△ABC≌△ADE, .BC=DE=2,AC=AE=4, ,△ACE为等腰直角三角形， ..CE=AC2+AE2=42, 54/55 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BE=BC+CE=5V2, .S.BED= 2 BE-ED=5. 55/55