2.2.1 不等式及其性质（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本讲义聚焦不等式及其性质核心知识点，系统梳理比较实数大小的作差法依据（a-b与0的关系）、不等式的5个性质及5个推论（如传递性、同向可加性等），从芭蕾舞黄金分割实例引入，构建“实际情境—概念—性质—应用”的学习支架。 资料以芭蕾舞踮脚尖、糖水浓度等实际情境培养数学眼光，通过作差法比较、性质推理等发展逻辑推理（数学思维），问题探究中证明糖水浓度规律并迁移应用于住宅采光，提升数学语言表达能力。课中题型分类与通性通法辅助教学，课后练习题与跟踪训练帮助学生查漏补缺。

2.2.1　不等式及其性质 理解不等式的概念，掌握不等式的性质（数学抽象、逻辑推理）. 　　清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手抚摸着裙身，眼里闪烁着倔强和自信的目光.只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.57～0.6之间.设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由变成了，这个比值非常接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用. 【问题】　不等式还有哪些重要的性质呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　比较实数a，b的大小 1.a－b＜0⇔　　　　. 2.a－b＝0⇔　　　　. 3.a－b＞0⇔　　　　. 【想一想】 1.在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ 2.p⇔q的含义是什么？ 知识点二　不等式的性质 性质1：如果a＞b，那么a＋c　　b＋c. 性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac　　bc. 性质3：如果a＞b，c＜0，那么ac　　bc. 性质4：如果a＞b，b＞c，那么a　　c.（传递性） 性质5：a＞b⇔　　　　. 推论1：如果a＋b＞c，那么a　　　c－b.（不等式的移项法则） 推论2：如果a＞b，c＞d，那么a＋c　　　b＋d.（同向可加性） 推论3：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac　　　bd. 推论4：如果a＞b＞0，那么an　　　bn（n∈N，n＞1）. 推论5：如果a＞b＞0，那么　　. 【想一想】 1.若a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d成立吗？a－c＞b－d呢？ 2.若a＞b，c＞d，那么ac＞bd成立吗？ 1.设M＝（x－1）（x－5），N＝（x－3）2，则M与N的大小关系是（　　） A.M＜N　　　　　　 B.M＞N C.M＝N D.不能确定 2.若a＞b，c∈R，则下列结论一定成立的是（　　） A.a－b＞0 B.ac＞bc C.＜ D.a2＞b2 3.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是　　　　（用“＞”连接）. 题型一｜作差法比较大小 【例1】　（1）已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则（　　） A.t＞s　　　　　　　 B.t≥s C.t≤s D.t＜s （2）设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为　　　　. 尝试解答 通性通法 作差法比较大小的步骤 【跟踪训练】 1.已知a，b均为正实数，若M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，则（　　） A.M＜N B.M≤N C.M＞N D.M≥N 2.若x∈R，则a＝与b＝的大小关系为　　 　. 题型二｜利用不等式性质判断命题的真假 【例2】　若实数a，b，c满足a＞b＞c，则下列不等式正确的是（　　 ） A.a＋c＞b B.a｜c｜＞b｜c｜ C.＜ D.＜ 尝试解答 通性通法 运用不等式的性质判断命题真假的技巧 （1）运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质； （2）解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算. 【跟踪训练】 〔多选〕 已知x，y，z为实数，则下列结论中正确的是（　　） A.若xz2＞yz2，则x＞y B.若x＞y，则xz2＞yz2 C.若x＞y＞0，z＜0，则＞ D.若z＞y＞x，则＞ 题型三｜利用不等式性质求代数式的范围 【例3】　（1）已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围； （2）已知－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围. 尝试解答 【母题探究】 （变设问）在本例（1）条件下，求的取值范围. 通性通法 利用不等式的性质求代数式范围的策略 （1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围； （2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围. 【跟踪训练】 1.若－5＜a＜－3，1＜b＜4，则的取值范围为（　　） A.（－5，－）　　 B.（－，－） C.（－，＋∞） D.（－，0）∪（0，＋∞） 2.已知实数a，b满足－2≤3a－2b≤5，－4≤a＋2b≤4，则7a－2b的取值范围为　　　　. 题型四｜利用不等式性质证明不等式 角度1　综合法 【例4】　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证＞. 尝试解答 角度2　分析法与反证法 【例5】　（1）用分析法证明：－4＜－； （2）用反证法证明：n2＋3n（n∈N*）为偶数. 尝试解答 通性通法 　　利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点 （1）实质：根据性质把不等式变形； （2）注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用； ②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法. 【跟踪训练】 （1）设a＞0，求证：a2＋≥a＋； （2）若（a＋1）（b＋1）（c＋1）（d＋1）＜16，求证：a，b，c，d中至少有一个小于1. 糖水跟煲汤一样，具有滋补养生功效.可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具有清凉性，有的具有燥热性.根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果.专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠.在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠. 【问题探究】 下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？ （1）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； （2）把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； （3）如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 提示：（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖，即证明不等式＞（其中a，b，m为正实数，且b＞a）成立. 不妨用作差比较法，证明如下： －＝＝. ∵a，b，m为正实数，且a＜b， ∴b＋m＞0，b－a＞0， ∴＞0，即＞. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且＜，求证：＜＜（其中b＞a＞0，d＞c＞0）. 证明：∵＜，且b＞a＞0，d＞c＞0， ∴ad＜bc，即bc－ad＞0， －＝＝＜0， 即＜， －＝＝＞0， 即＜.∴＜＜. （3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水，求证：＞（其中b＞a＞0，m＞0）. 证明：∵－＝＝＞0，∴＞. 结论　（1）如果一个分式（b＞a＞0）的分子分母同时增大相同的值，则该分式的值变大； （2）两个分式中分子与分母分别相加所得的分式的大小介于这两个分式之间； （3）一个分式分子不变，分母变大，分式的值变小. 【迁移应用】 　建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比例越大，采光条件越好，问同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变坏了？ 1.已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（　　） A.M＜N　　　　　B.M＞N C.M＝N D.M≥N 2.若实数a，b，c满足a＞b＞0，c＜0，则（　　） A.ac＞bc B.＞ C.a＋c＜b＋c D.＞ 3.已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则a－2b的取值范围是（　　） A.－7≤a－2b≤4 B.－6≤a－2b≤9 C.6≤a－2b≤9 D.－2≤a－2b≤8 4.〔多选〕（2025·沈阳期末）下列命题中，正确的是（　　） A.若a＜b，则a2＜b2 B.若b＞a＞0，m＞0，则＞ C.若＜，则a＞b D.若－2＜a＜3，1＜b＜4，则－5＜b－2a＜8 5.设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　2.2　2.2.1 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.a＜b　2.a＝b　3.a＞b 想一想 1.提示：是. 2.提示：p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推（等价）. 知识点二 　＞　＞　＜　＞　b＜a　＞　＞　＞　＞　＞ 想一想 1.提示：a＋c＞b＋d成立，a－c＞b－d不一定成立，但a－d＞b－c成立. 2.提示：不一定，但当a＞b＞0，c＞d＞0时，一定成立. 自我诊断 1.A　由M＝（x－1）（x－5），N＝（x－3）2，则M－N＝（x－1）（x－5）－（x－3）2＝（x2－6x＋5）－（x2－6x＋9）＝－4＜0，所以M＜N.故选A. 2.A　对于A，若a＞b，则a－b＞0，故A正确；对于B，当c＝0，则ac＝bc，故B错误；对于C，当a＝1，b＝－1时，＞，故C错误；对于D，当a＝1，b＝－1时，a2＝b2，故D错误.故选A. 3.a＞－b＞b＞－a　解析：如图，在数轴上分别找出四个数所对应的点，从左往右所对应的数依次变大.即－a＜b＜0＜－b＜a. 【典例研析】 【例1】　（1）C　（2）a＜b　解析：（1）t－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，故t≤s.故选C. （2）∵a＝＋2，b＝2＋，∴a2＝11＋4，b2＝11＋4，∴a2－b2＝4（－）＜0， 即a2＜b2，又a＞0，b＞0， 由推论5知a＜b，∴a，b的大小关系为a＜b. 跟踪训练 1.D　由a，b均为正实数，M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，得M－N＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）·（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）≥0，当且仅当a＝b时取等号，所以M≥N.故选D. 2.a≥b　解析：a－b＝－＝＝≥0，当x＝1时，等号成立.所以a≥b. 【例2】　C　实数a，b，c满足a＞b＞c，所以对于A：当a＝3，b＝2，c＝－5时，a＋c＞b不成立，故A错误；对于B：当a＝3，b＝2，c＝0时，a｜c｜＝b｜c｜，故B错误；对于C：由于a＞b＞c，所以a－c＞b－c＞0，故－＜0，故C正确；对于D：当a＝3，b＝2，c＝0时，无意义，故D错误.故选C. 跟踪训练 　AC　对于A，若xz2＞yz2，可知z2＞0，由不等式的性质可得x＞y，故A正确；对于B，取z＝0，则xz2＝yz2，故B错误；对于C，∵x＞y＞0，∴＜，又z＜0，∴＞，故C正确；对于D，∵z＞y＞x，取z＝1，y＝0，x＝－1，则＝，＝1，此时＜，故D错误.故选A、C. 【例3】　解：（1）∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4， ∴1＋（－8）＜a＋（－b）＜4＋（－2），即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是（8，32），a－b的取值范围是（－7，2）. （2）设a＋3b＝λ1（a＋b）＋λ2（a－2b）＝（λ1＋λ2）a＋（λ1－2λ2）b，从而解得λ1＝，λ2＝－. 又－≤（a＋b）≤，－2≤－（a－2b）≤－， ∴－≤a＋3b≤1. 故a＋3b的取值范围为. 母题探究 　解：∵2＜b＜8，∴＜＜，而1＜a＜4， ∴1×＜a·＜4×，即＜＜2. 故的取值范围是. 跟踪训练 1.A　因为－5＜a＜－3，1＜b＜4，所以＜＜1，3＜－a＜5，所以＜＜5⇒－5＜＜－，所以的取值范围为（－5，－）.故选A. 2.[－8，14]　解析：因为－2≤3a－2b≤5⇒－4≤6a－4b≤10，又－4≤a＋2b≤4，两式相加，得－8≤7a－2b≤14. 【例4】　证明：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. 则（a－c）2＞（b－d）2＞0，即＜. 又∵e＜0，∴＞. 【例5】　证明：（1）要证－4＜－，只需证＋＜＋4， 即证（＋）2＜（＋4）2，即证33＋2＜33＋2， 只需证＜.因为266＜272， 所以＜， 所以－4＜－得证. （2）假设n2＋3n（n∈N*）为奇数， 因为n2＋3n＝n（n＋3）， 所以n与n＋3均为奇数，所以n＋n＋3为偶数， 而n＋n＋3＝2n＋3为奇数，所以假设不成立.故n2＋3n（n∈N*）为偶数. 跟踪训练 　证明：（1）要证a2＋≥a＋，只要证a4＋1≥a3＋a， 只要证a4－a3－（a－1）≥0，只要证a3（a－1）－（a－1）≥0， 只要证（a3－1）（a－1）≥0，只要证（a－1）2（a2＋a＋1）≥0， 因为（a－1）2≥0，a2＋a＋1＝＋＞0， 所以（a－1）2（a2＋a＋1）≥0成立，所以a＞0时，a2＋≥a＋成立. （2）假设a，b，c，d都不小于1，即a≥1，b≥1，c≥1，d≥1， 则a＋1≥2，b＋1≥2，c＋1≥2，d＋1≥2， 所以（a＋1）（b＋1）（c＋1）（d＋1）≥16，与已知矛盾， 故a，b，c，d中至少有一个小于1. 拓视野　实际问题中的不等关系 迁移应用 　解：设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为n m2，显然，a，b，n均为正实数，且a＜b，由题设及“糖水浓度不等式”可得≤＜. 故住宅的采光条件变好了. 随堂检测 1.B　∵0＜a1＜1，0＜a2＜1， ∴－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0， ∴M－N＝a1a2－（a1＋a2－1） ＝a1a2－a1－a2＋1＝a1（a2－1）－（a2－1） ＝（a1－1）（a2－1）＞0，∴M＞N. 2.D　对于A， 由于a＞b＞0，c＜0，故ac＜bc，故A错误；对于B， 由于a＞b＞0，c＜0，则＜，故B错误；对于C，由于a＞b＞0，则a＋c＞b＋c，故C错误；对于D，由于a＞b＞0，则0＜＜，c＜0，则＞，故D正确.故选D. 3.A　因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4.故选A. 4.BD　对于A，由a＝－2＜b＝1，但a2＞b2，故A错；对于B，－＝＝，又b＞a＞0，m＞0，所以－＞0，即＞，故B正确；对于C，由＝－＜＝1，即a＝－2＜b＝1，故C错；对于D，由－6＜－2a＜4且1＜b＜4，故－5＜b－2a＜8，故D正确.故选B、D. 5.y＜－y＜x　解析：∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x. 学科网（北京）股份有限公司 $