高中数学经典题型全解析：第18讲 解不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解不等式核心考点，涵盖不等式性质、一元二次不等式、含参不等式等七大模块，按“性质-解法-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导（如十字相乘法、数轴标根法）、真题训练（典例+变式）帮助学生突破分类讨论等难点，体现复习系统性与针对性。 讲义采用分层教学策略，如含参不等式通过“二次项系数-判别式-根大小”三层讨论培养数学思维，数轴标根法结合图像提升几何直观，设置基础巩固与能力提升练习。以核心素养为导向，助力学生高效掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第二十二课 解不等式 1.不等式的性质 1.1基本性质 【典例】 1.C【解析】由推不出， 由能推出， 所以“”是“”的必要而不充分条件． 2.B【解析】推不出； 但由得， 因为，所以有，故选B. 3.B【解析】易得且时必有； 反之则不一定能推出，故选B. 4.D【解析】由得， 将其与相加，得．故选D． 5.D【解析】先比较，，的大小，， 又因为，所以.故选D. 6.C【解析】 ，则不等式两边同除以，故选C. 7.C【解析】因为，故选C． 8.A【解析】即寻找命题,使,且推不出, 选项A是充分不必要条件，B是必要不充分条件， C是既不充分也不必要条件，D是充要条件，故选A. 1.2利用不等式的性质求“差”与“商”的范围 【典例】 1. (－1，7)【解析】，， 所以的取值范围是 (－1，7). 2. 【解析】，， 所以的取值范围是． 3. 【解析】得，所以， 又，所以． 由得，所以． 1.3 不等式的倒数法则及其应用 【典例1】 1.A【解析】因为，，所以，， 于是，，所以，故选A. 2.B【解析】由且，，， 所以①④正确，②③不正确，故选B. 3.C【解析】（法1）特殊值排除法．取，，排除选项A； 取，，排除选项B； 取，排除选项D．故选C． （法2）显然，在不等式的两边同时乘以 ， 立得．故选C． 4.D【解析】因为，所以， 从而，得.故选D 5. C【解析】因为,故即，A错； 由正弦函数的单调性知的大小不确定，故B错； 由指数函数的单调性知，故C正确； 由指数函数的单调性知，得不出D，故D错. 6.D【解析】因为所以， 又因为 故由不等式性质有，所以，选D. 【典例2】 1. 【解析】，所以的取值范围是． 2. 【解析】(1)，或， 的取值范围是． (2)， 不等式的解集． 2. 解一元二次不等式 2.1二次三项式的因式分解 【典例】 1. 【解析】(1)． (2). 2.【解析】(1). (2) . 3.【解析】 . 2.2解一元二次方程是图解法解不等式的基础 【典例】 1.【解析】(1) . 所以原方程的解为 (2) . 所以原方程的解为． 2.【解析】， 所以原方程的解为． 3.【解析】， 所以原方程的解为． 4.【解析】， 所以原方程的解为． 2.3配方法解一元二次不等式 【典例】 1. 【解析】，不等式的解集为． 2. 【解析】两边开方，，即 3. 【解析】不等式化为， 因为，所以，得. 所以不等式的解集是 4.【解析】（1）不等式的解集是； （2），所以； (3)，原不等式的解集是； (4)，即， 解得或, 所以不等式的解集是． （5），即， 得，解得． 所以不等式的解集是 2.4分解因式解一元二次不等式 【典例】 1.【解析】（1），解得， 其解集为． （2），解得， 其解集为． （3）由，得，解得：， 故解集为. （4），解得：， 故解集为. 2.【解析】将不等式化为不等式组，解得， 所以原不等式的解集为． 3.B【解析】，. 因为，所以， 所以原不等式的解为.故选B. 4.要使函数有意义，必须，即，． 2.5 求根公式法解一元二次不等式 【典例1】 1. 【解析】（1）；（2）；（3）；（4）． 【典例2】 1.0【解析】 由条件可得， 因为，所以， 因此，元素的个数为0. 2.【解析】(1)因为，所以原不等式的解集为R． (2)因为，所以原不等式的解集为． (3)因为，所以原不等式的解集为． (4)，因为，不等式的解集为. 2.6利用整体思想划归为一元二次不等式求解 【典例】 1.【解析】，解得，于是得， 所以不等式的解集是． 2.【解析】，解得，于是得， 所以不等式的解集是． 3.【解析】，解得，， 所以不等式的解集为． 4.【解析】，，即，， 所以不等式的解集是． 5.【解析】原不等式化为，解得， 所以原不等式的解集是． 3.已知解集求参数的值或取值范围 3.1一元二次不等式解集的意义 【典例】 1. 【解析】由题设条件可知，所以． 2. 【解析】由条件可知，所以， 解得的取值范围是． 3. 【解析】由条件可知，所以， 解得的取值范围是． 4. 【解析】的解集不是空集，则， 即 解得或． 【典例2】 1.【解析】由题意可知，2是方程的解，代入得． 2.2【解析】由题意可知，1和2是方程的两个根， 代入可得，即. 3.4 【解析】由已知得： 所以 所以. 4. 【解析】由题意可知，， 又，即，所以 （当且仅当取等号）． 3.2两个具有相同参数的相关不等式的关系 【典例1】 1.C【解析】的两根为，，求得，， 则所求不等式化为，解得，故选C. 2. 【解析】的两个解， 且，，， 不等式化为， 代入整理得 ，解得． 3. 【解析】的两个解， 且，，， 不等式化为， 代入整理得 ，解得． 4. 【解析】因为不等式的解集是， 所以是方程的根， 且，所以， 于是不等式化为，解得. 【典例2】 1. 【解析】由已知条件知，解得， 所以的解集为． 2.【解析】由已知条件知：，解得. 故. 3．【解析】由已知条件知：，所以， 故的解集为； 4.或【解析】设不等式， 不等式可转化为， 即求的解集， 则问题转化为：已知不等式的解集为， 求不等式的解集， 所以或，解得的解集为或. 5. 或 【解析】 由得， 依题意有或， 所以或， 故所求解集为或. 3.3观察解集特点化为两根的关系 【典例】 1.A 【解析】由，得， 因，所以不等式的解集为， 即， 由，得，解得． 2. 【解析】方程的两根是， 由题意得，解得． 3.4一元二次不等式组的解集 【典例1】 1.2【解析】依题意得方程有等根， 所以，得， 所以， 当且仅当时，等号成立． 2.0【解析】依题意得方程有等根， 所以，得， 所以， 即的最小值为0． 3. ，，【解析】由题意可知，方程的解是和3， 方程的解是和2． 由韦达定理得， 解得． 4.2【解析】因为，所以，得， 解集为， 于是，故． 5. ，【解析】因为， 所以方程的解有两个， 所以，即． 6. 【解析】由题意得不等式恒成立且不等式的解集为，由恒成立得，即， 又由不等式的解集为 得，解得，， 所以． 7.【解析】假设存在满足条件的整数．因为抛物线开口向上， 根据条件知的解集是，且不等式在实数集R上恒成立． 则方程的两根是和， 所以有，消去得， 又都是整数且，故． 所以， 此时，不等式即为，显然在R上恒成立． 所以存在整数即满足题意． 4.常见不等式的解法 4.1可化为一元二次不等式的分式不等式 【典例】 1. 【解析】因为，所以． 又，所以， 故原不等式的解集为． 2.【解析】（1）原不等式可化为，转化为，即， 解得或， 故解集为． （2）原不等式可转化为， 解得， 故解集为． （3） 原不等式可化为，所以， 解得． （4）因，， 不等式化为，解得且， 故解集为． 4.2 数轴标根法解高次不等式 【典例】 1． C【解析】原不等式化为：， 解得. 故选C． ( - 2 3 1 x —— + + —— ) 2. 【解析】方程的三个根为，2，4， 在数轴上标出根（零点）， 如图，可得原不等式的解集为. 3. 【解析】（数轴标根法）方程的三个根为，2，4，在数轴上标出根（零点）， 如图，可得原不等式的解集为. ( -3 4 2 x —— + + —— ) 【典例2】 1.【解析】不等式可化为， 方程的解是， 采用数轴标根法，如图，得不等式解集为. ( + + -5 -4 2 _ + ) 2.  【解析】将原不等式化为：，解得或. 4.3可化为一元二次不等式的指数对数不等式 【典例】 1.C【解析】原不等式等价于 或 解得， 所以原不等式的解集为. 2. 【解析】 依题意，解得， 所以不等式的解集为. 3.【解析】由得， 即，即， 解得. 5. 含有绝对值的不等式 5.1利用绝对值的定义 【典例】 1． 【解析】由题意得：，解得. 2.A【解析】原不等式等价于得,故选A. 3. 【解析】由绝对值的定义得， 解得的取值范围是． 4. 【解析】应有，则， 所以函数的定义域为． 5. 【解析】应有，则， 所以函数的定义域为． 5.2 利用绝对值的几何意义 【典例1】 1.【解析】由绝对值的定义知或， 得或. 2.或【解析】由变为， 即或， 解得或. 3.【解析】将可化为， 所以或， 得或. 因为，所以． 4.【解析】因为，且的解是：， 所以， 得， 依题意有，， 所以，， 所以. 5.2【解析】 由可得， 所以， 所以，故. 6. 【解析】的最小值是0， 所以的取值范围是． 【典例2】 1.【解析】利用得， 所以数a的取值范围是． 2. 【解析】由绝对值不等式的几何意义知， 在数轴上点0或3到1、2两点距离之和为3， 当时，； 当或时，. 所以原不等式的解集为. 3. 【解析】 由绝对值的几何意义可知到1的距离小于等于3， 即，， 所以的取值范围是. 4. 【解析】 因为， 则， 即，解得或. 所以实数的取值范围是. 5. 【解析】 因为表示数轴上的动点到数轴上的点，5的距离之和，而 ， 所以当时，无解， 故实数的取值范围为． 6.【解析】（1）因为，且， 所以，且， 解得， 又因为，所以. （2）由（1）知，，所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为. 5.3两边平方解绝对值不等式 【典例】 1.【解析】 ，两边平方解得， 所以原不等式的解集为. 2.【解析】原不等式变为， 当，即时，原不等式成立； 当时，将原不等式平方得，得. 综上知，原不等式的解集为. 3. 【解析】 ，即， 两边平方整理得，解得. 所以不等式的解集为． 4.【解析】，两边平方得，即. 5.【解析】当时，， 解不等式，即解得， 因此的解集为 5.4零点分区间讨论法解不等式 【典例】 1. 【解析】 原不等式可化为或 解得：或， 所以原不等式得解集为. 2.【解析】分三段，当时，，该不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得. 综上知不等式的解集为. 6.不等式的整数解 6.1数形结合求不等式的整数解 【典例】 1.1,2【解析】画出函数的图象， 观察可知方程的解， 所以不等式的所有整数解有1,2. 2.2,3,4【解析】画出函数的图象， 观察可知不等式的所有正整数解有2,3,4. 3.，，，，2，3，4【解析】令，，作出两个函数的图象，可知当时，有. 解方程，可知， 所以不等式的所有整数解是，，，，2，3，4. 4.【解析】因为，所以原不等式等价于 得 设，， 作出函数在区间上的图象， 由图象可知，， 解得； 当，没有符合题意的整数解. 所以实数a的取值范围是. 6.2根据不等式的解的范围处理整数解问题 【典例】 1. 【解析】由得， 依题意有，得. 2.6 解析 由已知不等式得， 依题意有，且， 得可取1，2，3，可取4，5， 所以组成的有序数对共有6个. 3. 【解析】不等式等价于， 显然当即时，不合要求. 故， 所以不等式解得：， 又 ，则一定有1，2，3为所求的整数解， 所以，解得：. 4. 【解析】 由得， 要使解集中只有一个整数，则由可知: 该不等式的解为，且， 即，所以的取值范围是. 5.【解析】 当时，R，不满足题意；当时，，不满足题意； 当时，解不等式得或.所以. 要使Z中恰有3个元素，只需，解得. 6.【解析】①当时，不等式可化为，又因， 所以其解为或，其整数解有无数个，不合要求. ②当时，不等式可化为，其解为，不合要求. ③当时，不等式可化为， 又因，所以其解为， 显然当时，其整数解最少，此时. 7.含参的一元二次不等式的解法 7.1能分解先求根，再按两根的大小讨论 【典例】 1.【解析】方程有两根，且， 所以原不等式的解集为． 2.【解析】方程的两根， 当时，则，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集是R； 当时，则，原不等式的解集为． 3.【解析】方程的两根， 当时，则，所以原不等式的解集为； 当时，则，所以原不等式的解集为； 当时，则，所以原不等式的解集为． 4.【解析】方程的两实根， 当时，即时， ，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式化为，无解，原不等式的解集为； 当时，即时，得，原不等式的解集为． 7.2判别式的符号不确定，先按判别式讨论 【典例】 1.【解析】当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为． 2.【解析】方程，， 当，即时，不等式的解集为； 当，即或时，方程有两根，，又，不等式的解集为． 3.【解析】令， （1）当，即时，原不等式的解集为R． （2）当 ，即时，，原不等式的解集为； （3）当，即时，方程有两实根，，且， 原不等式的解集为． 7.3二次项系数的符号不确定，先按讨论 【典例1】 1.【解析】当时，不等式的解集是； 当时，，不等式的解集为． 2.【解析】当时，原不等式的解集为{}； 当时，原不等式转化为，所以或， 其解集为{}； 3.【解析】 当.时，原不等式的解集为{}； 当时，原不等式转化为，所以或， 其解集为{}； 当时，原不等式转化为，其解集为{}； 当时，原不等式转化为，其解集为； 当时，原不等式转化为，其解集为{}. 4.【解析】若，原不等式转化为，所以或， 其解集为{}； 若，原不等式转化为，其解的情况应由与1的大小关系决定，故： 当时，原不等式的解集为{}； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为{}． 5.【解析】当时，不等式的解集为； 当时，方程的解为， 当时， ，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式的解集为． 【典例2 】 1.【解析】由，得，， 当时，解得，原不等式的解集为； 当时，，，原不等式的解集为R． 2.【解析】当时，原不等式化为，其解集为.； 当时，，方程的两根分别为，．因，， 所以原不等式的解集为． 3.【解析】当时，不等式解集为． 当时，则，方程的两根为，，且， 所以原不等式的解集为(,)． 4.【解析】 当时，不等式解集为； 当时，令，则， 当时，，不等式解集为； 当时，则，方程的两根为，，且， 原不等式的解集为(； 当时，则，方程的两根为，，且， 原不等式的解集为(,)． 5.【解析】当时，原不等式化为，其解集为； 当时，令，则； 当时，，，原不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，， 不等式解的情况应由，大小决定． 若时，，，原不等式的解集为； 若时，，，原不等式的解集为． 学科网（北京）股份有限公司 $第十八课 解不等式 目录 ( 22 ) 学科网（北京）股份有限公司 1.不等式的性质 1.1基本性质 1.2利用不等式的性质求“差”与“商”的范围 1.3 不等式的倒数法则及其应用 2. 解一元二次不等式 2.1二次三项式的因式分解 2.2解一元二次方程是图解法解不等式的基础2.3配方法解一元二次不等式 2.4分解因式解一元二次不等式 2.5 求根公式法解一元二次不等式 2.6利用整体思想划归为一元二次不等式求解 3.已知解集求参数的值或取值范围 3.1一元二次不等式解集的意义 3.2两个具有相同参数的相关不等式的关系 3.3观察解集特点化为两根的关系 3.4一元二次不等式组的解集 4.常见不等式的解法 4.1可化为一元二次不等式的分式不等式 4.2 数轴标根法解高次不等式 4.3可化为一元二次不等式的指数对数不等式 5. 含有绝对值的不等式 5.1利用绝对值的定义 5.2 利用绝对值的几何意义 5.3两边平方解绝对值不等式 5.4零点分区间讨论法解不等式 6.不等式的整数解 6.1数形结合求不等式的整数解 6.2根据不等式的解的范围处理整数解问题 7.含参的一元二次不等式的解法 7.1能分解先求根，再按两根的大小讨论 7.2判别式的符号不确定，先按判别式讨论 7.3二次项系数的符号不确定，先按讨论 1.不等式的性质 1.1 基本性质 【典例】对于任意实数，下列五个命题中: ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则； ⑤若，则. 其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】，当时，不成立，①是假命题； ，当时，不成立，②是假命题； 因为，所以，③是真命题； ，当同号时，成立，而异号时，不成立，④是假命题； 时，不一定成立，只有当时，成立，⑤是假命题； 故选A 【评注】不等式两边同加一个数或式，不等号方向不变；不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数不等号方向改变. 【变式1】设，，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知为实数，且． 则“”是“”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【变式3】“”是“且”的 ( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【变式4】若，下列不等式正确的是(　　) A． B. C. D． 【变式5】已知，，那么下列不等式成立的是 （ ） A． B． C. D． 【变式6】已知，为非零实数，且，则下列命题成立的是 ( ) A. B. C. D. 【变式7】若，则“”是“”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【变式8】下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（ ） A． B． C． D．.. 1.2利用不等式的性质求“差”与“商”的范围 【典例】已知，求的取值范围． 【解析】由，得， 又，所以． 因，且， 得，即． 所以的取值范围分别是． 【评注】欲求的取值范围，应先求的取值范围；欲求的取值范围，应先求的取值范围．然后严格依据不能等式的性质求解． 【变式1】若，则的取值范围是 . 【变式2】若,则的取值范围是 . 【变式3】已知,则的取值范围是 . 1.3 不等式的倒数法则及其应用 【典例1】给出下面3个命题，其中正确命题的个数是 . （1） ；（2）；（3） 【解析】因为，所以， 从而，得，所以（1）正确； 因为，所以，， 从而，得，所以（2）成立； 因为，所以，，从而，所以（3）正确， 所以正确命题的个数是3. 【评注】若，且，则 ，即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.另外，如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论. 【变式1】如果，，那么下列不等式中正确的是 （ ） A. B. C. D. 【变式2】若，则下列不等式 ①；②；③；④， 其中正确的不等式有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】若，，则下列不等式成立的是 ( ) A. B. C. D. 【变式4】 如果，那么下列不等式成立的是 （　　） A． B． C． D． 【变式5】已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【变式6】若则一定有（ ） A． B. C. D. 【典例2】求函数的值域． 【解析】设，则， 得，所以， 所以函数的值域是． 【评注】正数的倒数仍然是正数，负数的倒数仍然是负数．若对一个字母或代数式取倒数,求取值范围，还要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论． 【变式1】已知，则的取值范围是 【变式2】解下列不等式： （1）； (2). 2. 解一元二次不等式 2.1二次三项式的因式分解 【典例】分解因式： (1) (2) 【解析】(1)原式 . (2)原式 . 【评注】一元二次多项式分解因式常见方法：(1)提取公因式法：形如； (2)十字相乘法： ． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，作为一次项系数，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． (3)配方法：设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式， 然后用平方差公式分解． ，注意使用配方法的前提要满足． (3)分组分解法：①将多项式分组后能提取公因式进行因式分解，例如：． ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解，例如： 【变式1】分解因式： (1) (2) 【变式2】分解因式： (1) （2） 【变式3】分解因式： 2.2解一元二次方程是图解法解不等式的基础 【典例】解方程 【解析】（法1）提取公因式法：移项得， 提取公因式得， 所以方程的解为． （法2）配方法：移项得， 展开整理得， 配方得， 化简得， 分解为，即， 所以方程的解为． 【评注】一元二次方程求解方法：(1)提取公因式法：形如； (2)十字相乘法：形如； (3)求根公式法（配方法）： 【变式1】解下列方程： (1) (2) 【变式2】解关于的方程 【变式3】解关于的方程 【变式4】解关于的方程 2.3配方法解一元二次不等式 【典例】解不等式． 【解析】两边开方，得， 化为， 解得或， 所以原不等式的解集是． 【评注】不等式等价于，其解集为；不等式等价于，其解集为．简单地说，配方法实质上最终是两边开方转化为绝对值的几何意义求解． 【变式1】不等式的解集为 【变式2】不等式的解集是 . 【变式3】若、为常数，且，则关于的不等式的解集为　　　. 【变式4】解下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 2.4分解因式解一元二次不等式 【典例】解不等式． 【解析】将不等式化为， 分解因式得， 方程的解为， 所以原不等式的解集为． 【评注】利用分解因式法解一元二次不等式，先求出对应方程的根，确定根的大小，然后根据对应函数图象求解．例如，若二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边，小于取中间．若开口向下，可转化为开口向上求解． 【变式1】解下列不等式： （1）； （2） ； （3）； （4）. 【变式2】解不等式． 【变式3】若，则不等式的解集是（ ） A． B． C．或 D．或 【变式4】函数y=的定义域是 . 2.5 求根公式法解一元二次不等式 【典例1】求解下列不等式： （1）；（2） 【解析】（1）不等式变为， 方程的两根为，， 根据二次函数图象， 可得原不等式的解集为. （2）原不等式可化为，即， 所以不等式的解集为R． 【评注】基本步骤如下：①将一元二次不等式化成的形式；②计算判别式，当或时求出相应的一元二次方程的实数解；③画出相应的二次函数的图象；④根据图象和不等式的方向写出一元二次不等式的解集． 【变式1】解下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【典例2】解不等式． 【解析】因为，二次函数的图象恒在轴上方， 所以原不等式的解集为R． 【评注】当时，二次函数的图象与轴没有公共点，恒在轴上方或恒在轴下方，对应的二次不等式的解集是R或者是．当时，二次函数的图象与轴只有一个公共点，二次三项式是一个完全平方式，二次不等式的解集各不相同，要结合函数图象加以区分． 【变式1】，则的元素个数为 . 【变式2】解下列不等式: （1）; （2）; （3）; （4）. 2.6利用整体思想划归为一元二次不等式求解 【典例】解不等式． 【解析】将不等式化为，解得， 于是得， 所以不等式的解集是． 【评注】整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，然后变为熟悉的一元二次不等式求解和指数不等式，对数不等式等问题． 【变式1】解不等式． 【变式2】解不等式． 【变式3】解不等式． 【变式4】解不等式． 【变式5】解不等式. 3.已知解集求参数的值或取值范围 3.1 一元二次不等式解集的意义 【典例】已知不等式 （1）若此不等式的解集是，求实数的值； （2）若此不等式的解集是，求实数的值； （3）若此不等式的解集是，求实数的取值范围； （4）若此不等式的解集是，求实数的取值范围 【解析】（1）易知，2,3是方程的两根， 所以，则． （2）由题设条件可知， 所以，解得． （3）由题设条件，抛物线开口向上且恒在轴上方， 则有，所以，解得， 所以的取值范围是． （4）由题设条件可知，所以，解得， 所以的取值范围是． 【评注】一元二次不等式解集的两端点值是对应方程的两根，由解集的形式还能确定二次项系数的正负；二次不等式的解集是R，其意义是抛物线完全在轴上方，即； 二次不等式的解集是，其意义是抛物线完全在轴下方（或顶点在轴），即． 【变式1】已知不等式的解集是，则实数的值为 【变式2】已知不等式的解集是R，则实数的取值范围为 【变式3】已知不等式的解集是，则实数的取值范围为 【变式4】若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 . 【变式5】已知集合A＝，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}， 且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________. 【典例2】已知二次函数，不等式的解集为 （1）求实数的值； （2）求不等式的解集． 【解析】（1）由不等式的解集为， 所以为是方程的两根． 即，． （2）不等式等价于，即， 所以，所以， 所以不等式解集为． 【评注】一元二次不等式的解集为，则是方程的两根且；一元二次不等式的解集为，则是方程的两根且． 【变式1】已知不等式的解集是，则 【变式2】若关于的不等式的解集为，则实数的值为 . 【变式3】已知关于的不等式的解集为，R，则的值是 . 【变式4】已知二次不等式的解集为，且，则的最小值为 ． 3.2两个具有相同参数的相关不等式的关系 【典例1】不等式的解集为或， 则关于的不等式的解集是 .　 【解析】因为的解集为或， 可得的两个解， 且，，， 不等式化为， 即， ，解得， 故所求不等式的解集为． 【评注】当时，不等式的解集用对应的方程的两个根来表示，因此可以借助韦达定理来寻找系数之间的关系，进而求解相关的不等式. 【变式1】若不等式的解集是， 则不等式的解集是（ ）. A. B. C. D. 【变式2】不等式的解集为，则关于的不等式的解集是 .　 【变式3】不等式的解集为，则关于的不等式的解集是 .　 【变式4】关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为 【典例2】对于问题“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法： 由的解集为，得的解集为， 即关于的不等式的解集为． 参考上述解法，若关于的不等式的解集为， 则关于的不等式的解集为 . 【解析】设， 不等式可化为，即． 则问题转化为：已知不等式的解集为，求不等式的解集． 由题意得， 解得， 所以关于的不等式的解集为． 【评注】不等式的解集与的解集，如果从整体的角度看，即把看成，那么它们的解集就是一致的．也就是“已知，求的解集”．此规律可以推而广之． 【变式1】已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为 ． 【变式2】已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为 ． 【变式3】已知一元二次不等式的解集为，则的解集为　 　． 【变式4】若关于的不等式的解集为（）， 则关于的不等式的解集是 ． 【变式5】已知关于的不等式的解集为， 则关于的不等式的解集为 ． 3.3观察解集特点化为两根的关系 【典例】已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ． 【解析】（法1）由题意知， 因为的值域为， 所以，即， 故， 当时，解得， 又的解集为， 所以， 故，解得. （法2）因为的值域为， 所以， 又由题可得的解为，， 由韦达定理有，， 故， 由可得，解得． （法3）由条件设， 所以， 由于的值域为， 所以，即，解得． 【评注】将条件“不等式的解集为”与“两根之差为6”结合起来，注意求根公式或韦达定理的运用． 【变式1】关于x的不等式的解集为，且，则等于(　　) A. B. C. D. 【变式2】关于的不等式的任意两个解的差不超过9，则的取值范围是________． 3.4一元二次不等式组的解集 【典例1】已知不等式的解集是，求实数的值． 【解析】作出函数，的图象， 观察得1和3是方程的两根， 0和4是方程的两根， 由韦达定理得得． 【评注】设二次函数的图象开口向上，若不等式的解集为，说明是方程的两根，是方程的两根；若不等式的解集为，则说明是方程的两根，且恒成立；若不等式的解集是单元素集合，则方程有两个相等的实根． 【变式1】若关于的不等式的解集是单元素集合，则的最小值是 ． 【变式2】若关于的不等式的解集是单元素集合，则的最小值是 ． 【变式3】若关于的不等式的解集是， 则= = ，= ． 【变式4】若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ． 【变式5】已知，函数 若不等式的解集是，则= ，= ． 【变式6】若关于的不等式的解集为（其中是常数，且），则的值是 ． 【变式7】已知函数，是否存在整数（其中），使得关于的不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4.其它不等式的解法 4.1 可化为一元二次不等式的分式不等式 【典例】不等式的解集是 . 【解析】原不等式转化为， 即，所以， 由于， 所以，即，解得， 所以原不等式的解集是． 【评注】解分式不等式的一般思路是：首先移项，使不等式的右边为0．其次通分，合并同类项，并将分子、分母分解因式，使每一个因式中最高次项的系数为正．最后根据符号法则转化为整式不等式求解．在解分式不等式时，一般不直接去分母，若分母恒为正或恒为负时可直接去分母，若分母正负不确定，需要分类讨论去分母． 【变式1】已知，且，则关于的不等式的解集为 ． 【变式2】 解下列不等式： （1）； （2）； （3） ； （4）． 4.2 数轴标根法解高次不等式 【典例】不等式的解集是 ． 【解析】由得，即， 方程的三个根为，0，3， 由数轴标根法知，原不等式的解集为． ( 3 0 x — — + + —— ) 【评注】解高次不等式可采用数轴标根法，其步骤是： （1）通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0，左侧分解成若干个一次因式积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将不等号换成等号解出所有根，在数轴上从左到右按照大小依次标出各根； （3）画穿根线:以数轴为标准，从"最右根"的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过"次右根"上去，一上一下依次穿过各根； （4）观察不等号，如果不等号为""，则取数轴上方，穿根线以内的范围;如果不等号为""，则取数轴下方，穿根线以内的范围； （5）奇穿偶不穿: 奇重根之所以“奇穿”，是因为它穿了奇数次．偶重根不穿，如两个解都是1 ，那么穿的时候不要透过1．可以简单记为"自上而下，从右到左，奇穿偶不穿"．注意数轴标根法中波浪线实质类似于函数的图像，奇重根之所以“奇穿”，是因为它穿了奇数次. 【变式1】不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【变式2】不等式的解集是 . 【变式3】不等式的解集是 . 【典例2】不等式的解集为 . 【解析】原不等式等价化为不等式且， 即且， 用“数轴标根法”如图， ( 0 -1 -3 4 2 x ) 所以原不等式的解集是. 【评注】解高次不等式时需注意出现重根现象，重根出现次数是奇数还是偶数，在画线时是有区别，即“奇穿偶不穿”，因为奇次方不改变因式的符号，而偶次方改变因式的符号. 注意二重根仍然可以看成是两个根，穿两次的效果如同“偶切” 【变式1】不等式的解集是 . 【变式2】不等式的解集是 . 4.3 可化为一元二次不等式的指数、对数不等式 【典例不等式的解集为________. 【解析】原不等式可化为， 所以解得 所以解集为 【评注】利用指、对函数的单调性解一元二次不等式，首先化为同底数式子，然后根据指、对函数的单调性，转化为比较指数、真数的大小关系．另外要注意真数大于零． 【变式1】不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 【变式2】不等式的解集为 ． 【变式3】不等式的解集为 ． 5. 含有绝对值的不等式 5.1利用绝对值的定义 【例1】不等式的解集是（ ） （A） （B） （C） （D） 【解析】由题意得，解得，故选． 【评注】对任意实数都有． 【变式1】设，则不等式的解集为______________________． 【变式2】不等式的解集是( ) （A） （B） （C） （D） 【变式3】满足的的取值范围是 【变式4】函数的定义域为 【变式5】函数的定义域为 5.2利用绝对值的几何意义 【典例1】已知关于的不等式的解集为，求实数，的值； 【解析】先由可得，再利用关于的不等式的解集为，得，解得. 【评注】数轴上，表示实数所对应的点到原点距离等于，其范围是，据此可以得到相关不等式的解：或，．或;若不等式的解集是，则是方程的两根 【变式1】不等式的解集是 . 【变式2】不等式的解集为________． 【变式3】已知集合，则 ． 【变式4】设，不等式的解集是，则等于 . 【变式5】若不等式的解集为，则实数____. 【变式6】关于的不等式的解集为R， 则的取值范围是 . 【典例2】不等式的解集为R， 则的取值范围为 . 【解析】当时，， 当且仅当时等号成立， 所以当时，等价于①， 当时，①等价于，无解； 当时，①等价于，解得. 所以的取值范围为. 【评注】表示数轴上的动点到数轴上的点的距离，表示数轴上的动点到数轴上的点和的距离之和． 【变式1】若不等式的解集是非空集合，则实数 已知关于x的不等式的解集是非空集合， 则实数a的取值范围是______． 【变式2】不等式的解集是 . 【变式3】若存在实数使成立， 则实数的取值范围是 ． 【变式4】若关于的不等式的解集为空集， 则实数的取值范围是 . 【变式5】若关于实数的不等式无解， 则实数的取值范围是________． 【变式6】设不等式的解集为，且，. （1）求实数a； （2）求函数的最小值. 5.3两边平方解绝对值不等式 【典例】不等式的解集为 . 【解析】原不等式可化为，所以 ， 即 ，解得. 故不等式的解集为. 【评注】当不等式两边都为非负数时，可同时平方求解. 【变式1】不等式的解集为______. 【变式2】不等式的解集为 . 【变式3】在实数范围内，不等式的解集为 . 【变式4】不等式的解集为 ． 【变式5】已知函数当a=2时，不等式的解集为______. 5.4零点分区间讨论法求解不等式 【例5】不等式的解集是（ ） （A） （B） （C）（1，4） （D）（1，5） 【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集; 解（I）得 , 解（II）得 , （III）的解集是， 所以原不等式的解集为.故选A. 【评注】的零点是0，的零点是， 【变式1】不等式的解集是 ． 【变式2】对于，不等式的解集为________. 6.不等式的整数解 6.1数形结合求不等式的整数解 【典例】不等式的所有整数解是 . 【解析】令，， 作出两个函数的图象，可知当时，有. 所以不等式的所有整数解是，，，. 【评注】恰当的构造两个函数，画出图象,通过图象解答此类问题是常见的方法.通常构造大家熟悉的基本初等函数形式，然后验证相近的整数. 【变式1】写出不等式的所有整数解 . 【变式2】写出不等式的所有正整数解 . 【变式3】不等式的所有整数解是 . 【变式4】已知在关于的不等式的解集中， 有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是 ． 6.2根据不等式的解的范围处理整数解问题 【典例】，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个， 则 （ ） A. B. C. D. 【解析】将化为， 由题设，必有， 又，则有， 解不等式得， 因为，则， 若解集中的整数恰有3个，则这三个整数为， 于是，即， 解 所以，，故得.故选C. 【评注】先解出不等式的解，再根据不等式的解的范围确定整数解列出不等式，从而解出参数的范围. 【变式1】由整数解确定不等式对应方程根的范围 若关于的不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3， 则实数的取值范围为 . 【变式2】如果关于的不等式组的整数解仅有1，2， 那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有 个. 【变式3】若关于 的不等式的解集中的整数恰有3个， 则实数的取值范围是 . 【变式4】若不等式组的解集中所含整数解只有， 则实数的取值范围 . 【变式5】设全集UR，关于的不等式的解集为，Z为整数集，若Z中恰有3个元素，求的取值范围. 【变式6】已知关于的不等式的解集为，且中共含有个整数，当最小时，求实数的值. 7.含参的一元二次不等式解法 7.1能分解先求根，再按两根的大小讨论 【典例】解关于的不等式. 【解析】原不等式转化为， 令，． 若，则； 若，则不等式为，无解； 若，则． 综上，当，原不等式的解集为； 当，则原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为. 【评注】对参数的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类，也并非一开始就知道该如何分类．比如本题，为求不等式的解集，需先求出方程的根，但两根的大小不确定，无法写出不等式的解集，故需按两根的大小进行讨论．所以分类讨论是由不确定因素而引起．所给的含参变量不等式作为方程时候可以解得其根，但是作为不等式“根”的大小是不确定的，所以需要我们进行分类讨论. 【变式1】解关于的不等式． 【变式2】解关于的不等式． 【变式3】解关于的不等式． 【变式4】 解关于的不等式． 7.2判别式的符号不确定，先按判别式讨论 【典例】解关于的不等式． 【解析】方程，， 当，即时，不等式的解集为； 当，即或时， 方程有两根，， 不等式的解集为． 【评注】一元二次方程的根是不确定的，又因判别式正负也不确定，故按三种情况进行讨论．另外这三种情况也可以根据二次函数图象的直观性展开讨论． 【变式1】解关于的不等式． 【变式2】解关于的不等式． 【变式3】解关于的不等式． 7.3 二次项系数的符号不确定，先按讨论 【典例1】解不等式． 【解析】当时，原不等式为，所以； 当时，抛物线开口向下， 令，所以； 当时，抛物线开口向上， 令， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得． 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为． 【评注】解形如或的含参不等式，分类标准要分层，一般如下： 第一层次讨论，若二次项系数含有参数，则对二次项系数分，，三种情况讨论； 第二层次讨论，若，且开口方向确定，则对判别式分三种情况讨论； 第三层次讨论，若确定，则对方程的根，比较大小，必要时还需考虑定义域． 【变式1】解关于的不等式． 【变式2】解关于的不等式：． 【变式3】解关于的不等式：． 【变式4】解关于的不等式：． 【变式5】解关于的不等式 【典例2 】解关于的不等式． 【解析】当时，不等式化为，解得 ． 令，因为，所以， 所以，． 当时，，解不等式得． 当时，，解不等式得． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【评注】二次项系数含有参数，因此要分三种情况讨论．当时，确定，进而要比较两个根的大小，即比较一元二次方程两根的大小，需对分类讨论． 【变式1】已知，解关于的不等式． 【变式2】解关于的不等式． 【变式3】已知，解关于的不等式． 【变式4】已知，解关于的不等式： 【变式5】解关于的不等式． $