专题02 反比例函数与一次函数的综合（专项训练）数学鲁教版五四制九年级上册

专题02反比例与一次函的综合（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数与一次函数图像的判断 1 题型二、反比例函数与一次函数的交点与不等式问题 2 题型三、反比例函数与一次函数的实际应用 6 题型四、反比例函数与一次函数中点的存在性问题（难点） 9 题型五、反比例函数与一次函数图像交点的坐标规律问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数与一次函数图像的判断 1．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．直线与双曲线（，）的一个分支相交，则该分支的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型二、反比例函数与一次函数的交点与不等式问题 5．关于反比例函数，下列结论正确的是 （    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与轴有公共点 C．随的增大而增大 D．不存在与的图象有交点的其他反比例函数 6．（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，函数与函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，点在轴上，为等腰直角三角形，且，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的关系式及点的坐标； (2)请直接写出不等式的解集______； (3)点在轴上，且，连接，求的面积． 9．如图，已知坐标轴上两点，，连接，过点作，交反比例函数在第一象限的图象于点． (1)求反比例函数和直线：的表达式； (2)请结合函数图象，求出关于的不等式的解集． 10．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 11．如图1，在中，，，点P为边上一点，，过点P作，交于点Q．点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 12．如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．    (1)求、的值； (2)点在上． 判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由； 的面积是______． 题型三、反比例函数与一次函数的实际应用 13．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 14．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    15．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 16．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 17．在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即，分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ． 【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少? 18．小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间的函数关系式； (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 19．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 题型四、反比例函数与一次函数中点的存在性问题（难点） 20．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 22．某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．    【解决问题】 (1)如图，求“图象”与轴的交点的坐标； (2)过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值； (3)如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标． 23．已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 24．（2025·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点是轴上的一点，当以点，，，为顶点的四边形的面积为7时，求点的坐标． 25．已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 题型五、反比例函数与一次函数图像交点的坐标规律问题 26．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则 ． 27．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过点作，交轴于点．若都是等腰直角三角形，其中点，在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 1．（2025·山东德州·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．设点是线段上的一个动点（不与A，B重合），过点作轴的平行线，与该反比例函数的图象交于点，连接，，．当四边形的面积等于12时，求点的坐标（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·山东淄博·二模）如图，直线与双曲线交于点，将直线向上平移2个单位长度后，与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的值为 ． 4．（2025·山东枣庄·三模）一次函数的图象与轴交于，图象过点，轴于点，已知与反比例函数的图象交于点（a．2），点是线段边上的动点． (1)分别求直线的解析式和反比例函数的解析式； (2)连接，，求的值； 5．（2025·山东菏泽·二模）如图，一次函数与反比例函数交于两点，为常数． (1)求和的值； (2)根据图象直接写出不等式的解集为_____； (3)点为轴上一点．若的面积为2，求点坐标． 6．（2025·山东青岛·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)一次函数的图象与轴交于点，过点作直线平行于轴，与反比例函数图象交于点，连接，求的面积． 7．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 8．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点，，与反比例函数的图象交与点，是反比例函数图象上的一个动点，过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，其中点的坐标为． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)连接DB，DC，当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； (3)若是轴上的一个动点，连接，，当时，求点的纵坐标． 10．（2025·山东济南·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点．      (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点是轴上一动点，连接，，当面积为10时，请求出点的坐标； (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02反比例函数与一次函数的综合（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、反比例函数与一次函数图像的判断 1 题型二、反比例函数与一次函数的交点与不等式问题 4 题型三、反比例函数与一次函数的实际应用 16 题型四、反比例函数与一次函数中点的存在性问题（难点） 27 题型五、反比例函数与一次函数图像交点的坐标规律问题 44 B综合攻坚・能力跃升 题型一、反比例函数与一次函数图像的判断 1．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数与反比例函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，不符合题意； 、由图象可知，，即，由图象可知，符合题意； 故选：． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当时，一次函数图象过一、三、四象限；反比例函数图象过一、三象限； ②当k＜0时，一次函数图象过一、二、四象限；反比例函数图象过二、四象限， A．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、三象限，故该选项不正确，不符合题意； B．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，而该选项一次函数图象过一、三、四象限，故该选项不正确，不符合题意； C．由反比例函数知，一次函数图象应过一、三、四象限，而该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； D．由反比例函数知，一次函数图象应过一、二、四象限，该选项一次函数图象过一、二、四象限，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 3．反比例函数和一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的图象，掌握一次函数与反比例函数的系数与图象的关系是解题关键．根据和两种情况判断函数图象，即可得到答案． 【详解】解：当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象在第一、二、四象限，即B、C选项错误； 当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象在第一、二、三象限，即A选项正确，B选项错误； 故选：A 4．直线与双曲线（，）的一个分支相交，则该分支的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据直线和双曲线的性质，确定的符号和图象的位置，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线（，）的一个分支相交， ∴， ∵， ∴图象是第一象限的那一支， 故选：D． 题型二、反比例函数与一次函数的交点与不等式问题 5．关于反比例函数，下列结论正确的是 （    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与轴有公共点 C．随的增大而增大 D．不存在与的图象有交点的其他反比例函数 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 根据反比例函数的性质，逐一分析选项． 【详解】选项A：反比例函数中，比例系数，其图象位于第二、四象限，而非第一、三象限，故A错误； 选项B：反比例函数的图象为双曲线，与坐标轴无限接近但永不相交，故B错误； 选项C：当时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大．但选项C未限定“每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，故C错误； 选项D：设其他反比例函数为，联立方程，因此，仅当时两函数图象重合，其他的反比例函数均无交点，故D正确． 故选：D． 6．（2025·山东淄博·二模）在平面直角坐标系中，函数与函数的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的结合，交点坐标的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握正比例函数和反比例函数的性质． 根据题意先求出点的坐标，再利用，两点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：将点的坐标代入得， ， ∴点的坐标是， 由反比例函数图象和正比例函数的图象可知， ，两点关于原点对称， ∴点的坐标是， 故选：D． 7．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，点在轴上，为等腰直角三角形，且，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键． （1）将点代入反比例函数即可求得k的值，将点代入反比例函数即可求得b的值，进而待定系数法求直线解析式即可求解； （2）过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，证明，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数中，得， 解得， 故反比例函数的表达式为                 将代入反比例函数中， 得， 解得， 故                             将，代入一次函数中得 ， 解得 故一次函数解析式为； （2）解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，    则， ， 为等腰直角三角形，， ， ． 在和中， ， ， ， ∵，， ， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的关系式及点的坐标； (2)请直接写出不等式的解集______； (3)点在轴上，且，连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3)24 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）先求出值，再求出值得到反比例函数解析式，联立方程组求出点坐标即可； （2）数形结合，直接写出不等式的解集即可； （3）当点在轴负半轴时，计算出的面积即可． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于， ， ， ， 反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，， ． （2）解：如图，根据函数图象可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． （3）解：由一次函数可知， 由勾股定理可得， 当在轴正半轴时， ，， ； 当点在轴负半轴时，，故此情况不存在， 综上分析，的面积为． 9．如图，已知坐标轴上两点，，连接，过点作，交反比例函数在第一象限的图象于点． (1)求反比例函数和直线：的表达式； (2)请结合函数图象，求出关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数与一次函数的综合等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的应用是解题关键． （1）过点作轴于点，先证出，根据相似三角形的性质求出的长，从而可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出一次函数与反比例函数的两个交点坐标，再根据关于的不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方（含交点），结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 将点代入反比例函数得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入直线：得：，解得， 所以直线：的表达式为． （2）解：由（1）可知，，， 联立，解得或， ∵如图，关于的不等式表示的是一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方（含交点）， ∴结合函数图象，关于的不等式的解集为或． 10．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时x的取值范围； (3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2)或 (3)点C坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等． （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2 ∴将代入， 则， ∴反比例函数解析式为：， ∴将代入， 则， ∴， 将，代入， 则， 解得： ∴一次函数解析式为：； （2）解：∵， ∴观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ∴ ∴， 设， ∴ ∵的面积为18， ∴ ∴， ∴，即 解得：或 ∴点C坐标为或． 11．如图1，在中，，，点P为边上一点，，过点P作，交于点Q．点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为． (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)， (2)见解析，随x增大而增大，随x增大而减小； (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：函数图象如图所示； 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； （3）解：由函数图象可知，当时，的取值范围． 12．如图，一次函数的图像与轴交于点，点在上，是反比例函数图像上的一点，四边形是平行四边形．    (1)求、的值； (2)点在上． 判断点是否在反比例函数的图像上，并说明理由； 的面积是______． 【答案】(1)，； (2)不在，理由见解析；． 【分析】（1）根据点代入直线，求得的值，再根据平行四边形的性质，求出点的坐标，又根据点在反比例函数上，进而求得的值； （2）根据点代入直线，求得的值，求出点的坐标，再将点代入反比例函数上，看等式两边是否相等，如果相等则在图象上，否则不在图象上； 设所在直线的解析式为，把、代入求得解析式，进而解得与轴交点，再根据面积和差即可求解． 【详解】（1）当时，． ∴． 当时，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴点的坐标为． ∴． ∴． （2）不在，理由如下： ∵点在上，当时，， ∴点的坐标为． ∵反比例函数为，当时，， ∴点不在反比例函数的图像上， 延长交轴于点，如图，      由得：，， 设所在的直线为, 将、代入得: ，解得：， ∴设所在的直线为， 令，则，解得：， ∴点， ∴， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法，并且借助辅助线求解． 题型三、反比例函数与一次函数的实际应用 13．某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 14．饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 15．如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 16．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，增大 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而增大， 故答案为：增大； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 17．在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即，分别是图形和图形上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形与图形之间的距离． 例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离． 【应用】（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是 ； （2）如图3，已知直线与双曲线交于与B两点，点A与点B之间的距离是 ，点O与双曲线之间的距离是 ． 【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少? 【答案】（1）；（2）；；（3）需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是米 【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可； （2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出的值即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出的值即可； （3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、，先求出直线的解析式，然后求出点、的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，过点D作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）把代入中，得：， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴双曲线的解析式为， 联立，得：， 即， 解得：，， ∴， ∴； 如图，作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为， 则， 整理得：， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为， 由， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：；． （3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点、，过点作于点，过点作轴于点，过点、分别作直线的垂线、，垂足为、， 则， ∵直线平分第二、四象限角， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 代入，得， 解得：， ∴， 联立得：， 解得：或， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两点之间距离公式． 18．小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间的函数关系式； (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1）解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2）解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3）解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 19．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2)恒温阶段保持的时间有10小时 (3)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）由（1）知，观察图象可得； （3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； ； （2）解：由（1）知， ， 恒温阶段保持的时间有：（小时）， 答：恒温阶段保持的时间有10小时； （3）解：设的解析式为：， 把、代入中得：， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得， ， ， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时． 题型四、反比例函数与一次函数中点的存在性问题（难点） 20．（2025·四川达州·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)若点关于原点的对称点为，求的面积； (3)探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）将点坐标代入解析式可求，联立方程组，即可求解； （2）过点作，交于点，求出点的坐标，由三角形的面积公式可求解； （3）过点作轴于，轴于，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， ， 反比例函数的图象过点， ， 反比例函数的表达式为， 由， 解得或， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，交于点， ， 点关于原点的对称点为的坐标为， 把代入， 可得， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于，轴于， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， 点． 21．如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)若点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标； (3)若点为轴上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转点的对应点恰好也落在这个反比例函数图象上，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，轴对称最短路径问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，据此求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． （3）如图，过作轴于，过作轴于，设，证明，可得，可得，再解方程可得答案； 【详解】（1）解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数表达式为， ，得， ， 将点和点代入得， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小， 设，代入得， 解得， 令，得 ； （3）解：如图，过作轴于，过作轴于，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵在的图象上， ∴，即， 解得：，， ∴或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，画出图形熟练的利用图形解答是关键. 22．某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线上方的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作轴的平行线，将直线左侧的反比例函数图象沿直线翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“图象”． 操作：如图，过点作直线：，将第一象限内反比例函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折得到新图象，与直线下方的图象组成的封闭图象是“图象”．    【解决问题】 (1)如图，求“图象”与轴的交点的坐标； (2)过轴上一点作轴的平行线，与“图象”交于点，．若，求的值； (3)如图，反比例函数的图象与直线交于点，，已知点和点是“图象”上的两个动点，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，直接写出点和点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，或， 【分析】（1）设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，再根据对称的性质即可求解． （2）分别谈论，当时和时的情况，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，根据对称和反比例函数性质求得点和点坐标，再根据，即可分别求出的值． （3）联立直线与反比例函数，即可求得点和点为的坐标，根据点和点是“图象”上的两个动点，结合图象分析可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大，当点在直线的下侧时，连接点，，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，可设直线为，与反比例函数，得，令，求得，即可得点横坐标，代入中，可得点坐标，同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大，连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，由，设的函数解析式为，待定系数法求得的函数解析式，与直线联立，可得点坐标，再根据求中点坐标公式，可得点坐标，故当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，． 【详解】（1）解：设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：    ∵， ∴直线为， ∵点的纵坐标为，点和点到直线的距离相等， ∴点的纵坐标为， 将代入中，可得， 解得： ∴点坐标为， ∵，轴 ∴点和点的横坐标相等， ∴点坐标为， （2）解：当时，在轴正半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：    ∵轴， ∴点，的横坐标均为， 将代入中，可得， 即点的坐标为， ∴， ∵， ∴直线为， 设点的横坐标均为 又∵点的横坐标均为，点和点到直线的距离相等， ∴，即 ∴点的横坐标为， 将代入中，可得， ∴点坐标为， ∵，点和点的纵坐标相等， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴， 代入数值可得， 解得：． 当时，在轴负半轴，过点作轴的平行线，与“图象”交于点，，设点关于的对称点为，根据对称的性质可得，点在反比例函数的图象上，，如图所示：    同理可得：点的坐标为，点坐标为， ∴， ∵， ∴， 代入数值可得， 解得：． ∴的值为或． （3）解：联立直线与反比例函数，即， 解得：， ∴点为，点为， ∵点和点是“图象”上的两个动点， ∴结合图象可得，当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，即点和点分别位于直线的上下两侧时，四边形面积最大， 当点在直线的下侧时，连接点，，形成，过点作直线的平行线，当取最大值时，直线与反比例函数的图象仅有一个交点，如图所示：    ∵，直线： ∴可设直线为， 联立直线与反比例函数，即， 即： ∵直线与反比例函数的图象仅有一个交点， ∴， 代入数值可得：， 解得：，（舍） 将代入，即， 解得： ∴点横坐标为， 将代入中，可得， ∴点坐标为， ∴当点坐标为时，取最大值时 同理，作点关于直线在“图象”上方的对称点，连接，，形成的的面积最大， 连接，交于点，根据轴对称的性质可得，即点为的中点，    ∵，直线：， 故可设的函数解析式为， 将点代入中，可得， 解得： ∴的函数解析式为， 联立与直线，即， 解得：， ∴点坐标为， 设点坐标为， ∵点为的中点，点 ∴， 解得：，， ∴点坐标为， ∴当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，点和点的坐标分别为，或，． 【点睛】本题考查了反比例函数图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与性质，坐标与图形，解二元一次方程，轴对称的性质，数形结合是解题的关键． 23．已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，可有， ∴点， 将点的坐标代入反比例函数表达式， 可得 ， 即反比例函数表达式为； （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上， 则有 ， 解得（舍去）或， ∴，， 则； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图， 对于一次函数， 令，可有，即的坐标为， 令，可有，解得，即的坐标为， 由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∵ ，， ∴，，，， ∴可有，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与反比例函数解析式， 可得，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 24．（2025·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点是轴上的一点，当以点，，，为顶点的四边形的面积为7时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （）由待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可得到不等式的解集； （）由得，当时，，当时，，求出，，然后分当时，和当时，两种情况可得关于的一元一次方程，然后解方程即可； 【详解】（1）解：将点代入，得， ； 反比例函数的表达式为． 将点代入，得， ． 将，代入，得， 解得 一次函数的表达式为； （2）解：由图象得，当时，即时，的取值范围为或； （3）解：设， 由得，当时，， 当时， ， ∴，， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 当时，如图： ， ∴， ∴点的坐标为， 综上可知：点的坐标或． 25．已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 题型五、反比例函数与一次函数图像交点的坐标规律问题 26．如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，点坐标规律探索，依次求出各点的坐标，观察出每 3 次变化为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 根据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、，从而得到每 3 次变化为一个循环组依次循环，用 2025除以 3 ，根据商的情况确定出即可． 【详解】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 的纵坐标和的纵坐标相同为， 的横坐标和的横坐标相同为， 由上可知，个为一组依次循环， ， ， 故答案为：． 27．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，过点作，交轴于点．若都是等腰直角三角形，其中点，在反比例函数的图像上，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图像上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据题意找到点的横坐标的规律，然后再求出的横坐标即可． 【详解】解：如图，过点A，，，，分别作轴，轴，轴，轴…，垂足分别为…．．． ∵直线的关系式为， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得……都是等腰直角三角形， 设， 则点，点A在反比例函数的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴点A的横坐标为1， 设， 则点，点A1在反比例函数的图像上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 设， 则点，点在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴点的横坐标为 以此类推：点横坐标为：． 故答案为：． 1．（2025·山东德州·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．设点是线段上的一个动点（不与A，B重合），过点作轴的平行线，与该反比例函数的图象交于点，连接，，．当四边形的面积等于12时，求点的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用，一元二次方程的解法等知识点．将代入解析式中可求得；可得反比例函数解析式，设，则，可得；设点的横坐标分别为，根据四边形的面积构建方程即可求出C点坐标； 【详解】解： 直线过点， ， ∴， 反比例函数的图象过点， ． 设，则， 设点的横坐标分别为， 则． ， ， ，解得． ， ， ． 故选：A 2．如图，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，分别过、两点作轴，轴的垂线，垂足为、，连接，，，写出下列五个结论：①与的面积相等；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设，则，根据三角形的面积求出的面积，同法求出的面积，即可判断①；由①的结论可得和两三角形边上的高相等，进而可判断②；根据全等三角形的判定即可判断③；由，可得，可判断④；证出平行四边形和平行四边形，可推出，进而可判断⑤；于是可得答案． 【详解】解：①设，则，由图象可知，， ∴的面积是：， 设，则， 由图象可知：，， 的面积是：， ∴的面积的面积，故①正确； ②和以为底，则两三角形边上的高相等， ∴，故②正确； ③∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，而只有当时，才有， 即不一定等于，故不一定成立；故③错误； ④∵， ∴，故④正确； ⑤∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴，故⑤正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：C． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、全等三角形的判定以及平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键． 3．（2025·山东淄博·二模）如图，直线与双曲线交于点，将直线向上平移2个单位长度后，与轴交于点，与双曲线交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】设出点A的坐标．利用相似推出点B的坐标，根据A、B都在反比例函数图象上，列出方程得到两点坐标即可求出k值． 【详解】作轴，轴，，垂足分别为M、N、E． ∵直线是由直线向上平移两个单位得到的， ∴直线的解析式为． 设点A的坐标为：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∵A，B都在反比例函数图象上， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质综合，一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是明确反比例函数图象上的点纵横坐标之积相等． 4．（2025·山东枣庄·三模）一次函数的图象与轴交于，图象过点，轴于点，已知与反比例函数的图象交于点（a．2），点是线段边上的动点． (1)分别求直线的解析式和反比例函数的解析式； (2)连接，，求的值； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用正切求得，从而可求得点的坐标，再求出点的坐标，然后一次函数的图象与轴交于，图象过点，可求得直线的解析式，再根据点在直线上，求得点的坐标，从而可得反比例函数的解析式； （2）先根据、两点的坐标及位置，求出，，和点的横坐标，再根据点在反比例函数的图象上，求出点的坐标，从而可求得，，再求出与，从而可得． 【详解】（1）解：∵点，轴于点， ∴点的坐标为， 又， ∴， ，， ， ， 点的坐标为， ∵一次函数的图象与轴交于，图象过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 点在直线上， ， 点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为：； （2）过点作于于， ∵，， ∴，，点的横坐标为4， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为 ∴， ∴，， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，解题关键是正确求出函数解析式． 5．（2025·山东菏泽·二模）如图，一次函数与反比例函数交于两点，为常数． (1)求和的值； (2)根据图象直接写出不等式的解集为_____； (3)点为轴上一点．若的面积为2，求点坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点． （1）将点代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将点代入已求出的反比例函数解析式求出的值，进而得点的坐标，然后将点，的坐标代入一次函数的解析式即可； （2）观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的的取值范围即可； （3）设点坐标，由（1）得点，，故，根据面积法计算即可. 【详解】（1）将点代入之中，得：， 将点代入得： 将点代入之中，得：． （2）观察函数的图象可知：不等式的解集为：或． 故答案为：或． （3）设点坐标， 由（1）得直线为：，易得点，． 故． 又因为即 故．所以或6． 故点坐标为或． 6．（2025·山东青岛·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点 (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)一次函数的图象与轴交于点，过点作直线平行于轴，与反比例函数图象交于点，连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数为； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）由一次函数的解析式求得点的坐标，进而求出点的坐标，得到，然后利用三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：令，则， ∴， 把代入， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 8．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析过程；②见解析过程，；（3），8；（4）． 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． （1）由，，可得在第一象限； （2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出与轴的交点坐标，即可求解； （3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解； （4）联立方程组，可得，由根的判别式可求解． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为，， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， △， ， ， 解得：， 交点坐标为， 故答案为：，8； ②由①知：0个交点时，；2个交点时，；1个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点，，与反比例函数的图象交与点，是反比例函数图象上的一个动点，过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，其中点的坐标为． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)连接DB，DC，当的面积等于面积的倍时，求点的坐标； (3)若是轴上的一个动点，连接，，当时，求点的纵坐标． 【答案】(1)，反比例函数的表达式为； (2)点的坐标为或； (3)点的纵坐标为． 【分析】（）先把代入求出一次函数解析式，再求出交点，最后代入反比例函数解析式即可； （）当的面积等于面积的倍时即可得到，表示出坐标，再进行分类当点在点下方时和当点在点上方时计算即可； （）设，由（）可得，，再根据即可求解； 本题考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）一次函数的图象与坐标轴交于点，，其中点的坐标为． 代入得：，解得， ∴， ∴； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴代入得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）如图，是反比例函数图象上的一个动点，过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，连接， 设，把纵坐标代入一次函数得： ∴，解得， ∴点的坐标为， 当点在点下方时， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当点在点上方时， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （3）设，由（）可得，，其中， ∵， ∴，， 如图，点的横坐标相等，故点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴点的纵坐标为． 10．（2025·山东济南·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点．      (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点是轴上一动点，连接，，当面积为10时，请求出点的坐标； (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】对于（1），先求出反比例函数的解析式，可得点B的坐标，再代入直线关系式得到方程组，求出解即可； 对于（2），先求出点G，再设，则，然后根据可求出答案； 对于（3），设交轴于点，先求出点，再求出，，然后证明，求出，进而求出直线的解析式，最后与反比例函数关系式联立求出解即可． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； 将点代入，解得， ， 把和分别代入，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线交轴于点，如图1， 令得， 则， 设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，如图2，设交轴于点， ∵直线与轴交于点， ∴， 解得， ∴. ∵，， ∴，. ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∵， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，用面积差表示出是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$