专题01 全等三角形的判定与性质18大题型（专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 以"性质-判定-模型-综合"为逻辑主线，构建"基础巩固-方法提炼-能力拔高"三阶训练体系，突出全等三角形判定方法的系统性应用与模型化解题思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |全等性质应用|5题型15题|网格角度转化法、动点分类讨论策略|从全等图形概念出发，通过性质应用建立"对应边/角"的转化意识| |判定方法应用|9题型27题|判定条件组合策略、开放条件添加技巧|按SAS/ASA/AAS/SSS顺序递进，形成判定方法的选择与综合应用能力| |经典模型突破|3模型12题|倍长中线构造法、旋转全等变换、垂线辅助线模型|提炼三大核心模型，培养几何直观与辅助线添加能力| |综合能力拔高|13题|多结论证明技巧、动态问题分析方法|整合性质与判定，强化逻辑推理与综合应用能力|

专题01 全等三角形的判定与性质 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形及其性质 题型1 图形的全等问题（重） 题型2 利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型3 利用全等三角形的性质求线段长（高频） 题型4 利用全等三角形的性质求面积（高频） 题型5 全等三角形中的动点问题（难） 考点二 全等三角形的判定 题型1 用SAS证明三角形全等 题型2 全等的性质与SAS综合（高频） 题型3 用ASA证明三角形全等 题型4 全等的性质与ASA综合（高频） 题型5 用AAS证明三角形全等（重） 题型6 全等的性质与AAS综合（高频） 题型7 用SSS证明三角形全等 题型8 全等的性质与SSS综合（高频） 题型9 添加条件使三角形全等（重） 题型10 全等的经典模型——倍长中线（难） 题型11 全等的经典模型——旋转（难） 题型12 全等的经典模型——垂线（难） 题型13 全等三角形综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形及其性质 ◆题型1 图形的全等问题 1．下列命题中，其中不正确的是（   ） A．两个图形是否全等，只取决于图形形状、大小是否一样 B．两个图形是否全等，还决定于它们的位置是否合适 C．边长相等的两个正三角形是全等图形 D．“”式子的意义为“小于或等于”，它是个真命题 【答案】B 【分析】本题考查全等图形的定义和命题的真假判断,关键是熟练应用定义进行判断； 全等图形只取决于形状和大小，与位置无关；正三角形边长相等则全等，不等式“”是真命题． 【详解】解：∵两个图形全等当且仅当形状和大小相同， ∴选项A正确，不符合题意； ∵两个图形是否全等与位置无关， ∴选项B不正确，符合题意； ∵正三角形三边相等，三角相等， ∴边长相等的两个正三角形全等， ∴选项C正确，不符合题意； ∵表示小于或等于，且成立， ∴是真命题，选项D正确，不符合题意。 故答案为：B． 2．对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查全等图形的定义，需同时满足形状和大小相同，缺一不可． 全等图形必须形状和大小完全相同．分析各结论：①周长相等不一定形状相同；②面积相等不一定形状相同；③周长和面积都相等不一定形状相同；④形状相同且面积相等则大小相同，因此全等．只有④能保证全等． 【详解】解：∵全等图形要求形状和大小都相同； ①周长相等不一定形状相同（如正方形和圆周长相等但形状不同）， ∴①不能保证全等； ②面积相等不一定形状相同（如长方形和三角形面积相等但形状不同）， ∴②不能保证全等； ③周长和面积都相等不一定形状相同（如不同形状的多边形可能周长面积相等但形状不同）， ∴③不能保证全等； ④形状相同且面积相等，则大小相同， ∴④能保证全等； ∴只有1个结论能保证全等， 故选：A． 3．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． 【答案】 完全重合 ②与⑦；③与⑫；⑤与⑨ 【分析】本题考查全等图形的定义和性质，熟练掌握全等图形的定义和性质是解题的关键． （1）根据全等图形的定义求解即可； （2）根据题意，找到图中的全等图形，即可求解； 【详解】解：（1）判断两个图形是全等图形的关键是看两个图形能否完全重合； （2）图中的全等图形的有②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． 故答案为：（1）完全重合； （2）②与⑦；③与⑫；⑤与⑨． ◆题型2 利用全等图形求正方形网格中角度之和 4．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 5．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 6．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      【答案】135 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． ◆题型3 利用全等三角形的性质求线段长 7．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 8．如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 【答案】12 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，，进而得的周长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴的周长． 9．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ，， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，得出结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ，即：， ， 又， ． ◆题型4 利用全等三角形的性质求面积 10．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由题意知，，，则，，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，，， ∴， ∵长方形， ∴， 故答案为：． 11．如图，在中，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图，当___________时，的面积等于面积的一半； （2）如图，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是___________． 【答案】 或 或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、三角形中线的性质；根据题意分类讨论即可求解． （1）根据三角形中线的性质，分点运动到边上时和点运动到边上时两种情况分别讨论即可； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】解：的面积等于面积的一半， 点运动到的中点， 此时， 当点运动到边上时， 此时， 此时点在边的中点， 此时， 综上所述，当或时，的面积等于面积的一半； （2）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴ 解得； ②当点在上，点在上，时， ， ∴， 解得； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ 解得； ∴运动的速度为或或或． 故答案为：或或或． 12．如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，求的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴为直角三角形． (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质： （1）根据全等三角形的性质可得，从而得到，再结合三角形内角和定理解答即可； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ◆题型5 全等三角形中的动点问题 13．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 14．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】设点运动秒时，与全等，则，，分两种情况：①当，时，②当，时，分别求出和，即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，则， ， ， ，， ， ． 与全等， 分两种情况讨论： ①当，时，， ， ， 点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，， ，， ， ， 点的运动速度为厘米秒； 综上所述：点的运动速度为或厘米秒时，与全等． 15．如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 【答案】或 【分析】设秒时，和全等，则米，米，米，再分两种情况：①，②，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：设秒时，和全等，则米，米， ∵米， ∴米， ∵射线，射线， ∴， 则分以下两种情况： ①当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； ②当时， ∴，， ∴， 解得， ∴（米）； 综上，线段的长度为32米或60米． 考点二 全等三角形的判定 ◆题型1 用SAS证明三角形全等 16．如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴可添加． 17．如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】根据，可得要使以点，，为顶点的三角形与全等，利用，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵以点，，为顶点的三角形与全等， ∴当，时，此时，点与点重合，， 当，时，， 综上所述：或时，以点，，为顶点的三角形与全等． 18．如图，点E在BC上，，． (1)说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得出相等的角，利用证明三角形全等； （2）利用全等三角形的性质得出相等的角，然后利用三角形的外角的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． ◆题型2 全等的性质与SAS综合 19．如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．如图，在中，过点作，点是边上的一点，且，，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)∵，，， ∴． (2) 【分析】（1）根据的判定方法进行证明，即可作答． （2）先结合全等三角形的性质得，，运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴， ∴， 则． 21．如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，． (1)求证： (2)写出线段与线段的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】(1)证明：于点D， ， 在与中， ， ； (2)解：且，证明如下： ， ，； ， ， ， ． 【分析】（1）利用垂直的定义推出，再根据证明，即可解题； （2）利用全等三角形性质，以及三角形内角和定理分析推理，即可证明线段与线段的数量关系和位置关系． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型3 用ASA证明三角形全等 22．如图，已知点分别在上，，图中添加一个条件后可得，则添加的这个条件不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析条件可知，，根据三角形全等判定条件确定． 【详解】解：根据题意知，， A，，满足，可证全等，不符合题意； B，，则，满足，不符合题意； C，，满足，可证全等，不符合题意； D，，不满足任一判定条件，不能证全等，符合题意． 23．已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 24．如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)16 【分析】（1）根据可证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，根据中点的定义求出，，再根据三角形周长定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， 则， ∴， ∴的周长为． ◆题型4 全等的性质与ASA综合 25．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． 26．如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）证明即可证得结论； （2）先根据全等三角形的对应角性质，结合已知求得，，则，然后根据三角形的内角和定理求得，最后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： ，， ． 27．如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）利用全等三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， . ◆题型5 用AAS证明三角形全等 28．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 29．如图，在中，上的高线与上的高线相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵上的高线与上的高线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）由垂线的定义得到，再利用三角形内角和定理求出，结合，利用，即可证明结论； （2）由（1）知，得到，求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 30．如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则． 请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． 【答案】或； 方法一：选择作为条件； 证明：， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． 方法二：选择作为条件； 证明：， ， 在和中， ， ， ． 【分析】根据平行线的性质可得，再已知，故再确定一对等角证明三角形全等，或者一对等边根据证明即可，注意不可以证明全等． 【详解】略 ◆题型6 全等的性质与AAS综合 31．如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． (1)证明：． (2)若，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵是 的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明，对应边相等即可得到． （2）证明，则，即，则题目可解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 32．如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明 ，然后利用即可证明 ； （2）利用全等三角形的性质可以得到 、 的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 的两条高 ， 交于点 ， ， 即 ， 在 与 中， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ， ． 33．如图，点E在的边上，且． (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点D，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，则的长为________． 【答案】(1)证明：∵，且， ∴， ∴； (2)证明：∵的平分线交于点F， ∴， ∵交于点D， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (3)2 【分析】（1）根据和，即可求证； （2）易证和，即可证明； （3）根据全等的性质可得，即可解题； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴， ∴． ◆题型7 用SSS证明三角形全等 34．如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据要运用“”来证明，则，由此即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴要运用“”来证明，则， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图，，与相交于点O．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，结合等角对等边即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 36．如图，已知，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：， ， 即． 在和中， ； (2) ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据已知由等式的性质得到三角形的边相等，这样条件符合了，可得三角形全等； （2）根据全等三角形的性质和平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型8 全等的性质与SSS综合 37．七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点标上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 在和中， ∵，第一步 ∴，第二步 ∴，第三步 ∴平分，第四步 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 【答案】(1)一，全等三角形的对应角相等 (2)证明：在和中 ∵，，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定定理求解即可； （2）首先证明出，得到，即可得到平分． 【详解】（1）解：小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等； （2）略 38．【初步探索】 (1)如图1：在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【答案】(1) (2)成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，且，， ∴， ∴； （2）略 39．【教材呈现】 活动2  用全等三角形设计图案“筝形” 若在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【性质探究】 （1）小文小组通过探究得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图1，在筝形中，． 求证：． （2）如图2，连结筝形的对角线交于点．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点D、E分别是边上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】 （1） 解：如图，连接， 在与中， ， ∴， ∴； （2）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)， 证明∶ 在与中， ， ∴， ∴，， 即平分、． （3）或 【分析】（1）连接，利用证明，即可得出结论； （2）利用证明，即可得出结论； （3）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可． 【详解】（1）略． （2）略． （3）分两种情况：①当筝形中，时，如图， ∴； ②当筝形中，时，如图， ∵ ∴ ∴ 综上，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． ◆题型09 添加条件使三角形全等 40．如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件： ①点为中点；②于；③；④． (1)添加2个条件：__________（填序号），使得； (2)说明（1）中结论成立的理由． 【答案】(1)①③或③④ (2)解：添加2个条件：①③，使得， 理由如下： ∵， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴； 添加2个条件：③④，使得， 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴． 【分析】（1）②与对顶角相等重复，不可选取，全等至少有一组边相等，故①和④必须选一个，据此求解即可； （2）添加①③利用证明；添加③④利用证明． 【详解】（1）略 （2）略 41．如图，点，，，四点在同一直线上，，．若__________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】或；理由如下： ， ，即， ：在和中， ， ； ：在和中， ， ； ：此时条件为、、，此时无法推出． 【分析】分别添加三个条件中的个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可． 【详解】略 42．如图，已知：点E、C、D、B在一直线上，，，如果 ，那么．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（在空格中填入对应序号），使结论成立，并证明结论． 【答案】② 证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】由可得，选择①时，可得，两个三角形对应角边为，无法证明两个三角形全等，不能证明结论；选择②，可由证明两个三角形全等，得到，可证明结论；选择③时，两个三角形对应角边为，无法证明两个三角形全等，不能证明结论． 【详解】略 ◆题型10 全等的经典模型——倍长中线 43．如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 【答案】8，10，12 【分析】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 延长至，使，连接，证明，得到，在中根据三角形的三边关系求出的取值范围，从而得到的取值范围，即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 为边上的中线， ， ∵在和中， ， ， ， ， ∴． 为偶数， ∴，10，12． 故答案为：8，10，12 44．【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 【答案】(1)，； (2) (3) 证明：延长至点，使，连接，    由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； （3）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴，， ∴， 解得． （3）略 45．如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明：由作图过程知：， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）；；； （3）证明：如图，延长至，使，    ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （4）①与的数量关系：． 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴； ② 【分析】（1）由作图过程及已知得，，，再根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，再根据三角形三边关系即可得出答案； （3）如图，延长至，使，证明得，，再根据等边对等角得，进一步推出，即可得证； （4）根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得，，继而得到，即可得证； ②如图，过点作交的延长线于点，得，，由①知：，，可推出，证明得，，继而得到，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的取值范围是， 故答案为：；；； （3）略 （4）①略 ②如图，过点作交的延长线于点，    ∴，， 由①知：，， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形三边关系定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，正确理解题意，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． ◆题型11 全等的经典模型——旋转 46．如图1，将两个完全相同的三角形纸片重合放置，其中．若固定，将绕点旋转． (1)如图2，当绕点旋转到点恰好落在边上时， ①若，则旋转角的大小为__________； ②若，则旋转角的大小为__________（用含的式子表示）； (2)当绕点旋转到如图3所示的位置时，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】（1）①证明是等边三角形即可；②如图②中，作于，证明即可； （2）过点作于，过点作于，如图3，证明即可得出结论． 【详解】（1），, ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； 如图②中，作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴旋转角为， 故答案为： （2）如图，过B作，垂足为点N，过E作，垂足为点M， ∵， ∴，， ∴， ∵于N，于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 47．综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． (2)类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)①1；② (2)①；② (3)35 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②根据全等三角形的性质解答； （2）①仿照（1）①的作法解答； ②根据等腰直角三角形的性质得到，结合图形得到答案； （3）由（2）可知：，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】（1）①证明：∵和为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ∴ ， ∴； ②解：∵， ， ； 故答案为1；； （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ，， ； ②， 理由如下：为等腰直角三角形，， ， ∴； （3）解：由（2）可知：，，， ∵，， ∴， ∴． 48．是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，将的顶角与的D点重合，它的两边分别与所在直线相交于点M、N． (1)当绕点D旋转与边相交时（如图1），连接．证明：； (2)当绕点D旋转与射线相交时（如图2），连接．猜想线段之间的关系，并加以证明； (3)当绕点D旋转与射线相交时（如图3），连接．线段之间又有怎样的数量关系？请你写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形，是顶角的等腰三角形， ∴，， 如图1，将绕点逆时针旋转到，    ∴，，， ∵， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，证明如下： 如图2，将绕点顺时针旋转到，    同理（1）可得，，，， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由三角形内角和求得，，如图1，将绕点逆时针旋转到，证明三点共线，，进而可得，即； （2）如图2，将绕点顺时针旋转到，证明求解过程同理（1）； （3）如图3，将绕点逆时针旋转到，证明求解过程同理（1）． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：； 如图3，将绕点逆时针旋转到，    同理（1）可得，，，， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识．熟练掌握旋转的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． ◆题型12 全等的经典模型——垂线 49．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 50．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 51．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明： ． ∴． ∴． ∵，， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】略 ◆题型13 全等三角形综合问题 52．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可证，又因为，可得；利用可证，根据全等三角形的性质可证，证明，根据全等三角形的性质可证，根据可证结论成立；根据全等三角形的性质可证，根据可知，；过点作，可知四边形是矩形，证明，根据全等三角形的性质可证，，根据可证结论成立． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 且， ， 在和中，， ， ， 故②正确； 由②可知， ， 由②可知， ， ， ， ， ， 故③不成立； 如下图所示，过点作， 则四边形是矩形， 由②可知， ， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ， 由②可知， ， ， ； 综上所述，结论正确的有①②④． 53．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． 54．综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为 ___________． 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F， 则． ∵， ∴， ， ， 在和中， ． ． ，， ； (3)2 【分析】（1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ，即． 在和中， ． ． （2）略 （3）解：如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ， ， ， （负值舍去）， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 即的长为2． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，已知点、、、在一条直线上，，，添加一个条件，不能使的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定．熟悉全等三角形的判定定理（、、、）是解题的关键． 选项由可得：，满足判定，可证；选项：，可得，满足判定，可证；选项：，满足判定，可证；选项：，这是，不能判定三角形全等． 【详解】解：选项：， 由可得： (两直线平行，同位角相等) ； 已知， ， 满足判定，可证； 选项：， 由可得，即； 已知，，满足判定，可证； 选项：， 已知，，满足判定，可证； 选项：， 已知，，这是，不能判定三角形全等． 故选：． 2．如图，，，，垂足分别为点E，F，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据垂直得出直角，利用证明，得出相等的角，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，过点C作，且，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．过点D作交的延长线于点M，根据直角三角形的两锐角互余，可得，，所以，根据全等三角形的判定，可得，所以，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作交的延长线于点M， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得． 故选：B． 4．如图．在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，和全等．（   ） A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：由题意得：，， 若，， 根据证得， ，即； 若，， 根据证得， ，即． 当t的值为2或9秒时．与全等． 故选：A． 5．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识； 过点C作于点E，在上取点F，使，连接，则，有，则，当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值，由面积关系可求得的长，从而求得最小值． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上取点F，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当M、F、C三点共线且与重合时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为12． 故选：C． 6．如图，在和中，，，，则______． 【答案】/50度 【分析】可证明得到，由三角形内角和定理可证明，，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴． 7．如图，在中，，，延长到点B，连接，在上找一点F，延长交于点E，若，，的面积为，则的长为__________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．由题可知，由的面积为易得，则，再证，即可求解． 【详解】解：由题可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：2． 8．如图，已知和，点在同一条直线上，，．若，则的长为______ 【答案】9 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟知三角形全等的判定方法是解题的关键．根据题意用判定方法证得，再根据全等的性质得，则易求得的长． 【详解】解：如图，与交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 9．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【详解】略 11．（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ． （3）， 理由：∵， ， ∵，， ， 在和中， ， ， ， ∴． 【分析】本题考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强． （1）由已知推出，因为，推出，根据即可得到，得到，即可求出答案； （2）与（1）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； （3）与（1）（2）证法类似可证出，能推出，得到，代入已知即可得到答案； 【详解】解：（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （2）略 （3）略 12．如图，在中，，，点D在线段上，连接，作，交线段于点E． (1)当时，______．______； (2)线段的长度为何值时，，请说明理由： 【答案】(1)， (2) 解：当时，，理由如下： ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． 【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强． （1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题； （2）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）略 13．已知是经过的顶点的一条直线，分别在上，且，是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面的问题： ①如图1，若，请探索三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件：__________，使①中的结论仍然成立． (2)如图3，若直线经过的外部，在的左侧，，请写出三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析；② (2)，证明见解析 【分析】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似． （1）①求出，根据证，推出即可； ②求出，根据证，推出即可； （2）求出，根据证，推出即可． 【详解】（1）解：（1）①，理由如下： 当点在点的左侧时， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 当在的右侧时， 同理可证， ． ②时，①中结论仍然成立； 证明：如图2中， ，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， 当在的右侧时，如图4， 同理可证， ， 故答案为：； （2）解：． 理由是：如图3中， ， 又 ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 14．【问题初探】 （）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，且，点在的延长线上，连接，．求证：． ①小明的解题思路：如图，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②小涛的解题思路：如图，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，其中，，请直接写出的面积． 【类比分析】 （）如图，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，请直接写出的面积． 【答案】 （）小明的解题思路证明如下： 证明：此时， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ； 小涛同学的解题思路证明如下： 证明：在线段上截取， 则是等腰直角三角形， 得，， ， ， 又， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （）的面积为； （）的面积为． 【分析】（）选择小明或小涛的解题思路，按照其思路逐步推理即可得证； （）过点作于点，则，证明可得，，再证明 可得，，根据线段的和差求出后即可求解； （）过作于点，则，证明得到，再证明可得，，进而得到即可求解． 【详解】（）略 （）解：如图，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ，， ， ，即， ． （）如下图，过作于点，则， ， 。 ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是添加恰当辅助线构造全等三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 全等三角形的判定与性质 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形及其性质 题型1 图形的全等问题（重） 题型2 利用全等图形求正方形网格中角度之和 题型3 利用全等三角形的性质求线段长（高频） 题型4 利用全等三角形的性质求面积（高频） 题型5 全等三角形中的动点问题（难） 考点二 全等三角形的判定 题型1 用SAS证明三角形全等 题型2 全等的性质与SAS综合（高频） 题型3 用ASA证明三角形全等 题型4 全等的性质与ASA综合（高频） 题型5 用AAS证明三角形全等（重） 题型6 全等的性质与AAS综合（高频） 题型7 用SSS证明三角形全等 题型8 全等的性质与SSS综合（高频） 题型9 添加条件使三角形全等（重） 题型10 全等的经典模型——倍长中线（难） 题型11 全等的经典模型——旋转（难） 题型12 全等的经典模型——垂线（难） 题型13 全等三角形综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形及其性质 ◆题型1 图形的全等问题 1．下列命题中，其中不正确的是（   ） A．两个图形是否全等，只取决于图形形状、大小是否一样 B．两个图形是否全等，还决定于它们的位置是否合适 C．边长相等的两个正三角形是全等图形 D．“”式子的意义为“小于或等于”，它是个真命题 2．对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（1）判断两个图形是不是全等图形的关键是看两个图形能否 _________． （2）试找出图中的全等图形：________________． ◆题型2 利用全等图形求正方形网格中角度之和 4．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 5．如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 6．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      ◆题型3 利用全等三角形的性质求线段长 7．如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 8．如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 9．如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． (1)试说明：． (2)若，，求的长． ◆题型4 利用全等三角形的性质求面积 10．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是_____． 11．如图，在中，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为． （1）如图，当___________时，的面积等于面积的一半； （2）如图，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是___________． 12．如图，在中，点D在边上，点E在边上，延长交于点F，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，求的面积． ◆题型5 全等三角形中的动点问题 13．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 14．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 15．如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为________米． 考点二 全等三角形的判定 ◆题型1 用SAS证明三角形全等 16．如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 17．如图，，射线于，点和分别在线段和射线上运动，且．当____________时，以点，，为顶点的三角形与全等． 18．如图，点E在BC上，，． (1)说明：； (2)若，求的度数． ◆题型2 全等的性质与SAS综合 19．如图，已知为线段上一点，在中，，在中，且，连接、，分别交、于点、，交于点． (1)求证：； (2)如果，求的度数． 20．如图，在中，过点作，点是边上的一点，且，，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，． (1)求证： (2)写出线段与线段的数量关系和位置关系，并证明． ◆题型3 用ASA证明三角形全等 22．如图，已知点分别在上，，图中添加一个条件后可得，则添加的这个条件不可能是（     ） A． B． C． D． 23．已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 24．如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. ◆题型4 全等的性质与ASA综合 25．如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 26．如图，在中，点在上，连接，点，在线段上，连接，，满足，． (1)求证：； (2)若，，，请求出的度数． 27．如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． ◆题型5 用AAS证明三角形全等 28．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 29．如图，在中，上的高线与上的高线相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 30．如图，点，，，在同一直线上，，，若__________，则． 请从①；②；③这个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并加以证明． ◆题型6 全等的性质与AAS综合 31．如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． (1)证明：． (2)若，，求 的长． 32．如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 33．如图，点E在的边上，且． (1)求证：； (2)若的平分线交于点F，交于点D，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，则的长为________． ◆题型7 用SSS证明三角形全等 34．如图，已知点A、B、C、D在同一直线上，，，，．若要运用“”来证明，则的长为______． 35．如图，，与相交于点O．求证： (1)； (2)． 36．如图，已知，，． 求证： (1)； (2)． ◆题型8 全等的性质与SSS综合 37．七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点标上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 在和中， ∵，第一步 ∴，第二步 ∴，第三步 ∴平分，第四步 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 38．【初步探索】 (1)如图1：在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是_____； 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 39．【教材呈现】 活动2  用全等三角形设计图案“筝形” 若在四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质，然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【性质探究】 （1）小文小组通过探究得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”．请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图1，在筝形中，． 求证：． （2）如图2，连结筝形的对角线交于点．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点D、E分别是边上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． ◆题型09 添加条件使三角形全等 40．如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件： ①点为中点；②于；③；④． (1)添加2个条件：__________（填序号），使得； (2)说明（1）中结论成立的理由． 41．如图，点，，，四点在同一直线上，，．若__________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 42．如图，已知：点E、C、D、B在一直线上，，，如果 ，那么．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（在空格中填入对应序号），使结论成立，并证明结论． ◆题型10 全等的经典模型——倍长中线 43．如图，在中，是边上的中线，，，的长度为偶数，则的所有可能值为___________． 44．【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 45．如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． ◆题型11 全等的经典模型——旋转 46．如图1，将两个完全相同的三角形纸片重合放置，其中．若固定，将绕点旋转． (1)如图2，当绕点旋转到点恰好落在边上时， ①若，则旋转角的大小为__________； ②若，则旋转角的大小为__________（用含的式子表示）； (2)当绕点旋转到如图3所示的位置时，求证：． 47．综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． (2)类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若，，求四边形的面积． 48．是等边三角形，是顶角的等腰三角形，，将的顶角与的D点重合，它的两边分别与所在直线相交于点M、N． (1)当绕点D旋转与边相交时（如图1），连接．证明：； (2)当绕点D旋转与射线相交时（如图2），连接．猜想线段之间的关系，并加以证明； (3)当绕点D旋转与射线相交时（如图3），连接．线段之间又有怎样的数量关系？请你写出你的猜想，不需证明． ◆题型12 全等的经典模型——垂线 49．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 50．已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 51．【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． ◆题型13 全等三角形综合问题 52．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 53．如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 54．综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为 ___________． 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，已知点、、、在一条直线上，，，添加一个条件，不能使的是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，，，，垂足分别为点E，F，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，过点C作，且，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图．在长方形中，，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t，当t的值为多少时，和全等．（   ） A．2或9 B．2或7 C．2 D．3或7 5．在锐角三角形中，的面积为30，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（    ） A．10 B．6 C．12 D．9 6．如图，在和中，，，，则______． 7．如图，在中，，，延长到点B，连接，在上找一点F，延长交于点E，若，，的面积为，则的长为__________． 8．如图，已知和，点在同一条直线上，，．若，则的长为______ 9．如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则__________． 10．如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 11．（1）习题呈现：类似冀教版八年级上册57页C组习题，如图1，在中，，，直线经过点C，且于，于E．请直接写出、、之间的数量关系． （2）问题解决：在（1）的条件下，当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：． （3）变式探究：如图3，，，是经过顶点C的一条直线，并且经过的内部，点E、F在射线上，且．请猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 12．如图，在中，，，点D在线段上，连接，作，交线段于点E． (1)当时，______．______； (2)线段的长度为何值时，，请说明理由： 13．已知是经过的顶点的一条直线，分别在上，且，是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且在射线上，请解决下面的问题： ①如图1，若，请探索三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件：__________，使①中的结论仍然成立． (2)如图3，若直线经过的外部，在的左侧，，请写出三条线段之间的数量关系，并证明你的结论． 14．【问题初探】 （）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图，在中，，且，点在的延长线上，连接，．求证：． ①小明的解题思路：如图，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过作交的延长线于点，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段． ②小涛的解题思路：如图，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段上截取，则是等腰直角三角形，得，得到，将线段，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图进行变换，提出下面问题，请你解答． 如图，在中，，延长至点，使，射线，点在线段上，点在射线上，连接，，且，其中，，请直接写出的面积． 【类比分析】 （）如图，在中，，延长至点、使，射线，点在线段的延长线上，点在射线上，连接，，且，若，，请直接写出的面积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $