27.2反比例函数的图象和性质（分层作业，14大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 练习围绕反比例函数图象和性质，分基础、进阶、综合三层，覆盖从概念判断到实际应用的完整路径，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|性质判断、参数范围|以选择填空为主，直接考查增减性、象限分布，强化概念理解| |进阶层|比较大小、面积计算|结合图象分析函数值关系，通过矩形、三角形面积巩固k的几何意义| |综合层|函数交点、实际应用、几何综合|解答题为主，涉及一次函数与反比例函数综合、实际问题建模，培养推理能力与模型意识|

27.2反比例函数的图象和性质 知识点一 判断反比例函数的增减性、图象所在象限 1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）（多选）对于反比例函数 ，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数图象分别位于第一、三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时，随的增大而增大 D．图象经过点 3．（2026·山西大同·模拟预测）下列关于反比例函数的说法，正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点在该函数的图象上 D．在每一象限内，y随x的增大而减小 4．（2026·广西柳州·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 知识点二 已知双曲线分布象限，求参数范围 1．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）反比例函数的图象如图，则k的值可能为（   ） A．4 B． C． D．2 3．（2026·重庆·一模）若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 4．（25-26九年级下·宁夏吴忠·阶段检测）已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则k的取值范围是________． 知识点三 已知反比例函数的增减性求参数范围 1．（2026·重庆武隆·二模）已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北襄阳·二模）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（22-23八年级下·河南新乡·期中）已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京·模拟预测）如果点都在函数的图象上，且，那么的取值范围是_____． 知识点四 求反比例函数的解析式 1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 2．（2026·江西宜春·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 3．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 知识点五 已知反比例函数的图象判断解析式 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（   ） A．10 B．3 C． D．5 知识点一 比较反比例函数值或自变量的大小 1．（2026·天津滨海新区·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·天津东丽·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）若，，都在函数的图像上，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西朔州·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 知识点二 已知比例系数求特殊图形的面积 1．（2026·浙江温州·二模）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 2．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 3．（2026·江苏连云港·一模）如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（    ） A．3 B．1.5 C．2 D．1 知识点三 根据面积求比例系数 1．（2026·广西梧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 2．（2026·青海西宁·一模）如图，点A，B分别在和的图象上，且轴，点在轴上，若的面积为7，则_____． 3．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，点A，B是反比例函数图象上的点，点C，D分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形， x轴， ，则k的值为多少（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（2026·广东深圳·二模）如图，过原点的直线和反比例函数相交于、，延长至，使得点是中点，过作轴于，交反比例函数第一象限图象于，连接，若的面积为，则_______． 5．（2026·广东中山·二模）如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 知识点四 由反比例函数图象的对称性求解 1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 3．（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 知识点五 一次函数与反比例函数交点问题 1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点的坐标为．  (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)直接写出时的取值范围． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； (3)若点C为线段上一点，且，连接，求． 3．（2026·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点． (1)求直线与双曲线的表达式； (2)点为双曲线的任一点，若，求点坐标； (3)若点，则当时，的取值范围是_________． 4．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． 知识点六 一次函数与反比例函数的实际应用 1．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 3．（25-26九年级上·浙江温州·假期作业）某工艺品的制作有、两道工序，其中工序需在材料温度为下操作，工序需在材料温度为下操作．生产时，先将材料进行加热，加热过程中，温度是时间的一次函数；加热到后停止加热，随后转入冷却过程，此时温度与时间成反比例；当温度降到时，保温功能会自动启动，将材料温度保持在．某天早上，工人开始加热材料，设材料温度为，从加热开始计算的时间为（分）材料温度随时间的变化情况如图所示． (1)分别求出材料加热与冷却过程中，关于的函数表达式． (2)当时，求可进行工序操作的时间． (3)若工人需要在开始再次进行工序的操作，则他应最迟何时开始对材料进行重新加热？ 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 知识点七 反比例函数与二次函数图象综合判断 1．（2026·四川成都·二模）已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州六盘水·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·安徽淮南·阶段检测）已知反比例函数（）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 知识点八 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·贵州遵义·一模）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 知识点一 反比例函数与几何综合 1．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 3．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)分别求直线和双曲线对应的函数解析式； (2)连接，，求的面积； (3)在x轴上找一点P，使得的值最小．请直接写出点P的坐标． 4．（2026·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； (3)若点P在y轴上，当的周长最小时，求点P的坐标． 5．（21-22九年级下·四川成都·阶段检测）如图，函数的图象过点和两点． (1)求和的值； (2)将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点，交轴于点． 若，求直线解析式； 若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得点、、、为顶点四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2反比例函数的图象和性质 知识点一 判断反比例函数的增减性、图象所在象限 1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）（多选）对于反比例函数 ，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象关于原点中心对称 【答案】BD 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断各选项即可． 【详解】解：选项A，将代入函数得，图象不经过点，错误； 选项B，，反比例函数的图象位于第一、三象限，正确； 选项C，，当时，随的增大而减小，错误； 选项D，反比例函数的图象是双曲线，关于原点中心对称，正确． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．该函数图象分别位于第一、三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时，随的增大而增大 D．图象经过点 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象和性质，对各选项逐一判断即可，本题中，结合性质分析即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得． ∵， ∴函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，因此A选项错误． 当时，随的增大而增大，因此B选项错误． 当时，随的增大而增大，因此C选项正确． 将代入解析式，得 ，因此图象不经过点，D选项错误． 3．（2026·山西大同·模拟预测）下列关于反比例函数的说法，正确的是（     ） A．y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限 C．点在该函数的图象上 D．在每一象限内，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】先确定反比例函数中的值，再根据反比例函数的性质逐一判断选项即可. 【详解】解：对于反比例函数，可得， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，因此B正确，A，D错误； 将代入函数，得 ，因此点不在该函数图象上，C错误． 4．（2026·广西柳州·二模）对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 当时，， ∴A错误； ∵ ， ∴ 反比例函数图象位于第一、三象限， ∴B错误； ∵ ，当 时，函数图象在第三象限， ∴ 随的增大而减小， ∴正确； ∵ ，当时，函数图象在第一象限， ∴ 随的增大而减小，不是增大， ∴错误． 知识点二 已知双曲线分布象限，求参数范围 1．（2026·云南昆明·二模）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反比例函数中，当系数时，图象分布在第二、四象限，据此列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得． 2．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）反比例函数的图象如图，则k的值可能为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据反比例函数图象的分布象限由k的符号决定：当时，图象在第二、四象限． 【详解】解：由图可知反比例函数的图象在第二、四象限， ∴，选项中只有B选项． 3．（2026·重庆·一模）若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象的性质，当反比例函数的图象位于第一、第三象限时，比例系数，据此列不等式求解的取值范围即可. 【详解】反比例函数的图象在第一、第三象限， ， 解得． 4．（25-26九年级下·宁夏吴忠·阶段检测）已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图像与性质，反比例函数图像分布在第二、四象限时，比例系数小于0，据此列出一元一次不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限， ， 移项得， 系数化为得． 知识点三 已知反比例函数的增减性求参数范围 1．（2026·重庆武隆·二模）已知反比例函数，在每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】解：∵反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小， ∴， 解得． 2．（2026·湖北襄阳·二模）在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小 ∴比例系数 解得 观察选项，只有选项A的满足． 3．（22-23八年级下·河南新乡·期中）已知，两点在双曲线上，当时，．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定x，y的大小关系判断反比例函数比例系数的符号，进而求解m的取值范围． 【详解】解：对于反比例函数，当时，在每个象限内，随的增大而减小． 时，， ， 解得． 4．（2026·北京·模拟预测）如果点都在函数的图象上，且，那么的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据点、的横坐标判断两点位于的区间，结合和的大小关系，利用反比例函数的性质得到比例系数的取值范围，进而求出的范围. 【详解】解：，且 ， ∴当时，随的增大而增大， ∴， 解得 . 知识点四 求反比例函数的解析式 1．（25-26九年级下·云南曲靖·期中）已知反比例函数y=的图象经过点． (1)求的值； (2)当时，求的值； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把点代入解析式即可求出的值； （）把代入解析式即可求解； （）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得， ∴的值为； （2）解：由（）得，， ∴反比例函数解析式为， 当时，； （3）解：当时，；当时，， ∵在每个象限内，随增大而减小， ∴． 2．（2026·江西宜春·一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若，求的面积． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 ； (2)的面积为． 【分析】（1）先将点坐标代入反比例函数解析式求出的值，再根据求出的反比例函数解析式求出点坐标，将点和点坐标代入一次函数解析式求出、的值即可得解； （2）由一次函数的图象与轴相交于点求出点坐标，再根据推得点坐标，进而结合点和点坐标即可求出的面积． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为 ； 也在反比例函数的图象上， ， 即， ，在一次函数的图象上， ， 解得， 即一次函数解析式为． （2）解：一次函数的图象与轴相交于点， ， 即， ， 又，， ． 3．（2026·湖北随州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．    (1)求的值及点的坐标． (2)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先求出点，再由待定系数法求解，以及反比例函数的对称性求解点； （2）当的解集即为反比例函数图象在一次函数图象上方时的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴， 再将代入，则， ∵点，关于原点对称， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴根据函数图象可得，时，或． 知识点五 已知反比例函数的图象判断解析式 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，该图像对应的函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像．根据函数图像的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图像为双曲线，所以为反比例函数的图像， ∵图像位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：A． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，某反比例函数的图像过点，则此反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设反比例函数的一般形式，再将已知点的坐标代入求出系数，从而确定函数表达式． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 反比例函数图像过点， ， 反比例函数的表达式为． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（   ） A．10 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， 观察图象得：， ∴k的值可能是5． 故选：D 知识点一 比较反比例函数值或自变量的大小 1．（2026·天津滨海新区·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可将三个点的坐标分别代入反比例函数，求出、、的值，再比较大小即可，也可以根据反比例函数的性质进行求解． 【详解】方法一：把代入，得，解得； 把代入，得，解得； 把代入，得，解得； ， ， 方法二：，， 当时，， , 和的纵坐标均大于，， 时，函数单调递减，则有值越大，值越小， , ， 综上：． 2．（2026·天津东丽·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出横坐标的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）若，，都在函数的图像上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据比例系数判断函数的象限分布和增减性，再结合各点横坐标的范围比较纵坐标大小． 【详解】解：∵对于函数，比例系数 ， ∴反比例函数图像位于第一，三象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 ∵点的横坐标都小于 0，两点在第三象限，且， ∴ 又∵点的横坐标大于 0，点 C 在第一象限， ∴， ∴． 4．（2026·山西朔州·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，先判断三个点所在象限，再根据同一象限内y随x的变化规律比较大小． 【详解】解：∵对于反比例函数，， ∴函数图象分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵点 ，的横坐标都小于， ∴，在第二象限， ∵， ∴ ， ∵点的横坐标大于， ∴在第四象限，可得， ∴． 知识点二 已知比例系数求特殊图形的面积 1．（2026·浙江温州·二模）如图，点，是反比例函数上的两点，过点作轴于点，作轴于点．若点的坐标为，则矩形的面积为_______． 【答案】3 【分析】将点代入反比例函数解析式即可求出值，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式， 得：， 解得：， 则反比例函数的解析式为：， ∴ 设点， ∴，， ∴矩形的面积为：． 2．（2026·广西南宁·二模）反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 3．（2026·江苏连云港·一模）如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 4．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，作轴于点，利用等腰三角形三线合一的性质得出，再结合反比例函数的几何意义求出，进而得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得， 如图，过点作轴于点， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 5．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（    ） A．3 B．1.5 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：∵轴于点A，交于点B， ∴，， ∴． 知识点三 根据面积求比例系数 1．（2026·广西梧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，解答即可． 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 2．（2026·青海西宁·一模）如图，点A，B分别在和的图象上，且轴，点在轴上，若的面积为7，则_____． 【答案】 6 【分析】连接、，根据，以及反比例函数的性质解题即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵轴， ∴，， ∴， ∵ ， ∵点A，B分别在和的图象上， ∴，， ∴， 解得． 3．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，点A，B是反比例函数图象上的点，点C，D分别在x轴，y轴正半轴上．若四边形为菱形， x轴， ，则k的值为多少（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】连接，过点B作轴于点E，由菱形的性质及面积可得，证得四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接，过点B作轴于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴=， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 4．（2026·广东深圳·二模）如图，过原点的直线和反比例函数相交于、，延长至，使得点是中点，过作轴于，交反比例函数第一象限图象于，连接，若的面积为，则_______． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，设点的坐标为，则点的坐标为，根据平面直角坐标系中两点中点公式可得点的坐标为，根据轴，可知点的横坐标为，可以求出点的纵坐标为，从而可得，，根据的面积为，可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作于点，过点作于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， 点是中点，设点的坐标为， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 点的横坐标为， ， ，， ， 的面积为， ， 解得：． 5．（2026·广东中山·二模）如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，根据等底同高三角形面积相等得出，从而求出，设点坐标，利用中点性质及反比例函数性质表示出和的面积，建立方程求解. 【详解】解：连接， ， ， ， 设点坐标为，则， 为中点， 点坐标为， 轴， 点坐标为，点横坐标为， 在双曲线上， 点纵坐标为， ， ， ， ， ， . 知识点四 由反比例函数图象的对称性求解 1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 2．（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 3．（2026·湖北·二模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象和性质求出，的值，得到点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴点与点关于原点对称， ∴点和点的横纵坐标互为相反数， ， ， 解得，， ， 把 代入， 得， 解得． 知识点五 一次函数与反比例函数交点问题 1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于，两点，且点的坐标为．  (1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)直接写出时的取值范围． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）联立，计算即可得出结果； （3） 函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：∵两函数图象相交于点，  代入得： ，，  解得，，  反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为； （2）解：联立，  解得：或，  ∵，  点的坐标为； （3）解：由函数图象可得：时的取值范围或． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； (3)若点C为线段上一点，且，连接，求． 【答案】(1)一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为 (2)自变量x的取值范围为或 (3) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）根据函数图象即可求解； （3）先求出点，再由求解，再根据共高三角形面积比等于底之比求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则反比例函数的解析式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 即点， 将点，代入 则， 解得 ∴一次函数的解析式为：； （2）解：一次函数与反比例函数的图象相交于、， 反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为或； （3）解：连接， 对于，当时，则， 解得 ∴点， ∴， ， ∴ 则． 3．（2026·江苏盐城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点，与轴相交于点． (1)求直线与双曲线的表达式； (2)点为双曲线的任一点，若，求点坐标； (3)若点，则当时，的取值范围是_________． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入直线得，，解得，，故直线表达式为，将点代入双曲线得，，解得，，故双曲线的表达式为； （2）由（1）得，当时，，故点C的坐标为，又，故，从而，设点的坐标为，则，解得，，故点的坐标为或； （3）因为当时，的图像在的图像下方，所以当时，或． 【详解】（1）解：将点代入直线得，， 解得，， 直线表达式为， 将点代入双曲线得，， 解得，， 双曲线的表达式为； （2）解：由（1）得，当时，， 点C的坐标为， 又， ， ， 点为双曲线的任一点， 设点的坐标为，则， 化简得，，则， 解得，， 点的坐标为或； （3）解：点和点，当时，的图像在的图像下方， 当时，或． 4．（25-26八年级下·福建漳州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式； (2)结合图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P为直线的动点，连接，已知的面积为，求P点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集； （3）先求出点C坐标，然后分两种情况讨论，利用割补法表示三角形面积即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ． 解得，． 反比例函数解析式为． 在一次函数的图象上， 解得 一次函数解析式为：； （2）解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． （3）解：由题意设， 对于，当时，，解得， ∴， 当点在点下方时， ∴，解得， ∴； 当点在点上方时， ∴，解得， ∴ 综上：P点坐标为或． 知识点六 一次函数与反比例函数的实际应用 1．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 2．（2026·广东深圳·二模）如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（    ） A．水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B．在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C．在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D．在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 【答案】C 【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当时在加热到后对应的的值即可判断选项D． 【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、， ∴， 解得：， ∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是， ∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意； 设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为， 当时，， ∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为， ∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意； 当时，，解得：； 当时，； 又∵， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为， ∴选项C的说法错误，故此选项符合题意； 当时，， ∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为， ∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意． 3．（25-26九年级上·浙江温州·假期作业）某工艺品的制作有、两道工序，其中工序需在材料温度为下操作，工序需在材料温度为下操作．生产时，先将材料进行加热，加热过程中，温度是时间的一次函数；加热到后停止加热，随后转入冷却过程，此时温度与时间成反比例；当温度降到时，保温功能会自动启动，将材料温度保持在．某天早上，工人开始加热材料，设材料温度为，从加热开始计算的时间为（分）材料温度随时间的变化情况如图所示． (1)分别求出材料加热与冷却过程中，关于的函数表达式． (2)当时，求可进行工序操作的时间． (3)若工人需要在开始再次进行工序的操作，则他应最迟何时开始对材料进行重新加热？ 【答案】(1)加热阶段：，降温阶段： (2)可进行工序操作的时间为分钟 (3)最迟应在开始重新加热材料 【分析】（1）材料加热过程为一次函数，根据其图像过和，用待定系数法可求出函数表达式；材料冷却过程为反比例函数，代入求出函数表达式； （2）让两段函数的都等于，算出两个对应的值然后相减即可； （3）由，可知应在冷却阶段再次加热，然后设新加热函数的解析式为，据题意可知该函数图像经过，将坐标代入解出，然后求出新加热函数与降温函数交点的横坐标，然后换算成时间． 【详解】（1）解：加热阶段： 据题可知，图像过点和，设函数表达式为， 将代入得：，解得， 则加热阶段表达式为； 降温阶段： 设函数表达式为，将代入得：， 则表达式为， 将代入得， 则降温阶段表达式为． （2）解：将代入可得：， 将代入得：， 则可进行工序操作的时间为分钟． （3）解：由，则应在冷却阶段再次加热， 再次加热时，设函数表达式为，由题意，图象过点，代入得：， 解得，则， 令，即，解得：或（舍）， 故最迟应在开始重新加热材料． 4．（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 知识点七 反比例函数与二次函数图象综合判断 1．（2026·四川成都·二模）已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 2．（2026·贵州六盘水·二模）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出：二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、， 二次函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点在轴正半轴， 因此四个选项中只有C选项符合题意． 3．（25-26九年级下·安徽淮南·阶段检测）已知反比例函数（）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数和一次函数的图象确定的符号以及的值，再根据二次函数解析式的系数符号，进行判断即可. 【详解】解：由图可知，反比例函数的图象过第一象限，一次函数的图象过一，三象限且过原点， ∴， ∴，，， ∴抛物线的开口向下，对称轴在轴的左侧，抛物线与轴交于正半轴， 故符合要求的只有选项B的图象. 4．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解． 【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意； B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意； C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意； D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意． 知识点八 一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可得答案． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可分： 当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意； 当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意． 4．（2026·贵州遵义·一模）反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．反比例函数中k的符号与图象：若，反比例函数图象在第一、三象限，若，反比例函数图象在第二、四象限，． 【详解】解：若，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 若，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 只有C选项符合． 知识点一 反比例函数与几何综合 1．（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 2．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标； （2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离； （3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得，即, 点在双曲线上， , 直线与双曲线的交点关于原点对称， 点B是点A关于原点的对称点， ； （2）解：设，过点作轴，过点作轴， 则， 作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接 ，即， ， 的纵坐标为， ， 解得，即， ， ， 两点之间线段最短， 最小，即最小． 此时的周长最小， 周长的最小值； （3）解：设， ，， ， ， ， 分三种情况： 当时，，即， ， 此时， 当时，，即， ，， 此时或 当时，，即 ， 此时， 综上所述，或或或． 3．（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点． (1)分别求直线和双曲线对应的函数解析式； (2)连接，，求的面积； (3)在x轴上找一点P，使得的值最小．请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为；双曲线对应的函数解析式为 (2) (3) 【分析】（1）将代入中求出双曲线的函数解析式，进而求出点坐标，再将，两点坐标代入中求解，即可解题； （2）记直线与y轴交于点，利用直线的解析式推出，再根据求解，即可解题； （3）作关于x轴的对称点，连接交x轴于点，连接，由对称性质可知，当三点共线时，，此时的值最小，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：直线与双曲线相交于，两点． ， 双曲线的函数解析式为， ， 即， 则， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：记直线与y轴交于点， 直线的解析式为， ， ，， ； （3）解：作关于x轴的对称点，连接交x轴于点，连接， 由对称性质可知， 当三点共线时，，此时的值最小， ， ， 设直线的解析式为， 有， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 点P的坐标为． 4．（2026·河北·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当时，求a的值； (3)若点P在y轴上，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论． （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点的坐标为； 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∴， ∴， ∴， 将，代入一次函数，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵将直线向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线的解析式为， ∴，． 如图（1），过点A向x轴作垂线，过点B向y轴作垂线，两垂线交于点Q． ∵点，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 解得：或． （3）解：如图（2），作点A关于y轴的对称点G，连接交y轴于点P，此时，的周长最小． ∵点， ∴． 设直线的解析式为 ， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，， ∴点P的坐标为． 5．（21-22九年级下·四川成都·阶段检测）如图，函数的图象过点和两点． (1)求和的值； (2)将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点，交轴于点． 若，求直线解析式； 若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得点、、、为顶点四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①直线解析式为；②存在，或 【分析】（1）函数的图象过点和两点．可得方程组，解方程即可得出答案； （2）①设，过点作轴与交于点，则，，根据，求出点的坐标，可得答案； ②设，当时，过点作轴，于于，利用，求出点的坐标，再根据矩形的性质可得的坐标；当时，则，根据题意知，从而解决问题． 【详解】（1） 解：函数的图象过点和两点， 可得：， 解得：， （2）解：由（1）可知，点的坐标是， 设直线的解析式为， 可得：， ， 直线的解析式为， 由知反比例函数的解析式为， 设点的坐标为， 如下图所示，过点作轴与交于点， 则点的坐标为， ， ， ， 解得:舍去， 点的坐标为， 将直线沿轴向左平移得直线， 设直线的解析式为， 将代入， 可得：， ， 直线解析式为； 设点的坐标为， 当时， 如下图所示，过点作轴，于于， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得或， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 当时，则， ， 解得或负值舍去， ， 点的坐标为， 此时点的坐标为， 根据题意知， 综上：点的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $