第十四章 实数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 八年级上册数学第十四章实数单元卷，立足“三会”核心素养，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，覆盖无理数识别、平方根与立方根运算等核心知识，适配单元复习与综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|无理数判断、平方根计算|第5题“以形助数”结合面积考查几何直观| |填空题|4/12|立方根应用、规律探究|第15题橡皮筋拉伸问题体现应用意识| |解答题|8/72|实数运算、新定义探究|第23题复数概念与第24题中考真题培养创新思维|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 实数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B B C D B D B A B D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15．4 或 16． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义． （1）先移项，然后根据平方根定义，求出x的值即可； （2）根据立方根定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：；·····················3分 （2）解：， 开立方得：， 移项，合并同类项得：．·····················7分 18．（8分） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． （1）根据立方根的定义求出的值，根据算术平方根的定义求出的值即可； （2）把（1）中、的值代入计算，再根据平方根的定义计算即可； （3）把（1）中、的值代入计算，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵的立方根为， ∴， 解得， ∵的算术平方根为， ∴， ∴， 解得， 故答案为：，；·····················2分 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是；·····················5分 （3）解：由（1）得，， ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根是．·····················8分 19．（8分） 【答案】(1) (2) 不能，理由如下： 大正方形的边长为：， ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，， ∴， ， ∵， ， ∴长方形的长为， ，， ∵， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 【分析】本题考查算术平方根的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）根据剪出的大长方形的面积为，列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：；····················3分 （2）不能，理由如下： 大正方形的边长为：， ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，， ∴， ， ∵， ， ∴长方形的长为， ，， ∵， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形．····················8分 20．（8分） 【答案】（1），；（2）2025 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负数性质解答即可； （2）根据算术平方根和绝对值的非负数性质得出，再化简求值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及算术平方根和绝对值的非负数性质，掌握实数的非负数性质是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ，， 解得，····················4分 （2）有意义， ， ， ， ， ， ， ， ····················8分 21．（9分） 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为．····················2分 （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④．····················4分 （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故．····················9分 22．（9分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式分母有理化法则即可解答； （2）根据二次根式分母有理化法则即可解答． 【详解】（1）解：；····················4分 （2）解： ．····················9分 23．（11分） 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】（1）将拆分为，代入完成化简． （2）根据纯虚数定义，联立实部等于0、虚部不等于0的不等式组，求解实数的值． （3）复数等于0时实部、虚部均为0，据此列出二元一次方程组，解方程组得到的值． （4）先计算前四项的和寻找循环周期，利用周期规律求出2026项包含的完整周期个数与剩余项，再计算最终结果． 【详解】（1）解：；····················2分 （2）解：∵复数（是实数）是纯虚数， ∴，， ∴或，且， ；····················4分 （3）解：∵为实数，且满足， ∴， 解得．····················7分 （4）解：， ， ， ， ， ， …， 每4个一组循环， ， ．····················11分 24．（12分） 【答案】(1)①；②；③；④． (2)不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又，且， ． 又， ， ， ． 故． 又，均为整数， 为偶数，故不是奇数． (3)当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）先求出，根据，且，得到，由可得，则，求出，即可判断； （3）由（1）知，，根据，得到，进而得到，推出，即可判定． 【详解】（1）解：， ①；····················1分 ， ②；····················2分 ， ， ，即③····················3分 ，即④；····················4分 （2）不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又，且， ． 又， ， ， ． 故． 又，均为整数， 为偶数，故不是奇数．····················8分 （3）由（1）知，， ，其中为整数，且， ， ， ， ， 当为偶数，且时，为奇数， 为偶数， 为奇数，即为奇数； 当为奇数，且时，为偶数， 为偶数， 为偶数，即为偶数， 综上，当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数．················12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 实数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）在，，，，，3.14，，（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）已知一个正方体大巧克力块的体积为．把这个大巧克力块融化后，制作成8块体积相同的小正方体巧克力块，则小巧克力块的棱长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知是正整数，当取最小值时，的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）“以形助数”是借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为8与2，下列等式可解释它们边长之间的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，则的平方根为（    ） A．9 B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形面积为10，其顶点在数轴原点处，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，，则点，所表示的数是（    ） A．100的平方根 B．10的平方根 C．的平方根 D．的平方根 8．（24-25七年级上·全国·期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．7 B． C． D． 10．（24-25七年级下·广西崇左·阶段检测）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 11．（24-25九年级下·北京西城·阶段检测）已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 12．（25-26七年级下·重庆江津·期末）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如，，．请结合上述材料，判断下列说法中正确的个数是（     ）． ①，； ②若，则的取值范围是； ③若，则的值为或． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 14．（24-25九年级下·福建泉州·阶段检测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是___________ 15．（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．    （1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为___________． （2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为___________． 16．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26七年级下·新疆克孜勒苏·期中）求下列各式中的值 (1) (2) 18．（8分）（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）已知的立方根为，的算术平方根为． (1)则______，______； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 19．（8分）（24-25七年级下·山东临沂·阶段检测）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 20．（8分）（24-25七年级下·四川德阳·阶段检测）（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 21．（9分）（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 22．（9分）（25-26七年级上·山东东营·期中）探索题 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写的结果为_________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 23．（11分）（25-26七年级下·山东德州·期末）我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)已知为实数，且满足，求． (4)计算：． 24．（12分）（2026·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如，．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）；（2） ① ； （3）；（4） ② ； （5）；（6）． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为，， 所以，即． 又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为，均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． 拓展延伸 问题1若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 实数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）在，，，，，3.14，，（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）已知一个正方体大巧克力块的体积为．把这个大巧克力块融化后，制作成8块体积相同的小正方体巧克力块，则小巧克力块的棱长是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知是正整数，当取最小值时，的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）“以形助数”是借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为8与2，下列等式可解释它们边长之间的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，则的平方根为（    ） A．9 B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形面积为10，其顶点在数轴原点处，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，，则点，所表示的数是（    ） A．100的平方根 B．10的平方根 C．的平方根 D．的平方根 8．（24-25七年级上·全国·期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．7 B． C． D． 10．（24-25七年级下·广西崇左·阶段检测）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 11．（24-25九年级下·北京西城·阶段检测）已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 12．（25-26七年级下·重庆江津·期末）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如，，．请结合上述材料，判断下列说法中正确的个数是（     ）． ①，； ②若，则的取值范围是； ③若，则的值为或． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 14．（24-25九年级下·福建泉州·阶段检测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是___________ 15．（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．    （1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为___________． （2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为___________． 16．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26七年级下·新疆克孜勒苏·期中）求下列各式中的值 (1) (2) 18．（8分）（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）已知的立方根为，的算术平方根为． (1)则______，______； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 19．（8分）（24-25七年级下·山东临沂·阶段检测）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 20．（8分）（24-25七年级下·四川德阳·阶段检测）（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 21．（9分）（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 22．（9分）（25-26七年级上·山东东营·期中）探索题 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写的结果为_________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 23．（11分）（25-26七年级下·山东德州·期末）我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)已知为实数，且满足，求． (4)计算：． 24．（12分）（2026·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如，．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）；（2） ① ； （3）；（4） ② ； （5）；（6）． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为，， 所以，即． 又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为，均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． 拓展延伸 问题1若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十四章 实数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）在，，，，，3.14，，（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据无理数的概念，无理数是无限不循环小数，先化简可开方的数，再根据定义判断无理数个数即可． 【详解】解：首先化简已知数：，， 所给数中，，，，，都是有理数， 无理数为，，（两个1之间依次多1个5），共3个． 2．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的值是（     ） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，先求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，， ∴． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）已知一个正方体大巧克力块的体积为．把这个大巧克力块融化后，制作成8块体积相同的小正方体巧克力块，则小巧克力块的棱长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先计算单块小正方体巧克力的体积，再利用正方体体积公式求棱长，用到正方体体积等于棱长立方的性质． 【详解】解：∵大正方体巧克力体积为，平均分为8块体积相同的小正方体， ∴每块小正方体的体积为， ∴小巧克力块的棱长是． 4．（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知是正整数，当取最小值时，的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的意义和无理数的估算，解题思路是： 表示与的差的绝对值，该值最小等价于正整数最接近，只需估算的大小范围，找到最接近它的正整数即可． 【详解】解：，，且， ， ，，可知更接近，因此更接近， 时，取最小值． 5．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）“以形助数”是借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为8与2，下列等式可解释它们边长之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 则它们边长之间的关系是． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，则的平方根为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性解题，求一个数的平方根，相反数的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据绝对值和算术平方根的非负性，它们互为相反数时只能同时为零，从而求出c和d的值，再计算3c-2d的值，最后求其平方根。 【详解】解：∵与互为相反数， 且，， ∴且， ∴，解得， 代入，得， 即，解得， ∴， ∴的平方根为． 故选：D． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，正方形面积为10，其顶点在数轴原点处，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，，则点，所表示的数是（    ） A．100的平方根 B．10的平方根 C．的平方根 D．的平方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，实数与数轴；根据正方形面积求出边长，再根据数轴，求出点，对应的数． 【详解】解：依题意，， ∴点，所表示的数分别是和， ∴点，所表示的数是10的平方根， 故选：B． 8．（24-25七年级上·全国·期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离，先得到点C表示的数，然后分情况求出长解答即可． 【详解】解：由题意可知点C表示的数为或， 或．   故选：D． 9．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，以及二次根式化简，解题的关键在于确定实数的取值范围．根据数轴得到实数的取值范围，进而得到，，再结合二次根式性质进行化简，即可解题． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：B． 10．（24-25七年级下·广西崇左·阶段检测）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】按照小明的计算方法解答即可． 本题考查了立方根的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 【详解】解：为整数，根据题意，得 ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由185193的个位上的数是3，因为，能确定的个位上的数是7； ③如果划去185193后面的三位193得到数185，而，由此能确定的十位上的数是5． 故， 由， 故选：A． 11．（24-25九年级下·北京西城·阶段检测）已知，，，．若为整数且，则的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键；先根据题干中的数据估算的大小，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知： ∴， ∴； 故选B． 12．（25-26七年级下·重庆江津·期末）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，将其中某些材料摘录如下：对于三个实数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如，，．请结合上述材料，判断下列说法中正确的个数是（     ）． ①，； ②若，则的取值范围是； ③若，则的值为或． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目给出的平均数和最小值的定义，逐个验证三个说法的正误，统计正确个数即可得到答案． 【详解】逐个验证三个说法： ① 先化简三个数：，，， ∴， 又，三个数中最小的数是， ∴，故①正确； ② ，说明是三个数中的最小值，因此其余两个数都不小于， 可得， 解第一个不等式得，解第二个不等式得， ∴的取值范围是，故②正确； ③ 先计算平均数：， 等式为， 分情况讨论： 若即，此时， 则， 解得，满足，是有效解； 若即，此时， 则， 解得，满足，是有效解； ∴的值为或，故③正确， 综上，三个说法都正确，正确个数为． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 14．（24-25九年级下·福建泉州·阶段检测）阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似地，的算术平方根是___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．理解题目中的计算步骤，根据计算步骤进行求解即可． 【详解】解：， 故的算术平方根是． 故答案为：． 15．（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．    （1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为___________． （2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为___________． 【答案】 4 或 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算： （1）根据数据上两点距离计算公式分别求出拉动前后、的长即可得到答案； （2）分伸长和缩短两种情况，仿照（1）讨论求解即可． 【详解】解：（1）没有拉动时，， 拉动后， ∵橡皮筋均匀伸缩， ∴拉动后， ∴拉动后点C表示的数为， 故答案为：4； （2）当伸长后，点C与“2”所在位置相距个单位长度时，则伸长后点C表示的数为， ∴伸长后， ∴伸长后， ∴伸长后点B表示的数为； 同理当缩短后，点C与“2”所在位置相距个单位长度时，点B表示的数为； 综上所述，点B表示的数为或． 故答案为：或． 16．（2026·河南平顶山·三模）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26七年级下·新疆克孜勒苏·期中）求下列各式中的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的应用，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根定义． （1）先移项，然后根据平方根定义，求出x的值即可； （2）根据立方根定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 开平方得：；·····················3分 （2）解：， 开立方得：， 移项，合并同类项得：．·····················7分 18．（8分）（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）已知的立方根为，的算术平方根为． (1)则______，______； (2)求的平方根； (3)求的立方根． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． （1）根据立方根的定义求出的值，根据算术平方根的定义求出的值即可； （2）把（1）中、的值代入计算，再根据平方根的定义计算即可； （3）把（1）中、的值代入计算，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵的立方根为， ∴， 解得， ∵的算术平方根为， ∴， ∴， 解得， 故答案为：，；·····················2分 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是；·····················5分 （3）解：由（1）得，， ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根是．·····················8分 19．（8分）（24-25七年级下·山东临沂·阶段检测）如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) 不能，理由如下： 大正方形的边长为：， ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，， ∴， ， ∵， ， ∴长方形的长为， ，， ∵， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 【分析】本题考查算术平方根的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）根据剪出的大长方形的面积为，列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：；····················3分 （2）不能，理由如下： 大正方形的边长为：， ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，， ∴， ， ∵， ， ∴长方形的长为， ，， ∵， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形．····················8分 20．（8分）（24-25七年级下·四川德阳·阶段检测）（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2025 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负数性质解答即可； （2）根据算术平方根和绝对值的非负数性质得出，再化简求值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及算术平方根和绝对值的非负数性质，掌握实数的非负数性质是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ，， 解得，····················4分 （2）有意义， ， ， ， ， ， ， ， ····················8分 21．（9分）（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为．····················2分 （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④．····················4分 （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故．····················9分 22．（9分）（25-26七年级上·山东东营·期中）探索题 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写的结果为_________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式分母有理化法则即可解答； （2）根据二次根式分母有理化法则即可解答． 【详解】（1）解：；····················4分 （2）解： ．····················9分 23．（11分）（25-26七年级下·山东德州·期末）我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． (1)化简：_____． (2)已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． (3)已知为实数，且满足，求． (4)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】（1）将拆分为，代入完成化简． （2）根据纯虚数定义，联立实部等于0、虚部不等于0的不等式组，求解实数的值． （3）复数等于0时实部、虚部均为0，据此列出二元一次方程组，解方程组得到的值． （4）先计算前四项的和寻找循环周期，利用周期规律求出2026项包含的完整周期个数与剩余项，再计算最终结果． 【详解】（1）解：；····················2分 （2）解：∵复数（是实数）是纯虚数， ∴，， ∴或，且， ；····················4分 （3）解：∵为实数，且满足， ∴， 解得．····················7分 （4）解：， ， ， ， ， ， …， 每4个一组循环， ， ．····················11分 24．（12分）（2026·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如，．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）；（2） ① ； （3）；（4） ② ； （5）；（6）． 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数，满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为，， 所以，即． 又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为，均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． 拓展延伸 问题1若整数，满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； 问题2若整数，满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1； (3)解决问题2． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又，且， ． 又， ， ， ． 故． 又，均为整数， 为偶数，故不是奇数． (3)当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）先求出，根据，且，得到，由可得，则，求出，即可判断； （3）由（1）知，，根据，得到，进而得到，推出，即可判定． 【详解】（1）解：， ①；····················1分 ， ②；····················2分 ， ， ，即③····················3分 ，即④；····················4分 （2）不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又，且， ． 又， ， ， ． 故． 又，均为整数， 为偶数，故不是奇数．····················8分 （3）由（1）知，， ，其中为整数，且， ， ， ， ， 当为偶数，且时，为奇数， 为偶数， 为奇数，即为奇数； 当为奇数，且时，为偶数， 为偶数， 为偶数，即为偶数， 综上，当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数．················12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $