第2章有理数的运算典例精讲与强化训练 2026-2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦有理数运算，通过典例精讲与分层训练，系统提炼运算技巧、新定义归纳及实际应用建模方法，构建从基础到拓展的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3个综合题|幂最值判断、乘积符号法则、新运算归纳推理|从概念应用到规律探究，形成“运算→应用→拓展”递进| |强化训练|22题（单选10/填空6/解答6）|科学记数法、倒数定义、除方转化乘方|覆盖基础运算、数轴应用、新定义迁移，强化符号意识与模型意识|

第2章有理数的运算典例精讲与强化训练 典例精讲 1．计算 (1)； (2)． 2．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 3．定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 强化训练 一、单选题 1．暑期爆红网络的《黑神话：悟空》取材于中国四大名著之一、吴承恩所著长篇小说《西游记》．原版《西游记》字数约为万，“万”用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 2．下列计算不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．的倒数是（ ） A． B．2024 C． D． 4．计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．2026年1月1日，乌兰察布市的气温是，则这一天乌兰察布市的最高气温与最低气温的差是（   ） A． B． C． D． 6．在数轴上，点和点表示的数分别为，，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若，则的值是（     ） A．22 B．8 C． D． 8．下面说法正确的是（    ） ①存在绝对值最小的数；②相反数等于它本身的数是非负数． ③负数的偶次幂是正数；④倒数等于它本身的数是0． A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 9．已知，，且，则的值是（   ） A．3或 B．7或 C．或 D．10或 10．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示98的点与圆周上表示（    ）的点重合． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．北京故宫的占地面积约为720000平方米，若用科学记数法表示为________平方米． 12．已知地海拔高度为米，而地比地低米，则地海拔高度为______米． 13．的倒数是___________． 14．计算：______． 15．表示不超过x的最大整数，如，，则______． 16．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)(用简便方法计算)． 18．王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一层记作，向下一层记作，王先生从1楼出发，要去不同楼层办理具体事务，电梯上下楼层依次记录为（单位：层）：． (1)请你通过计算说明王先生最后是否回到出发点1楼； (2)该电梯每向上或下一层平均需要15秒（包含了开关门，上下客），求王先生乘坐电梯期间（不包括等待电梯的时间）共用时多少分钟？ 19．方方和圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ① ② ③ 圆圆： ① ② ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第________步，圆圆开始出错的是第________步（填序号）； (2)写出你的计算过程． 20．表示两个有理数，定义一种新运算“”，规定：，如． (1)求的值； (2)求的值． 21．有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 22．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于）的商的运算叫做除方，例如，，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“的圈次方”，写作，读作“的圈次方”．一般地，把写作，读作“的圈次方”． 【初步探究】（）直接写出计算结果：________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （）仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式：，． （）计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1) (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式的倒数为：， ∴原式． 2．(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 3．(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值 (2)9 (3)交换律适用，结合律不适用 【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律； （2）根据规律求解即可； （3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 强化训练解析 1．B 【详解】解：万. 2．C 【分析】逐一计算各选项中式子的结果，与选项给出的结果对比，判断正误． 【详解】解：∵ ， ∴ A正确． ∵ ， ∴ B正确． ∵ ， ∴ C错误． ∵ ，∴ D正确． 3．C 【分析】该题考查了倒数，根据倒数的定义，一个数的倒数是指与之相乘等于1的数． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 5．B 【分析】本题主要考查有理数减法的应用，解题的关键是理解题意；计算最高气温与最低气温的差，即最高气温减去最低气温，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 6．B 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法和乘法运算，由数轴得，然后根据有理数的加减法、有理数的乘法法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，有理数的混合运算． 利用绝对值和平方的非负性，和为零则每个部分均为零，求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 即，， 解得：，， ∴． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查绝对值，相反数，倒数和有理数幂，根据绝对值、相反数、幂和倒数的定义，逐一判断各陈述的正确性即可． 【详解】解：绝对值最小的数是0，故①正确； 相反数等于它本身的数是0，0是非负数，故②正确； 负数的偶次幂是正数，故③正确； 倒数等于它本身的数是；故④错误； 故选C． 9．D 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的加法，有理数的乘法． 根据绝对值的定义可知，，结合，筛选出满足条件的a和b的值，再计算的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， 当时，； 当时，； ∴的值为10或． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查数轴，有理数的减法与除法，圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，滚动到98时，滚动了99个单位长度，用99除以4，余数即为重合点． 【详解】解：圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合， ， ， ∴数轴上表示98的点与圆周上表示3的点重合． 故选：D． 11． 【详解】解：720000平方米平方米． 12． 【分析】根据题意，地海拔高度等于地海拔高度减去米，列式计算即可． 【详解】解：∵地比地低米，地海拔高度为米， ∴地海拔高度为：（米）． 13． 【分析】按运算顺序先算乘方，再算绝对值内的加法，进而求绝对值，最后计算结果的倒数即可． 【详解】解： ， ∴的倒数是． 14． 【详解】解： ． 15．0 【分析】根据表示不超过的最大整数的定义，分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵表示不超过的最大整数， ∴，， ∴． 16． 10 【分析】把代入转换器中计算即可． 【详解】解：， ， 输出结果为10． 17．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．(1)王先生最后能回到出发点1楼 (2)王先生乘坐电梯期间共用时14分钟 【详解】（1）解： ， 计算结果为，表示王先生相对于出发点没有楼层变化，因此最后回到出发点1楼， 所以王先生最后能回到出发点1楼． （2）解：（秒）． （分钟）． 答：王先生乘坐电梯期间共用时14分钟． 19．(1)①；② (2) 解： 【分析】（1）方方第一步在计算时出错了，结果应为；圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算； （2）先计算乘方，再从左到右进行乘除运算的顺序计算，最后算加减即可求解． 【详解】（1）解：∵方方第一步在计算时出错了，结果应为， ∴方方开始出错的是第①步， ∵圆圆在第二步计算乘除时，没有按照同级运算从左往右的顺序进行计算， ∴圆圆开始出错的是第②步． （2）略 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，新定义： （1）根据新定义得到，据此计算求解即可； （2）先根据新定义计算出，再计算出的结果即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解： ． 21．(1) (2)0 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式加减等，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是解题的关键． （1）根据数轴得到，从而得出，，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，，，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ． 22．（）；（），；（） 【分析】（）根据除方的定义计算即可； （）根据除方的定义解答即可； （）利用（）的结果计算即可； 本题考查了有理数的除法运算，有理数的混合运算，理解定义是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）， ； （）原式 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $