专题05 全等三角形章末15易错+7压轴题型（专项训练）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 以“概念-性质-判定-模型”为主线，系统整合易错点与压轴题型，通过15类基础模型与7类综合模型，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |易错基础题型|15题型（含命题证明、全等性质等）|倍长中线/垂线/旋转等模型总结，尺规作图规范训练|从概念生成到性质应用，判定方法逐步进阶，覆盖全等核心要素| |压轴综合题型|7题型（含动点、一线三等角等）|截长补短/半角模型辅助线技巧，动态问题分类讨论|结合中点、角平分线等条件，构建“条件-模型-结论”推理链条，衔接中考压轴考法|

专题05 全等三角形章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形章末易错题型 题型1 命题与证明 题型2 图形的全等 题型3 全等三角形的概念 题型4 全等三角形的性质 题型5 全等三角形的判定 题型6 灵活选用判定方法证明三角形全等 题型7 结合尺规作图的三角形全等问题 题型8 全等的性质综合 题型9 补充全等三角形判定过程 题型10 网格中的三角形全等问题 题型11 尺规作角、三角形 题型12 倍长中线模型 题型13 垂线模型 题型14 旋转模型 题型15 三角形的尺规作图 考点二 全等三角形章末压轴题型 题型1 全等三角形的动点问题 题型2 全等三角形的判定与性质综合 题型3 与中点有关的全等三角形问题 题型4 与角平分线有关的全等三角形问题 题型5 一线三等角模型 题型6 半角模型 题型7 截长补短模型 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形章末易错题型 ◆题型1 命题与证明 1．下列命题：①不相交的两条直线是平行线；②同旁内角互补；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若，，则．其中，真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据平行线的定义，平行公理及推论，平行线的判定，逐个判断即可． 【详解】解：因为平行线的定义要求“同一平面内，不相交的两条直线是平行线”，①缺少“同一平面内”的条件，所以①是假命题； 因为只有两直线平行时，同旁内角才互补，②没有给出两直线平行的前提，所以②是假命题； 因为“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是平行公理的推论，所以③是真命题； 因为根据平行公理，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以④是真命题； 因为在同一平面内，若，，则，不是，所以⑤是假命题； 综上，真命题共2个． 2．如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查利用三角形外角的性质，平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 根据已知条件和三角形的外角性质和平行线的判定结合证明步骤即可得出答案． 【详解】（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） ． 故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行． 3．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． 【答案】；角的和的定义；等式的基本性质；；角平分线的定义；平角的定义；； 【分析】利用直角、角平分线、平角的性质，通过等式代换推导两角关系． 【详解】略 ◆题型2 图形的全等 4．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个图形定是全等图形 B．两个正方形一定是全等图形 C．形状相同的两个图形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等图形和全等图形的性质，掌握全等图形和全等图形的性质是解题关键； 利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案； 【详解】解：选项A中，周长相等的两个图形不一定全等，故选项A错误； 选项B中，两个正方形不一定是全等图形，故选项B错误； 选项C中，形状相同的两个图形不一定是全等图形，故选项C错误； 选项D中，两个全等图形的面积一定相等，故选项D正确； 故选：D 5．图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1) 解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； (2) 解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】（1）略 （2）略 6．下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要考查了全等形的定义与性质，掌握完全重合的两个图形是全等形成为解题的关键． 根据全等图形的定义和性质逐个判断即可． 【详解】解：①形状相同，大小相等的图形是全等形，错误；②边长相等的等边三角形是全等图形，正确；③面积相等的三角形是全等三角形，错误；④平移前后的两个图形一定是全等形，正确；⑤全等图形的对应边和对应角都相等，正确． 所以，正确的说法有②④⑤． 故答案为：②④⑤． ◆题型3 全等三角形的概念 7．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1) (2)与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解：， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 8．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 9．下列几种说法：全等三角形的对应边和对应角相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的定义，全等是指形状相同，大小相同，两个方面必须同时满足． 本题主要考查全等三角形的定义，根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，全等三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】解：①全等三角形的对应边相等，①正确； ②、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故②错误； ③、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形，故③错误； ④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故④正确； 故正确的是①④． 故选：D． ◆题型4 全等三角形的性质 10．如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 【答案】 【分析】利用全等的性质得到，即可得到，再由运算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， 解得：． 11．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的内角和定理求出，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ． 12．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． 【答案】(1)平行，理由如下： ， ， ． (2) 【分析】（1）利用全等三角形对应角相等得到内错角相等，证得两直线平行； （2）由全等得，结合线段总长列等式求出． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得， ， ， ，， , 解得． ◆题型5 全等三角形的判定 13．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，， ． 14．如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 【答案】(1)证明：在与中， ∴， ∴， 即平分． (2)证明：由（1）得， 在与中， ∴， ∴ 【分析】（1）由题中条件易知：，可得平分； （2）利用（1）的结论，可得，得出． 【详解】（1）略 （2）略 15．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据等式的性质可得出，然后根据证明； （2）根据（1）中得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型6 灵活选用判定方法证明三角形全等 16．如图所示：和中，点在同一直线上，有下面四个选项：①；②；③；④，请用上述选项完成填空，使填完的语句成为一个正确的判断，并说明理由．如果已知______、______、______，那么______，（从①、②、③、④中选填） 【答案】解：①、②、④，③． 理由如下： 已知，，，那么． ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． ①、③、④，②． 理由如下： 已知，，，那么． ， ， 在和中， ， ， ， ， ． ②、③、④，①． 理由如下： 已知，，，那么． ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】由平行线的性质得到角度相等，再由三角形全等的判定定理判定三角形全等，最后由全等三角形性质求证即可． 【详解】略 17．如图，，；有如下条件：①；②． (1)从①②中选一个作为已知条件，求证：； (2)若，，求点到点的距离． 【答案】(1) 选择①， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； 选择②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)8 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质． （1）选择①，根据可证明；选择②，根据可证明； （2）根据平行线的性质得，再由，得是等边三角形，即可得的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即点到点的距离为8． 18．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3) 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）略 ◆题型7 结合尺规作图的三角形全等问题 19．如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 【答案】(1) 如图， (2) 如图， 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质， （1）在图中取格点并连接对应的线段，即可得到三角形的全等，结合其性质即可知，连接即可； （2）根据网格可知，在上取格点长为5，即可得到等腰三角形，利用网格即可找到等腰三角形底边的中点，连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①、图②中，点A、B、C均在格点上；图③中，点A、B、C均在网格线上，但不在格点上．请在图①、图②、图③中，过点C作直线，使点A、B到直线距离相等．要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． 【答案】 解：如图，直线即为所求． ， 【分析】本题考查了作图，利用网格作已知直线的平行线，网格与勾股定理的应用，点到直线的距离，全等三角形的判定与性质等知识，根据利用网格作已知直线的平行线，网格与勾股定理的应用，点到直线的距离，全等三角形的判定与性质等知识作出相应直线即可． 【详解】略 21．如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点E、F，交的延长线于点D（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1) 如图，直线即为所求， (2) 证明：，， ， 由作图可知，，且， ，， 是公共角， ， ． (3) 【分析】本题考查了尺规作图和垂直平分线的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键； （1）先作线段的垂直平分线，再延长即可； （2）根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）连接，根据垂直平分线的性质得，，根据角平分线性质得，在中，，得出，即可求出答案， 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接， ，， ， 又垂直平分，， ，， ，， 平分， ， 在中，， ， ． ◆题型8 全等的性质综合 22．如图，在四边形中，点E在边上，，且平分，F是四边形外一点，连接，． (1)和全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）先得出，，再得出，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 23．【问题情境】 如图①，，点和点分别在的边和上，连接．和的平分线交于点，作，交于． 【问题探究】 (1)直接填空： ； ； 可直接利用（1）中得到的结论解决下面的问题： 【问题解决】 (2)求证：； 【问题拓展】 (3)连接，如图②，若，和的面积分别为和，求线段的长． 【答案】(1)45；180 (2)证明：由上已得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (3)16 【分析】（1）先求出的度数，再求出的度数，然后根据三角形的内角和定理求解即可； （2）先得出，，再证出即可得证； （3）过点作于点，作于点，先利用三角形的面积公式求出的长，再证出，则，进而可得的长，然后根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴在四边形中，． （2）略 （3）解：如图，过点作于点，作于点， ∵的面积为60，且， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 由上已证：， ∴， ∴． 24．如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2)， 【分析】（1）先结合，得，又因为，，即可证明； （2）运用全等三角形的性质得，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴（三角形外角性质） ◆题型9 补充全等三角形判定过程 25．如图，已知，，，则，请说明理由． 解：∵（________）， ∴________， ∴__________， 在和中， ∴____________________（__________）， ∴（________）， ∴． 【答案】 已知，，，，，，，三角形全等的对应角相等 【分析】根据两三角形全等，对应角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可证明． 【详解】略 26．如图，，点E、F在线段上，且，连接，若．求证：且．请将以下证明过程及部分理由补充完整． 证明：∵， ∴ ①． ∵， ∴，即 ②． 在和中， ∵ ∴（ ⑤）， ∴（ ⑥）， ⑦， ∴． 【答案】；；；；；全等三角形的对应边相等； 【分析】利用，证明，可得，，即可解答． 【详解】略 27．补充完成下列推理过程． 如图，在四边形中，，点在上，连接，．若平分，平分． 求证：． 证明：延长交的延长线于点， ， ．（__________________________） 又平分，平分， ，，（__________________________） ． 在和中， ， ．（__________________） ．（__________________________） 在和中 ，（___________________） ．（________________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；；全等三角形对应边相等；已证； 【分析】根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写即可． 【详解】略 ◆题型10 网格中的三角形全等问题 28．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 29．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 30．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      【答案】135 【分析】先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：标注字母，如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：135． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键． ◆题型11 尺规作角、三角形 31．如图，已知与线段a，请用尺规作图法作，使得，，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，即为所求．（作法不唯一） 【分析】根据作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段及线段的和的作法即可完成． 【详解】解：略． 32．如图，点F在上，． (1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，试说明． 【答案】(1) 如图，线段就是所求作的线段； (2) 证明：， ， ， 由（1）得，， ， ． 【分析】本题考查了尺规作图（作一个角等于已知角），平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的尺规作图及平行线的判定与性质是关键． （1）根据尺规作图（作一个角等于已知角），作，根据平行线的判定，可得； （2）由，可得，所以，再根据，可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 33．（1）如图，点是的中点，，且．求证． （2）如图，已知．用直尺和圆规作，使，（点在的右侧）（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 证明：（1）∵ ∴， ∵点是的中点， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴； （2）如图所示，即为所求； 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，作三角形． （1）根据平行线的性质可得，根据中点的性质可得，根据证明得出，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）根据题意作，使，（点在的右侧），即可求解． 【详解】略 ◆题型12 倍长中线模型 34．若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 【答案】 【分析】先倍长中线证明三角形全等，再将左边配方，利用非负性求得、的值，再利用三边关系求出的范围． 【详解】解：如图，，，，为边上的中线，，延长到，使得，连接，则， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即． 【点睛】注意通过倍长中线证明全等；两个偶次方的和等于0，只有都等于0． 35．【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【答案】（）①，②； （）证明：延长至点，使，连接，如图， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （）证明：延长交于点，过点作于点，于点，如图， 则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 【分析】（）①延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可； （）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可； （）延长交于点，过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（）解：①延长至点，使，连接，如图， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， 的依据是； ②， ， ， ， ， ； （）略 （）略 36．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）略 （3）略 ◆题型13 垂线模型 37．如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 【答案】35° 【分析】过点作，证明RtRt，再根据，即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，且是的中点， ∴， 又，且， ∴（HL）， ∴． 又∵，即，， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答． 38．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 39．如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． ◆题型14 旋转模型 40．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 41．如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线．    (1)求证：CH平分，并求的度数； (2)试探究之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) 证明：如图①，作，垂足为点，作，垂足为点，   和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，且， ，， ， ， 又，， 点在的平分线上，即平分； ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴； (2) ． 证明：如图，在上截取，连接，   ， ， 又， ， ，且， 又， ，即， 为等边三角形， ， 又， ． 【分析】（1）作、，由，可知，，由全等三角形性质知，据此得出平分，在和中利用三角形内角和可得到，即可求出的度数； （2）在上截取，连接，构造全等三角形，再根据全等三角形的性质，推理得出为等边三角形，进而得到，最后根据，得到． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及角平分线的性质，结合等边三角形的性质，通过作辅助线构造全等三角形是正确解答本题的关键．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 42．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1) ，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2) ，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． ◆题型15 三角形的尺规作图 43．如图、已知线段a，和，求作，使，的平分线BD交AC于点D，，（不写画法，保留作图痕迹），    【答案】 即为所求：    【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】略 44．如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． (1)嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） (2)琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 【答案】(1) (2) ①如图，点M即为所求． ②证明：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． ∴． 【分析】（1）由作图知，，，根据即可证明； （2）①根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以利用“”得到； ②结合全等三角形的判定可得，在和中，利用三角形内角和定理可得． 【详解】（1）解：由作图知，，，又， ∴， 故答案为：； （2）解：①略； ②略． 45．如图，已知，将绕着点A逆时针方向旋转一定的度数得，点B，C的对应点分别是点D，E．连接CE，使得为等边三角形 (1)尺规作图：作出旋转后的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)延长线段与，它们交于点P．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查尺规作图，等边三角形的性质，全等三角形的性质，旋转，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，此时为等边三角形，再以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，则，则即为所求． （2）由等边三角形的性质可得，由旋转得，，，根据，，可得，进而可得 【详解】（1）解：先分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，，，则即为所求； 理由：由作法知此时为等边三角形，且； （2）解：△为等边三角形， ， 由旋转得，，， ，， ， ． 考点二 全等三角形章末压轴题型 ◆题型1 全等三角形的动点问题 46．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或 【分析】根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图2， ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等． 47．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 【答案】2或12 【分析】分两种情况讨论：点Q在上，点P在上；Q与A重合，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图，点Q在上，点P在上， 由题意得，，， ∵，， ，， ∵，， ， ， ， 当时，则， ∴，解得：． ②如图，当Q与A重合时， 由题意得，，， ， ∴， 当，则，即，解得：． 综上所述：当秒或12秒时，与全等． 48．如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，两点到达相应终点就分别停止运动．分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，求证：． (2)当时，连接、，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求的值． (3)当与全等时，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴； (2)当图中存在等边三角形时，t的值为3或； (3)当与全等时，t的值为4或或12． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用等角的余角相等即可求证； （2）当点在边上，且时，是等边三角形，当点N在边上，时，是等边三角形，据此列出方程，解方程可得出答案； （3）由全等三角形的性质列出方程可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， 当点在边上，且时，是等边三角形 此时， ∴； 当点N在边上，时，是等边三角形， 此时， ∴， 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为3或； （3）解：当点到点时， 当点到点时， 当点到点时， 当点到点时， 当时，点在边上，点在边上，，， 此时，则有， ∴， ∴， 解得：； 当时，点，都在边上时，，， 点，重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点在边上，点在边上，，， 同理，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，点到终点停止不动，点在边上，，，此时， ∴， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为4或或12． ◆题型2 全等三角形的判定与性质综合 49．在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)若，将沿直线翻折得到，连接交于． i）如图，若，求证：为的中点； ii）如图，交于点，若，求． 【答案】(1)证明：，，， ， 在与中， ， ． (2)i）证明：同（1）得， ，， 连接，如图， 将沿直线翻折得到， ， ， ， ， 由三线合一得：是的中点． ii） 【分析】（1）由，，，得，即可求解； （2）i）由和翻折得，由得，即，由三线合一得是的中点； ii）连接，延长、交于，设，，证明，可得，，而，有，，故，，可得，，从而，求出的值，再利用三角形内角和定理即可得到的度数． 【详解】（1）略． （2）i）略． ii）解：连接，延长、交于，如图： 设， ， ， 将沿直线翻折得到， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， 同（1）知，， ，， ，， ，， ， ，即， 解得， ，， ． 50．如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 51．已知，连接，点在上（点不与点，点重合），连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点是的内角平分线的交点，连接，，点是的外角平分线的交点，连接，请探究与的数量关系； (3)如图3，若，点是的中点，求证：． 【答案】(1) (2) (3)延长至点，使得，如图所示： ∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）先过点作，再结合平行线的性质，得，即可作答； （2）根据角平分线的定义，以及三角形的内角和性质得，同理得，再结合平行线的性质，得，整理得，最后代入计算，即可作答． （3）运用倍长中线法进行证明，得出，再根据，，证明，即可作答． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 过程如下： ∵点是内角平分线交点， ∴ ∴ ∵， 则 延长至点，如图所示： ∵点是外角平分线交点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 ， ， 即， ∵ ∴， 故． （3）略 ◆题型3 与中点有关的全等三角形问题 52．学习八年级上册“第13章三角形”后，同学们开展了几何模型探究活动，请完成以下探究任务： (1)【模型探索】如图1，在中， D为的中点， 连接并延长至点G，使得，连接．判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． (2)【模型应用】如图2，在中，D为的中点，连接，点E在上，且，延长交于点F．求证：． (3)【模型拓展】如图 3，在中，点D在边上，且， 连接并延长至点F，使得，G为中点，连接并延长至点H，使，连接．求证：． 【答案】(1) AB=CG，ABCG， 理由如下： ∵D为边的中点， ∴ 在和中， ∴， ∴，， ∴， 综上，，； (2) 证明：延长至点 G，使，连接， 由（1）同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； (3) 证明：取中点E，连接，连接， ∵，G为中点， ∴，， 又∵ ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又 ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）证明得到，，即可解答； （2）延长至点 G，使，连接，证明得到，，进而等量代换得到，根据等角对等边可得结论； （3）取中点E，连接，连接，依次证明，和，证得即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 53．如图，在中，，，点是外一点，． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，点是的中点，点是上一点，，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明． (3)如图3，点是线段上一动点，连接，若，请直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) ，证明如下： 如图，延长到G，使，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即； (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质． （1）根据得到，进而根据三角形内角和求出，即可求出的大小； （2）延长到G，使，连接，则，证明，得到，，即，根据三角形内角和得到，证明，即可得到； （3）作交于H，求出，得到，，即，可知当C、P、H在一条直线上且时，有最小值，作交于M，连接，求出，证明，得到，证明，得到，根据平行线的判定和性质得到，即，根据等角对等边证明，即可求出的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如图，作交于H， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 则当C、P、H在一条直线上且时，有最小值， 如图，作交于M，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 54．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（   ） A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA （2）求得的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【能力提高】 （4）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）B； （2）C； （3）证明：如图，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． （4） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可； （4）延长，交的延长线于点，利用证得，得到，，由得到垂直平分，即可求解． 【详解】解：（1）是的中线， ， 在和中， ， ． 故选：B． （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ． 故选：C． （3）略 （4）如图，延长，交的延长线于点， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又，，即， 垂直平分， ． ◆题型4 与角平分线有关的全等三角形问题 55．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线． （1）求证：是 的平分线 （2）线段之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）证明：如图：延长交于点F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）； [问题探究]：，证明如下： 延长线，相交于点G， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题是四边形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识点，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论； （2）延长交于点F，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定可得，再证明可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； [问题探究]：延长线，相交于点G，利用全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）解：如图：延长交于点F， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． [问题探究]：略 56．如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点D，连接，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题． (1)如图2，在中，是直角，分别是和的平分线，相交于点． ①的度数为______； ②在上截取，连接．求证：； ③请判断FE与FD的数量关系，并说明理由； (2)如图3，是的外角的平分线，是射线上的一个动点（不与点重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①， ②证明：在上截取，连接． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ③，理由如下： ∵， ， ． 又， ， 在和中， ， ， ． ． (2) ． 证明：如图所示，在的延长线上，截取，使，连接， 是的角平分线， ， 又， ≌， ， ， 是射线上的一个动点，不与点重合， ， ． 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，正确构造全等的三角形，理解两个小题之间的联系是本题的关键．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． （1）①根据三角形内角和定理可求是的外角，根据外角的性质计算求解；②根据图的作法，在上截取，证明即可，③由，可得； 根据证明≌，得，故判断； （2）在的延长线上，截取，使，连接，判定≌，即可得到，进而得出，再根据，可得． 【详解】（1）解：①． ， ∵、分别是和的平分线， ． ． ②略 ③略 （2）略 57．如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． (1)当时，________； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)60 (2) (3) 证明：在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）证明为等边三角形，进而得到，根据外角的定义，结合角平分线的定义，得到，三角形的内角和定理求出即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据平角定义求得，再根据角平分线的定义推导，进而根据三角形的内角和定理求解即可； （3）在上截取，连接，先证明得到，，再证明，，进而证明得到，然后由可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴， ∴； 故答案为：60； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵外角的平分线与外角的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∴； （3）略 ◆题型5 一线三等角模型 58．数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）略 59．如图中，，，，，则_________ 【答案】 【分析】先计算出，再证，推出，最后根据三角形外角的性质可证． 【详解】解：中，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 60．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 (1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则__________； 【类比】 (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 即（该数量关系的变形也可）； (3) 【分析】（1）根据全等三角形求出，进而即可求出； （2）先证明，再结合全等三角形性质分析推理，即可得出线段，，的之间的数量关系； （3）过点作的延长线于点，由（2）同理可证，结合全等三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ； （2）略 （3）解：过点作的延长线于点， 由（2）同理可证：， ， ， 的面积为：． ◆题型6 半角模型 61．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】 解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 62．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 63．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型7 截长补短模型 64．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 【答案】(1) 证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）略 （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 65．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：12 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：略 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． 66．阅读与思考 尺规作图之截长补短法尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，解决更多的数学问题．截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 【问题解决】：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法；延长到点使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 解：延长到点使，连接， 在和中， ， ， ， （______）， 即…… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： (1)任务一：写出上述证明过程中空缺处的依据是______． (2)任务二：请结合图1补全上述证明过程； (3)任务三：如图2，在四边形ABCD中，，，分别是边上的两点，且，求证． 【答案】(1)三角形三边关系 (2) 解：（三角形三边关系）， 即， ； (3) 证明：延长到，使如下图所示， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形三边关系作答即可； （2）根据已知数据补全证明过程即可； （3）延长到，使，利用全等三角形的判定条件得到和，即可证明结论． 【详解】（1）解：由三角形三边关系可知； （2）略 （3）略 综合攻坚·知能拔高 67．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，证明，得到，进而计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 68．某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵点是的中点， ∴， 在与中， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定第三边范围即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）先求出，在中，根据得出结论即可； 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，即； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 69．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】 ①③④ 【分析】证明，得到，据此可判断①；证明，得到，据此可判断③④；过点作于点，证明，得到，可证明，推出，则可证明，再由，得到，据此可判断②． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 如图所示，过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 综上所述，正确的有①③④ ． 70．根据下面的条件，能否判断如图所示的两个三角形全等？ (1)如图①，； (2)如图②，． 【答案】(1)能判断 (2)能判断 【分析】根据全等三角形的判定定理（）进行判断即可． 【详解】（1）解：能判断，理由如下： 在和中， ， ∴； （2）解：能判断，理由如下： 在和中， ， ∴． 71．如图，将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，边始终与边相交于点（点不与、重合）．已知线段、分别为、的角平分线，、相交于点，若，．则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出，进而求出，利用角平分线的定义得出 ，，在 中利用内角和定理表示出，根据点 在上且不与端点重合，确定的取值范围，从而求出 的范围． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∴， ∴， ∵ 是的角平分线， ∴， ∵ 是 的角平分线 ， ∴， 在 中，， ∴， ∵ 边 始终与边 相交于点（点不与、重合）， ∴ 射线在内部， ∴，即 ， ∴， ∴， 即． 72．如图，已知在中，是的平分线，，垂足为，是的中点，求证：． 【答案】证明：如图，延长交于点，连接、， 是的平分线，， ，， 又， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 和是同底三角形， 和在底边上的高相等，即点、到的距离相等， ， ． 【分析】延长交于点，连接、，证明，再根据三角形中线平分三角形面积，得出，则，即可得证． 【详解】略 73．求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由：，， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 74．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离；当他从A处摆动到处时，有． (1)求到的距离； (2)求到地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，根据平行线间距离相等，得到，再证明，得到，即可得解； （2）过点作地面于点，根据平行线间距离相等，得到，再结合全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即到的距离为； （2）解：如图，过点作地面于点， 由平行线间距离相等可知，， 由（1）可知，， ， ， ． 75．按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 76．综合与实践： (1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴； (2) (3)若测量出，则河流，理由如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴若测量出，则河流． 【分析】（1）利用证明即可； （2）在（1）的条件下，，，得到，利用面积相等得到高相等，即，再证明，得到，最后根据计算即可； （3）先证明，得到，，再证明，得到，则，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：在（1）的条件下，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 77．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到点，使得，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意可进行求解； （2）延长到点，使得，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，由题意易得，则有，，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：延长到点，使．再连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 78．在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． (1)特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． (2)探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； (3)如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； (4)若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】(1)2 (2)①在中，． ， ， ． 在和中， ， ②由可知，， ． (3)． 理由如下： 在中，． ， ， ． 在和中， ， ，， (4) 【分析】（1）先证和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出，再证明，得到，即可求出的长； （2）①先证，由即可得出，②根据全等三角形的性质进而解答即可； （3）先证，由即可得出，进而解答即可； （4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 在中，，， ， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）略 （3）略 （4）由（2）可得，当时，四边形的面积， 由（3）可得，当时， 四边形的面积． 综上，以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 79．如图，，，平分，交于点，，交延长线于，且垂足为，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是________个． 【答案】 【分析】利用证明，根据全等三角形的性质即可判断；利用证明，推出，，即可判断；由，，即可判断． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，；正确； 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，正确； ， ， 又， ，正确； 综上，都正确，正确的个数是个． 80．【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容： 如图1，、都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形． 【操作发现】 (1)在图1中画出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形，并写出旋转前后与其对应线段的数量关系和位置关系：________________（用符号语言表达）． 【探究理由】 (2)如图2，将绕点顺时针旋转得到，设、分别与交于点、，求证：． 【问题解决】 (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，与交于点．若与关于直线对称，且，，则 ①_________； ②线段的长是_________． 【答案】(1)如图，即为所求， ，； (2)证明：绕点顺时针旋转得到， ． . 在和中，， ． ． (3)，． 【分析】（1）根据要求画出图形，然后根据旋转的性质得出，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）由旋转的性质得出，利用全等三角形的性质解决问题即可； （3）①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 设分别与交于点， 由旋转性质可知， ． 在和中，， ． ． （2）略． （3）解：与关于直线对称， ． ． 根据旋转可知， ． ． 即． 81．如图，在中，和分别是的两条高，与相交于点，连接，若，，，则__________． 【答案】 【分析】通过已知条件证明，得到，再根据表示出，得出． 【详解】解：， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 82．如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，可得，利用证明，得出，，利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 83．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 【答案】③⑤ 【分析】由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与、分别是、上的任意点互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， 的另一个条件是， 与不一定相等， 与不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与、分别是、上的任意点矛盾，故④错误； 综上可知，正确的结论有③⑤． 84．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点、所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， ∴当时，点在点处，此时． （2）解：在中，，，，， ∴． ∵的面积等于面积的一半， ∴． 如图，当点在上时，， ∴，解得． 如图，当点在上时，过点作于点， 此时， ∵， ∴． ∴，解得． 综上所述，当的面积等于面积的一半，或． （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上时，， ，， ． ②当点在上，点在上时，， ，， ． ③当点在上，点在上时，， ，， ， ∴． ④当点在上，点在上时，， ，， ∴点的运动时间， ∴． 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等． 85．如图，在中，是的中线，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的综合知识，解题的关键是根据全等三角形的判定和性质，可得，推出，，，再根据，进行解答，即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 86．我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，我们称是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为“旋补交差角”．如图1，即为“旋补交差角”． (1)当，则“旋补交差角”____________． (2)若图1中的度数发生改变，则“旋补交差角”度数是否发生改变？若不发生改变，请求出这个角度；若发生改变，请说明理由． (3)已知图2中是“旋补交差三角形”，的长度等于4，中点为点，求出的长度． 【答案】(1)90 (2)不变； (3) 【分析】1）根据旋转得出，根据证明、C、B三点共线，、C、A三点共线，即可得出答案； （2）证明，得出，根据，结合三角形内角和定理得出，即可得出答案； （3）延长，取点F，使，连接，证明，得出，，证明，得出，求出即可． 【详解】（1）解：根据旋转可得：， ∵， ∴， ∴、C、B三点共线，、C、A三点共线， ∴点O与点C重合， ∴； （2）解：“旋补交差角”度数不变；即； 如图，设与交于点H， 根据旋转可得：，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （3）解：延长，取点F，使，连接，如图所示： ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 全等三角形章末易错压轴题型 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形章末易错题型 题型1 命题与证明 题型2 图形的全等 题型3 全等三角形的概念 题型4 全等三角形的性质 题型5 全等三角形的判定 题型6 灵活选用判定方法证明三角形全等 题型7 结合尺规作图的三角形全等问题 题型8 全等的性质综合 题型9 补充全等三角形判定过程 题型10 网格中的三角形全等问题 题型11 尺规作角、三角形 题型12 倍长中线模型 题型13 垂线模型 题型14 旋转模型 题型15 三角形的尺规作图 考点二 全等三角形章末压轴题型 题型1 全等三角形的动点问题 题型2 全等三角形的判定与性质综合 题型3 与中点有关的全等三角形问题 题型4 与角平分线有关的全等三角形问题 题型5 一线三等角模型 题型6 半角模型 题型7 截长补短模型 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 全等三角形章末易错题型 ◆题型1 命题与证明 1．下列命题：①不相交的两条直线是平行线；②同旁内角互补；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若，，则．其中，真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 3．如图，在直线上取一点O，作，使平分．请你猜想和的数量关系，并说明理由． 其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤． 解：∵， ∴ （ ）． ∴． ∴（ ）． ∵ 平分， ∴ （ ）． ∵ 是平角， ∴（ ）． ∴． ∴． ∴ ． ◆题型2 图形的全等 4．下列说法正确的是（   ） A．周长相等的两个图形定是全等图形 B．两个正方形一定是全等图形 C．形状相同的两个图形一定是全等图形 D．两个全等图形的面积一定相等 5．图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 6．下列说法正确的是____________（填写语句的序号）： ①形状相同的图形是全等图形；      ②边长相等的等边三角形是全等图形； ③面积相等的三角形是全等三角形；  ④平移前后的两个图形一定是全等形； ⑤全等图形的对应边和对应角都相等． ◆题型3 全等三角形的概念 7．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 8．如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 9．下列几种说法：全等三角形的对应边和对应角相等；面积相等的两个三角形全等；周长相等的两个三角形全等；全等的两个三角形一定重合．其中正确的是（   ） A． B． C． D． ◆题型4 全等三角形的性质 10．如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 11．与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 12．如图，已知． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的长． ◆题型5 全等三角形的判定 13．如图，在和中，点、、、在同一条直线上，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．如图，，，点E在上．求证： (1)平分， (2)． 15．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，．求证： (1)； (2)． ◆题型6 灵活选用判定方法证明三角形全等 16．如图所示：和中，点在同一直线上，有下面四个选项：①；②；③；④，请用上述选项完成填空，使填完的语句成为一个正确的判断，并说明理由．如果已知______、______、______，那么______，（从①、②、③、④中选填） 17．如图，，；有如下条件：①；②． (1)从①②中选一个作为已知条件，求证：； (2)若，，求点到点的距离． 18．如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． ◆题型7 结合尺规作图的三角形全等问题 19．如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①、图②中，点A、B、C均在格点上；图③中，点A、B、C均在网格线上，但不在格点上．请在图①、图②、图③中，过点C作直线，使点A、B到直线距离相等．要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． 21．如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点E、F，交的延长线于点D（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）； (2)求证：； (3)若，求的长． ◆题型8 全等的性质综合 22．如图，在四边形中，点E在边上，，且平分，F是四边形外一点，连接，． (1)和全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的度数． 23．【问题情境】 如图①，，点和点分别在的边和上，连接．和的平分线交于点，作，交于． 【问题探究】 (1)直接填空： ； ； 可直接利用（1）中得到的结论解决下面的问题： 【问题解决】 (2)求证：； 【问题拓展】 (3)连接，如图②，若，和的面积分别为和，求线段的长． 24．如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当_____时，． ◆题型9 补充全等三角形判定过程 25．如图，已知，，，则，请说明理由． 解：∵（________）， ∴________， ∴__________， 在和中， ∴____________________（__________）， ∴（________）， ∴． 26．如图，，点E、F在线段上，且，连接，若．求证：且．请将以下证明过程及部分理由补充完整． 证明：∵， ∴ ①． ∵， ∴，即 ②． 在和中， ∵ ∴（ ⑤）， ∴（ ⑥）， ⑦， ∴． 27．补充完成下列推理过程． 如图，在四边形中，，点在上，连接，．若平分，平分． 求证：． 证明：延长交的延长线于点， ， ．（__________________________） 又平分，平分， ，，（__________________________） ． 在和中， ， ．（__________________） ．（__________________________） 在和中 ，（___________________） ．（________________） ． ◆题型10 网格中的三角形全等问题 28．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 29．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 30．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则______°．      ◆题型11 尺规作角、三角形 31．如图，已知与线段a，请用尺规作图法作，使得，，．（保留作图痕迹，不写作法） 32．如图，点F在上，． (1)尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，试说明． 33．（1）如图，点是的中点，，且．求证． （2）如图，已知．用直尺和圆规作，使，（点在的右侧）（不写作法，保留作图痕迹）． ◆题型12 倍长中线模型 34．若的边，满足，则第三边的中线长的取值范围为________． 35．【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 36．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． ◆题型13 垂线模型 37．如图，，是的中点，平分，则的度数为______． 38．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 39．如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． ◆题型14 旋转模型 40．如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 41．如图，与均为等边三角形并且B，C，D三点共线．    (1)求证：CH平分，并求的度数； (2)试探究之间的数量关系，并证明． 42．和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． ◆题型15 三角形的尺规作图 43．如图、已知线段a，和，求作，使，的平分线BD交AC于点D，，（不写画法，保留作图痕迹），    44．如图1，为外部一点，连接，已知．现在要求用尺规作图“在内求作一点，使．”下面是两位同学的过程． (1)嘉嘉采用了图2的尺规作图，根据作图痕迹，得到的判定依据是__________；（用字母表示） (2)琪琪想通过“”得到， ①请你帮助她在图1中用尺规作图进行实现；（保留作图痕迹，不写作法） ②求证：． 45．如图，已知，将绕着点A逆时针方向旋转一定的度数得，点B，C的对应点分别是点D，E．连接CE，使得为等边三角形 (1)尺规作图：作出旋转后的；（不写作法，保留作图痕迹） (2)延长线段与，它们交于点P．求的度数． 考点二 全等三角形章末压轴题型 ◆题型1 全等三角形的动点问题 46．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 47．如图，中，，，，直线经过点且与边相交（不经过点，）．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当_________秒时，与全等（不考虑、重合的情况）． 48．如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，两点到达相应终点就分别停止运动．分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，求证：． (2)当时，连接、，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求的值． (3)当与全等时，求的值． ◆题型2 全等三角形的判定与性质综合 49．在中，延长到，使，在上方，右侧一点，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)若，将沿直线翻折得到，连接交于． i）如图，若，求证：为的中点； ii）如图，交于点，若，求． 50．如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 51．已知，连接，点在上（点不与点，点重合），连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点是的内角平分线的交点，连接，，点是的外角平分线的交点，连接，请探究与的数量关系； (3)如图3，若，点是的中点，求证：． ◆题型3 与中点有关的全等三角形问题 52．学习八年级上册“第13章三角形”后，同学们开展了几何模型探究活动，请完成以下探究任务： (1)【模型探索】如图1，在中， D为的中点， 连接并延长至点G，使得，连接．判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论． (2)【模型应用】如图2，在中，D为的中点，连接，点E在上，且，延长交于点F．求证：． (3)【模型拓展】如图 3，在中，点D在边上，且， 连接并延长至点F，使得，G为中点，连接并延长至点H，使，连接．求证：． 53．如图，在中，，，点是外一点，． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，点是的中点，点是上一点，，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明． (3)如图3，点是线段上一动点，连接，若，请直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 54．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（   ） A．SSS    B．SAS    C．AAS    D．ASA （2）求得的取值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【能力提高】 （4）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． ◆题型4 与角平分线有关的全等三角形问题 55．如图①，在四边形 中，，点 E 是的中点， 若是的平分线． （1）求证：是 的平分线 （2）线段之间的数量关系是 ； 问题探究： 如图②．在四边形中，，与的延长线交于点F， 点E是的中点， 若是的平分线， 试探究之间的等量关系，并证明你的结论． 56．如图1，是的平分线，要求利用该图形画一对位于所在直线两侧的全等三角形，方法如下：在的两边上用圆规截取长度相等的两条线段，，在角平分线上任取一点D，连接，则． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题． (1)如图2，在中，是直角，分别是和的平分线，相交于点． ①的度数为______； ②在上截取，连接．求证：； ③请判断FE与FD的数量关系，并说明理由； (2)如图3，是的外角的平分线，是射线上的一个动点（不与点重合），猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 57．如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E． (1)当时，________； (2)求的度数； (3)求证：． ◆题型5 一线三等角模型 58．数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 59．如图中，，，，，则_________ 60．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 (1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则__________； 【类比】 (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． ◆题型6 半角模型 61．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 62．如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 63．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． ◆题型7 截长补短模型 64．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长． 65．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 66．阅读与思考 尺规作图之截长补短法尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题，解决更多的数学问题．截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 【问题解决】：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法；延长到点使，再连接，把、、集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围． 解：延长到点使，连接， 在和中， ， ， ， （______）， 即…… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： (1)任务一：写出上述证明过程中空缺处的依据是______． (2)任务二：请结合图1补全上述证明过程； (3)任务三：如图2，在四边形ABCD中，，，分别是边上的两点，且，求证． 综合攻坚·知能拔高 67．如图，在与中，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 68．某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 69．如图，在中，，，平分，于点，交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号是_________． 70．根据下面的条件，能否判断如图所示的两个三角形全等？ (1)如图①，； (2)如图②，． 71．如图，将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，边始终与边相交于点（点不与、重合）．已知线段、分别为、的角平分线，、相交于点，若，．则的取值范围是________． 72．如图，已知在中，是的平分线，，垂足为，是的中点，求证：． 73．求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 74．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离；当他从A处摆动到处时，有． (1)求到的距离； (2)求到地面的距离． 75．按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 76．综合与实践： (1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：． (2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长． (3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由． 77．综合探究 【初步探索】 (1)如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 (3)已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 78．在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． (1)特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． (2)探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； (3)如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； (4)若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 79．如图，，，平分，交于点，，交延长线于，且垂足为，则以下结论：①；②；③；④．正确的个数是________个． 80．【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容： 如图1，、都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形． 【操作发现】 (1)在图1中画出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形，并写出旋转前后与其对应线段的数量关系和位置关系：________________（用符号语言表达）． 【探究理由】 (2)如图2，将绕点顺时针旋转得到，设、分别与交于点、，求证：． 【问题解决】 (3)如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，与交于点．若与关于直线对称，且，，则 ①_________； ②线段的长是_________． 81．如图，在中，和分别是的两条高，与相交于点，连接，若，，，则__________． 82．如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点，若，，则的长为________． 83．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 84．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 85．如图，在中，是的中线，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，，则的面积是______． 86．我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，我们称是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为“旋补交差角”．如图1，即为“旋补交差角”． (1)当，则“旋补交差角”____________． (2)若图1中的度数发生改变，则“旋补交差角”度数是否发生改变？若不发生改变，请求出这个角度；若发生改变，请说明理由． (3)已知图2中是“旋补交差三角形”，的长度等于4，中点为点，求出的长度． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $