6.2 用频率估计概率 练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 以“频率估计概率”为核心，通过基础概念辨析、数据规律分析到实际问题解决的三层设计，构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，培养数据意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|频率计算与概念辨析|单选1（频率定义）、填空8（频率和为1），夯实抽象能力| |能力提升|频率稳定性与概率估计|单选3（大量重复试验频率稳定）、填空9（标记重捕法），发展推理意识| |综合应用|实际问题中的概率应用|解答题16（古梨树公母梨比例估计），结合生活情境培养应用意识|

6.2 用频率估计概率 练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 2．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将袋中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回袋中．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，则袋中红球约有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 3．区林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数 84 279 505 892 6384 13560 成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.892 0.912 0.904 根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率（精确到0.01）为（   ） A．0.93 B．0.91 C．0.90 D．0.89 4．某林业部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统计图，由此可估计其中一棵树苗移植成活的概率为（     ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（　　） A．“清明时节雨纷纷”是必然事件 B．对“神舟十八号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式 C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率 D．在“校园好声音”比赛中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响 6．下图显示了用计算器模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面有三个推断 ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620； 其中合理的是（    ） A．① B．② C．①② D．②③ 7．内蒙古赤峰市出土的红山文化C形碧玉龙，被誉为“中华第一龙”，现藏于中国国家博物馆．如图，将玉龙投影到面积为的长方形纸上，为估计投影面积，在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右，据此估计玉龙投影的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．一组数据分成四组后前三组的频率分别是，则第四组频率为_______ 9．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间后，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有3条，则鱼塘中鱼的条数估计有_____条． 10．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 11．当前，二维码已广泛应用于民众的日常生活，成为大家生产生活的重要工具．如图，小敏同学将一个二维码打印成的图案后，为了估计这个二维码图案中黑色部分的面积，随意向其投掷一枚飞镖，经过大量试验，发现飞镖落在黑色部分的频率稳定在左右，据此估计这个二维码图案中黑色部分的面积为_________． 12．某果园猕猴桃喜获丰收．如图①，矩形种植区域的长为50m，宽为30m，阴影部分种植的是“翠香猕猴桃”，其他则为普通猕猴桃．小明为了知道“翠香猕猴桃”的种植面积，在矩形种植区域内部随机采摘进行检测，经过多次重复的抽取检测，“翠香猕猴桃”出现的频率记录如图②所示．依此估计“翠香猕猴桃”的种植面积约为________． 三、解答题 13．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球共3个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次． （1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率； （2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是红球的概率． 14．某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，转盘上分别标有“书画作品”和“手工作品”，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 238 a 604 落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 (1)上述表格中，________，________． (2)当n很大时，频率将会接近________．假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是________．（结果精确到0.1） (3)若要使获得“手工作品”的可能性不小于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？ 15．一只纸杯由于上下大小不一，将它从一定高度下掷时，落地反弹后可能杯口朝上，也可能杯口朝下，还可能横卧．为了估计出纸杯横卧的概率，同学们做了掷杯试验，数据如表所示： 次数 20 40 60 80 100 120 140 160 纸杯横卧 14 38 48 52 66 77 88 相应频率 0.7 0.45 0.63 0.60 0.52 0.55 0.55 (1)计算：__________，__________； (2)在图中画出纸杯横卧的频率分布折线图； (3)根据上表的数据，请你估计在相同条件下掷一次该纸杯，纸杯横卧的概率是多少？（结果精确到0.01） 16．实践情景：今天，由郑州市公园广场事务中心世纪公园主办的世纪公园首届梨花展正式拉开帷幕．本次梨花展以古梨树为底蕴、以园艺为特色，为市民游客献上一场集赏花观景、艺术展示、生态科普、文化体验于一体的春日盛宴． 知识呈现：“公梨”和“母梨”并非生物学上的性别区分，而是民间根据梨底部萼片（花托）是否脱落形成的外观差异进行的俗称． 母梨 公梨 看梨脐（底部凹陷） 萼片完全脱落，底部形成深且光滑的凹陷，周围平整．通常果形圆润端正，果皮细腻． 萼片宿存（未脱落），底部呈凸起状或凹陷极浅，周围不平滑，常带有花瓣状的硬梗． 口感与品质对比 果肉细腻多汁，石细胞（颗粒感）少，甜度较高，果核相对较小，口感更佳，市场接受度高． 果肉相对粗糙、偏硬，石细胞较多，吃起来可能有“渣”感，甜度和风味通常略逊于母梨，果核较大． 实践背景：为了解古梨树结出“公梨”和“母梨”的比例，植物社团的成员打算随机收集一些古梨树的果实进行试验研究． 试验设计：由五个小组的成员分别收集一棵古梨树的果实，区分出“公梨”和“母梨”的个数，最后统计各组数据． 数据记录： 选择一棵古梨树 一组 二组 三组 四组 五组 “公梨”的个数 39 1 71 63 86 “母梨”的个数 61 9 101 93 129 结出“公梨”的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_________，_________； (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一棵古梨树结出“公梨”的概率是____（结果精确到0.1）． (3)据统计，世纪公园共有230棵古梨树，今年平均每棵树结出100个梨，请你估计该公园今年结出“母梨”的个数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C C A B D 1．【答案】C 【知识点】求某事件的频率 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 2．【答案】B 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查频率与概率． 在大量重复试验中，随机事件的频率会稳定在概率附近，可据此结合概率公式列方程求解红球个数． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验，摸到红球的频率稳定于， ∴可估计摸到红球的概率为． 设袋中红球有个， ∵概率公式为， ∴， 解得． 故袋中红球约有6个． 3．【答案】C 【知识点】由频率估计概率 【分析】根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率稳定于概率. 由表可知，随着移植棵数增加，成活频率在0.904附近稳定，故估计概率为0.90（精确到0.01）． 【详解】解：∵移植棵数为15000时，成活频率为0.904， ∴估计成活概率为0.90（精确到0.01）， 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】折线统计图、由频率估计概率 【分析】用频率估计概率时，当试验次数足够大，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率，据此解答即可． 【详解】解：观察统计图，随着移植数量增加，成活频率逐渐稳定在附近，因此可以估计树苗移植成活的概率为． 5．【答案】A 【知识点】判断全面调查与抽样调查、求一组数据的平均数、事件的分类、由频率估计概率 【分析】此题考查了事件的分类、调查方式、频率估计概率、平均数等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A．“清明时节雨纷纷”是随机事件，故选项错误，符合题意； B．对“神舟十八号”载人飞船发射前的零部件的检查，采用全面调查的方式，故选项正确，不符合题意； C．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率一般会越来越接近概率，故选项正确，不符合题意； D．在“校园好声音”比赛中，通常采用去掉一个最高分和最低分，然后计算平均分的办法，是因为平均数易受极端数据的影响，故选项正确，不符合题意． 故选：A． 6．【答案】B 【知识点】根据数据描述求频率、概率的意义理解、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键．根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误． 故选：B． 7．【答案】D 【知识点】几何概率、由频率估计概率 【分析】大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得点落在投影的概率，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在投影的频率稳定在左右， ∴点落在投影的概率约为， ∴估计玉龙投影的面积为． 8．【答案】/ 【知识点】求某事件的频率 【分析】本题考查了随机事件的频率和为1，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，第四组频率为， 故答案为： ． 9．【答案】2000 【知识点】由频率估计概率 【分析】先打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有3条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有30条鱼做上标记，即可得出答案． 【详解】 解：打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有3条， 有标记的鱼占， 共有30条鱼做上标记， 鱼塘中估计有（条． 故答案为：2000． 【点睛】此题考查了用样本估计总体，解题的关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 10．【答案】12 【知识点】用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个）， 故答案为：12． 11．【答案】 【知识点】已知概率求数量、由频率估计概率 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值；根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，得到飞镖落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现飞镖落在黑色部分的频率稳定在左右， ∴飞镖落在黑色部分的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∵二维码打印在面积为的正方形纸片上， ∴黑色阴影的面积为：， 故答案为：． 12．【答案】600 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题考查了频率估计概率和矩形面积的知识点，解题关键是理解频率估计概率的思想，利用频率稳定值来估计概率，进而求解相关面积． 先根据矩形面积公式求出种植区域的总面积，再利用频率估计概率的思想，由频率稳定值得到翠香猕猴桃种植面积的频率，进而求出其种植面积． 【详解】解：矩形种植区域的总面积： ． 观察图②可知，随着抽取次数的增加，“翠香猕猴桃”出现的频率稳定在左右，根据频率估计概率的思想，可认为“翠香猕猴桃”种植面积的频率为． ∴“翠香猕猴桃”的种植面积为： ． 故答案为：． 13．【答案】（1）；（2） 【知识点】求某事件的频率、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）根据频率的定义：频数与总数的比为频率，进行解答即可； （2）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是红球的情况，理由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球， 则10次中摸出红球的频率＝； （2）画树状图如下： ∵共有种等可能的结果，两次摸出的球一个是白球，一个是红球的情况有种， ∴两次摸出的球中一个是白球、一个是红球的概率＝． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 14．【答案】(1) ， (2) ， (3) 【知识点】求扇形统计图的圆心角、由频率估计概率 【分析】本题主要考查了频率与概率的计算以及利用频率估计概率的方法． （1）根据频率计算公式：频率 ，可以求得， （2）观察频率在大量重复试验后的稳定值，用该稳定值估计概率；根据表格中的数据可以看出，随着的增大，频率逐渐稳定在左右，进而可得答案； （3）利用概率与扇形圆心角成正比的关系，结合题中不等关系列式求解；由题意可得，获得“书画作品”的概率约是，那么获得“手工作品”的概率约是．要使获得“手工作品”的可能性不小于获得“书画作品”的可能性，则获得“手工作品”的概率至少为，进而列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：. （2）解：由表格中的数据可得，当很大时，频率将会接近， 所以假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是， 故答案为：，. （3）解：由题意可得，获得“书画作品”的概率约是，那么获得“手工作品”的概率约是． 要使获得“手工作品”的可能性不小于获得“书画作品”的可能性， 获得“手工作品”的概率至少为． 表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加 故答案为：. 15．【答案】(1)18，0.55 (2)频率分布折线图如图所示． (3)0.55 【知识点】根据数据填写频数、频率统计表、由频率估计概率、频数分布折线图 【分析】（1）根据表中信息，用频数除以试验次数，得到频率，用次数乘相应频率得到纸杯横卧的次数； （2）将频率作为纵坐标，试验次数作为横坐标，描点连线，可得折线图； （3）由于试验次数较多，可以用频率估计概率； 【详解】（1）解：，． （2）略 （3）解：根据表中数据，试验频率稳定在0.55左右，故估计概率的大小为0.55． 16．【答案】(1)， (2)二；该组试验次数过少，不符合用频率估计概率对大量重复试验的要求； (3)个 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率、由样本所在的频率区间估计总体的数量 【分析】（1）根据频率所求情况数总情况数计算a和b的值； （2）依据用频率估计概率需要大量重复试验的前提，判断不适合的小组，再计算整体频率得到公梨概率的估计值；（3）用总梨数乘以母梨的估计概率，得到最终估计结果． 【详解】（1）解：二组公梨数为，母梨数为，总个数为， 因此， 五组公梨数为，母梨数为，总个数为， 因此； （2）解：用频率估计概率需要进行大量重复试验，二组仅收集了个梨，试验次数太少，因此二组的数据不适合， 所有小组收集的总公梨数为， 总梨数为 ， 公梨的频率约为， 因此估计一棵古梨树结出“公梨”的概率为； （3）解：世纪公园总产梨数为（个）， 估计结出母梨的概率为， 因此估计母梨个数为（个）， 答：估计该公园今年结出“母梨”的个数为个． 学科网（北京）股份有限公司 $