6.2 用频率估计概率课后同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“用频率估计概率”同步练，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖频率计算、概率估计及实际应用，强化数据意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|频率计算、概率概念辨析|单选1（频率定义）、填空8（频数÷总数），直接对应课时基础考点| |能力提升|频率稳定性、概率估计应用|单选3（大量试验频率估计概率）、解答14（列表法求概率），衔接概念与方法| |综合应用|几何概率、跨情境问题解决|解答16（古梨树公母梨比例估计）、单选7（菱形中阴影面积估算），体现数学建模与实际应用|

6.2 用频率估计概率 课后同步练习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 2．一个不透明的布袋中共装有20个黑、白两种颜色的纽扣，它们除颜色外其他都相同，将布袋中的纽扣搅匀后，随机摸出一个纽扣并记录颜色，记为一次试验，欢欢通过多次摸纽扣试验后发现，摸到黑色纽扣的频率稳定在0.3，估计布袋中白色纽扣的个数为（   ） A．6个 B．10个 C．12个 D．14个 3．某生物小组为验证玉米能否产生叶绿素这一性状中基因的显隐性问题，将两株绿色玉米杂交后，收集种子种植出幼苗．调查统计后得到以下数据： 调查玉米幼苗数 100 200 500 1000 1500 2000 … 绿色幼苗个数 86 164 395 762 1128 1502 … 绿色幼苗频率 0.860 0.820 0.790 0.762 0.752 0.751 … 根据上表的数据，估计“两株绿色玉米杂交后的种子能产生绿色幼苗”的概率大约为（   ） A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85 4．我国的射击运动历史悠久，是一项传统优势竞技项目．某射击运动员在同一条件下射中环的频率如图所示，估计该运动员射击一次射中环的概率是（     ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（　　） A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．对“神舟十八号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．在“校园好声音”比赛中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响 6．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果，下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（    ）    A．① B．② C．①② D．①③ 7．如图1，在边长为且有内角为的菱形内部有一圆（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，利用计算机进行模拟实验，通过计算机在菱形区域随机投放一个点，并计算该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．由此估计阴影部分面积（各图形的边界均忽略不计）约为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．“鹅要过河，河要渡鹅，不知是鹅渡河，还是河渡鹅”，在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为______． 9．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他都相同的小球，其中有6个红球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3，可以估计___________． 10．当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为__________. 11．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果． 可以估计“钉尖向上”的概率是______．（结果精确到0.01）． 12．为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池；一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是____________鱼池（填甲或乙） 三、解答题 13．在一个不透明的盒子里装5个白球和15个黑球，这些球除颜色外都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中搅匀． (1)小明做摸球试验20次，其中摸出白球6次，则这20次摸球试验中，摸出白球的频率是_____； (2)求摸到黑球的概率； (3)在盒子中球的总个数不变的情况下，请通过改变盒子中黑球和白球的数量，使摸到白球的概率为． 14．在一个不透明的口袋里装有4个只有颜色不同的黑、白两种颜色的球，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据∶ 摸球的次数 摸到白球的次数m 摸到白球的频率 (1)估计口袋中黑球有_____个，白球有____个； (2)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌 均匀，再任意摸出一个球，请用列表或画树状图的方法 求两次摸到的球的颜色正好相同的概率． 15．某批足球的质量检测结果如下： 抽取足球数 100 200 400 600 800 1000 合格的数量 93 192 384 564 759 950 合格的频率 0.93 0.96 0.96 0.94    (1)填写表中的空格（结果保留0.01）． (2)画出合格的频率的折线统计图． (3)从这批足球中任意抽取一个足球是合格品的概率估计值是多少？并说明理由． (4)若某工厂计划生产10000个足球，试估计生产出的足球中合格的数量有________个． 16．实践情景：今天，由郑州市公园广场事务中心世纪公园主办的世纪公园首届梨花展正式拉开帷幕．本次梨花展以古梨树为底蕴、以园艺为特色，为市民游客献上一场集赏花观景、艺术展示、生态科普、文化体验于一体的春日盛宴． 知识呈现：“公梨”和“母梨”并非生物学上的性别区分，而是民间根据梨底部萼片（花托）是否脱落形成的外观差异进行的俗称． 母梨 公梨 看梨脐（底部凹陷） 萼片完全脱落，底部形成深且光滑的凹陷，周围平整．通常果形圆润端正，果皮细腻． 萼片宿存（未脱落），底部呈凸起状或凹陷极浅，周围不平滑，常带有花瓣状的硬梗． 口感与品质对比 果肉细腻多汁，石细胞（颗粒感）少，甜度较高，果核相对较小，口感更佳，市场接受度高． 果肉相对粗糙、偏硬，石细胞较多，吃起来可能有“渣”感，甜度和风味通常略逊于母梨，果核较大． 实践背景：为了解古梨树结出“公梨”和“母梨”的比例，植物社团的成员打算随机收集一些古梨树的果实进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集一棵古梨树的果实，区分出“公梨”和“母梨”的个数，最后统计各组数据． 数据记录： 选择一棵古梨树 一组 二组 三组 四组 五组 “公梨”的个数 39 1 71 63 86 “母梨”的个数 61 9 101 93 129 结出“公梨”的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_________，_________； (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一棵古梨树结出“公梨”的概率是____（结果精确到0.1）． (3)据统计，世纪公园共有230棵古梨树，今年平均每棵树结出100个梨，请你估计该公园今年结出“母梨”的个数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D B C A B C 1．【答案】C 【知识点】求某事件的频率 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 2．【答案】D 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据频率估计概率，摸到黑色纽扣的频率稳定在0.3，即黑色纽扣的概率约为0.3，从而计算白色纽扣个数. 【详解】解：∵摸到黑色纽扣的频率稳定在0.3， ∴摸到黑色纽扣的概率约为0.3， ∵总纽扣数为20个， ∴黑色纽扣个数约为个， ∴白色纽扣个数约为个； 故选D. 3．【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率，当试验次数较大时，频率趋于稳定，接近概率. 从表格数据看，绿色幼苗频率随调查数增加而稳定在0.75附近，即可求解． 【详解】解：∵调查玉米幼苗数达2000时，绿色幼苗频率为0.751，且1500株时频率为0.752，均接近0.75， ∴估计概率约为， 故选：B． 4．【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.88，估计这名运动员射击一次时“射中环”的概率是0.88． 5．【答案】A 【知识点】判断全面调查与抽样调查、求一组数据的平均数、事件的分类、由频率估计概率 【分析】此题考查了事件的分类、调查方式、频率估计概率、平均数等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A．“清明时节雨纷纷”是随机事件，故选项错误，符合题意； B．对“神舟十八号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式，故选项正确，不符合题意； C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率，故选项正确，不符合题意； D．在“校园好声音”比赛中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响，故选项正确，不符合题意． 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】由频率估计概率 【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可． 【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，实验次数过少，不能得到“正面向上”的概率是0.47，故错误； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 7．【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、几何概率、由频率估计概率 【分析】先利用菱形性质及角求出菱形面积，再根据图2得出点落在圆内的频率，最后利用几何概率公式估算阴影部分面积． 【详解】解：如图， 过点B作于点E， ∴， ∵菱形边长为，且有一个内角为， ∴，， ∴， ∴菱形的面积， 由图2可知，随着实验次数增加，点落在圆中的频率稳定在左右， ∴阴影部分面积约为． 8．【答案】 【知识点】求某事件的频率 【分析】根据频率＝频数÷总次数进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴在这句含有个汉字的绕口令中“鹅”出现的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键． 9．【答案】20 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，关键在于理解频率与概率的关系，并通过已知条件建立方程求解未知数．本题通过频率估计概率，核心是将频率等同于概率，代入比例关系求解总球数．最终答案需为整数，计算时需注意单位一致性． 【详解】解：根据频率稳定性的原理，红球出现的概率近似为0.3，   红球的概率计算公式为红球数量除以总球数，即，    解得：．   故答案为：20． 10．【答案】 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】先求出点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，再用这个结果乘以正方形的面积即得答案. 【详解】解：根据题意：点落在区域内白色部分的频率稳定在左右， ∴可以估计这个区域内白色部分的总面积约为； 故答案为：. 【点睛】本题考查了频率估计概率的实际应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题关键. 11．【答案】 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了用频率估计概率．当试验次数足够大，频率趋于稳定，此时可以频率来表示概率．用频率估计概率作答即可． 【详解】解：由题意知，估计“钉尖向上”的概率是， 故答案为：． 12．【答案】甲 【知识点】用频率估计概率的综合应用、由样本所占百分比估计总体的数量、由频率估计概率 【分析】先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数，比较两个鱼池中的总数即可得到结论． 【详解】解：设甲鱼池鱼的总数为x条，则 鱼的概率近似，解得x＝2000； 设乙鱼池鱼的总数为y条，则 鱼的概率近似，解得y＝1000； ， 可以初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查了频率＝所求情况数与总情况数之比，关键是根据有记号的鱼的频率得到相应的等量关系． 13．【答案】(1) (2) (3)往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为 【知识点】求某事件的频率、已知概率求数量、根据概率公式计算概率 【分析】此题考查概率公式，解答的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）利用频率计算公式直接求出答案； （2）利用概率计算公式直接求出答案； （3）通过计算可得盒子中白球的数量变为8，由此得出往盒子中放入3个白球，取出3个黑球即可． 【详解】（1）解：试验20次，摸出白球6次，则摸出白球的频率， 故答案为：． （2）解：袋子中有黑球15个，总球数为个， 则摸到黑球的概率为． 答：摸到黑球的概率为． （3）解：盒子中白球的数量变为（个）， （个）． 答：往盒子中放入3个白球，取出3个黑球，使摸到白球的概率为． 14．【答案】(1)1，3 (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，根据概率乘以总数即可求得白球个数，用球的总数减去白球个数即求得黑球个数； （2）根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同的事件数，利用概率公式计算即可解题． 【详解】（1）解：随着n的增大，摸到白球的频率逐渐接近，则摸到白球的概率可看作，而小球总数为4， ∴口袋中白球的个数：个， 所以口袋中黑球的个数：个． 故答案为：1，3； （2）解：画树状图，得： 共有种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有种情况， 两次摸到的球的颜色正好相同的概率为． 15．【答案】(1) 完成表格如下： 抽取足球数n 100 200 400 600 800 1000 合格的频数m 93 192 384 564 759 950 合格的频率 0.93 0.96 0.96 0.94 0.95 0.95 (2) 如图所示：    (3)0.95；理由： 从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95， 因为从折线统计图中可知，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定到常数0.95附近， 所以从这批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值0.95． (4)9500 【知识点】根据数据描述求频率、用频率估计概率的综合应用、已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】（1）根据频率频数总数计算可得； （2）由表格中数据在坐标系内用点描出来，再用线段依次相连即可得； （3）根据频率估计概率，频率都在0.95左右波动，所以任意抽取的一只足球是合格品的概率估计值是0.95； （4）根据概率进行估算即可． 【详解】（1）解：， ， （2）略 （3）略 （4）解：（个）， 答：估计生产出的足球中合格的数量有9500个． 故答案为：9500． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．也考查了频率分布折线图． 16．【答案】(1)， (2)二；该组试验次数过少，不符合用频率估计概率对大量重复试验的要求； (3)个 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率、由样本所在的频率区间估计总体的数量 【分析】（1）根据频率所求情况数总情况数计算a和b的值； （2）依据用频率估计概率需要大量重复试验的前提，判断不适合的小组，再计算整体频率得到公梨概率的估计值；（3）用总梨数乘以母梨的估计概率，得到最终估计结果． 【详解】（1）解：二组公梨数为，母梨数为，总个数为， 因此， 五组公梨数为，母梨数为，总个数为， 因此； （2）解：用频率估计概率需要进行大量重复试验，二组仅收集了个梨，试验次数太少，因此二组的数据不适合， 所有小组收集的总公梨数为， 总梨数为 ， 公梨的频率约为， 因此估计一棵古梨树结出“公梨”的概率为； （3）解：世纪公园总产梨数为（个）， 估计结出母梨的概率为， 因此估计母梨个数为（个）， 答：估计该公园今年结出“母梨”的个数为个． 学科网（北京）股份有限公司 $