2.2.2 不等式的解集-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦不等式的解集核心知识点，从不等式（组）解集的定义出发，衔接绝对值不等式的代数解法与几何意义，结合数轴上的距离及中点公式，构建从概念到应用的学习支架。 资料以程序情境引入问题培养数学眼光，通过绝对值不等式的几何直观与代数推理发展直观想象和数学运算能力，题型分类清晰且附通性通法，课中助教师系统教学，课后练习题分层助力学生查漏补缺。

2.2.2　不等式的解集 课标要求 1.会求一元一次不等式（组）的解集（数学运算）. 2.能借助绝对值的几何意义求解绝对值不等式的解（直观想象、数学运算）. 　　运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否小于18”为一次程序操作， 输入x后程序操作仅进行了一次就停止. 【问题】　（1）情境中的运算程序涉及何不等式？ （2）如何解此不等式？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　不等式的解集与不等式组的解集 1.不等式的解集 一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集. 2.不等式组的解集 对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. 【想一想】 1.不等式ax＋b＞0的解集是吗？ 提示：不一定.当a＞0时，不等式ax＋b＞0的解集为；当a＜0时，不等式ax＋b＞0的解集为. 2.不等式的解集是否一定为无限集？ 提示：不一定.如不等式｜x｜＜0的解集是空集，不等式x2≤0的解集是{0}，为有限集. 知识点二　绝对值不等式 1.绝对值的定义 数轴上表示数a的点与　原点　的距离称为数a的绝对值，记作｜a｜.而且一个正数的绝对值是　它本身　，一个负数的绝对值是　它的相反数　，0的绝对值是　0　. 2.绝对值不等式 一般地，含有　绝对值　的不等式称为绝对值不等式. 3.绝对值不等式的解集 当m＞0时，关于x的不等式｜x｜＞m的解集为　（－∞，－m）∪（m，＋∞）　；关于x的不等式｜x｜≤m的解集为　[－m，m]　. 　　提醒：｜ax＋b｜≤m，｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：只需将ax＋b看成一个整体，即化成｜x｜≤m，｜x｜≥m（m＞0）型不等式求解.①｜ax＋b｜≤m（m＞0）型不等式的解法：先化为－m≤ax＋b≤m，再由不等式的性质求出该不等式的解集；②｜ax＋b｜≥m（m＞0）型不等式的解法：先化为ax＋b≥m或ax＋b≤－m，再进一步利用不等式性质求出该不等式的解集. 知识点三　数轴上的坐标与距离 1.两点间的距离公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB的长为AB＝　｜a－b｜　，这就是数轴上两点之间的距离公式. 2.中点坐标公式 若线段AB的中点M对应的数为x，则x＝　　就是数轴上的中点坐标公式. 【想一想】 不等式｜x＋1｜≤3的解集的几何意义是什么？ 提示：数轴上与表示－1的点的距离小于或等于3的点对应的所有数组成的集合. 1.不等式－3x＋2＞0的解集为（　　 ） A.{x｜x＜1或x＞2}　 B.{x｜x＞0} C.　 D.{x｜x＜7} 解析：C　－3x＋2＞0⇔3x－2＜0，得x＜，所以不等式的解集是.故选C. 2.已知数轴上不同的两点A（a），B（b），则数轴上满足条件PA＝PB的点P的坐标为（　　） A.　 B. C.　 D.b－a 解析：C　设点P的坐标为x.∵PA＝PB，∴｜a－x｜＝｜b－x｜，即a－x＝±（b－x），解得x＝，故选C. 3.不等式1－｜x｜＜0的解集为　（－∞，－1）∪（1，＋∞）　. 解析：依题意，1－｜x｜＜0⇒｜x｜＞1⇒x＞1或x＜－1.所以不等式的解集为（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 题型一｜不等式组的解法 【例1】　（链接教科书第68页例1）解下列不等式组： （1） 解：解不等式①，得x＜－6，解不等式②，得x≥2，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知，解集没有公共部分，不等式组无解，即不等式组的解集为∅. （2） 解：解不等式①，得x＞－，解不等式②，得x≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 由图可知不等式组的解集为. 通性通法 不等式组的求解步骤 （1）求出不等式组中每个不等式的解集； （2）借助数轴求出各解集的公共部分（交集）； （3）写出不等式组的解集. 【跟踪训练】 1.不等式组的解集为{x｜x＞a}，则a的取值范围是（　　） A.{a｜a≤2}　 B.{a｜a＜2} C.{a｜a≥2}　 D.{a｜a＞2} 解析：C　由得因为不等式组的解集为{x｜x＞a}，所以a≥2，即a的取值范围是{a｜a≥2}.故选C. 2.在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（　　 ） A.4　 B.5 C.6　 D.7 解析：C　解不等式2x＋1＞0，得x＞－.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个.故选C. 题型二｜解含绝对值的不等式 角度1　｜ax＋b｜≤c与｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 【例2】　不等式｜5－4x｜＞9的解集为　　. 解析：∵｜5－4x｜＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9. ∴4x＜－4或4x＞14，∴x＜－1或x＞.∴原不等式的解集为. 【母题探究】 （变设问）若不等式｜kx－5｜≤9的解集为，则实数k＝　4　. 解析：由｜kx－5｜≤9⇔－4≤kx≤14. ∵不等式的解集为，∴k＝4. 通性通法 ｜ax＋b｜≥c和｜ax＋b｜≤c型不等式的解法 （1）当c＞0时，｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）当c＝0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜＜c的解集为∅； （3）当c＜0时，｜ax＋b｜≥c的解集为R，｜ax＋b｜≤c的解集为∅. 角度2　｜x－a｜＋｜x－b｜≥c和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c型不等式的解法 【例3】　（链接教科书第70页探索与研究）解不等式｜x＋7｜－｜x－2｜≤3. 解：法一　｜x＋7｜－｜x－2｜ 可以看成数轴上的动点（坐标为x）到－7对应点的距离与到2对应点的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x＝－1.由图易知不等式｜x＋7｜－｜x－2｜≤3的解集为x≤－1，即x∈（－∞，－1]. 法二　令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2. ①当x＜－7时，不等式变为－x－7＋x－2≤3， ∴－9≤3成立，∴x＜－7. ②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3， 即2x≤－2，∴x≤－1， ∴－7≤x≤－1. ③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3， 即9≤3不成立， ∴x∈∅. ∴原不等式的解集为（－∞，－1]. 通性通法 　　分段讨论法是解绝对值不等式最基本、最重要的方法，一定要熟练掌握，在解答过程中要注意以下几点： （1）分段要准确，注意等号的分布，避免重复或遗漏； （2）每一段都有一个前提，每一段解出的范围都要和前提取“交集”，最后写不等式的解集时要把每一段x的范围取“并集”，即“先分后合”； （3）不等式的解集有两种书写形式：一是用集合的描述法表示，特殊时用列举法；二是用区间. 【跟踪训练】 1.不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为（　　 ） A. B. C. D. 解析：D　当2x－1≥0时，即x≥时，有1≤2x－1＜2，解得1≤x＜；当2x－1＜0时，即x＜时，有1≤1－2x＜2，解得－＜x≤0. 综上，不等式的解集为{x｜－＜x≤0或1≤x＜}.故选D. 2.解关于x的不等式｜2x－1｜－｜x＋1｜＜1. 解：当x＜－1时，｜2x－1｜－｜x＋1｜＝－2x＋1＋x＋1＝－x＋2＜1⇒x＞1，此时不等式无解；当－1≤x≤时，｜2x－1｜－｜x＋1｜＝－2x＋1－x－1＝－3x＜1⇒x＞－，此时－＜x≤； 当x＞时，｜2x－1｜－｜x＋1｜＝2x－1－x－1＝x－2＜1⇒x＜3，此时＜x＜3.综上，原不等式的解集为{x｜－＜x＜3}. 题型三｜数轴上的距离问题 【例4】　（链接教科书第70页例2）已知数轴上三点P（－8），Q（m），R（2）. （1）若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值； 解：若P是线段QR的中点，则－8＝， ∴m＝－18； 若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3； 若R是线段PQ的中点，则2＝，∴m＝12. （2）若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值范围. 解：由题意，知＞1， 即＞1， ∴－1＞1或－1＜－1，解得m＞4或m＜0， ∴实数m的取值范围是（－∞，0）∪（4，＋∞）. 通性通法 1.当P（x）中x＞0时，点P位于原点右侧，且点P与原点O的距离OP＝x；当P（x）中x＜0时，点P位于原点左侧，且点P与原点O的距离OP＝－x. 2.由数轴上的点与实数的对应关系可知，点越靠向右方，对应的实数越大；点对应的实数越大，点越靠向右方. 【跟踪训练】 已知数轴上不同的两点A，B，若B点的坐标为3，且AB＝5，则线段AB的中点M的坐标为（　　） A.　 B. C.4　 D.或 解析：D　记点A（x1），B（x2），则x2＝3.AB＝｜x2－x1｜＝5，即｜3－x1｜＝5，解得x1＝－2或x1＝8.当x1＝－2时，M的坐标为＝；当x1＝8时，M的坐标为＝.故选D. 1.数轴上点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则MP＋PN＝（　　） A.－4　 B.4 C.－12　 D.12 解析：D　MP＋PN＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝12. 2.不等式组的解集在数轴上表示为（　　） 解析：C　解不等式2x－1≥5，得x≥3，解不等式8－4x＜0，得x＞2，[3，＋∞）∩（2，＋∞）＝[3，＋∞），故不等式组的解集为[3，＋∞）.在数轴上表示如图所示.故选C. 3.不等式｜x－1｜＋｜x－2｜≤3的最小整数解为（　　） A.－2　 B.－1 C.0　 D.2 解析：C　当x≤1时，则｜x－1｜＋｜x－2｜＝1－x＋2－x＝3－2x≤3，可得x≥0，此时，0≤x≤1；当1＜x＜2时，则｜x－1｜＋｜x－2｜＝x－1＋2－x＝1≤3恒成立，此时，1＜x＜2；当x≥2时，则｜x－1｜＋｜x－2｜＝x－1＋x－2＝2x－3≤3，解得x≤3，此时，2≤x≤3.综上所述，不等式｜x－1｜＋｜x－2｜≤3的解集为{x｜0≤x≤3}，则满足原不等式的最小整数解为0，故选C. 4.〔多选〕已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则（　　） A.A∩B＝　 B.A∩B＝∅ C.A∪B＝{x｜x＜2}　 D.A∪B＝R 解析：AC　由3－2x＞0得x＜，A∩B＝{x｜x＜2}∩＝，A正确，B错误.A∪B＝{x｜x＜2}∪＝{x｜x＜2}，C正确，D错误.故选A、C. 5.已知不等式ax－1＞x＋2的解集为（2，＋∞），求a的值. 解：原不等式等价于（a－1）x＞3.因为不等式的解集为（2，＋∞），则有解得a＝. 1.不等式｜x－1｜＜2的解集是（　　） A.{x｜－1＜x＜3}　 B.{x｜1＜x＜3} C.{x｜x＜－1或x＞3}　 D.{x｜x＜1或x＞3} 解析：A　由｜x－1｜＜2可得－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3，故原不等式的解集为{x｜－1＜x＜3}.故选A. 2.不等式组的解集为（　　） A.（－2，1] B.（－∞，－2）∪[1，＋∞） C.[1，＋∞） D.（－∞，－2） 解析：C　由得∴x≥1. 3.在数轴上，已知A（a－1），B（1－a），原点为O，则（　　 ） A.a＜1　 B.a≥1 C.AB＝0　 D.OA＝OB 解析：D　∵a－1与1－a互为相反数，∴OA＝OB.故选D. 4.设x∈R，则“≤2”是“｜x－1｜＜2”的（　　） A.充分不必要条件　 B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分也不必要条件 解析：B　≤2，则－1≤x≤3；｜x－1｜＜2，则－1＜x＜3，故“≤2”是“｜x－1｜＜2”的必要不充分条件.故选B. 5.〔多选〕如果关于x的不等式组的解集为{x｜x＜1}，且关于x的分式方程＋＝3有非负数解，则符合条件的整数m可以是（　　） A.－2　 B.0 C.1　 D.2 解析：ABC　解不等式≤1，得x≤m＋3，解不等式x－4＞3（x－2），得x＜1， ∵不等式组的解集为{x｜x＜1}，∴m＋3≥1，解得m≥－2. 解分式方程＋＝3得x＝. ∵分式方程有非负数解，∴≥0且≠1，解得m＜3且m≠2， ∴－2≤m＜3且m≠2， 则符合条件的整数m的值是－2，－1，0，1.故选A、B、C. 6.若1是关于x的不等式ax＋1＞2a－x的解，则实数a的取值范围是　（－∞，2）　. 解析：因为1是关于x的不等式ax＋1＞2a－x的解，所以a＋1＞2a－1，解得a＜2， 所以实数a的取值范围是（－∞，2）. 7.不等式＜的解集为　（－∞，－1）∪（3，＋∞）　. 解析：因为＜，所以｜x－1｜＞2，所以x－1＞2或x－1＜－2，即x＞3或x＜－1， 因此，原不等式的解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）. 8.若关于x的不等式（a＋b）x＋（b－2a）＜0的解集为（1，＋∞），则关于x的不等式ax＞－b的解集为　（－∞，－）　. 解析：因为关于x的不等式（a＋b）x＋（b－2a）＜0的解集为（1，＋∞），则1是方程（a＋b）x＋（b－2a）＝0的根，且a＋b＜0，因此a＝2b，且b＜0，不等式ax＞－b化为2bx＞－b，而b＜0，解得x＜－，所以关于x的不等式ax＞－b的解集为（－∞，－）. 9.解关于x的不等式： （1）a（x－1）＞x－2（a＞0，a∈R）； （2）｜x＋2｜＋｜x－1｜≥4. 解：（1）由a（x－1）＞x－2（a＞0，a∈R），可得（a－1）x＋2－a＞0， 当a－1＝0，即a＝1时，此时2－1＝1＞0，则不等式的解集为R； 当a－1＞0，即a＞1时，此时（a－1）x＋2－a＞0，解得x＞； 当a－1＜0，即0＜a＜1时，此时（a－1）x＋2－a＞0，解得x＜. 综上，当a＝1时，不等式的解集为R； 当a＞1时，不等式的解集为{x｜x＞}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x｜x＜}. （2）①当x＜－2时，原不等式变形为－（x＋2）－（x－1）≥4， 化简得－2x≥5，解得x≤－； ②当－2≤x＜1时，原不等式变形为x＋2－（x－1）≥4，无解； ③当x≥1时，原不等式变形为x＋2＋（x－1）≥4，解得x≥. 综上，原不等式的解集为（－∞，－］∪［，＋∞）. 10.已知条件p：｜x＋1｜＞2，条件q：x＞a，且􀱑p是􀱑q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　 ） A.[1，＋∞）　 B.[－1，＋∞） C.（－∞，1]　 D.（－∞，3] 解析：A　由条件p：｜x＋1｜＞2，解得x＞1或x＜－3，故􀱑p：－3≤x≤1，由条件q：x＞a得􀱑q：x≤a.∵􀱑p是􀱑q的充分不必要条件，∴a≥1.故选A. 11.对于任意实数x，不等式｜x＋7｜≥m＋2恒成立，则实数m的取值范围是　（－∞，－2]　. 解析：令y＝｜x＋7｜，要使任意x∈R，｜x＋7｜≥m＋2恒成立，只需m＋2≤ymin， 因为ymin＝0，所以m＋2≤0， 所以m≤－2，所以m的取值范围是（－∞，－2]. 12.设p：2x－1＜1，q：x－（2a＋1）＜0，r：｜x｜＜1. （1）若p是q的必要条件，求实数a的取值范围； （2）q对应的解集为A，r对应的解集为B，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围. 解：（1）p：2x－1＜1⇒x＜1，q：x－（2a＋1）＜0⇒x＜2a＋1. 因为p是q的必要条件，所以{x｜x＜2a＋1}是{x｜x＜1}的子集， 故2a＋1≤1，解得a≤0，即实数a的取值范围为（－∞，0]. （2）A＝{x｜x＜2a＋1}，B＝{x｜－1＜x＜1}，A∩B≠∅， 故2a＋1＞－1，解得a＞－1， 故实数a的取值范围为（－1，＋∞）. 13.设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是　　. 解析：关于x的一元一次不等式组的解集为，则a＞0， 故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时， 则解得＜a≤2；当不等式的4个整数解为－1，0，1，2时，则不等式组无解，综上所述，a的取值范围是. 14.对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y）＝（其中mn≠0，m，n∈R），已知P（2，1）＝7，P（－1，1）＝－1. （1）求m，n的值； （2）若a＞0，解不等式组 解：（1）由题意知 解得m＝2，n＝3. （2）由（1）知P（x，y）＝ 因为a＞0，所以2a－（a－1）＝a＋1＞0，即2a＞a－1， －a－1－（－a）＝－a－1＜0，即－a－1＜－a. 所以由 得 解得即 故不等式组的解集为{a｜0＜a＜1}. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $