专题04 全等三角形中动点问题8大题型（专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形动点问题，通过8类细分题型系统覆盖单/多动点、不同图形背景及面积最值等考法，强化动态几何推理与分类讨论能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点全等问题（选填）|4题|单动点路径与结论判断|全等判定与运动路程关系推导| |多动点全等问题|4题|多动点速度与路径组合|多变量下全等条件的分类讨论| |三角形/四边形中动点全等|各4题|特定图形背景下动态全等|图形性质与全等判定的综合应用| |拐点/面积/最值问题|各4题|运动方向变化及几何计算|动态过程中不变量与变量关系分析| |综合题|4题|多知识点整合|全等、几何计算与动态推理的融合|

专题04全等三角形中的动点问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形中的动点问题 题型1 动点全等问题（选填） 题型2 多动点全等问题 题型3 三角形中的动点全等问题 题型4 四边形中的动点全等问题 题型5 存在“拐点”的动点全等问题 题型6 动点全等中的面积问题 题型7 动点全等中的最值问题 题型8 全等三角形动点问题综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形中的动点问题 ◆题型1 动点全等问题（选填） 1．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 2．如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 4．如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． ◆题型2 多动点全等问题 5．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当___________秒时，与全等． 6．如图，和都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． (1)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中的大小是否会发生变化?如果不变，请求出其大小?如果改变，请说明理由． (2)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时? 7．如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形、，其中，，．现将和按如图②的方式摆放（点与点、点与点分别重合）．动点从点出发，沿以2cm/s的速度向点匀速移动；同时，动点从点出发，沿射线以cm/s（）的速度匀速移动，连接、、，设移动时间为s（）． （1）当时，，求的值； （2）当以、、为顶点的三角形与全等时，则___________； （3）如图③，在动点、出发的同时，也以3cm/s的速度沿射线匀速移动，当以、、为顶点的三角形与全等时，求与的值． 8．（动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． ◆题型3 三角形中的动点全等问题 9．如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 10．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 11．如图， 在中， 已知，，， 直线， 动点D从点C开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒的速度运动，连接，设运动时间为t秒． （1）的长为________ (用含 t 的式子表示) （2）当时， t的值应为________． 12．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度． ◆题型4 四边形中的动点全等问题 13．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 14．如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为______时，存在某一时刻，与全等． 15．已知，如图，在矩形中，，．延长到点，使，连接． (1)动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，当的值为__________时，以、、为顶点的三角形和全等； (2)若动点从点出发，以每秒1个单位的速度仅沿着向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 16．综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． ◆题型5 存在“拐点”的动点全等问题 17．如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿长方形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． (1)当秒时，　 　cm； (2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等． 18．如图，与相交于点，，，点从点出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，两点同时出发，当点返回到点时停止运动，点同时停止运动且正好停留在点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)请用含的式子表示线段； (3)连接，当线段经过点时，求的值． 19．如图①，在中，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边运动，返回到点停止．同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿边运动，回到点停止．设点的运动时间为秒． (1)当点到边的中点时，若点到边中点，则的值为______． (2)当的面积等于面积的一半时，求的值． (3)如图②，在中，．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形与全等，直接写出的值． 20．在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． ◆题型6 动点全等中的面积问题 21．小明遇到这样一个问题：是边长为的等边三角形，点M，N分别是边上的动点．点M从点A出发沿线段向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段向点C运动．如果M，N都以的速度同时出发，设运动时间为t．请问______（用含t的式子表示），当______时，是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明，从而得到，再利用外角的性质得出，即的度数不变． 如图3，若点M，N分别在的延长线上运动，作直线交于点E，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线方向运动，连接交于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究和的面积之间的数量关系，并说明理由． 22．发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 23．如图，与均为等腰三角形，，，，D为线段上一个动点，与相交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且，，求的面积． 24．如图1，是边长为6的等边的高，点是线段上的一个动点（点不与点、重合），以为一边在下方作等边，连结．    (1)求证： (2)连接，在点运动过程中，线段的最小值为__________（直接写出答案） (3)延长交的延长线于点．如图2，当为等腰三角形时： ①求的度数；②求的面积． ◆题型7 动点全等中的最值问题 25．如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 26．中，，，，是的角平分线，点，分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 27．如图，在直角中，，平分，是上一动点(不与，重合，是上一动点不与，重合，则的最小值为_______. 28．综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． ◆题型8 全等三角形动点问题综合 29．如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿射线运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，求证：是直角三角形． (2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值． (3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点运动到在的延长线上，连接交延长线于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？ 30．【初步感知】 (1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；    【类比探究】 (2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：    ①与的位置关系为：________； ②线段、、之间的数量关系为：________； 【拓展应用】 (3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．    31．如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为秒． （知识储备：一个角是的等腰三角形是等边三角形．直角三角形中角所对的边等于斜边的一半．）． (1)当时，求证：是直角三角形． (2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值． (3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点到达终点时点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？ 32．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法： 其中一定正确的个数有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为______． 4．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的面积的最大值为_____． 5．在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值是________． 6．如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则_____． 7．如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．    8．在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． (1)如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； (2)如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边上时，求证：； (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 9．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动，（不与重合），过作于，连接交于点． (1)当时，求的长； (2)证明：在运动过程中，点是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 10．如图，的两条高与交于点，，．    (1)求证：； (2)连结，试说明：是的垂直平分线； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 11．如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当___________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 12．如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， (1)当时 ， ， ． (2)若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 13．如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04全等三角形中的动点问题 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形中的动点问题 题型1 动点全等问题（选填） 题型2 多动点全等问题 题型3 三角形中的动点全等问题 题型4 四边形中的动点全等问题 题型5 存在“拐点”的动点全等问题 题型6 动点全等中的面积问题 题型7 动点全等中的最值问题 题型8 全等三角形动点问题综合 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形中的动点问题 ◆题型1 动点全等问题（选填） 1．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 2．如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质，并根据不同的全等情况进行分类讨论是解题的关键．已知，要使与全等，需分两种情况讨论：，；，；根据这两种全等情况，结合已知边长和点的运动速度，计算出运动时间，进而求出点的运动速度． 【详解】解：∵，为中点， ∴， 设运动时间为秒，则，， 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 综上，点的运动速度为或 故选：D． 3．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． 4．如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． 【答案】2 或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据的条件，再根据对应边的不同，分两种情况讨论：①，②，分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设运动的时间为t， ， 要使，根据对应边不同，分两种情况讨论： ①当时， ， ； ②当时， ， ； 综上所述， a的值为：2或． ◆题型2 多动点全等问题 5．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当___________秒时，与全等． 【答案】6或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题通过证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，，和，四种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， ①当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； ③当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； ④当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 6．如图，和都是边长为6cm的等边三角形，点E是边DA上的动点，点F是边DC上的动点． (1)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点C出发，以的速度沿边CD向点D方向运动．当点E到达点A时，两动点均停止运动．试判断运动过程中的大小是否会发生变化?如果不变，请求出其大小?如果改变，请说明理由． (2)如果点E从点D出发，以的速度沿边DA向点A方向运动；点F从点D出发，以的速度沿边DC向点C方向运动，到达点C后立即以原速度沿原路返回．当点E到达点A时，两动点均停止运动．问当点E运动多少秒时? 【答案】(1)60° (2)当点E运动2秒或6秒时，∠EBF=60°． 【分析】（1）利用SAS定理证明△BDE≌△BCF，从而利用全等三角形的性质分析推理； （2）利用ASA定理证明△BDE≌△BCF，然后利用全等三角形的性质，并结合分类讨论思想列方程求解． 【详解】（1）解：运动过程中∠EBF的大小不会发生变化，为定值60°，理由如下： 由题意可得，BD=BC=AD=CD=6，∠BDA=∠C=∠CBD=60°，DE=DF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（SAS）， ∴∠DBE=∠CBF， ∴∠EBF=∠DBE+∠DBF=∠DBF+∠CBE=∠CBD=60°； （2）解：当∠EBF=60°时，∠EBF=∠CBD=60°， ∴∠DBE+∠DBF=∠DBF+∠CBE， ∴∠DBE=∠CBF， 在△BDE和△BCF中， ， ∴△BDE≌△BCF（ASA）， ∴DE=CF， 设点E的运动时间为t秒，则DE=t，DF=2t，CF=6-2t， 当0≤t≤3时，t=6-2t，解得t=2， 当3＜t≤6时，t=2t-6，解得t=6， 综上，当点E运动2秒或6秒时，∠EBF=60°． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质，一元一次方程的应用，掌握三角形全等的判定，利用分类讨论思想解题是关键． 7．如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形、，其中，，．现将和按如图②的方式摆放（点与点、点与点分别重合）．动点从点出发，沿以2cm/s的速度向点匀速移动；同时，动点从点出发，沿射线以cm/s（）的速度匀速移动，连接、、，设移动时间为s（）． （1）当时，，求的值； （2）当以、、为顶点的三角形与全等时，则___________； （3）如图③，在动点、出发的同时，也以3cm/s的速度沿射线匀速移动，当以、、为顶点的三角形与全等时，求与的值． 【答案】（1）；（2）；（3）时，或时，． 【分析】（1）由题意得∠BAF=∠ABC=90°，BQ=at=2a，AF=BC，由三角形面积得2AQ=BQ，则AB=BQ=8,，得BQ==2a，即可求得a的值； （2）由题意得点P与B为对应顶点，PQ=BQ=at，PC=BC=6，∠CPQ=∠ABC=90°，则AP=AC-PC=4，PQ⊥AC，得t=2，则PQ=BQ-2a，最后根据三角形面积关系即可解答； （3）分两种情况：①AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP=EQ，AQ=EF=10，求出a=2，BQ=BE-EQ=t，则AQ=AB+BQ=8+t=10，解得t=2；②AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP=EF=10，AQ=EQ，求出t-5，则AQ=EQ=5a，得BQ=15-5a或BQ=5a-15，最后求出a的值即可． 【详解】解：（1）由题意得∠BAF=∠ABC=90°，BQ=at=2a，AF=BC， ∵ ∴2AQ=BQ,AQ=BQ ∴AB=AQ+BQ=BQ=8,即BQ= ∴BQ==2a，即a=； （2）∵以P 、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等，CQ是公共边， ∴点P与B为对应顶点，PQ=BQ=at，PC=BC=6，∠CPQ=∠ABC=90° ∴AP=AC-PC= 10-6=4，PQ⊥AC， ∴AP=2t=4，即t=2 ∴PQ=BQ=2a ∴△ABC的面积=△ACQ的面积+△BCQ的面积 ∴，解得a=； （3）由题意得：∠A=∠E，则∠A与∠E为对应角， 分两种情况： ①AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP=EQ，AQ=EF=10， ∵EQ=at ∴at=2t，即a=2 ∴EQ=2t ∵BE=3t ∴BQ=BE-EQ=t， ∴AQ= AB+BO=8+t=10解得：t=2； ②AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP=EF=10，AQ=EQ， ∵2t=10 ∴t=5， ∴AQ=EQ=5a， ∴BE=3t= 15 ∴BQ=15-5a或BQ=5a-15 当BQ=15-5a时，AQ=15-5a+8=23-5a或AQ=8-（15-5a）=5a-7， ∴5a=23-5a或5a=5a-7（无意义），解得a=2.3； 当BQ=5a-15时，AQ=5a-15+8=5a-7或AQ=8-（5a-15）=23-5a ∴5a=5a-7（无意义）或5a=7-5a解得：a=0.7，不合题意舍去； 综上所述，a=2时，t=2或a=2.3时，t=5． 【点睛】本题主要考查全等三角形的综合问题及动点问题，根据题意找到动点之间的联系以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键． 8．（动点、全等）如图，在中，，高、相交于点O，，且． (1)求线段的长； (2)动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； (3)在（2）的条件下，点F是直线上的一点且．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)存在，或 【分析】（1）证明即可得到线段长； （2）分两种情况讨论：①如图1，当点在线段上时，；②如图2，当点在射线上时，，即可得出 的取值范围； （3）分两种情况讨论：①如图3，当时，；②如图4，当时，，即可求出值． 【详解】（1）、是的高， ， ，， ， ， 在和中 ， ， ； （2），， ，， 设，， ①如图1，当点在线段上时，， ， 的取值范围是， ②如图2，当点在射线上时，， ， 的取值范围是； 综上， （3）存在； ①如图3中，当时， ，， ， ， ， 解得： ； ②如图4中，当时， ，， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，或时，． 【点睛】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质，三角形面积，灵活运用相关知识是解题关键． ◆题型3 三角形中的动点全等问题 9．如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键. 【详解】假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则，， ∴， ∴； 若， 则 ，， ∴， ∴， 当时，即点在上， 若， 则，， ∴ ∴， 若， 则，， ∴， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述, 点的运动速度为：或或， 故选：． 10．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，设运动时间为，则，，再分和两种情况，利用全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为，则， ∴， ∵， 当时，，， ∴，， 解得，， ∴点的运动速度为； 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为； 综上，点的运动速度为或， 故答案为：或． 11．如图， 在中， 已知，，， 直线， 动点D从点C开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒的速度运动，连接，设运动时间为t秒． （1）的长为________ (用含 t 的式子表示) （2）当时， t的值应为________． 【答案】 2或10 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质： （1）由题意得，，，再根据线段的和差关系求解即可； （2）分两种情况讨论，当点在射线上时，在上，当点在的反向延长线上，在延长线上时，根据全等三角形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时，在延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故答案为：2或10. 12．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)当时，______（用含的式子表示）； (2)当且的面积等于面积一半时，求的值； (3)如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据路程等于速度乘上时间，即可作答． （2）当时，点在上，利用速度乘时间即可求解，根据面积以及三角形中线的性质，即可作答． （3）设点的运动速度为，然后分点在上，点在上；点在上，点在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，代数式，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． 【详解】（1）解：依题意，在中，，，，，动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为， ∴在时，则． 故答案为：； （2）解：如图： 当时，， ∵的面积等于面积一半 ∴此时’ ∴ 解得 （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时，，， ， 解得； ②当点在上，点在上，时，，， 点的路程为，点的路程为， ， 解得； 运动的速度为或， 故答案为：或． ◆题型4 四边形中的动点全等问题 13．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 14．如图，在长方形中，，，点P从点A出发，以的速度沿边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以的速度沿边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为______时，存在某一时刻，与全等． 【答案】1或 【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ， ，解得：， ， ， ②当，时，， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，存在某一时刻，与全等， 故答案为：1或 15．已知，如图，在矩形中，，．延长到点，使，连接． (1)动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，当的值为__________时，以、、为顶点的三角形和全等； (2)若动点从点出发，以每秒1个单位的速度仅沿着向终点运动，连接．设点运动的时间为秒，是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)3或13； (2)当或4或时，为等腰三角形． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）分两种情况讨论：此和为对应边时，如图，当和为对应边时，再利用全等三角形的性质可得答案； （2）先利用勾股定理求解，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图： 此和为对应边时，≌，有， 此时； 如图，当和为对应边时，则， 点运动的距离为， 此时， 故t的值为3或13． 故答案为：3或13． （2）如图，连接， 四边形是矩形， ，，， 在中，， ， 若为等腰三角形， 则或或， 当时， ，， ， ， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， 在中，． ， ， ， ， ， 综上所述：当或4或时，为等腰三角形． 16．综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． ◆题型5 存在“拐点”的动点全等问题 17．如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿长方形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． (1)当秒时，　 　cm； (2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等． 【答案】(1)2 (2)2.5或4.5或7.5或9.5 【分析】（1）当秒时，点P运动到线段上，即可得到的长度； （2）根据题意，要使一个三角形与全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间． 【详解】（1）解：当t＝3秒时，点P走过的路程为：， ∵， ∴点P运动到线段上， ∴cm， 故答案是：2； （2）根据题意，如图，连接，则，，， ∴要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于， ①当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ②当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ③当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ④当点P运动到时，即P与Q重合时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， 综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． 18．如图，与相交于点，，，点从点出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，两点同时出发，当点返回到点时停止运动，点同时停止运动且正好停留在点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)请用含的式子表示线段； (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】(1) 证明：设长为， 根据题意可得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴． (2)； (3)或． 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用． （1）根据平行线的性质，可得，，根据运动过程可得，从而可证得结论； （2）根据运动过程，按照的取值范围进行分类讨论，分别表示出线段的长度即可； （3）由，可得，根据线段经过点，可得，证明，可得，结合运动过程列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ，， 当时，， 当时，， ∴． （3）解：∵ ∴， 当线段经过点时，， 在与中， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴或． 19．如图①，在中，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边运动，返回到点停止．同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿边运动，回到点停止．设点的运动时间为秒． (1)当点到边的中点时，若点到边中点，则的值为______． (2)当的面积等于面积的一半时，求的值． (3)如图②，在中，．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形与全等，直接写出的值． 【答案】(1) (2)5或 (3)或或或 【分析】（1）先根据题意求得到，求出，由点运动到边中点，得到点Q运动的路程为，由此列出方程求解即可． （2）分点P在上和点P在上两种情况讨论，根据三角形面积公式即可解答； （3）取中点，过点H作交于点，连接，证明，得到，由可得以为顶点的三角形与全等时，或，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 解得：， 点运动到边中点， 点Q运动的路程为， ， ， ； （2）解：当点P在上时， ， ， ， ； 当点P在上时， 设中边上的高为h， ， ， ， ， ， ； 综上，当的面积等于面积的一半时，的值为5或； （3）解：如图，取中点，过点H作交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴以为顶点的三角形与全等时，或， 当，时， ①点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即； ②点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即； 当，时， ③点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即 ④点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即； 综上，以为顶点的三角形与全等时，的值为或或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的面积，三角形全等的判定和性质，分类思想，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 20．在中，，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度做往返运动（到达后立即沿返回），连接．当点到达点时，同时停止运动．设点的运动时间为秒（）． (1)在点从运动到的过程中，线段的长为______；（用含的代数式表示） (2)当点与点重合时，求线段的长； (3)当为等腰直角三角形时，求值； (4)分别过点作于点，于点．当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)2 (3)4或 (4)或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等；能用分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）用的长减去点P运动的路程即可得到答案； （2）当点P与点C重合时求得，则可证明此时点Q从点C运动到点B的途中，由即可求解； （3）分三种情况：，和，根据等腰直角三角形的定义可得，据此建立方程求解即可； （4）分三种情况：，和，由全等三角形的性质可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当点P与点C重合时，， ∴点Q的运动路程为， ∵， ∴当点P与点C重合时，点Q在从点C运动到点B的途中， ∴； （3）解：点P从点A运动到点C的时间为秒，点P从点A出发再回到点A的时间为秒，当点Q在从C运动到点B的时间为秒， ∵，是等腰直角三角形， ∴； 当时，则，解得， 当时，则，解得（舍去）； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为4或； （4）解：当时，∵， ∴， ∴， 解得； 当时，∵， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时，∵， ∴， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． ◆题型6 动点全等中的面积问题 21．小明遇到这样一个问题：是边长为的等边三角形，点M，N分别是边上的动点．点M从点A出发沿线段向点B运动． 【初步探究】 （1）如图1，另一动点N从点B出发，沿线段向点C运动．如果M，N都以的速度同时出发，设运动时间为t．请问______（用含t的式子表示），当______时，是直角三角形． 【类比探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，连接交于点E，点M，N运动过程中，通过测量小明发现的度数不变．为了验证这个结论，小明通过证明，从而得到，再利用外角的性质得出，即的度数不变． 如图3，若点M，N分别在的延长线上运动，作直线交于点E，其余条件不变，的度数会发生变化吗？若变化，请说明理由．若不变，请求出它的度数． 【拓展应用】 （3）如图4，若另一动点N从点C出发，沿射线方向运动，连接交于点D．如果动点M，N以相同的速度同时出发同时停止，在运动过程中，请探究和的面积之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），或； （2）不变，； （3）和的面积相等，理由如下： 过点作，过点作，则：， ∵， ∴， 由题意，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式，分和两种情况进行讨论进行求解即可； （2）证明，得到，对顶角得到，结合三角形的内角和定理进行求解即可； （3）过点作，过点作，证明，得到，进而根据同底等高的两个三角形的面积相等，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是边长为的等边三角形， ∴，， 由题意，得：， ∴， 当是直角三角形时，分两种情况： ①当时，则：， ∴，即，解得； ②当时，则：， ∴，即，解得； 综上：当或时，是直角三角形； （2）不变，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （3）略 22．发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解； （2）先求得，再证明得到，，由求解即可； （3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7； （2）∵长方形的周长为36，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即四边形的面积为48； （3）连接，如图， 由题意知B、F关于对称， ∴， ∴， 当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 则，， 即当最小时，多边形的面积为：， ∴多边形的面积为144． 23．如图，与均为等腰三角形，，，，D为线段上一个动点，与相交于点G． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且，，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． (2) 证明：由（1）知，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 又 ∵， ∴． (3)4 【分析】（1）由，可得，用判定证得，即可证得结论； （2）由（1）知，则有，再根据三角形的内角和定理得到等腰三角形的顶角相等则底角相等，进而有，最后利用三角形的内角和相等得； （3）由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，结合三角形的内角和定理和已知条件可得和的度数，构造等腰三角形和等腰直角三角形，综合全等三角形的判定和性质，可得点E到的距离，代入三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长，作交的延长线于点，在延长线上截取，连接，交的延长线于点． ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线． 24．如图1，是边长为6的等边的高，点是线段上的一个动点（点不与点、重合），以为一边在下方作等边，连结．    (1)求证： (2)连接，在点运动过程中，线段的最小值为__________（直接写出答案） (3)延长交的延长线于点．如图2，当为等腰三角形时： ①求的度数；②求的面积． 【答案】(1) 证明：和是等边三角形， ， ， 在和中， ； (2) (3)①② 【分析】（1）由和是等边三角形，用“”证得； （2）如图，连接，由全等三角形的性质和等边三角形的性质得出点在的边上运动，由“垂线段最短”即可得解； （3）由（1）得，得恒为直角三角形，且，又因为点不与点重合，可得当为等腰三角形时，只能为顶角，继而求得答案；首先作于点，由，求得的长，继而求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，    ∵是边长为6的等边的高， ∴，， ∵， ∴， ∴点在的边上运动， ∴时，有最小值，最小值为， 故答案为：． （3）解：是边长为6的等边的高， ， ， ， ， ， ，， 点不与点重合， 当为等腰三角形时，只能为顶角， ， ， 作于点，    由，得， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，需要注意掌握数形结合思想的应用． ◆题型7 动点全等中的最值问题 25．如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当的值最小时，的度数为． 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置． 26．中，，，，是的角平分线，点，分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上取一点，使，连接、，证明后由全等三角形性质得到，推得最小值即为，最后根据含的直角三角形特征得到长即可得解． 【详解】解：在上取一点，使，连接、， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ，，， ， 的最小值是． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、含的直角三角形的特征、垂线段最短，解题关键是根据全等三角形性质推得的最小值为． 27．如图，在直角中，，平分，是上一动点(不与，重合，是上一动点不与，重合，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】此题考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键．作于点，根据三角形的面积公式求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 28．综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 【答案】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2），； 方法应用： 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等腰三角形的性质的运用等知识点，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 问题解决：（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，连接的最小值即为线段的长度． 方法应用：在下方作，使，连接，则最小值为，此时三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】问题解决：（1） 略 （2）解：连接的最小值即为线段的长度． 则， 故的最小值即为线段的长度． 故答案为：； 方法应用：解：在下方作，使，连接． 则． ， 即最小值为，此时三点在同一直线上． ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 故答案为：． ◆题型8 全等三角形动点问题综合 29．如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿射线运动．设点的运动时间为秒． (1)当时，求证：是直角三角形． (2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值． (3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点运动到在的延长线上，连接交延长线于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？ 【答案】(1) 证明：∵动点以每秒的速度从点出发， ∴时，， ∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2)或 (3) 的长度不变化，．理由如下： 过点Q作，交的延长线于点F， ∵ ∴， 根据题意，， ∵， ∴， ∴，，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故的长度不变化，． 【分析】(1)利用等腰三角形三线合一性质，证明即可． (2)分和，两种情况，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，列式计算即可． (3)过点Q作，交的延长线于点F，证明，得到，再证明即可得证． 【详解】（1）略 （2）∵动点以每秒的速度从点出发，另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发， ∴，， ∵ ∴，， 当时，， ∴， ∴， 解得 如图，时，， ∴，    ∴， 解得 故当是直角三角形时，或． （3）略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，三角形全等的判定和性质，含特殊角的直角三角形，分类思想，熟练掌握分类思想，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征是解题的关键． 30．【初步感知】 (1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：；    【类比探究】 (2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：    ①与的位置关系为：________； ②线段、、之间的数量关系为：________； 【拓展应用】 (3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．    【答案】(1) 证明：∵和是等边三角形， ∴，， ， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴； 平行，，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2) 平行 (3)有最小值，5 【分析】（1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，从而利用“”证明； （2）①由（1）得，得出，，，则； ②因为，，所以； （3）在上取一点，使得，连接，可证，，求得，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，当点E与点C重合时，，进而解答此题． 【详解】（1） （2）有最小值，理由如下： 如图，在射线上取一点，使得，连接，    ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 由三角形内角和为，可知：，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 即点E在的角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ， ∴， 则， 由三角形三边关系可知，， 即当点E与点C重合，时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为5．    【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 31．如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为秒． （知识储备：一个角是的等腰三角形是等边三角形．直角三角形中角所对的边等于斜边的一半．）． (1)当时，求证：是直角三角形． (2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值． (3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点到达终点时点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？ 【答案】(1) 证明∵是等边三角形， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)或 (3) 线段DE的长度不变化，理由如下： 过点作Q，交的延长线于，如图3所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，   ∴， ∵， ∴， ∴， 即线段的长度不变，为定值． 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）分两种情况：①当时，则，由直角三角形的性质得，由题意得出方程，解方程即可；②当时，则，由直角三角形的性质得，由题意得出方程，解方程即可； （3）过点作，交的延长线于，先证，得，再证，得，进而得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：分两种情况： ①当时，如图所示： 则， ∴， 由题意可得：，则， ∴， 解得； ②当时，如图所示： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上，当或时，△PAQ是直角三角形； （3）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形的性质以及动点问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 32．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1） 略 （2） 略 （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，是等边三角形，点为边上一个动点不与，重合，点在边上，且，连接，相交于点，过点作于点，下列说法： 其中一定正确的个数有( ) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，，因为，所以，可判断①正确；由，推导出，可根据“”证明，得，则，可判断②正确；由于点，得，若成立，则，因为点为边上一个动点，所以不一定等于，可判断③错误；由，，求得，则，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是等边三角形，点在边上，点在边上， ，， ， ，故①正确； ， ， 在和中， ， ， ， ，故②正确； 于点， ， 若成立，则， 点为边上一个动点， 不一定等于， 与不一定相等，故③错误； ，， ， ，故④正确． 综上，正确的有3个． 故选：B． 2．如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，下面结论：①；②的度数不变，始终等于；③当第秒或第秒时，为直角三角形；④当第2秒时，．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由三角形为等边三角形，得到三边相等，且内角为，根据题意得到，利用得到，则可得，可判定①正确；由全等三角形的性质得，从而可证明，，即可得出，可判定②正确；分与为直角两种情况求出的值，即可判定③；当时，求得，，从而可证明是等边三角形，，继而证得  ，即可判定④正确． 【详解】解：设点、Q运动时间为t秒， 根据题意得：， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ∴，故①正确； ∵ ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，故②正确； 若，由，得到， ∴，即， 解得：； 若，由，得到， ∴，即， 解得：， 综上，当第秒或第秒时，为直角三角形，故③正确； 当时，则，， ∵ ∴P、Q是、边的中点，即、是的中线， ∴， 为等边三角形， ∴，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形重心的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 3. 如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为______． 【答案】/66度 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 4．如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的面积的最大值为_____． 【答案】 【分析】延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解： 如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故答案为：． 5．在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值是________． 【答案】2 【分析】本题考查了垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．在的下方作等边，证明，推出，从而算出，发现点在射线上运动，当时，的值最小． 【详解】解：如图，在的下方作等边，   ，， ， 在和中， ，   ， ， ， ， ∵点是边的中点，是等边三角形， ∴是定点，是定值， ∴点在射线上运动， 当时，的值最小， 最小值， 故答案为：2． 6．如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则_____． 【答案】或 【分析】作，交(或的延长线)于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段外和在线段上． 【详解】解：（情况一）作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴； （情况二）作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造全等三角形解决问题． 7．如图，等边中，于点，，点分别在边上，且，在上有一动点，连接，．则（1）______；（2）的最小值为______．    【答案】 5 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，根据线段的和差关系求出的长即可得到答案； （2）在上截取，连接，可证明是等边三角形，得到；证明，得到，则可得到当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，在上截取，连接，    ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当Q、E、F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为5． 故答案为：5． 8．在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． (1)如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； (2)如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边上时，求证：； (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， 即， 在和中， ， ∴； (2) 是等腰三角形，理由如下： ∵E为的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； (3) 证明：过点E作，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∴； (4)或 【分析】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． （1）由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，再由边角边的证明方法证明即可； （2）由E为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有知，是等腰三角形： （3）过点E作，证明是等边三角形，可得，，即可证，得，从而； （4）分两种情况：当时，由（1）可知，，可得；当时，由（3）可知，，可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：当时，如图， ∴是的中线， ∴， 由（1）知，， ∴； 当时，如图， ∴ ∴， ∴， 由（3）知，， ∴； 综上，的长为或． 9．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一动点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动，（不与重合），过作于，连接交于点． (1)当时，求的长； (2)证明：在运动过程中，点是线段的中点； (3)在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过作， 则，， 是等边三角形， ， 、同时出发，速度相同，即， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点； (3)线段的长不变， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，以及平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，得到，则，设运动时间为，则，进而得到，，列方程求解即可； （2）过作，得到，，推出，由题意得，则，证明，得到，即可得证； （3）由题意可得，由（2）知，得到，根据是等边三角形，，得到，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：是边长为的等边三角形， ，， 又， ， 设运动时间为，则， ，， 在中，， ，即， 解得， 当时，； （2）略 （3）解：线段的长不变， 是边长为的等边三角形， ， 由（2）知， ， 是等边三角形，， ， 为定值， 即的长不变． 10．如图，的两条高与交于点，，．    (1)求证：； (2)连结，试说明：是的垂直平分线； (3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 【答案】(1) 证明：、是高， ， 在与中， ， ； (2) 证明：，， ， ， 、是高， ． 在与中，， ， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线； (3)或4 【分析】（1）证明，即可得到； （2）先证明，得到，进而得到点在的垂直平分线上，再根据得到点在的垂直平分线上，即可得到是的垂直平分线； （3）当点在延长线上时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得；当点在之间时，设运动秒，根据得到，，根据得到，进而得到，求得，问题得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①如图1，当点在延长线上时， 设运动秒，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ， 解得． ②如图2，当点在之间时， 设运动秒，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ， 解得． 综上所述，或4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键，第（3）问要注意分类讨论． 11．如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当___________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据，分类情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）分情况讨论： 当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 12．如图①，线段，，，垂足分别为A，B，，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿向终点B 运动；同时动点Q从点B 出发，沿射线 运动、当点P 停止时，点Q 也随之停止运动．设点P 的运动的时间为， (1)当时 ， ， ． (2)若点Q的运动速度和点P 的运动速度相等，时， ①求证：； ②求证：． (3)如图②，若点Q 的运动速度为每秒a个单位，将“，”改为“”， 其它条件不变．若与全等，直接写出a 的值． 【答案】(1)2，4 (2) 证明：①由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）①可证明，再由垂线的定义可得，据此可证明结论； ②由全等三角形的性质得到，则可证明，再由平角的定义即可证明结论； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， ∴， 故答案为：2，4； （2）略 （3）解：当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或． 13．如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【答案】2或或12 【分析】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①如图1，点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵，， ， ， ， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， 由题意得，，， ，， ，， 当， 则， ， 解得：； ③如图3，当点与重合时， 由题意得，， ， ，， ， ， 当， 则， 即， 解得：； 综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $