高中数学经典题型全解析：第14讲 平面向量的基本概念与线性运算讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕平面向量高考核心考点，涵盖基本概念、线性运算、基本定理、坐标表示、平行垂直充要条件、应用及数学思想，按“概念-运算-定理-应用”逻辑架构，通过概念辨析、典例精讲、方法提炼、变式训练四个环节，帮助学生构建知识网络，突破向量几何意义与代数运算结合的难点。 资料突出数形结合与转化化归思想，如在向量数乘运算中，通过几何作图与代数运算双解法对比，培养学生数学眼光与思维。设置基础到综合的分层变式题，配合即时评注指导，确保高效突破考点，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供系统支持。

第十四课 平面向量的基本概念与线性运算 Comment by dahai bu: 黄色标记是以前的绿色标记为新整理 18 学科网（北京）股份有限公司 1.平面向量的基本概念 1.1向量和数量的区别与联系 1.2零向量与相反向量及其联系 2.平面向量的线性运算 2.1向量加减法运算及其几何意义 2.2向量数乘运算的形数解析 2.3向量运算的几何意义 3.平面向量的基本定理和坐标表示 3.1平面向量的基本定理 3.2构造基底解题 3.3用坐标法解向量问题 3.4向量的坐标运算 3.5向量的斜坐标及其运算 4.向量平行与垂直的充要条件 4.1向量平行的充要条件 4.2向量三点共线定理的应用 4.3向量垂直的充要条件 5.平面向量的应用 5.1判断三角形的形状 5.2向量在平面几何中的应用 5.3向量在解析几何中的应用 5.4向量在三角函数中的应用 5.5用向量法解决简单的物理问题 6.向量问题中的数学思想方法 6.1数形结合思想 6.2转化与化归思想 7.平面向量与三角形四心问题 7.1三角形的垂心 7.2三角形的外心 7.3三角形的内心 7.4三角形的重心 7.5类型的面积比 1.平面向量的基本概念 1.1向量和数量的区别与联系 【典例】下列命题正确的是( ) A.若向量同向，且，则； B .在三角形ABC中， C．不等式|||－|||≤|＋|≤||＋||中两个等号不可能同时成立; D．或 【解析】因为向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，所以命题A是假命题； 由于当，中至少有一个是零向量时，不等式|||－|||≤|＋|≤||＋||中两个等号同时成立， 所以命题C是假命题； 因为 或或，所以命题D是假命题. 故选B. 【评注】向量有方向， 两个向量之间没有大小之分，但向量的模能比大小．实数中的有关概念和运算，不一定适合向量，例如向量不能比较大小等. 但向量的模是向量长度的数量值，是一个实数，模是有大小的. 【变式1】下列结论中，不正确的是( ) A．向量，共线与向量//意义是相同的 B．若=，则// C．若向量满足，则 D．若向量=，则向量= 【变式2】有下列说法： ①若向量与向量不平行，则与方向一定不相同； ②若向量，满足||>||，且与同向，则>； ③若||＝||，则，的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中，正确说法的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 1.2零向量与相反向量及其联系 【典例】以下命题正确的是（ ） A.对任意的两个向量，，与是相反向量； B.若与平行，则； C.若与是互为相反的向量，则+=0； D.若与是互为相反的向量，则。 【解析】对于B，，结论错误； 对于C，+=，结论错误； 对于D，相反向量是，结论错误。 故选A. 【评注】长度为零的向量叫零向量，其方向是任意的，规定：零向量与任一向量平行. 注意零向量书写时一定要加箭头. 长度相等且方向相反的两个向量互为相反向量，互为相反向量的两个向量的和是零向量. 【变式1】以下说法错误的是( ) A．零向量与任一非零向量平行 B．零向量与单位向量的模不相等 C．平行向量方向相同 D．平行向量一定是共线向量 【变式2】当向量与任一向量都平行时，向量一定是________． 【变式3】以下命题正确的是（ ） A． B.若，且，则或 C． D．若，则或 【变式4】已知下列各式：①；②；③；④，其中结果为零向量的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式5】设为单位向量，下列命题中：①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则=. 假命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2.向量的线性运算 2.1向量的加减运算及其几何意义 【典例】若非零不共线向量满足，则（ ） A． B． C． D． 【解析】对于非零不共线向量，有故选C. 【评注】向量加法利用“平行四边形法则”或 “三角形法则”：设，，那么向量叫做与的和； 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”． 向量的减法：用“三角形法则”：设； 简单地说：两个向量相加，首尾相连，始指向终；两个向量相减 ，终点相连，指向被减. 【变式1】设、是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D．若存在实数，使得，则 【变式2】设O是直线AB外一点，，，点…是线段AB的n (n≥2)等分点，则 ．（用表示） 2.2向量数乘运算的形数解析 【典例1】已知向量满足：对任意，恒有. 则（ ） A． B． C． D． ( A B D F t ) 【解析】（法1）如图，作，，， 则由三角形法则，得， 所以就是的长. 对任意，恒有，即是的最小值. 因为， Comment by dahai bu: 删除所以 所以，故. 选C. （法2）将平方得,对任意，恒有， 所以，即， 所以，，得，故选C. 【评注】解法1是从向量几何意义入手，向量的数乘运算就是有向线段在正反方向上的伸缩，结合向量加减法运算的几何意义，可以确定值，于是得解. 解法2从向量模的运算入手，建立了数量的二次不等式，从代数的角度解决问题. 【变式1】已知向量和满足条件：且.若对于任意实数，恒有，则在，，，这四个向量中，一定具有垂直关系的两个向量是（ ） (A) 与 (B) 与 (C) 与 (D) 与 【变式2】已知与，要使最小，则实数的值是 . 【典例2】设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（ ） A.若确定，则唯一确定 B.若确定，则唯一确定 C.若确定，则唯一确定 D.若确定，则唯一确定 【解析】（法1）如图，设，，过点作的平行线， 设，则点在上，即，显然当时，最小. 此时，（图a），或者（图b），即. 所以若确定，则唯一确定； 若确定，则可能有两解. 故选B. ( 图 a 图 b ) （法2）|＋t|≥1，则2t2＋2||||tcos θ＋2的最小值为1，这是关于t的二次函数， 故最小值为，得到422sin2θ＝42，故||sin θ＝1. 若||确定，则存在两个θ满足条件，且两个θ互补； 若θ确定，则||唯一确定． 故选B. 【评注】本例，解法1利用数乘和加法运算的几何意义可构造图和图，得到的几何解释. 解法2利用了向量模的运算性质. 【变式1】已知是向量的夹角，且对任意的，的最小值为1，则 . 【变式2】称为两个向量间的“距离”.若向量满足： ①1； ②；③对任意的，恒有，则（ ） A． B． C． D． 2.3向量运算的几何意义 【典例】已知、为平面向量，若+与的夹角为，+与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【解析】设，以OA，OB为邻边作平行四边形，则. 由于与的夹角为，与的夹角为, 所以， 在中，， 选D. 【评注】平面向量的加法可以用三角形法则或平行四边形法则，向量的几何意义可以将问题转化为平面几何问题. 【变式1】设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝________. 【变式2】若向量＝(1，－3)，|| ＝||，，则 || ＝________. 3.平面向量的基本定理和坐标表示 3.1平面向量的基本定理 【典例】如果是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A．与 B．与 C．与 D．与 【解析】选项A中，假设，则无解； 选项B中，假设，则无解； 选项C中，假设，则无解； 选项D中，，解得所以两向量是共线向量．故选D. 【评注】不共线的向量可以作为平面内所有向量一组基底，通常取与直角坐标系的轴同向的两个单位向量作为基底，注意选作基底的向量不能是零向量. 【变式1】下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ） A. B. C. D. 【变式2】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ） A. B. C. D. 【变式3】设是平面内的一组基底，且则＋＝________＋________. 3.2 构造基底解题 【典例】如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，．若，则的值为 ． ( A O B C ) 【解析】如图 ，过点C分别作OA、OB的平行线交OB、OA延长线于点M、N， ( A B C M N O ) 设，. 又，则， ，，则＝6. 【评注】求解有关平面向量问题时，若能灵活的选取一组基底，则往往有利于问题的简捷获解。其理论依据为：适当选择基底利用平面向量的基本定理为核心解题，将其转化为关于基底的代数问题，其实这种方法也是非垂直状态下坐标的意识。 【变式1】如图，在矩形ABCD中，若＝5， ＝3，则＝( ) A.(5＋3) B. (5－3) C. (3－5) D. (5－3) 【变式2】在中，||＝||，延长CB到D，使⊥，若＝＋μ，则－μ的值是 【变式3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设，，试用为基底表示向量，，. 3.3 用坐标法解向量问题 【典例】设为单位向量.且的夹角为，若，求和． 【解析】（法1）以为单位向量建立平面直角坐标系，则， 所以＝1+9=10；=． （法2）； 因为，， 所以=． 【评注】在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴正方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示．已知向量的起点与终点坐标，则向量的坐标为终点坐标减去起点坐标，特别的向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同． Comment by dahai bu: 完善 【变式1】已知点，向量，则向量 ． A． B． C． D． 【变式2】已知，则把向量按向量平移后得到的向量是___ 【变式3】设，是x轴、y轴正方向上单位向量，且，，求四边形ABCD面积． 3.4 向量的坐标运算 【典例】已知＝(－5，6)，＝(－3，2)，＝(x，y)，若，则等于( ) A．(－2，6) B．(－4，0) C．(7，6) D．(－2，0) 【解析】，得 所以，即＝(－2，0). 【评注】两个向量的和与差的横纵坐标等于两个向量横纵坐标的和与差；数乘向量的积的横纵坐标等于数乘以向量横纵坐标的积． 【变式1】已知平面向量＝(1，1)，＝(1，－1)，则向量 ( ) A．(－2，－1) B．(－2，1) C．(－1，0) D．(－1，2) 【变式2】若向量，则( ) A． B． C． D． 【变式3】已知点M(5，－6)和向量＝(1，－2)，若＝－3，则点N的坐标为( ) A．(2，0) B．(－3，6) C．(6，2) D．(－2，0) 3.5 向量的斜坐标及其运算 【典例】在平面斜坐标系中，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：“若其中分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”． （1）已知的斜坐标为，则 ． （2）在此坐标平面内，以为原点，半径为1的圆的方程为 ． 【解析】（1）因为的斜坐标为，， 所以， 则，所以． （2）设圆上动点的斜坐标为，则， 所以，所以，所以， 故所求方程为． 【评注】处理斜坐标问题，主要方法是根据平面向量的基本定理，将斜坐标写成基底向量的线性表达式，转化为常规向量的运算． 【变式1】在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为：“若（其中分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”．已知，的斜坐标分别为，则 ． 【变式2】已知向量，，且向量与向量共线，．求实数的值． Comment by dahai bu: 和斜坐标无关 【变式3】设为平面上夹角为的两个单位向量，O为平面上的一个固定点，P为平面上任意一点，当时，定义（x，y）为点P的斜坐标．现有两个点A，B的斜坐标分别为．则A，B两点的距离为 【变式4】如图 ，分别是射线上的两点，给出下列向量： ①；②；③；④；⑤． 若这些向量均以为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ） A．①② B．②④ C．①③ D．③⑤ ( ) 4.向量平行与垂直的充要条件 4.1向量平行的充要条件 【典例】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________． 【解析】因为与平行， 所以，则 所以． 【评注】若（），则存在实数，使得 ；若，则；若，不共线，且，则． 【变式1】已知向量，且，则 【变式2】已知向量，不共线，＝k＋(k∈R)，＝－，如果 ∥，那么( ) A.k＝1且与同向 B.k＝1且与反向 C.k＝－1且 与同向 D.k＝－1且与反向 【变式3】设，向量，若，则_______. 【变式4】如图，已知，若，求实数t的值. 4.2向量三点共线定理的应用 【典例1*】在中，过中线中点任作一直线分别交于两点，设则的最小值是_________． 【解析】由为中点知， 又， 为中点，故， 三点共线，， ， 当且仅当，即时取等号. 所以，最小值是. 【评注】向量的三点共同线定理：若（为常数），则三点共线的充要条件是．三点共线问题可转化为两个向量共线来解决，但要注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 向量的三点共同线定理也称为直线的向量方程式. 【变式1*】已知等差数列的前项和为，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点），则＝ . 【变式2】在中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，，则＋μ的值为( ) A. B. C. D. 1 【变式3】在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M、N，若则的值为_______. 【变式4】已知，点在直线上（如图所示），且满足，求的 值. 【典例2】 △ABC中，AB＝10，AC＝15，∠BAC＝，点D是边AB的中点，点E在直线AC上，且＝3，直线CD与BE相交于点P，求||的值． 【解析】因为B、E、P三点共线，所以，① 又因为D、C、P三点共线，同理可得，② 由①、②两式对应相等可得，解得， 所以 . 两边平方得 所以. . 【评注】理解“B、E、P三点共线”，就要大胆地引入参数，用共线向量的性质定理来表述它； 此外本题还考查平面向量基本定理，要记着向量在基底下的分解是唯一的. 【变式1】在中，，是上的一点，若，则实数的值为 【变式2】经过重心的直线与分别交于点，，设，，则的值是 ． 【典例3】已知在平面直角坐标系中，为原点，且（其中均为实数），若，则的最小值是 . 【解析】由其中知点三点共线. 故点的轨迹为直线.故的轨迹方程是，则的最小值是点到直线的距离.即. 【评注】“”是“三点共线”的充要条件. 【变式1】设，当（λ，μ∈R），且λ＋μ＝1时，点C在（　　） A．线段AB上 B．直线AB上 C．直线AB上，但除去A点 D．直线AB上，但除去B点 【变式2】已知为外接圆的圆心，.若，且，则的面积等于 . 4.3向量垂直的充要条件 【典例】若向量满足：，，，则＝( ) A．2 B. C．1 D. 【解析】 由得： …… ①， 由得： ……②， ①2-②，得：，即， 故选B． 【评注】若，则；若，则． 【变式1】设向量，且，则 【变式2】设，，．若，则实数的值等于 【变式3】在平面直角坐标系中，已知，，若，则实数的值为 . 【变式4】已知两个单位向量，的夹角为，，若，则_____. 【变式5】设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= . 【变式6】已知向量与的夹角为120°，且，若，且，则实数的值为__________. 【变式7】已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos<m，n>=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为 A.4 B.–4 C. D.– 5.平面向量的应用 5.1 判断三角形的形状 【典例】在中，若，则是（ ） A．等边三角形 B． 锐角三角形 C． 钝角三角形 D． 直角三角形 【解析】由， 得，即，， 得，△ABC是直角三角形， 所以选D. 【评注】运用平面向量判定图形的形状，主要是将“边”的平行、垂直和相等，分别对应转化为“向量”的平行、垂直和模相等. 【变式1】已知O为所在平面内一点，满足，则△ABC一定是（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式2】平面四边形中，则四边形是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【变式3】已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），且满足，则的形状一定为（ ） A．直角三角形；B． 等边三角形；C． 等腰直角三角形；D． 等腰三角形 【变式4】已知分别为中角A，B，C的对边，G为的重心，且=，则为（ ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【变式5】已知非零向量与满足，且 ，则为 ( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【变式6】已知向量与共线，其中A是的内角．若BC＝2，求当的面积S取最大值时，判断的形状． 5.2 向量在平面几何中的应用 【典例】如图，在平面上，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D. 【解析】（法1）根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)， 由得则 又由，得， 则，即 ……①. 又，得，则； 同理由，得，即有……②. 由①②知，所以， 而，所以，故选D. （法2）因为且，则四边形为矩形， 所以，即， 因为， 所以，即， 故选D. 【评注】解法1，由题目的条件得到矩形AB1PB2，于是建立平面直角坐标系；解法2要用到结论：平面内任意一点到矩形两条对角线端点的距离平方和相等，证法见下面变式2. Comment by dahai bu: 添加2 【变式1】在直角中，点是斜边的中点，点为线段的中点，求的值． 【变式2】设点是矩形所在平面上的任意一点，求证：. 【变式3】已知是边长为4的正三角形，D、P是内部两点，且满足，，求的面积． 5.3向量在解析几何中的应用 【典例】已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】（法1）为圆的直径，设，，， 所以 ， 所以的最大值为圆上的动点到点距离的最大值， 从而当时的最大值为. （法2）同上得，所以的最大值为. 【评注】具有向量背景的解析几何问题，通常以向量为工具，通过向量的坐标运算实现转化. 【变式1】已知为坐标原点，动点满足，其中且，则的轨迹方程为 . 【变式2*】设为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3*】过双曲线的左顶点作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C．若，求证：. 【变式4*】对，向量的长度不超过6的概率. 5.4向量在三角函数中的应用 【典例】设向量，则()的值为 . 【解析】 因为的周期皆为，一个周期的和皆为零， 因此(). 【评注】本题考查了向量数量积运算性质、同时还考查了两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性、推理能力与计算能力等. 【变式1*】已知向量＝()，||＝1，且与满足|k＋|＝|－k|(k＞0)． (1)试用k表示·，并求·的最小值； (2)若0≤x≤π，，求·的最大值及相应的x值． 【变式2】已知向量，，且. (1)求及；(2)若f(x)＝－2λ的最小值是－，求λ的值． 5.5用向量法解决简单的物理问题 【典例】如图所示，已知力与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力的作用在动摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力和摩擦力所做的功分别为多少？(g=10 N/kg). 【解析】设木块的位移为，则, 在垂直方向上分力的大小为, Comment by dahai bu: 原为铅垂，有图，改为垂直更好理解 则摩擦力的大小为， 所以,， 所以、所做的功分别是 【评注】力在位移上所做的功，是向量数量积的物理含义，要先求出力、和位移的夹角，然后应用数量积公式求解. 【变式1】河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( ) A．10 m/s B．2m/s C．4 m/s D．12 m/s 【变式2】如图，在细绳O处用水平力缓慢拉起所受重力为的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为，求(1)阐述 、随角θ的变化而变化的情况；(2)当时，θ角的取值范围. Comment by dahai bu: 原文没有，语句读起来别扭 6.向量问题中的数学思想方法 6.1数形结合思想 【典例】已知为的三个内角，向量满足，且，若角取满足条件的最大值，动点使得成等差数列，则的最大值是( ) 【解析】由，得 ，， ，当且仅当时取等号. 所以角的最大值是，设的中点为，设，则，， 于是点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，，椭圆的半短轴， 因为，数形结合知， 当点为椭圆的短轴端点，且与点位于的异侧时，取得最大值， ， 故选A. 【评注】由于向量本身具有代数形式（有序实数对表示）与几何形式（有向线段表示）的双重特点，遇数思形，以形助数的良好思维习惯必将有助于我们解决向量问题. 【变式1】已知为坐标原点，，，，，记、、中的最大值为M，当取遍一切实数时，M的取值范围是 6.2转化与化归思想 【典例】已知，且，求的最小值. 【解析】如图，构造 由得， 由得， 取中点，则有，得， 点在以为直径的圆上，，， 设圆心为，半径，，， 而，故 所以,最小值为. 【评注】通过向量工具，能实现几何（平行、垂直、成角和距离等）问题向代数（函数最值等）问题的转化. 【变式1】在平行四边形ABCD中， AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1， 则AB的长为________． 【变式2】已知平面向量、、满足，且，则的最大值是 . 7.平面向量与三角形四心问题 7.1三角形的垂心 【典例】已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】由，得， 即，所以． 同理可证，， 所以是的垂心．故选D. 【评注】点是的垂心是三条高线的交点． 【变式1】已知为所在平面内一点，满足，则点是的（ ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【变式2】已知O是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 7.2三角形的外心 【典例】已知是所在平面上一点，若，则是的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】若，则， 所以，则是的外心．故选A. 【评注】是的外心是的三边中垂线的交点． 【变式1】已知是所在平面上的一点，若 Comment by dahai bu: 整题乱码 === 0，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2】 是的外心，为钝角， 是边的中点，则=（ ） A．-10 B．36 C．16 D．13 【变式3】若点P为△ABC所在的平面内一点，并且满足，(λ>0)，则点P的轨迹经过△ABC的(填“重心、垂心、内心、外心”中的一个) 【变式4】如图，在中，AB=3，AC=5，若O为的外心，则的值是 ． 【变式5】的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，，则实数=_______ 【变式6】设的外心是O，AB=，AC=，且，求的取值范围． 7.3三角形的内心 【典例】已知的三个内角所对边的长依次为，为该三角形所在平面内的一点，若，则是的（　） Comment by dahai bu: 添加两处，使题干无歧义 A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【解析】(法1) ， 代入得， 整理得， 两边同除以得， 由于在的平分线上，所以平分， 同理平分，平分. 故是的内心. 故选A. （法2）如图，延长交于，，， 代入，得， 因为与共线，所以可设， 上式化为， 由于与共线， 与、不共线， 所以只能有，. 由可知，与的长度之比为. 所以为的平分线. 同理可证的延长线也是角平分线. 故是的内心. 故选A. 【评注】 是的内心点是的三个内角的角平分线的交点. 【变式1】设是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定经过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2】在△ABC中，AB=5， AC=6， cosA=，O是△ABC的内心，若，其中，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A． B． C． D． 【变式3】已知O是△ABC所在平面内一定点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过△ABC的（　　） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【变式4】已知是所在平面上的一点，若（其中是所在平面内任意一点），则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7.4三角形的重心 【典例】已知是所在平面上的一点，若，则点是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【解析】若，则， 以、为邻边作平行四边形OAC1B， 设OC1与AB交于点D，则D为AB的中点， 又，得， 即C、O、D、C1四点共线， 同理AE、BF亦为△ABC的中线， 所以是△ABC的重心．故选C． 【评注】=是的重心在中，是的三条中线的交点． 【变式1】已知是所在平面上的一点，若（其中P为平面上任意一点），则点是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2】已知是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，．则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式3】已知是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【变式4】若是的重心，分别是角的对边，若，求角的度数． 【变式5】已知G点为的重心，且，若，求实数的值． 7.5类型的面积比 【典例】设点在的内部，且有，则的面积与的面积的比为 . 【解析】（法1）如图，作向量，， 得平行四边形,其中2+3=， 所以，即三点共线，，． 设，则， 又．所以．. 综上得． 所以ABC的面积与AOC的面积的比为3. （法2）分别取AC、BC的中点D、E，则DEBC， 因为， 所以，即， 所以O是DE的一个三等分点，所以OD=DE， 所以，所以=3． 【评注】求平面三角形的面积比，常有两种思路：①求出面积后作比例；②寻找同底或等底，或寻找同高或等高，或寻找底、高之比，再转化为高或底之比．本题的条件是向量，因此构造、，构造平行四边形，是解题的切入点，再由图形寻找同底或同高，计算三角形的面积之比．另外，三角形中线、边的中点、边的几分点有助于快速计算面积之比．其它图形的面积往往转化为三角形的面积求解．③结论：O是内一点，满足，则 【变式1】已知的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足，则与 的面积分别为，则=_________. 【变式2】点在内部，且有，则与的面积之比为______. 【变式3】 P是内的一点，，则的面积与的面积之比为 . 【变式4】 设O在内部，且，则的面积与的面积之比是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式5】 已知是内一点，且满足，记、、的面积依次为，则等于（ ） $ 第十四课 平面向量的基本概念与线性运算 1.平面向量的基本概念 1.1向量和数量的区别与联系 【典例】 1. C．【解析】相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C错误. 2.A 【解析】对于②，因为向量不能比较大小，故②错误； 对于③，由于||＝||只能说明，的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误． 1.2零向量与相反向量及其联系 【典例】 1. C【解析】平行向量方向相同也可以相反. 所以选C 2. 零向量【解析】由零向量的规定可知，只有零向量与任一向量都平行． 3. B【解析】A忽视了时，所以A错误；对 C，，所以C错误；对 D，忽视了当时，所以D错误.所以选B. 4. B【解析】∵，， ∴结果为零向量的是①④. 所以选B 5.D【解析】向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题； 若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时，故②③也是假命题． 综上假命题的个数是3. 所以选D 2.向量的线性运算 2.1向量的加减运算及其几何意义 【典例】 1.C【解析】由得，，∵、是非零向量，通过画图得、、的关系（如图所示），即与反向．故选项A，B错，选项C正确； 若存在实数，使得=时，当与同向时，，∴选项也错． 所以选C 2.【解析】 ，， ，，把以上个式子相加得: . 2.2向量数乘运算的形数解析 【典例1】 1.B 【解析】由上题可得，.所以选B 2. 2 【解析】若，则表示差向量的长度，当时最小，也即到直线上点的距离，，即，∴； 【典例2】 1.【解析】由几何意义知， 时， 取最小值１，故当时，；当或π时，不合题意．综上，. 2.B【解析】设，，，则，，作（如图）， 则对任意的，恒有，即与重合时恒成立. 所以选B 2.3向量运算的几何意义 【典例】 1.2【解析】由|＋|＝|－|知⊥， AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝2. 2.2【解析】由于||是以，为邻边的正方形的对角线长，∴||＝||＝2. 3.平面向量的基本定理和坐标表示 3.1平面向量的基本定理 【典例】 1. B【解析】作为基底的应是同一平面内两个不共线的非零向量, 所以选B 2.B【解析】只有成立，其余选项中两向量共线，所以选B 3.，－【解析】根据解得，， 故 3.2 构造基底解题 【典例】 1.A【解析】＝＝(＋)＝(＋)＝(5＋3)．所以选A 2.3【解析】B是DC的中点，＝(＋)，得＝2－，∴＝2，μ＝－1，则－μ＝3. 3.【解析】，， . 3.3 用坐标法解向量问题 【典例】 1.A 【解析】．所以选A 2.【解析】（法1）按向量平移后仍是，故平移后得到的向量仍是＝(3，0)． （法2）按向量平移后得到，. 3.【解析】， 则＋＝，， 四边形为矩形． 又，， ． 3.4 向量的坐标运算 【典例】 1.D 【解析】．所以选D 2.A 【解析】.所以选A 3.A 【解析】＝－3＝－3(1，－2)＝(－3，6)，设N(x，y)， 则＝(x－5，y＋6)＝(－3，6)， ∴即. 所以选A 3.5 向量的斜坐标及其运算 【典例】 1.【解析】 2.【解析】选为基底，则向量与向量的坐标分别为，，∴ ，即． 3. 【解析】，， 4.B【解析】在内（包括边界），任取一点，， 过点作所在直线的平行线，分别交线段于， 则，，∴，且， ∴②④正确. 所以选B 4.向量平行与垂直的充要条件 4.1向量平行的充要条件 【典例】 1.－6【解析】因为，且，所以. 2.D【解析】由∥得＝，即k＋＝(－)， ∴，∴k＝＝－1， ∴向量与共线且反向．所以选D 3.【解析】∵，∴，即有， ∵，∴，得. 4.【解析】∵，∴∠AOB＝，∵ ∠AOP＝， ∴∠BOP＝，若则，即， ∴，在Rt△BOP中， ， ∴实数等于. 4.2向量三点共线定理的应用 【典例1】 1.100【解析】依题意，，. 2.A【解析】由＝＝＋μ，得＝2＋2μ，又M、B、C三点共线， ∴2＋2μ＝1，＋μ＝.所以选A 3.2【解析】由中点公式得，而M、N、O三点共线， ∴，即＝2. 4.【解析】 由得，即，，由于三点共线， ∴，从而解得， 于是，即，， 于是. 【典例2】 1.【解析】由于三点共线，∴存在实数，使得， ∴，从而， 即，于是，解得. 2.【解析】设，则，如图所示， ，， ∵共线，∴存在实数，使得，即 ， 从而，消去得：． 【典例3】 1.B【解析】，即，， ∴点C在直线上.所以选B. 2.【解析】设为中点，则，又， ， ，三点共线， 又为外接圆的圆心， ，又， 故为正三角形.其面积为. 4.3向量垂直的充要条件 【典例】 1.【解析】∵， ∴ 2.【解析】由已知得，∵，则， ∴，解得. 3.5【解析】，，. 4.2【解析】，，且两个单位向量，的夹角为，，. 5.【解析】由得，所以. 6.【解析】，， ，. 7.B【解析】由4│m│=3│n│，可设，又， 所以所以. 所以选B. 5.平面向量在平面几何中的应用 5.1 判断三角形的形状 【典例】 1. B【解析】由已知得，可知以AB与AC为邻边的平行四边形是矩形，∴AB⊥AC，△ABC是直角三角形． 2.B．【解析】由，得，故平面四边形是平行四边形， 又，故， ∴，即对角线互相垂直，四边形是菱形． 所以选B 3. D．【解析】∵， ∴已知条件可改写为，即△ABC的AB边上中线与AB边垂直．则此三角形为等腰三角形．所以选D 4. D【解析】∵ G是△ABC的重心，∴ =， 又=， ∴ =，即=． ∵ ，不共线，∴，即为等边三角形． 所以选C 5.D．【解析】由知角A的平分线垂直边BC，故AB=AC，由知A=，∴△ABC为等边三角形．所以选D. 6.【解析】，，， ∵A是△ABC的内角，∴ 当且仅当AC＝AB时取等号， ∴ ， 当且仅当AC＝AB时取等号，此时，△ABC为等边三角形． 5.2 向量在平面几何中的应用 【典例】 1.【解析】 将直角三角形补形成矩形，得， ∴. 2.【证明】因为，，故①， 而，即②， 得． 3.【解析】取BC的中点E，连接AE，如图所示，根据是边长为4的正三角形得，， 而，则点D是AE的中点， ∴.取， 以AD、AF为边作平行四边形得， 而为直角三角形，且， ∴. 5.3向量在解析几何中的应用 【典例】 1.【解析】设，由得， 解之得，代入得，故. 2.C 【解析】因为为抛物线的焦点，所以，准线，设，，， 则，由，，， 得.所以选C. 3.【证明】渐近线， ，设， 由，得， ， ，得. 4.C【解析】令，则， 其圆心在线段:上，=， 设是线段上的一点，且，则当圆心在线段上时，向量的长度不超过6， ∴所求的概率为.所以选C 5.4向量在三角函数中的应用 【典例】 1.【解析】(1)∵||＝1，||＝1，由|k＋|＝|－k|，得(k＋)2＝3(－k)2， 整理得·＝≥，当且仅当k＝1时，·取最小值. (2)由·＝＋＝sin. ∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴－≤sin≤1. 当x＝时，·取最大值为1. 2.【解析】(1) ＝cos·cos－sin·sin＝cos2x. ＝. ∵，∴cosx≥0，∴＝2cosx. (2)f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2. ∵，∴0≤cosx≤1. ①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾． ②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，即－1－2λ2＝－，解得λ＝. ③当λ＞1时，当且仅当＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，即1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾． 综上所述，λ＝即为所求． 5.5用向量法解决简单的物理问题 【典例】 1.B.【解析】如图所示小船在静水中的速度为：m/s. 所以选B. 2.【解析】（1）由力的平衡原理，知，作向量， 则，∴四边形为平行四边形，如图. 由已知，，即. 由此可知，当从逐渐增大趋向时. 都逐渐增大. （2）当时，即. 6.向量问题中的数学思想方法 6.1数形结合思想 【典例】 1.【解析】数形结合知，当垂直于时，的最小值为，因为，所以，因为且，所以==，所以的最小值是. 2.【解析】以为坐标原点，为轴正方向建立直角坐标系，且不妨设点位于第一象限.数形结合，由，则，设， 则，由条件得. 3【解析】数形结合，的终点在以为圆心，为半径的圆上，当三点共线时，取到最值，,，. 4.【解析】因为点在直线的上方，故不妨设，即， 此时，当取遍一切实数时，点在轴上滑动， 而到点的距离等于到轴距离的点的轨迹是以为焦点，轴为准线的抛物线， 其方程为，它交直线于点，， ，因为，数形结合知，当轴时最小，最小值是. 6.2分类讨论思想 【典例】 1.【解析】由向量，，得， （1） 当时，； （2） 当时，，即，得； （3） 当时，,即，得. 综上所述，实数的值为或或. 2.【证明】（1）若向量、共线，①当向量、共线且方向相同时，则，，所以. ②当向量、共线方向相反时，则，，所以. （2）若向量、不共线，如图所示，设，，作平行四边形，可得，，在中，；在中，.因为，两式相加，可得. 6.3转化与化归思想 【典例】 1.【解析】如图示，在平面上建立直角坐标系，是原点，，的方向分别为轴，轴正方向，，的模为单位长． 设v＝，则v的坐标就是点P的坐标．，.当时，由三角函数定义知cosα＝，sinα＝，从而，. v＝＝，当r＝0时显然也成立．故填v=. 2.【解析】 ∵A，M，D三点共线，∴＝λ1＋(1－λ1)＝λ1b＋(1－λ1)a，① ∵C，M，B三点共线，∴＝λ2＋(1－λ2)＝λ2b＋a，②由①②可得 解得 故＝a＋b. 3.【解析】 (1)由，知A，P，B三点在同一直线上，设直线方程为，， 由，得.∴,. ∵·＝ ∴⊥，∴∠AOB＝90°. (2)由＝＋，知四边形OAMB是平行四边形． 又∠AOB＝90°，∴四边形OAMB是矩形． ∴S＝||||＝ ＝ ＝ ＝∴k＝0时，. 6.4转化与化归思想 【典例】 1.【解析】设||＝x，x＞0，则·＝x. 又·＝(＋)·(－)＝1－x2＋x＝1， 得x＝，即. 2.【解析】∵，设，，，， 所以 ， 所以，其中， ∴当时，取得最大值， 最大值是. 7.平面向量与三角形四心问题 7.1三角形的垂心 【典例】 1.A【解析】= == 0= 0， ∴ ⊥．同理，．故点是的垂心． 所以选A 2. B【解析】， = == 0， ∴ ，∴动点的轨迹通过的垂心． 所以选B. 7.2三角形的外心 【典例】 1.A【解析】= == 0 == 0． ∴是的外心．所以选A. 2.D【解析】（法1）建系如图，设B，C，A，圆的半径为R． 则， ∴． （法2）分别作，分别为垂足，如图 则， ， 而， ∴.所以选D. 3.外心．【解析】设BC的中点为D，则， 即，， ∴ ⊥，∴点P的轨迹经过△ABC的外心． 4.8【解析】如图，取BC中点D，连结OD，则，于是， 5.【解析】如图，作直径，连，，则，，，，， ∵，，故是平行四边形，进而，又， ∴，故，∴． 6.．【解析】∵， ∴，且．代入上式． ∴． 7.3三角形的内心 【典例】 1. B 【解析】为角的角平分线，故的轨迹一定经过的内心．所以选B. 2.B．【解析】以OC，OB为邻边，作平行四边形OCDB， 则Ｐ的轨迹覆盖OCDB，其面积为=BC×r (其中r为△ABC的内切圆半径)． BC＝，易求sinA=， ∴ ，∴r= ∴Ｐ的轨迹所覆盖的面积为7×=. 所以选B. 3.A.【解析】如图，作AD⊥BC，由于， 得=， 即，则P在三角形的角平分线上， ∴动点P的轨迹一定通过△ABC的内心．所以选A. 4.B【解析】的三内角所对边长依次为， =， ∴= =， ，， ∴，∴是的内心． 所以选B. 7.4三角形的重心 【典例】 1.C【解析】， ∴ ，即，故点是的重心． 所以选C 2.C【解析】如图，设BC的中点为D， 则点P在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过的重心． 所以选C 3.A【解析】，， ∴ ，设BC的中点为D，则可知点P在BC的中线AD所在的射线上， ∴动点P的轨迹一定通过△ABC的重心．所以选A. 4.【解析】，，代入得， 整理得. ∵，不共线，∴． 得，，∴. 5.【解析】连接CG延长交AB于D，则D为AB的中点，由题， ， ， ，， ， ， 又. .即. 7.5类型的面积比 【典例】 1.2【解析】， ， 即P是AC上靠近A的一个三等分点，△BCP与△ABP的面积之比为2:1. 2.【解析】如图，作，作平行四边形OEGF， 则 ABGO是平行四边形. ∴ . 3.3：1.【解析】以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，AD交BC于E， 则E是AD的中点，由=，由图知，， 则的面积与的面积之比为3：1. 4.B【解析】以OA、OB为邻边作平行四边形OAEB，则， 则D是AB的中点，由得， ∴O在CD上且是CD的中点，∴， 即△ABC的面积与△AOC的面积之比是4：1. 所以选B. 5.D【解析】作向量，补充平行四边形PDEF如图. 和面积相等，且为面积的三倍； 和以及的面积相等，且为面积的二倍． 因此，== ==.所以选D. 学科网（北京）股份有限公司 $