高中数学经典题型全解析：第15讲 )平面向量数量积讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量数量积与应用核心考点，涵盖几何法、基底法、坐标法求数量积，模、夹角、投影计算及最值问题等高考高频内容，按“基础概念—方法技巧—综合应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、典例精讲、变式训练、方法总结四环节，帮助学生构建解题框架，突破向量与函数、几何结合的难点。 讲义创新采用“一题多解+分层训练”教学策略，如用极化恒等式简化数量积运算，坐标法转化几何问题培养数学思维，通过单位向量投影、构造三角坐标等专题训练提升数学表达能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用三级变式题，配合解题策略即时归纳，确保学生高效掌握高考题型，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供系统支持。

第十五课 平面向量的数量积与简单应用 1 学科网（北京）股份有限公司 1.平面向量数量积 1.1几何法求两个向量的数量积 1.2基底法求两个向量的数量积 1.3坐标法求两个向量的数量积 2.单位向量 2.1单位向量的模为1 2.2 是与非零向量同向的单位向量 2.3投影问题中的单位向量 3.平面向量的夹角 3.1向量的夹角是两个向量正方向的夹角 3.2公式法求向量的夹角 3.3坐标法求向量的夹角 4.平面向量的模 4.1模的坐标化公式 4.2模的向量化公式 5．平面向量的投影 5.1向量投影的定义 5.2向量投影的几何意义 5.3数量积的几何意义的应用 6.平面向量数量积的应用 6.1等式两边同乘以一个向量 6.2基于数量积的非直角三角形的角 6.3基于数量积的非直角三角形的面积 7.构造目标函数求最值 7.1构造一元目标函数求最值 7.2 构造多元目标函数求最值 7.3利用数量积的“积化和差”求最值 8.坐标法求最值 8.1 利用代数坐标求最值 8.2 构造三角坐标求最值 9.利用向量模的有关性质求最值 9.1利用求数量积的最值 9.2利用求函数的最值 9.3利用求最值. 9.4将模长问题转化为轨迹是圆问题求最值 10.平面向量与线性规划 10.1向量视角下的线性规划 10.2可行域与几何图形的关系 1.平面向量的数量积 1.1几何法求两个向量的数量积 【典例】若向量满足与的夹角为120°，则． 【解析】． 【评注】①数量积的几何定义式：；②数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积. 几何法求向量的数量积有三种思路：一是直接运用几何定义式；二是用数量积的几何意义；三是用“已知向量”表示，即把数量积转化为可用“已知向量”及条件表示的形式. 【变式1】在直角坐标系中作矩形，已知，则的值为（ ） A.0 B.7 C.25 D.－7 【变式2】在三角形ABC中，已知，则向量与的数量积等于（ ） A.B.C.2 D.－2 【变式3】如图，在平行四边形ABCD中，，点分别在边上，且，则=（） A. B. C.2 D. 1.2 基底法求两个向量的数量积 【典例】如图，已知点O是△ABC的重心，OAOB，AB=6，则的值为． 【解析】(法1)以，为基底．， 因为，所以. (法2)以为基底．， 因为OAOB，所以，………① 因为AB=6，所以，即，………② 联立①，②解得＝72. 【评注】利用基底法处理数量积及相关问题，常使用三角形法则或平行四边形法则，对所求数量积中的向量进行转化，化为用一组基底表示的向量来处理．一般情况下，所选的一组基底的模或夹角在条件中易知． 【变式1】如图，在边长为2的菱形中， ，为的中点，则 【变式2】设四边形ABCD为平行四边形，.若点M，N满足，，则= . 【变式3】如图在平行四边形中，已知， ，则. 【变式4】在平行四边形ABCD中， AD = 1， ， E为CD的中点. 若， 则AB的长为______. 【变式5】在中，是的中点，，，则. 【变式6】已知是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则． 【变式7】在边长为的正三角形中，设，，则 . 1.3坐标法求两个向量的数量积 【典例1】如图1，在矩形ABCD中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是. B 【解析】如图2，建立平面直角坐标系，设点， 因为， 所以，， 因，所以，故. 【评注】利用向量的坐标化表示，转化为代数运算来求解．当平面图形中有垂直关系或某些角为特殊角时可优先选择坐标法，但要注意选取坐标原点的科学性，以便于后续计算，如本例中的，就选为原点． 【变式1】设向量，且，则m＝　　　　　　　． 【变式2】已知正方形的边长为2，为的 中点，则________. 【变式3】在平面直角坐标系中，已知，，是曲线上一个动点，则的取值范围是. 【典例2】在中，，，，是的中点，点在边上，且，与交于点，是的中点，则=. 【解析】在中，，， 由余弦定理得，则. 以为坐标原点，为轴，为轴，建立如图的平面直角坐标系， ， 斜率， 直线方程是，令，得，， 所以，， 所以. 【评注】向量问题引入坐标法，其后续过程往往借助于坐标的运算和代数分析，快速得解. 【变式1】等边的边长为，平面内一点满足，则. 【变式2】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，.若，则λ＋μ的值为. 【变式3】在中，，，，是上一点，，则=. 2.单位向量 2.1单位向量的模为1 【典例】已知向量均为单位向量，它们的夹角为，实数满足，则的取值范围是 【解析】由已知得，得， 即，把它看作关于的一元二次方程，且有实数根， 则，解得，故的取值范围是 【评注】长度等于1个单位的向量叫单位向量.本例中，向量均为单位向量，则。 【变式1】已知向量为单位向量，则实数m＝. 【变式2】若单位向量的夹角为，则 【变式3】已知是夹角为的两个单位向量，设向量，，则；向量夹角． 【变式4】设、、是三个单位向量，且，则的最小值为（ ） A.－3 B. C. D. 2.2是与非零向量同向的单位向量 【 典例1】已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同向的单位向量为. 【解析】由已知得，，设与同向的单位向量为，则 (λ>0)，因为||=1，所以λ||=1，解得λ＝，故与同向的单位向量为＝()． 【评注】因为对于任何一个向量，均有 （其中是与同向的单位向量），那么有；同时，也可以说明与一个向量共线的单位向量可以用原向量除以其模获得。 【变式1】与向量垂直的单位向量是. 【变式2】已知向量，其中均为非零向量，则的取值范围是． 【变式3】已知向量，其中均为非零向量，则的取值范围是． 【变式4*】或是直线的方向向量 直线3x－y＋2＝0的单位法向量是. 【典例2】三个不共线的向量满足=+) == 0，则O点是△ABC的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 【解析】表示与中的外角平分线共线的向量， 由得是角的内角平分线， 同理，是的内角平分线，是的内角平分线， 故点O是的内心．故选C． 【评注】根据平行四边形法则，单位向量的和向量恰好是以两单位向量为邻边的平行四边形对角线，可见这样的平行四边形是边长为1的菱形，所以和向量应该在夹角平分线上. 【变式1】已知有公共端点的向量不共线，，则与向量的夹角平分线平行的单位向量是 【变式2】若点O为△ABC所在的平面内一点，满足，则点O为△ABC的( ). A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2.3投影问题中的单位向量 【典例】已知是单位向量，并且满足，则向量在方向上的投影为 . 【解析】由已知得，所以，故，又，所以向量在方向上的投影为. 【评注】向量在单位向量方向上的投影为． 【变式1】已知单位向量满足，则向量在方向上的投影等于 . 1.【解析】由已知得，所以，向量在方向上的投影等于. 【变式2】已知，向量在单位向量方向的投影为，则向量与的夹角为 . A. B. C. D. 2.D【解析】因为向量在单位向量方向的投影，所以，又，故. 3．平面向量的夹角 3.1 向量的夹角是共起点的两条有向线段的夹角 【典例】的三边长均为1，且，，，求++的值. 【解析】因为的三边长均为1，所以， 且，所以， 同理，所以. 【评注】向量间的夹角表示为，它是共起点的两条有向线段的夹角，其范围是． 【变式1】已知向量是夹角为的单位向量，则向量与向量的夹角是． 【变式2】在中，，则. 【变式3】已知菱形的边长为，，则（ ） A. B. C. D. 3.2公式法求向量的夹角 【典例1】 若非零向量满足且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【解析】由已知得， 所以， 所以， 又，故，故选A. 【评注】求解两个非零向量之间的夹角的步骤： ①由坐标运算或定义计算出这两个非零向量的数量积； ②分别求出这两个向量的模； ③根据公式求解出这两个向量的夹角的余弦值； ④在内求出夹角. 【变式1】以下命题：① 若||=||||，则∥；②在方向上的投影为；③ 若△中，，则；④ 若，则向量与的夹角为钝角.则其中真命题的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【变式2】已知向量满足，且，则的夹角为. 【变式3】若非零向量满足，则的夹角的余弦值______． 【变式4】已知非零向量满足，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是． 【典例2】已知非零向量满足，且与的夹角为，试求向量与的夹角的余弦值. 【解析】由已知得||＝3，所以， 又， ， 故. 【评注】求解两个非零向量之间的夹角，先用的方法当然是分别求出两个向量的坐标，这样它们的数量积、模都可以求出来；但是由于夹角公式的分子是两个向量的数量积，如果我们能单独求出向量的模，则可考虑整体获得数量积，也是很便捷方法，如本题求出再代入公式计算就很方便. 【变式1】若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=． 【变式3】设两个非零向量与，满足，则向量与的夹角等于_______． 3.3坐标法求向量的夹角 【典例】已知向量，则向量与向量夹角的余弦值为________． 【解析】因为，所以. 【评注】当已知向量用坐标表示，求其夹角余弦值时，常用向量夹角的坐标表示公式求解． 【变式1】已知平面向量，则与的夹角余弦值等于． 【变式2】向量＝(1，2)，＝(1，－1)，则2＋与－的夹角等于( ) A．－ B.C. D. 【变式3】已知向量，，则 ( ) A． B． C． D． 【变式4】平面向量＝(1，2)，＝(4，2)，，且与的夹角等于与的夹角，求实数的值. 4.平面向量的模 4.1模的坐标化公式 【典例】已知是单位向量，.若向量 满足，则的取值范围是. 【解析】设，， 则的终点所在轨迹是以P（1，1）为圆心，1为半径的圆， 故， . 【评注】若，则，.与模长有关的问题，可转化为与距离有关的几何问题. 【变式1】设R，向量且，则= 【变式2】已知向量，满足，，且（），则. 【变式3】已知，则的最大值是. 4.2模的向量化公式 【典例】已知向量夹角为，且，则=. 【解析】因为，平方得，即， 解得或（舍）. 所以． 【评注】若，则，从而．即通过模的向量化公式，实现由数的运算到向量的运算的转化.因此要有“遇模则平方”的意识. 【变式1】 已知均为单位向量，且它们的夹角为，则=. 【变式2】已知，，，求=，=. 【变式3】若向量满足，则的值为______. 【变式4】设向量，满足则． 【变式5】若向量，其中，若，则 . 【变式6】设，是两个相互垂直的单位向量，若向量满足，，.对于任意实数，求的最小值. 5．平面向量的投影 5.1向量投影的定义 【典例】已知点，则向量在方向上的投影为. 【解析】因为，所以， ，故向量在方向上的投影为 . 【评注】在的方向上的投影为 平面向量的投影问题还要注意：①在的方向上的投影与在方向上的投影不是同一回事；②在的方向上的投影是一个数量，可正，可负，可为零. 【变式1】设为单位向量.且的夹角为，若，则向量方向上的投影为 . 【变式2】设为单位向量.且的夹角为，若，则向量在方向上的投影为 . 【变式3】已知向量的模为，且满足，则在方向上的投影等于. 5.2向量投影的几何意义 【典例1】已知在中，，求证： . 【解析】证明：（法1）因为，所以，即， 所以. （法2）在中， （法3）长度明显与无关，可以特殊化，让，， 结果. （法4）以所在直线为轴，所在直线为 轴，建立直角坐标系，设 ． 【评注】在直角三角形中，已知一条直角边的长，则由该直角边和斜边分别表示的向量的数量积等于该直角边的平方或平方的相反数. 其解题思想是充分利用已知的直角，使得两直角边所在的向量的数量积为零. 【变式1】已知向量，，则. 【变式2】已知直角三角形ABC中，，，则=. 【变式3】 如图，在中，已知，， ，为垂足，则的值为． 【典例2】已知外接圆的圆心为，，则. 【解析】如图，取、中点分别为、，则.向量在方向上的投影为，向量在方向上的投影为.所以，，所以 O A B C D E 【评注】外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，从外心向各边做垂线，垂足是边的中点，且形成一个直角三角形，如上图ODA，AD就是AO在AB上的射影。 【变式1】设的外心是则=. 【变式2】如图，在中，，，，求. 5.3数量积的几何意义的应用 【典例1】如图，正六边形的边长为，将绕点A按照逆时针方向旋转，求在旋转过程中取值范围是. 【解析】，θ∈[，]， 取值范围就是在上的投影的取值范围， 由≤≤，易得投影cosθ∈． 故取值范围是． 【评注】数量积的几何意义：等于的长度与在的方向上的投影的乘积. 【变式1】设向量，是向量在向量方向上的投影，则的最大值是. 【变式2】设为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则与满足的关系式为. 【变式3】已知，是平面单位向量，且，若平面向量满足， 则= 【变式4】如图，正六边形的边长为. (1)求. (2)点P为正六边形内的一点（含边界），求的最大值 6.平面向量的数量积的应用 6.1等式两边同乘以一个向量 【典例】给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是________. 【解析】设，，即， 两式相加，整理得 【评注】解决此类问题的步骤：①分别用向量和向量作数量积；②构成关于的方程组；③解出，再求或整体求 (本题是整体求解)．此外，本题条件中“点在以为圆心的圆弧上变动”，还可以引入三角坐标，设. 【变式1】已知是的外心，，若，则. 【变式2】如图，，与的夹角为，与的夹角为，，若=，则=. 6.2基于数量积的非直角三角形的角 【典例1】已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是. 【解析】由且不平行于，得，且，所以， 所以,实数的取值范围是. 【评注】若为钝角，则即，所以 。但仅仅此条件只能说明，并不能排除，所以要强调不反向，为锐角亦然。向量的夹角为钝角，得到；反之，，不能说明夹角为钝角，因为的夹角为时也有因此，的夹角为钝角充要条件是且不共线. 同样，的夹角为锐角的充要条件是＞0且不共线. 【变式1】已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为. 【变式2】已知如果与的夹角是钝角，则实数的取值范围为. 【变式3】已知，如果与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【典例2】在中，，．若是钝角三角形，则的取值范围为． 【解析】由,,构成三角形且．是钝角三角形角中恰有一个钝角． 是钝角………①； 是钝角………②； 是钝角………③． 将①②③取并集，得的取值范围是：． 【评注】三角形中的三个角互相制约，之和为，往往要分类讨论. *【变式1】已知是平面上不同三个点，则：“ ”是“是钝角三角形”的（ ） Ａ.充分不必要条件　 Ｂ.必要不充分条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.非充分非必要条件 【变式2】在中，，．若是锐角三角形，则的取值范围为． 【变式3】在中，，．是直角三角形，则的取值为． 6.3基于数量积的非直角三角形的面积 【典例】在△ABC中，已知，当A＝时，△ABC的面积为______． 【解析】（法1）因为且A＝，所以， 所以＝×sin＝． （法2）tanA=tanA=． 【评注】用数量积表示的三角形面积公式. 【变式1】在中，，若其面积，则与夹角的取值范围是. 【变式2】在RtABC中，，则=． 【变式3】在平行四边形ABCD中，tanA=，，求的值． 7.构造目标函数求最值 7.1构造一元目标函数求最值 【典例1】在等腰梯形中， 已知， 动点和分别在线段和上，且则的最小值为. 【解析】以中点为原点，所在直线为轴，建立坐标系（如图）， 则， 所以， ， 所以， 当且仅当即时,的最小值为. 【评注】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，在数量积等向量运算过程中，将向量的最值问题转化为一元函数的最值问题，再利用配方法、基本不等式等解决. 【变式1】如图，半圆的直径 ，为圆心， 为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是__________ 【变式2】如图， 扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且．若，，则的取值范围是 【典例2】在矩形中，边、的长分别为2和1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是． 【解析】设=（0≤≤1），则， ， 则== =+++， 又因为=0，所以=， 因为0≤≤1，所以1≤≤4， 即的取值范围是[1， 4]. 【评注】选一组适当的向量作为基向量，将相关向量用基底表出，运算后转化为一元目标函数求最值. 【变式1】在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是. 7.2 构造多元目标函数求最值 【典例1*】已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D． 【解析】设， ，由，得 从而， 所以， 当且仅当且，即时取等号.故选B 【评注】多元参数的最值问题，常通过消元、换元等手段转化为一元函数的最值问题，如一次函数、二次函数、对勾函数等. 【变式】设为单位向量， 非零向量， 若的夹角为， 则的最大值等于. 【典例2*】在面积为2的中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值为. 【解析】设，则BC边上的高为．以BC中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立直角坐标系，则，设，则， 所以， 当且仅当时取等号. 【评注】建立目标函数后，最后常转化为基本不等式、柯西不等式求最值．在多次利用基本不等式求最值时，注意“一正二定三等”的原则. 【变式1*】在面积为2的平行四边形中，点在直线上，则的最小值为. 【变式2*】已知圆的半径为，、为该圆的两条切线，、为两切点，那么的最小值为. 7.3利用数量积的“积化和差”求最值 【典例】设P0是△ABC的边AB上一定点，且满足．若对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则( ) A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90° C．AB＝AC D．AC＝BC 【解析】（法1）设AB＝4，以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴， 则A(－2， 0)，B(2， 0)，则P0(1， 0)，设C(a，b)，P(x， 0)， 所以，＝(2－x， 0)，＝(a－x，b)，＝(1， 0)，＝(a－1，b)． 则·≥·⇒(2－x)·(a－x)≥a－1恒成立，即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立． 所以，Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立． 所以，a＝0. 即点C在线段AB的中垂线上， 所以，AC＝BC. 故选D. （法2）如图1：取线段的中点， 则. 同理,, 因为·≥·恒成立，所以恒成立. 要使的值最小，只需取最小值． 因为是线段上的动点， 所以，只有当时，取得最小值，且点与点必须重合， 因为是线段的中点，只有时才能成立．故选D. 【评注】极化恒等式：如图2，设，是两个平面向量，则有恒等式:， 用对角线可表示为，也可以用三角形的中线表示，即：． 【变式1】在中，是的中点，，则____. 【变式2】点是棱长为的正方体的底面上一点，则的取值范围是． 【变式3】如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是. 8.坐标法求最值 8.1 利用代数坐标求最值 【典例1*】已知，若点是 所在平面内一点，且，则的最大值等于． 【解析】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则，即， 所以， 因此，， 因为，当且仅当时取等号， 所以，. 【评注】若题目中向量垂直信息明显，则可通过建立平面直角坐标系，将平面向量数量积的最值问题，转化为一元对勾函数的最值问题，最后用基本不等式求解. 【变式1】在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是() A. B.C. D. 【变式2】在中，若，，则的最小值为. 【变式3】已知直角梯形中，//， ， ， 是腰上的动点，则的最小值是 【典例2】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是. 【解析】由已知条件，可设，，，则，. 因为，所以， 即，而， 它表示圆上的点到原点的距离， 故的最大值是. 【评注】若出现的目标函数是一个二元函数，如，可根据特征，借助数形结合，利用平面几何知识求最值. 【变式1】已知是单位向量，.若向量满足，则||的取值范围是( ) A．[－1，＋1] B．[－1，＋2] C．[1，＋1] D．[1，＋2] 【变式2】在平面上，，，若， 求的取值范围. 8.2 构造三角坐标求最值 【典例】已知平面向量、、满足，且，则的最大值是. 【解析】因为，设，，，， 所以， ，其中， 所以，当时， 取得最大值. 【评注】如果为坐标原点），则P点坐标可设为为旋转角. 引入三角坐标，其实质是以一个变量来联系动点的横纵坐标，同时为应用三角函数的有界性解决最值问题奠定了基础. 【变式1】在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点满足，则的最小值是__________． 【变式2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，，动点满足，则的最大值是. 【变式3】已知是半圆的直径， ， 等边三角形的顶点在半圆弧上且∥， 点是半圆弧上的动点， 则的取值范围为. 【典例2】在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则||的最大值是________． 【解析】（法1）由||＝1，得动点D在以C为圆心，半径为1的圆上，故可设 D(3＋cos α，sin α)，所以＝(2＋cos α，＋sin α)， 所以||2＝(2＋cos α)2＋(＋sin α)2 ＝8＋4cos α＋2sin α ＝8＋2sin (α＋φ)， 所以(||2)max＝8＋2，即||max＝. （法2）设D(x，y)，由| |＝1，得(x－3)2＋y2＝1， 向量＝(x－1，y＋)， 故||＝的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1上的动点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3， 0)到点(1，－)的距离加上圆的半径， 即＋1＝1＋. 【评注】对于有固定端点的向量，如果模长又为定值，那么向量的终点轨迹便是圆，适宜引入三角坐标表示终点.即：圆心是，半径是的圆上一点设为. 【变式1】已知，，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中， 则的最大值是________. 【变式2】如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的最大值是. 【变式3】已知向量，，，，若对任意单位向量，均有 ,则的最大值是． 9.利用向量模的有关性质求最值 9.1利用求数量积的最值 【典例】若平面向量满足：，则的最小值是 【解析】， ， 所以. 【评注】由定义可得，即. 【变式1】已知是单位向量，且，则的最大值是. 【变式2】设是单位向量，且，则的最小值为. 【变式3】已知向量满足：，，，则的取值范围为. 【变式4】平面向量满足，求的最小值． 【变式5】设为非零向量，，两组向量和，均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小值为，求与的夹角. 9.2利用求函数的最值 【典例】求函数的最大值． 【解析】，设， 因为， 所以构造向量：，； 由，可得，； 从而，当且仅当时，． 【评注】根据题目中函数式子的特点，构造适当的向量，将问题转化为向量问题， 再利用等加以解决，注意两个向量方向相同时取等号. 【变式1】已知，，则的最小值是____________． 【变式2】设均是正数且，，，则____________． 【变式3】设，且满足，，则____________． 9.3利用求最值 【典例】已知平面向量满足，则的最大值是. 【解析】因为，所以， 又因为，所以， 由可知， 当与同向时，有最大值. 【评注】对求的最值问题，常利用三角不等式的向量形式求最值. 【变式1】已知两个非零向量满足，则下面结论正确的是（ ） A．B．C． D． 【变式2】已知向量是单位向量，，若向量满足，则的最大值为. 9.4将模长问题转化为轨迹是圆问题求最值 【典例】已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是. 【解析】根据已知条件作正方形， ， ， 则， 设，则， 因为， 所以点在以为圆心，半径为的圆上运动， 如图乙因为， 所以. 【评注】圆是到定点距离等定长的点的集合，也是相对弦的张角为定角的点的集合. 【变式1】对角互补的四边形内接于圆；直径是圆中最长的弦. 设向量满足||＝||＝1，·＝－，，则||的最大值等于( ) A.2 B. C. D.1 【变式2】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是． 【变式3*】已知平面向量，（）满足，且与的夹角为，则的取值范围是__________ . 10.平面向量与线性规划 10.1 *向量视角下的线性规划 【典例】在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上.设，用表示，并求的最大值. 【解析】 两式相减得m－n＝y－x，令y－x＝t， 由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1， 故m－n的最大值为1. 【评注】动点在区域中移动的最值问题，常利用向量工具将动点的坐标表示出来，写出目标函数，化为简单的线性规划问题. 具体步骤为：一设二表三画四算． 【变式1*】已知向量，且.若满足不等式，则的取值范围为（ ） A． B. C. D. 【变式2*】在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( ) A．2B．2C．4 D．4 【变式3*】已知点是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是. 10.2 *可行域与几何图形的关系 【典例】如图，在等腰直角三角形ABC中，，点分别是AB，BC的中点，点P是△ABC（包括边界）内任一点．则的取值范围为． 【解析】以为坐标原点，边所在直线为轴，建立直角坐标系，则，设， 则，且， ，令，则， 当直线经过点时，有最小值，； 当直线经过点时，有最大值，. 所以的取值范围为. 【评注】目标函数最终是由动点P的坐标表示的，那么点P的活动范围也就是可行域，就是条件中的几何图形及其内部区域. 【变式1*】已知正方形的边长为，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为. 【变式2*】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为1，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为. $ 第十五课 平面向量的数量积与简单应用 1.平面向量的数量积 1.1几何法求两个向量的数量积 【典例】 1.D【解析】. 2.D【解析】 3.C【解析】,.故选C. 1.2 基底法求两个向量的数量积 【典例】 1.1【解析】选“，”作为一组基底，. 2.9【解析】选“，” 作为一组基底，，所以. 3.22【解析】选“，” 作为一组基底，， 所以 即有，解得：=22 4.【解析】选“，” 作为一组基底，因为E为CD的中点， 所以. ， 又， 所以， 即， 所以，解得. 5.【解析】选“，” 作为一组基底， . 6.【解析】设，， 所以，， ， 所以. 7.【解析】选“，” 作为一组基底，因为， 所以，即，因为， 所以－=3，即.于是 . 1.3坐标法求两个向量的数量积 【典例1】 　　1.－2【解析】，∴，解得． 　　2.2【解析】建立以A为坐标原点，AB为轴，AD为轴的直角坐标系，则，． 3．【解析】表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，设，，,，所以，， 故的取值范围为. 【典例2】 1.【解析】以的中点为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示， 则，，.设，∵， ∴，∴，. 于是，，∴. 2.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，，设．由，得．由得点.……………① …………②，由①－②得λ＋μ＝. 3.【解析】如图，以为原点，为轴，建立直角坐标系，则， 设，由得， 所以解得，即， 又，所以. 2.单位向量 2.1单位向量的模为1 【典例】 1.0【解答】由已知得，解得. 2.【解析】因为，所以 3.【解析】因为，所以， 同理得，所以， 又，所以向量与的夹角为. 4.D【解析】因为，所以，所以，所以，故选D. 2.2是与非零向量同向的单位向量 【 典例1】 1.或【解析】（法1）设所求向量为， 根据题意，有，解得，或， 故或． （法2）设，则且，所以与垂直的单位向量； 2. [0，2]【解析】（法1）同向， 有最大值2；反向时，有最小值0. （法2）设，与的夹角为θ，则||=||=1，又，所以||． 3.【解析】当方向都相同时，有最大值3，当时，有最小值0.故的取值范围是 4.或【解答】取直线3x－y＋2＝0的一个方向向量为（1，3）， 设其法向量为，则，可取， 故所求的单位法向量为或. 【典例2】 1.或【解析】因为与的模长是相等的，可以作为一个菱形的一对邻边， 所以与的夹角等于与的夹角， 故与向量的夹角平分线平行的单位向量是或. 2.B【解析】由已知得， ∴． 是与同方向的单位向量，记为； 是与同方向的单位向量，记为， 则向量在∠A的平分线上. 又，. 所以点O在∠A的平分线上. 同理可证，点O在∠B的平分线上，点O在∠C的平分线上， 故点O为△ABC的内心. 2.3投影问题中的单位向量 【典例】 1.【解析】由已知得， 所以，向量在方向上的投影等于. 2.D【解析】因为向量在单位向量方向的投影， 所以，又，故. 3．平面向量的夹角 3.1 向量的夹角是共起点的两条有向线段的夹角 【典例】 1. 【解析】设，与的夹角是的补角， 又是等边三角形，所以与的夹角是． 2.【解析】∵，∴==. 3.D【解析】=. 3.2公式法求向量的夹角 【典例1】 1.C【解析】①正确，两向量夹角为； ②正确，；③错误，；④错误，向量与的夹角可以为. 2.【解析】由，得，即， 所以，又，所以. 3.【解析】由两边同时平方，得，， 又，所以． 4. 【解析】由题意得，即， 又，得，所以， 又，故． 【典例2】 1.B【解析】因为，所以， 所以+=， 故， 又，所以=． 2.【解析】因为，， 所以||＝3，||=2， 又， 所以． 3.【解析】由知，设，则，且. 设与的夹角为，则， 又，故. 3.3坐标法求向量的夹角 【典例】 1.【解析】由已知得，所以. 2.C【解析】由已知得2＋＝(3，3)，－＝(0，3)， 所以＝＝， 又，所以＝. 3.A【解析】由已知可得：,又，故. 4.2【解析】，，即5＋8＝，得＝2. 4.平面向量的模 4.1模的坐标化公式 【典例】 1.【解析】因为，∴且，解得，， 即，所以，. 2.【解析】由得， 因为，， 所以，即. 3.4【解析】（法1）， 所以， 从而，即的最大值是4. （法2）设，则=, 其几何意义为以原点为圆心，2为半径的圆上两点A,B之间的距离， 容易知道其最大值即为直径长. 4.2模的向量化公式 【典例】 1.【解析】由，得. 2.，【解析】. 3.【解析】因为， 所以，所以． 4.1【解析】由已知得，，，两式相减得=1． 5. 【解析】因为，所以，而， 故，即，由于， 故，故． 6.【解析】（法1）因为，是两个相互垂直的单位向量，且，， 所以，由此可得，当且仅当，时， （法2）由知，在方向上的投影为， 由知，在方向上的投影为， 故构造以底面边长为3，4，体对角线长为13的长方体，如图所示。 则的最小值即为该长方体的高， 即，且对应的. 5．平面向量的投影 5.1向量投影的定义 【典例】 1.【解析】，所 以方向上的投影为. 2.【解析】 ，所求投影为. 3.【解析】两式平方相减可得，所以在方向上的投影为 5.2向量投影的几何意义 【典例1】 1.9【解析】因为，所以. 2.【解析】（法1）. （法2）（特殊化）斜边极端化变成直角边，. 3.【解析】， 因为， 所以，由三角形的面积得， 即，解得， 所以. 【典例2】 1. 【解析】过O作OS⊥AB,OT⊥AC,垂足分别为S,T，则S,T分别是AB,AC的中点，= 2.【解析】(法1) ，由正弦定理， 所以， 故＝． (法2)选“，”作一组为基底，由，得， 所以，故=. 5.3数量积的几何意义的应用 【典例1】 1.【解析】， 又，所以，所以，故. 2.【解析】即 ，． 3.【解析】由已知得，，的夹角为60°，在，上的射影都为1， 由图得△△（），所以在△中，． 4.【解析】（1）由已知得， ，所以=. （2）因为， 所以当P点位于C点处时，取最大值. 即的最大值为． 当P点位于点处时，取最小值. 即的最小值为 6．平面向量的数量积的应用 6.1等式两边同乘以一个向量 【典例】 1.【解析】，即，所以，故． 2.0【解析】即 所以所以． 6.2基于数量积的非直角三角形的角 【典例1】 1.＞且【解析】且与的夹角不为零. ∴∴＞且. 2.【解析】，得或，……① 当不共线时，，得且，…………② 由①②得的取值范围是． 3.【解析】，且，∴或或. 【典例2】 *1.D【解析】可能共线，当时， ； 当是钝角三角形时，不一定是钝角． 2.【解析】由,,构成三角形且．都是锐角， 3.－2或－3或6【解析】由,,构成三角形 且． 是直角三角形是直角或是直角或是直角 或或 或或 或或或. 综上，或或. 6.3基于数量积的非直角三角形的面积 【典例】 1.【解析】， 得tanB∈[－，－1]，∴，∴． 2.16【解析】，，由， 知=． 3.【解析】∵，∴==10． 7.构造目标函数求最值 7.1构造一元目标函数求最值 【典例1】 1.【解析】∵，∴ ，由AB=6， 得. 设，则＝， 当且仅当时取等号，最小值为 2.【解析】以为轴，为原点建立如图所示坐标系，，，的方程：，设，则， 因此， ∴当时，有最小值为， 当或时，有最大值为，故的取值范围是. 【典例2】 1.【解析】设（0≤≤1），则=， =，则= ==+++， 又∵=2×1×=1，=4， =1， ∴=， ∵0≤≤1，∴2≤≤5，即的取值范围是. 7.2 构造多元目标函数求最值 【典例1】 1.2【解析】， ， ∴当时，取得最大值为2. 【典例2】 1.【解析】如图，取BC的中点Q，连接PQ，则， ∴==， ∴= ≥, 又平行四边形面积为2，所以， 从而，当且仅当且取等号． 2.【解析】以圆O的两条相互垂直的直径所在直线为， 轴，建立如图平面直角坐标系，则圆O的方程为，不妨设在轴上， 设，，则，，，， ∵， ∴即，由于， ∴.故，当且仅当时，取“=” . ∴的最小值为. 7.3利用数量积的“积化和差”求最值 【典例】 1.【解析】。 2.【解析】取的中点，连接， 则=， 又。 3.22【解析】如图，取中点，连接并延长，交延长线于， 则， ，又， 。 ，即为的中位线，， 。 8.坐标法求最值 8.1 利用代数坐标求最值 【典例1】 1. C【解析】如图，以点为原点，为轴，建立直角坐标系.则,设，有 ＝，，·＝， ∵0≤x≤1，∴≤(1－x)2＋≤， 即·的取值范围是. 2.【解析】如图，以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，则， ， 设， 则.， ， ∴， ∴当时，的最小值为. 3. 5【解析】如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系， 则A（2，0），D（0，0），设B（1，a），C（0，a），P（0，b）其中0≤b≤a， 则＝（2，－b），＝（1，a－b），（5，3a－4b）， 所以． 【典例2】 1.A【解析】由为单位向量且，可设＝(1， 0)，＝(0， 1)， 又设＝(x，y)，代入得(x－1)2＋(y－1)2＝1， 又||＝，故由几何性质得 －1≤||≤＋1， 即－1≤||≤＋1. 2.【解析】如图，建立以A为坐标原点的直角坐标系， ∵， ∴过点作一个半径为1的单位圆，圆心为. 设，∵，∴点P的坐标是. 由，得， 两式相加得， 又， ∴，即， 易知，∴，即， ∴的取值范围是. 8.2 构造三角坐标求最值 【典例】 1.4【解析】设，则， ∴ ． 2.2【解析】设，则 ， ∴当时，取得最大值4， 故的最大值是2. 3.【解析】如图，以为原点，为x轴，垂直于的直线为y轴建立直角坐标系. 不妨取设， 则 . 【典例2】 1.2【解析】引入三角坐标，设. ，， ，即， . 因此，当时，因此取最大值2. 2.3【解析】设，由分别向轴作垂线，垂足分别为， 则，， 于是，， 从而． 由于，∴.则的最大值是3. 3.【解析】设，， 则｜a·e｜+｜b·e｜=. 对任意单位向量e，均有｜a·e｜+｜b·e｜ , 所以，对任意，恒成立， 令， 则恒成立问题转化成最值问题，. 又因为 所以，的最大值为，所以 所以， 所以，的最大值是. 9.利用向量模的有关性质求最值 9.1利用求数量积的最值 【典例】 1.【解析】. 又易得，所以 2.【解析】易得，， ∴. 3.【解析】， 两边平方得即，∴. 4.【解析】由，可得， ∴，两边平方得……………① 两边平方得………………② 由①②可得，∴的最小值为. 5.【解析】由题意得，所有可能取值共有三种情况： ①； ②； ③， 由得取最小值只能是情况③， 故，∴cos<>=，与的夹角为. 9.2利用求函数的最值 【典例】 1.12【解析】设，； ∵， ∴； ∴，从而有：； 当且仅当与同向时，取最小值12． 2.【解析】设，； ∵， ∴； 代入得：，从而有：左边＝右边,即两个向量方向相同； ∴与同向，即有：； 又∵，∴． 3.【解析】设，； ∵， ∴；即，左右相等， 可知：与同向，即有：； 于是，设，可得：，代入可得：； 故． 9.3利用求最值 【典例】 1.B【解析】以非零向量为邻边的平行四边形为矩形，∴. 2.【解析】∵向量是单位向量，，∴， ∴，∴， ∴=， 当且仅当与同向时取等号， 故的最大值为. 9.4将模长问题转化为轨迹是圆问题求最值 【典例】 1.A【解析】如图，设向量的起点为O，终点分别为A，B，C， 由·＝－得，由得， ，∴四点共圆， 当OC经过圆心时，||最大，在△AOB中，求得AB＝， 由正弦定理得外接圆的直径是=2，||的最大值等于2. 2.【解析】，如图，设则，∴四点共圆，且该圆的直径为，∴. 3.【解析】令、，则由，又因为与的夹角为， 所以，又由，由正弦定理得：, 所以的取值范围是. 10.平面向量与线性规划 10.1 *向量视角下的线性规划 【典例】 1.D【解析】，且，，即. 又表示的区域为图中阴影部分， 当过点时，， 当过点时， 2．D【解析】由||＝||＝·＝2，可得∠AOB＝， 又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0， 2)，P(x，y)，由＝λ＋μ， 可得⇒， ∵|λ|＋|μ|≤1，∴， 当，时，由可行域可得S0＝××＝， ∴由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4. 3.【解析】设，则，令，则， 由线性规划知识知，当直线过点时，， 当直线过点时，，则的取值范围是. 10.2 *可行域与几何图形的关系 【典例】 1.6【解析】以AB、AD所在直线为x、y轴，建立直角坐标系，如图，则， C(2， 2)， 设，则表示正方形内（含边界）的约束条件为，，， ∴.作出直线：，平移直线， 当直线过C(2， 2)时，取最大值. 2.【解析】因为为的中点，正方形的边长为1，所以，得， 又为正方形内（含边界）任意一点，设，则，满足， 又， 故当点运动到点处时，的最大值为. 12 学科网（北京）股份有限公司 $