第18讲 正余弦函数的图像与性质（15大核心题型归纳）讲义-2027届高三考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦正余弦函数图像与性质高考核心考点，涵盖五点作图、定义域、值域、单调性等15类题型，按“基础概念—性质应用—综合突破”逻辑架构知识体系。通过核心知识梳理、方法技巧提炼、经典例题精讲及分层巩固练习，帮助学生系统构建解题框架，突破图像变换、参数求解等难点。 资料以“题型归类+方法建模”为特色，如换元法求值域时，引导学生通过三角函数换元转化为二次函数问题，培养数学思维与运算能力。设置从基础巩固到高考真题的分层训练，配合即时反馈设计，确保高效突破考点。既提升学生用数学语言表达函数性质的能力，又为教师提供精准复习节奏把控的教学方案。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第18讲 正余弦函数的图像与性质 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 五点作图法 核心知识 函数 一个周期内五个关键点对应取值依次为 一个周期内五个关键点对应取值依次为 方法技巧 1.令分别等于五个基准值解出对应的坐标 2.算出每组坐标描点后用平滑曲线连接 3.作图前先确定振幅|A|周期 4.如需延伸图像按照周期左右平移拓展 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)将函数化为形式，填写下表，并画出函数在区间上的图象；（如图） x 0 π 2π (2)求函数的单调减区间． 【答案】(1), 图象如图． (2)单调减区间为 【分析】（1）先化简函数表达式为，填写上图即可； （2）由，得，即可求得函数的单调减区间. 【详解】（1）, 图象如图． （2）由得， 故单调减区间为， 注：也可以． 【经典例题2】（25-26高一下·湖北黄冈·期末）已知函数． (1)用五点作图法作出函数在上的简图； (2)求的解集； (3)关于x的方程在区间上有两个解，且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用五点法作图得出函数的图象； （2）根据正弦函数的性质计算求解不等式； （3）应用正弦函数值域结合诱导公式计算求解. 【详解】（1） 0 x y 1 3 1 1 图象如右： （2）由得 可得，解得 故的解集为 （3）当时， 因为，，、 由于，所以 ，所以， 因为，所以且 【巩固练习1】已知函数. 利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 【答案】 0 画出在区间上的图象如图： 【分析】由题设及特殊角三角函数值可完成表格，由表格可完成图象. 【巩固练习2】（25-26高一下·全国·课堂例题）画出函数，的图象． 【答案】 【分析】用五点法作图，先列表，然后描点连线画图即可. 【详解】①列表： x 0 0 1 0 0 ②描点画图，如图． 【巩固练习3】已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 【答案】(1)表格及作图见解析 (2) 【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图； （2）先通过图象变换得到，然后结合图像代入得到解集． 【详解】（1）（1），补全列表如下： 0 x 0 1 0 0 画出在上的图象如图： （2）的图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象， 再向左平移个单位长度，得的图象． 令，则， 解得， 即的解集为． 【题型2】 正余弦函数的定义域 核心知识 定义域为 复合三角函数定义域结合分式、根式、对数限制条件求解 方法技巧 1.单独、无自变量限制 2.遇到根式要求 3.遇到分式要求 4.遇到对数要求 5.联立所有约束条件取交集得到最终定义域 【经典例题1】已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 【答案】(1)表格及作图见解析 (2) 【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图； （2）先通过图象变换得到，然后结合图像代入得到解集． 【详解】（1）（1），补全列表如下： 0 x 0 1 0 0 画出在上的图象如图： （2）的图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）得的图象， 再向左平移个单位长度，得的图象． 令，则， 解得， 即的解集为． 【经典例题2】（25-26高一下·北京·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】先应用同角三角函数关系化简结合三角函数值域得出，最后应用正弦函数值域得出定义域. 【详解】函数满足， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以函数定义域为. 【巩固练习1】（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】求出定义域，利用复合函数的单调性和正弦函数的图像和性质求出的单调递减区间就是所求的单调递减区间. 【详解】对于，令， 则，所以，. 因为为增函数， 所以的单调递减区间即为的单调递减区间， 所以，， 解得，， 所以的单调递减区间为，. 【巩固练习2】（25-26高一下·上海闵行·期中）函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】根据余弦函数的图像与性质即可求解． 【详解】由题知，， 所以， 所以定义域为． 【巩固练习3】（25-26高一上·宁夏固原·期末）函数的定义域为_________________. 【答案】 【分析】由根式知，利用余弦函数性质解不等式求定义域范围即可. 【详解】令，得， 解得， 即， 故答案为：. 【题型3】 正余弦函数在某区间上的值域与最值 核心知识 值域 先求出内层在给定区间对应的范围 再结合正弦、余弦图像求函数取值范围 方法技巧 1.换元令求出的取值区间 2.根据区间结合正弦/余弦图像判断最高点最低点 3.注意区间是否包含最值点区分开区间与闭区间 4.函数带有系数时最值同步乘以 【经典例题1】求下列函数的最大值和最小值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)函数的最大值为13、最小值为 (2)函数的最大值为2、最小值为 (3)函数的最大值为2、最小值为 【分析】（1）（2）（3）根据两角和与差的正弦函数、余弦函数公式化简函数解析式，利用正弦函数、余弦函数的图象和性质即可得到最值． 【详解】（1），其中； 函数的最大值为13、最小值为. （2）； 函数的最大值为2、最小值为. （3）； 函数的最大值为2、最小值为. 【经典例题2】（25-26高一下·甘肃嘉峪关·期末）已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过三角恒等变换将函数化简为正弦型函数，再结合自变量区间求最值，最后计算最值之和. 【详解】依题意， 由，得，因此. 当时，取最大值，故； 当时，取最小值，故. 因此. 【巩固练习1】（2026·贵州安顺·模拟预测）（多选）已知函数，其中是常数，则（    ） A．对任意的最大值是1 B．存在，使得的最小值是 C．对任意，存在，使得 D．对任意，存在，使得 【答案】BCD 【分析】利用余弦函数的图像和性质求解 【详解】， 选项A，的最大值为，此时， 当时，，此范围内的最大值为，故选项A错误； 选项B，的最小值为，此时， 当时，，需要， 则，即，又， 则时，， 故存在，使得的最小值是，故选项B正确； 选项C，反证法，假设存在使得对于任意的，，即， 又的解集为，这个开区间的长度为， 又的范围是闭区间且长度也为，则无法完全包含于开区间内， 例如，当时，，端点处的函数值， 故假设不成立，故原命题成立，故选项C正确； 选项D，反证法，假设存在，使得对于任意的，， 即， 又的解集为，这个开区间的长度为， 又的范围是闭区间且长度也为，则无法完全包含于开区间内， 例如，当时，，端点处的函数值， 故假设不成立，故原命题成立，故选项D正确. 【巩固练习2】（25-26高一下·辽宁·期中）（1）求函数f（x）＝的最大值； （2）证明：对任意实数a，x，； （3）是否存在△ABC，使得？若存在，求出A，B；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3； （2）令T 设 ， 所以 其中，， 因为对任意实数x，恒成立， 所以．因为， 所以，，则， 设， 当时，取得最大值4，此时， 所以，原不等式得证． （3）不存在，理由： 假设存在满足条件的，使得， 由（2）可知，若要取得最大值4，必须同时满足两个取等条件： ①，此时；②． 对于①，因为，所以， 代入（2），此时，则， ，故可取． 对于②，，因为，所以， 则，此时无解，故条件②无法成立， 所以不存在满足条件的． 【分析】（1）利用两角和公式展开并合并同类项，再通过辅助角公式将其化简为余弦型函数来求解最值； （2）提取含有变量的项构造辅助角形式以分离变量，随后利用换元法将原式转化为关于单变量的二次函数，通过求该二次函数的最大值来完成不等式证明； （3）直接套用第（2）问取得最大值4时必须同时满足的两个“取等条件”建立方程组，求解后发现算出的角度不符合三角形内角和定理的范围限制，从而证明不存在. 【巩固练习3】（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用余弦函数性质列不等式计算求解； （2）由，得，结合余弦函数性质计算求解. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； （2）当时，， 所以，， 即函数的值域为. 【题型4】 换元法求正余弦函数的值域与最值 核心知识 形如或 设或则 转化为闭区间上二次函数求值域 方法技巧 1.换元后必须标注不可忽略取值限制 2.分析二次函数对称轴位置判断对称轴是否落在内 3.分别计算区间端点与对称轴处函数值 4.区分与不要混用换元变量 【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，则在上的值域为___________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的平方关系将原函数转化为关于的二次函数，再利用换元法，及二次函数的性质即可求解． 【详解】由，， 令，，则原函数转化为二次函数，， 又该二次函数开口向下，且对称轴为， 当时，取得最大值，； 当时，；当时，，即， 所以在上的值域为． 【经典例题2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）函数在区间上的最大值为__________. 【答案】3 【详解】， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，为3. 【巩固练习1】（25-26高一下·北京延庆·期中）已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系，利用换元法（令），结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】， 令，由得， 设， 其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 因为在上取得最大值2， 所以，解得. 【巩固练习2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）函数的值域是__________． 【答案】 【分析】由诱导公式和余弦二倍角公式，通过换元转换成二次函数求值域即可. 【详解】利用诱导公式 ，二倍角公式 ， 代入原函数得： 换元转化为二次函数： 令 ， 由余弦函数性质得 ，函数转化为：， 该二次函数开口向上，对称轴为 ​， 因此二次函数在 上单调递减， 当 时，取最小值 ， 当 时，取最大值 ， 因此 的值域为. 【巩固练习3】（25-26高一下·上海·期中）函数的值域是____________． 【答案】 【分析】利用余弦二倍角公式将原函数变形为关于的二次函数，换元后结合的取值范围，利用二次函数的性质求值域. 【详解】由题意得， 令，则，原函数化为， 该二次函数开口向上，对称轴， 所以当时取得最小值，， 因为区间端点较端点距离对称轴远， 所以当时取得最大值，， 所以原函数的值域为. 【题型5】 由正余弦函数的值域与最值求参数范围 核心知识 已知时的值域/最值 反求解析式中等参数取值 方法技巧 1.换元写出的区间 2.根据值域反向锁定区间需要覆盖的正弦/余弦取值范围 3.结合三角函数图像列出关于参数的不等式 4.注意多解情况检验参数是否满足全部条件 【经典例题1】（25-26高一下·上海·期末）设，．若函数，的值域为，且，则__________． 【答案】 【分析】根据函数值域满足，结合正弦函数的图象可知时满足题意，得解. 【详解】，令， ,, ，作出函数的图象，如图， 由图可知，以为中心，当变大时， 若，函数增大时，函数值减小时，不满足， 若时，函数最大值，所以只需要确定函数最小值，因为，需函数最小值为， 所以当时，即时， 函数值域为，满足， 综上. 【经典例题2】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)若函数在区间上的值域，求m的取值范围. 【答案】(1) 最小正周期为，单调增区间为； (2) 的取值范围是 【详解】（1）， 所以的最小正周期， 正弦函数的单调增区间为， 令，代入可得， 即， 所以的单调增区间为. （2）当时，， 在区间上的值域为，即， 所以， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，， 所以，解得， 即的取值范围是. 【巩固练习1】（25-26高一下·河南南阳·期中）已知．对，使得成立，则y的最小值为_____________． 【答案】 【分析】对，使得 ，求出的所有最大值中的最小值，计算即可. 【详解】作出 的图像如图所示： 因为正弦函数的周期为，所以的周期为， 区间的长度为，恰好等于 的半个周期. 成立， 即所有长度为的区间内，的最大值中的最小值，要大于等于. 当区间关于 对称时， 取得最大值中的最小值为 . 要使 成立，需， 又，在单调递减，故：. 【巩固练习2】（25-26高一下·山西运城·期中）函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法结合余弦函数值域计算求解参数. 【详解】函数中，当时，， 函数在上有最小值，没有最大值， 得，解得， 所以的取值范围是. 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏南通·期末）若存在实数，使得对任意的，均有，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的周期，分析的最大值，根据的性质，可求得使取到最大值最小时的，从而求得实数a的最小值. 【详解】当时，的取值是以为周期的序列， 在一个周期内的取值组成的集合为. 根据的单调性、对称性及的周期性， 不妨令，，则的最大值在或中取得， 要使的最大值取得最小值，需使， 根据余弦函数的对称性，此时两角关于对称，即，解得， 又，解得， 所以， 故选：D. 【题型6】 求正余弦函数的单调性 核心知识 单调递增区间 单调递减区间 单调递增区间 单调递减区间 方法技巧 1.复合函数遵循“同增异减” 2.时先把化为正数再求解单调区间 3.解不等式得到范围后标注 4.求指定区间单调子区间取解集与题干区间的交集 【经典例题1】（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知函数，则在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，求解即可. 【详解】由； 令得：， 令得： 令得：， 结合选项可知ABD错误，C正确. 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 所以单调递减区间为，解得，. 【巩固练习1】（25-26高一下·北京昌平·期末）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】B 【分析】先利用平方差公式、同角三角函数基本关系及二倍角余弦公式化简为，再结合余弦函数的单调性逐一判断各选项. 【详解】， 因为，，可得. 的单调递增区间为，单调递减区间为，令. 选项A，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故在该区间不单调，A错误. 选项B，当时，，是时的单调递增区间，故在该区间单调递增，B正确. 选项C，当时，，在上单调递减，在上单调递增，故在该区间不单调，C错误. 选项D，当时，，在上单调递增，在上单调递减，故在该区间不单调，D错误. 【巩固练习2】（25-26高一下·北京·期末）函数的单调递增区间为______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式将原函数化简为余弦型三角函数，再结合余弦函数的单调递增区间列不等式求解即可. 【详解】 ， 由，解得. 因此函数的单调递增区间为. 【巩固练习3】（2026高二下·天津南开·学业考试）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】A 【详解】令，得，. 当时可得的一个单调递减区间为. 令，得，. 当时可得的一个单调递增区间为. ， 在区间上单调递减. 【题型7】 正余弦函数的奇偶性求参数 核心知识 奇函数满足图像关于原点对称 偶函数满足图像关于轴对称 为奇函数 为偶函数 为奇函数 为偶函数 方法技巧 1.直接代入奇偶定义列式或利用上述相位条件快速列式 2.求出参数后代回检验排除增根 3.优先使用相位结论缩短计算步骤 【经典例题1】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得： ， 因为为偶函数， 所以， 解得：， 当时，可得. 【经典例题2】（湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 【答案】 【分析】根据函数为奇函数得出或，然后对或进行分类讨论，分析可知，由可得，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，即可解得的值. 【详解】因为函数是奇函数，则， 因为，所以或. 因为，若，则为常值函数，不符合题意，所以， （1）若，则，当时，， 因为正弦函数在上单调递增， 故函数在上不可能单调递减，不符合题意； （2）若，则， 当时，， 因为函数在上单调递减，且函数在上单调递减， 则，所以，解得， 因为，所以，符合题意. 综上所述，. 【巩固练习1】（25-26高一下·上海·期末）若为偶函数，且，则的值为______． 【答案】或 【详解】为偶函数，， ，或. 【巩固练习2】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知是偶函数，在区间上单调递增．则______，______． 【答案】 / 【分析】先根据偶函数的性质推导的可能取值，再结合余弦型函数的单调性筛选的取值，最后代入计算函数值. 【详解】∵ 是偶函数， ∴ 对任意，恒成立，即， 展开得， 整理得对任意恒成立，∴ . 又，∴ 或. 当时，， 若，时，无法在单调递增； 若，令，则，同理无法在单调递增，故舍去； 当时，， 要使在单调递增，需在该区间单调递减，即需使， 结合得，均满足条件，故. 将代入得， 当时，； 当时，； 综上. 【巩固练习3】（2026·江西南昌·二模）已知函数是奇函数，则的一个可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质可得，然后逐一验证选项即可求解. 【详解】若是奇函数，根据奇函数性质：在定义域内时，必有， 代入得： 解得，当时，，符合要求. 当时，，是奇函数； 对于AD：、对应为偶函数； 对于B：对应非奇非偶，均不符合. 【题型8】 正余弦函数的对称性求参数 核心知识 对称轴： 对称中心：对称中心纵坐标为0 对称轴： 对称中心：对称中心纵坐标为0 方法技巧 1.若直线是对称轴则处函数取得最值 2.若点是对称中心则 3.将条件代入对应等式解出参数 4.存在多个参数时联立条件求解 【经典例题1】（2026·陕西·三模）若函数的图象关于直线对称，则实数的值为_____________． 【答案】/ 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以对恒成立， 所以对恒成立， 所以， 所以，所以 因为，所以不恒为0， 所以，解得. 【经典例题2】（25-26高一下·北京西城·期末）若曲线关于直线对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线关于直线对称，则， 即， 因为， 当时，， 当时，（舍去）， 所以的最小值为，选项B正确. 【巩固练习1】（25-26高一下·河南南阳·期中）若函数的图象关于直线对称，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【答案】A 【分析】法一，由对称性通过特殊值，列出等式求解，法二，通过对称性的定义，列出等式求解. 【详解】解法一：若函数的图象关于直线对称，则， 所以，解得. 解法二：若函数的图象关于直线对称， 则恒成立，， 所以， 化简得，恒成立，所以. 【巩固练习2】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，若对任意，成立，则的最小值是____． 【答案】/ 【详解】对任意，成立，则的图象关于对称， 所以，则， 所以，而，故最小为. 【巩固练习3】（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦型函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以， 因为，所以由， 所以当时，有最小值. 故选：D 【题型9】 由正余弦函数的零点求参数范围 核心知识 零点即的解 方法技巧 1.令函数等于0解出全部零点表达式 2.根据“区间内存在零点/恰好有几个零点”列出不等式 3.结合确定参数取值边界 4.注意边界值能否取到 【经典例题1】（25-26高一上·陕西西安·期末）函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为___________． 【答案】 【分析】利用余弦函数的对称性求出参数，再利用余弦函数的零点分布可确定参数的范围. 【详解】由函数的图象关于直线对称， 可得， 又因为，所以，则， 当时，， 在上有且只有两个零点， 所以，解得. 故答案为： 【经典例题2】（25-26高三上·湖南·开学考试）已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】设为的最小正周期，则由得，由得，由得，结合求得和的范围，根据余弦函数性质列不等式组求解即可. 【详解】设为的最小正周期，由题意可知，，即，解得， 由得，，，由得，， 又，所以，， 由余弦函数的图象可知，两个相邻零点之间必有一条对称轴，即存在一个极值点. 由题意或， 解得或， 故实数的取值范围为. 故答案为： 【巩固练习1】（24-25高一下·贵州·阶段检测）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据自变量的取值范围求解出的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像：    所以，整理得：． 故选：A． 【巩固练习2】（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出相位的取值范围，再由零点及对称轴情况列出不等式求解. 【详解】当时，， 由函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，， 得或，解得或， 则，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【巩固练习3】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解. 【详解】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 【题型10】 由正余弦函数的极值与最值求参数范围 核心知识 正弦、余弦函数极值点即为最值点 在处取得最值 在处取得最值 方法技巧 1.区间内存在最值等价于区间包含最值点 2.区间内无最值等价于区间落在相邻两个最值点之间 3.换元转化为区间问题 4.列出不等式求解参数验证区间端点 【经典例题1】（25-26高一下·上海嘉定·期末）函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】若，则 又因为，函数在上存在最大值，但不存在最小值， 所以当，即时， 只需满足，此时， 当，即时，函数一定存在最大值， 要让函数无最小值，则，即， 综上，，即的取值范围为 【经典例题2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】结合正弦函数图象，根据题意列不等式计算即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点， 则，且，解得且， 所以的取值范围为. 【巩固练习1】（重庆市南开中学校2026届高三年级5月质量检测数学试题）已知函数在内恰好有一个极值点，则正实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】利用辅助角公式：得， 极值点出现在的对称轴处， 令， 解得：， 当时，， 当时，， 当时，，更大， 当时，，不在区间内， 要使在区间内恰好有一个极值点， 必须满足：，解得：. 【巩固练习2】（25-26高一下·江西赣州·期中）若函数在上有4个最值，则______． 【答案】 【分析】求出的范围，根据条件建立不等式求解即可. 【详解】因为，则， 因为在上有4个最值， 所以 解得. 【巩固练习3】（25-26高一下·上海·期中）已知，若函数在区间上恰好取得一次最大值1和一次最小值-1，则的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为，所以， 函数在区间上恰好取得一次最大值1和一次最小值-1， 因为，所以内最小值点与最大值点分别是， 所以，解得， 所以的取值范围是 【题型11】 由正余弦函数的单调性求参数范围 核心知识 、的单调区间具有周期性 若区间[m,n]是函数单调区间的子区间可建立参数不等式 方法技巧 1.先写出函数完整单调区间通式 2.令题干区间包含于单调区间内部 3.建立左右边界不等式组求解参数 4.是常见前提注意不要遗漏限制条件 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出的范围，再结合单调性列不等式组求解即可． 【详解】， ， 又函数在区间上单调递减， ， 解得， 即． 【经典例题2】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】先利用辅助角公式化简，再结合正弦函数的单调性可得出关于的不等式求解. 【详解】， 若，则且，得， 因为在区间上单调递增，所以，得， 故的取值范围为 【巩固练习1】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）若函数在上单调，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】根据余弦函数只能在半个周期内单调可得，再通过整体法确定的取值范围，最后求解取值范围即可. 【详解】由题意函数的最小正周期为，因为函数在区间上单调，可得，则. 因为，所以. 因为，所以. 因为在上单调，所以或， 解得，或， 因为，所以或． 【巩固练习2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数在上单调递减，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据x的范围，可得的范围，根据余弦函数的单调性，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得， 因为在上单调递减， 所以，解得，故的最大值为. 【巩固练习3】（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______. 【答案】1 【分析】利用辅助角公式将化成，由在区间上单调递增，利用正弦函数的图象与性质可得，从而得到的最大值. 【详解】， ，， ，，的最大值为. 故答案为：. 【题型12】 由正余弦函数的对称性求参数范围 核心知识 区间内存在对称轴/对称中心利用对称轴、对称中心通式建立约束 方法技巧 1.写出全部对称轴或对称中心横坐标通解 2.根据“区间存在满足条件的解”列出不等式 3.借助锁定参数上下界 4.区分“存在一条”和“至少一条”两类问法 【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于区间内恰好有两个整数，再由得，进而得区间上有两个正整数解，再进一步转化为关于和整数的不等式组，通过讨论正整数的取值分类求解不等式组可得. 【详解】因为， 令，，则，， 函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合， 又在区间上恰好有两条对称轴， 由，得，,, 即区间内恰好有两个整数，且，得， 设两个整数为，则，即， 当的两个整数解为时，，则，即； 当的两个整数解为时，，则，即； 当的两个整数解为大于等时，时，因为， 所以不等式组无解； 综上所述，当的两个整数解为时，； 当的两个整数解为时，；无大于等的两个整数解. 因此的取值范围为. 【经典例题2】（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数，在内有且只有三条对称轴，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据二倍角公式、降幂公式、辅助角公式，化简整理，可得，根据x的范围，可得的范围，根据正弦型三角函数的图象与性质，结合条件，可得，化简即可得答案. 【详解】由题意 ， 因为，所以， 因为在内有且只有三条对称轴， 所以，解得. 故答案为： 【巩固练习1】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数（），若在区间内恰有4个零点和三条对称轴，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】由余弦函数图象性质并结合区间范围以及零点和对称轴个数可得，解不等式即可求出的取值范围. 【详解】由，可得， 根据余弦函数图象性质可知若在区间内恰有4个零点和三条对称轴， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【巩固练习2】若函数的图象在内有且只有两条对称轴，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】求出函数图象的对称轴的一般形式，再根据其所在的范围可求的取值范围. 【详解】令，则，其中. 由题设可得：存在整数，使得， 由可得，结合可得， 故即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于含参数的余弦型函数（正弦型函数），如果知道它在给定范围上的单调性或对称轴的条数、零点的个数等，一般是求出性质的一般形式，再把存在性问题转化为不等式的整数解问题，确定出整数的取值后可求参数的取值范围. 【巩固练习3】（25-26高一下·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的图象对称轴方程，再结合已知列出不等式组求解. 【详解】函数，由，得， 由，函数的图象在内恰有3条对称轴，得且， 解得，所以的取值范围是. 【题型13】 由正余弦函数的综合性质求参数范围 核心知识 同时结合零点、单调性、对称性、最值多重条件约束参数 方法技巧 1.逐条翻译题干条件为不等式或等式 2.分别求出每种条件对应的参数范围 3.所有范围取交集得到最终解集 4.优先画图辅助分析避免漏条件 【经典例题1】已知点在函数的图象上，直线是曲线的对称轴，若在单调，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题设确定函数的最小正周期，进而求得，结合是曲线的对称轴，即可得. 【详解】由函数在单调，得的最小正周期， 易知点是曲线的对称中心，又直线是曲线的对称轴， 而，结合周期性，则不妨设或， 则符合，此时； 或，不符合题意，故， 由直线是曲线的对称轴，得，， 而，所以. 故选：D 【经典例题2】（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 【答案】C 【分析】根据函数的对称中心，列式求的集合，再利用代入法求的范围，结合函数的图象，列式求解. 【详解】由条件可知，，得， 当时，， 由条件可知，，得，，且， 综上可知，的最小值为13. 故选：C 【巩固练习1】（24-25高三上·广东广州·阶段检测）已知点在函数的图像上，若恒成立，且在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在区间上单调可得的范围，再由三角函数对称性与周期性的关系求得周期，进而可得，再由最值求得 【详解】因为在区间上单调，所以，可得， 解得，且，所以， 又点在函数的图像上，所以是函数的一个对称中心， 又恒成立，即是函数的一条对称轴， 所以， 若，则，此时，可得，满足条件， 若，则，此时，可得，不满足条件， 所以， 又恒成立，所以， 即，即，又， 所以，则. 故选：B 【巩固练习2】已知函数，若为的零点，是的图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在区间上单调求得，再结合零点和对称轴得，即可得，最后根据对称轴得，结合，求解验证即可. 【详解】因为的最小正周期，且在区间上单调，所以， 又，故①； 又因为为的零点，是的图象的对称轴， 所以（），整理，得（）②. 由①②得且为奇数，当时，将代入， 令（），得， 又，故取，得，此时（）. 验证当时，，满足在区间上单调递减. 故实数的最大值为，此时. 故选：B 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【分析】由零点与对称轴的位置关系推出为正奇数， 再根据单调区间长度得，逐一排除使区间内出现对称轴的情况即可求解. 【详解】由题意得， 两式相减得， 整理得，所以为正奇数， ，解得，所以， 已知为对称轴，且余弦函数对称轴之间的距离为， 所以对称轴，若在区间上是单调函数， 则不存在整数使位于区间， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时，取，得位于区间内，故舍去， 当时， 区间内没有对称轴，满足单调性，故. 【题型14】 正余弦函数的图像变换 核心知识 两种变换路径 路径1 路径2 纵向变换改变振幅 方法技巧 1.横向伸缩和平移只针对自变量不能直接对平移 2.先伸缩后平移时平移量为极易出错 3.向左平移向右平移 4.区分图像变换顺序顺序不同平移长度不同 【经典例题1】（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）（多选）有以下四种变换方式，能将函数的图象变为的图象的是（    ） A．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 B．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 D．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 【答案】BC 【分析】利用三角函数图象变换可得合适的选项. 【详解】先将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，可得函数的图象， 再将所得图象上所有点向左平移个单位长度， 可得到函数的图象，B符合要求，A不符合； 先将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象， 再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的， 可得函数的图象，C符合要求，D不符合. 【经典例题2】（25-26高一下·湖南娄底·期末）要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】B 【详解】函数图象左右平移，依照左加右减的法则， 把的图象向右平移个单位，可得到的图象. 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的图象和性质，先求出的图象向左平移个单位长度的解析式，再由所得图象关于y轴对称即可求得. 【详解】由函数的最小正周期为π，得，所以， 将的图象向左平移个单位长度，得 ， 由于图象关于y轴对称，那么 , ,故的一个值是. 【巩固练习2】（25-26高一下·四川成都·阶段检测）为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】A 【分析】依据正弦函数图象的伸缩、平移变换规则，判断即可. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数的图象. 再向左平移（）个单位，平移后的函数解析式为. 令，解得， 故将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，即可得到的图象. 【巩固练习3】（25-26高二下·广东揭阳·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【详解】因为，根据函数图象的平移变换规律， 将函数图象上的每个点向左平行移动个单位长度， 即可得函数的图象. 【题型15】 由正余弦函数的图像求解析式 核心知识 解析式通用形式 |A|为振幅由周期求为初相为上下平移量 方法技巧 1.先求振幅中线 2.由相邻零点、最值点距离算出周期求出 3.代入图像上已知点坐标求解初相 4.优先选用最值点计算减少多解最后检验零点 【经典例题1】（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的图象求出函数的解析式，再利用三角函数图象变换可得出函数的解析式. 【详解】由图可知，函数的最小正周期满足，所以最小正周期， 故，此时； 将最低点代入可得，即， 所以，可得. 又，所以，所以； 将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 由三角函数图象伸缩变换的规律可得． 【经典例题2】（25-26高一下·广东深圳·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（     ）． A．函数的最小正周期是 B．函数的解析式为 C．函数的单调递减区间是 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【答案】ACD 【详解】A选项：由图可知，函数最大值为，可得，可知，解得，所以A正确； B选项：可知，因为，解得，可得， 函数图像过点，则，可得， 因为，所以，可得，所以B错误； C选项：函数单调递减区间为， 解得，所以C正确； D选项：函数的图象向右平移个单位长度得到，所以D正确. 【巩固练习1】（25-26高一下·辽宁大连·期末）将函数（，）的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，且，则（     ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】通过三角函数图象的对称性可将阴影部分的面积用矩形的面积表示，列方程可求得θ，根据周期性可求得ω，根据特殊点可求得，进而求解. 【详解】如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形和的面积之和，即， 因为将函数的图象向左平移θ个单位长度得到函数的图象， 所以，故. 又图中阴影部分的面积为，，得. 又由图象可知函数的最小正周期满足，则， 所以. 因为，所以，即. 因为，所以，所以， 故. 【巩固练习2】（25-26高一下·河北承德·期末）若将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及其单调增区间； (2)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，单调增区间为 (2) 【分析】小问（1）根据题目的图像解出相应的未知数从而解出，再根据题目条件求出，再根据正弦函数的单调性求出的单调增区间； 小问（2）求出的取值范围，再将转化成一个一元二次函数，在这个一元二次函数中进行求解. 【详解】（1）由图像可得，周期， 因此，解得，即， 将代入得，即， 又因，所以，解得，所以， 根据题目条件可得. 已知的单调增区间为， 所以的单调增区间满足：， 解得， 因此的单调增区间为. （2）当时，则， 因此，令，则， 则， 令，其对称轴，且其为开口向上的二次函数， 因此在内单调递减， 要使在上有唯一零点， 结合的图像可得只有当或时，满足题目要求，即或， 当时，当或，满足题目要求， 当时，，解得， 当时，因为在内单调递减， 所以，即， 解得； 当时，，解得； 综上. 【巩固练习3】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．图象的对称轴为 C．将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【分析】利用图象可求出函数解析式，即可得A；结合正弦型函数对称性计算可得B；借助三角函数平移变换计算可得C；结合三角函数图象及其性质计算可得D. 【详解】对A：由，故，解得， 由图可得，则，由，则， 则，解得， 又，故，故A正确； 对B：由A可得， 令，解得， 故图象的对称轴为，故正确； 对：由题意可得，故正确； 对D：当时，， 由在区间上的值域为， 即，则， 故有，解得， 故实数的取值范围为，故错误. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·湖北武汉·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得平移后的函数解析式，再由函数为上的奇函数列方程，结合即可求得的最小值. 【详解】由向右平移个单位长度后，即得函数： ， 由于该函数为上的奇函数，则，则， 解得 ，因为，取时，得到的最小正值为 . 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平移规律得到平移后的函数解析式，再利用函数图象关于轴对称，即可求出的表达式，最后结合求出的最小值. 【详解】由题意，将函数的图象向左平移个单位， 可得平移后的函数解析式为， 又平移后的函数图象关于轴对称， 所以，， 解得，， 因为，所以当时，可取最小值，即. 3．（25-26高一下·安徽亳州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B． C．-1 D．1 【答案】B 【分析】三角函数图像平移遵循“左加右减”，偶函数的核心条件是相位为，由此锁定，再代入计算即可. 【详解】由题，， 因为为偶函数，所以，即， 则 4．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数解析式化为，转化为分析的最值，换元后使用导数求解. 【详解】 ， 令，，则函数转化为，， ， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，最大值为，当时，最小值为0， 故，则， 当，时等号成立， 所以的最小值为：. 5．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得的图象关于点对称，关于直线对称，通过在上单调递减可得点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴，可算出. 【详解】的图象关于点对称， 又当时，取得最值，即的图象关于直线对称， 又在上单调递减，， 点和直线是的图象相邻的对称中心和对称轴， 设的最小正周期为，则. ，又的图象关于点对称，且在上单调递减， 由正弦函数的性质，， 时，. 6．（25-26高一下·上海·期中）已知函数，其部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数周期性，图象经过点以及单调性分析求解即可. 【详解】由图象可知，函数的周期，所以符合题意， 又函数经过点，且在该点附近单调递增， 所以由得：，解得：， 又，所以当时，， 所以函数的解析式为. 7．（25-26高一下·海南海口·期末）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的范围，根据题意得到不等式，求出答案 【详解】时，， 因为在上有最大值没有最小值， 所以，解得 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为的零点，为的对称轴，且在单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且.结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值. 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】B 【分析】根据已知可得，为正奇数且，结合为的零点，为图像的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合在上单调，可得的最大值． 【详解】因为为的零点，为图象的对称轴， 所以,即，所以,即为正奇数. 因为在上单调，则，即， 解得：，当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 所以当时，单增；当时，单减， 即在不单调，不满足题意； 当时，, 因为，所以，此时. 当时，， 此时在单调递减，符合题意； 故的最大值为9. 二、多选题 10．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于对称 C．若将的图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则的最小值为 D．若方程在上有且仅有一个实数解，则的取值范围为 【答案】AC 【分析】选项A，通过计算图象中最高点到相邻零点的横坐标之差得出四分之一周期，进而求得，选项B，将已知点的横坐标代入函数解析式，通过检验其函数值是否为零来判断该点是否为对称中心，选项 C，写出平移后的函数表达式，利用奇函数的相位为的整数倍解出平移量的最小正值，选项D，计算出变量在给定区间内的整体相位范围，结合正弦函数在该范围内的单调性和极值，数形结合找出只有一个交点时的参数取值范围. 【详解】对于A，由图象知该函数的最大值为，最小值为，故， 且，即，解得， 代入得， 所以，解得， 仅取时，满足，所以，故A正确， 对于B，代入得， 故图象不关于点对称，故B错误， 对于C，， 若为奇函数，则有，即， 因为，依次取的值，当时，，此时为最小值，故C正确， 对于D，设，因为，所以， 原问题转化为在上仅有个解，如下图， 根据图象，当或时与仅有个交点， 此时，故D错误. 11．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上单调递增 D．在上有3个实根 【答案】ACD 【分析】结合余弦型函数的周期性、对称性、单调性及零点求解方法逐一验证选项即可. 【详解】对于A：因为函数的最小正周期为，所以，故A正确； 对于B：当时， 为的最大值， 所以关于直线对称，故B错误； 对于C：当时，，因为余弦函数在单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D：令，得，因为，所以， 所以或或， 则或或，即在上有3个实根，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）写出函数的一个对称轴方程为__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正弦函数的对称轴公式，结合整体代换法计算即可. 【详解】令，解得， 所以函数的对称轴方程为. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的值域为______. 【答案】 【分析】先利用辅助角公式化简多项式，再利用换元法通过二次函数的性质即可求解. 【详解】设 ， 因为，则 ， 则由函数 ， 可知 ， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， ； 当时，；当时，. 故当 时， ． 因此函数的值域为 ． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若，且在上单调，则的取值共有________个． 【答案】9 【分析】根据单调区间可确定周期范围，结合可得，然后即可确定的取值. 【详解】因为函数在上单调， 所以， 又， 所以，得， 又，即， 当时，满足题意， 此时，可取，共9个. 15．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）函数在上有三个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用辅助角公式得到的最简表达式，令，得到关于的三角方程，求解三角方程的通解；根据，，求出的取值范围，将零点个数转化为对应的三角方程的解在的取值范围上的个数问题；根据三角函数的周期性和取值特点，结合三个解的条件，列出关于的不等式，求解不等式取得取值范围. 【详解】. 令，得，即. 或，. ，，. 要使在上有三个零点，则，解得. 综上，的取值范围为. 四、解答题 16．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，其中点，． (1)求的解析式； (2)求曲线的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，直接写出的解析式． 【答案】(1) (2)对称轴方程为，，对称中心的坐标为， (3) 【分析】（1）观察图象得到、，根据正弦型函数的周期公式求得，再根据图象上的点代入解析式求得，即可得到函数的解析式； （2）根据正弦函数的对称性求解即可； （3）根据函数的平移变换求解即可. 【详解】（1）由题图可知，，，即， 则，此时， 而，即，， 则，，又，所以， 故． （2）令，，解得，， 即曲线的对称轴方程为，． 令，，解得，， 即曲线的对称中心的坐标为，． （3）由（1）知，， 将的图象向右平移个单位长度，得到， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到. 17．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数，，又且图象的相邻的两个对称中心之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)设函数，，求函数的最值及取最值时的值. 【答案】(1) (2)最大值 ，此时 ；最小值 ，此时 . 【分析】（1）利用周期公式可求，再由，结合范围，可求的值， 即可得解函数解析式； （2）化简得，根据余弦函数的单调性即可计算得解 【详解】（1）因为图象的相邻的两个对称中心之间的距离为， 所以，得， 又，得，由，得， 故函数的解析式为：． （2） ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值为1， 当，即时，取得最小值为． 18．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知函数，，，函数图象的相邻对称轴的距离为，且． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦函数的周期求出，进而求出，从而得到函数解析式. （2）先根据正弦函数的平移规则求出，然后求出余弦函数的值域. 【详解】（1）因为函数的最小正周期为，所以， 即，因为，所以，即． 因为，所以，因为，所以，    所以． （2）因为，     因为，所以，     所以， 所以的值域为． 19．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数，． (1)求； (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2) 的值域为；单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）先将代入，结合的取值范围求解即可； （2）由（1）得，再代入化简 为正弦型函数，利用正弦函数的性质求解值域和单调区间. 【详解】（1）已知，，则，且，故. （2）由（1）得，因此， 所以， 利用和差化积公式， 由正弦函数的值域可知，所以的值域为； 令，则， 得的单调递增区间为； 令，则， 得的单调递减区间为. 20．（25-26高一下·福建莆田·期末）已知函数， (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的图象． 0 (2)将的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称轴方程． 【答案】(1) 画图：在坐标系中描出上述6个点，连接成光滑的正弦曲线即可（一个周期范围为）； (2)对称轴方程为. 【分析】（1）根据五点法作图原理，确定一个周期内相位的五个关键点对应值，依次求解得到对应的和，再描点连线得到函数图象； （2）按照三角函数图象平移、伸缩变换的规则逐步推导得到的解析式，再利用正弦型函数对称轴的性质，令相位等于，求解得到的对称轴方程. 【详解】（1）对于函数 ，结合表格给出的初始值，按五点法计算得下表： 画图：在坐标系中描出上述5个点，连接成光滑的正弦曲线即可（一个周期范围为）。 （2）按平移变换规则逐步推导： 函数 向上平移1个单位得， 横坐标缩短为原来的得， 向右平移个单位得， 正弦函数的对称轴满足， 令解得. 即图象的对称轴方程为. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第18讲 正余弦函数的图像与性质 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 五点作图法 核心知识 函数 一个周期内五个关键点对应取值依次为 一个周期内五个关键点对应取值依次为 方法技巧 1.令分别等于五个基准值解出对应的坐标 2.算出每组坐标描点后用平滑曲线连接 3.作图前先确定振幅|A|周期 4.如需延伸图像按照周期左右平移拓展 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)将函数化为形式，填写下表，并画出函数在区间上的图象；（如图） x 0 π 2π (2)求函数的单调减区间． 【经典例题2】（25-26高一下·湖北黄冈·期末）已知函数． (1)用五点作图法作出函数在上的简图； (2)求的解集； (3)关于x的方程在区间上有两个解，且，求． 【巩固练习1】已知函数. 利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象； 0 【巩固练习2】（25-26高一下·全国·课堂例题）画出函数，的图象． 【巩固练习3】已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 【题型2】 正余弦函数的定义域 核心知识 定义域为 复合三角函数定义域结合分式、根式、对数限制条件求解 方法技巧 1.单独、无自变量限制 2.遇到根式要求 3.遇到分式要求 4.遇到对数要求 5.联立所有约束条件取交集得到最终定义域 【经典例题1】已知函数． (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； x 0 1 0 (2)将的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到的图象，求的解集． 【经典例题2】（25-26高一下·北京·期中）函数的定义域为__________. 【巩固练习1】（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【巩固练习2】（25-26高一下·上海闵行·期中）函数的定义域为__________． 【巩固练习3】（25-26高一上·宁夏固原·期末）函数的定义域为_________________. 【题型3】 正余弦函数在某区间上的值域与最值 核心知识 值域 先求出内层在给定区间对应的范围 再结合正弦、余弦图像求函数取值范围 方法技巧 1.换元令求出的取值区间 2.根据区间结合正弦/余弦图像判断最高点最低点 3.注意区间是否包含最值点区分开区间与闭区间 4.函数带有系数时最值同步乘以 【经典例题1】求下列函数的最大值和最小值． (1)； (2)； (3)． 【经典例题2】（25-26高一下·甘肃嘉峪关·期末）已知函数，若在上的最大值为，最小值为，则（     ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·贵州安顺·模拟预测）（多选）已知函数，其中是常数，则（    ） A．对任意的最大值是1 B．存在，使得的最小值是 C．对任意，存在，使得 D．对任意，存在，使得 【巩固练习2】（25-26高一下·辽宁·期中）（1）求函数f（x）＝的最大值； （2）证明：对任意实数a，x，； （3）是否存在△ABC，使得？若存在，求出A，B；若不存在，请说明理由． 【巩固练习3】（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)若，求函数的值域． 【题型4】 换元法求正余弦函数的值域与最值 核心知识 形如或 设或则 转化为闭区间上二次函数求值域 方法技巧 1.换元后必须标注不可忽略取值限制 2.分析二次函数对称轴位置判断对称轴是否落在内 3.分别计算区间端点与对称轴处函数值 4.区分与不要混用换元变量 【经典例题1】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数，则在上的值域为___________． 【经典例题2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）函数在区间上的最大值为__________. 【巩固练习1】（25-26高一下·北京延庆·期中）已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【巩固练习2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）函数的值域是__________． 【巩固练习3】（25-26高一下·上海·期中）函数的值域是____________． 【题型5】 由正余弦函数的值域与最值求参数范围 核心知识 已知时的值域/最值 反求解析式中等参数取值 方法技巧 1.换元写出的区间 2.根据值域反向锁定区间需要覆盖的正弦/余弦取值范围 3.结合三角函数图像列出关于参数的不等式 4.注意多解情况检验参数是否满足全部条件 【经典例题1】（25-26高一下·上海·期末）设，．若函数，的值域为，且，则__________． 【经典例题2】（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）已知函数. (1)求函数的最小正周期及单调增区间； (2)若函数在区间上的值域，求m的取值范围. 【巩固练习1】（25-26高一下·河南南阳·期中）已知．对，使得成立，则y的最小值为_____________． 【巩固练习2】（25-26高一下·山西运城·期中）函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·江苏南通·期末）若存在实数，使得对任意的，均有，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【题型6】 求正余弦函数的单调性 核心知识 单调递增区间 单调递减区间 单调递增区间 单调递减区间 方法技巧 1.复合函数遵循“同增异减” 2.时先把化为正数再求解单调区间 3.解不等式得到范围后标注 4.求指定区间单调子区间取解集与题干区间的交集 【经典例题1】（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知函数，则在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·北京昌平·期末）已知函数，则（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【巩固练习2】（25-26高一下·北京·期末）函数的单调递增区间为______． 【巩固练习3】（2026高二下·天津南开·学业考试）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【题型7】 正余弦函数的奇偶性求参数 核心知识 奇函数满足图像关于原点对称 偶函数满足图像关于轴对称 为奇函数 为偶函数 为奇函数 为偶函数 方法技巧 1.直接代入奇偶定义列式或利用上述相位条件快速列式 2.求出参数后代回检验排除增根 3.优先使用相位结论缩短计算步骤 【经典例题1】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若为偶函数，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（湖北省孝感市楚天教科研协作体2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）已知函数，是奇函数且在上单调递减，则__________. 【巩固练习1】（25-26高一下·上海·期末）若为偶函数，且，则的值为______． 【巩固练习2】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知是偶函数，在区间上单调递增．则______，______． 【巩固练习3】（2026·江西南昌·二模）已知函数是奇函数，则的一个可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 【题型8】 正余弦函数的对称性求参数 核心知识 对称轴： 对称中心：对称中心纵坐标为0 对称轴： 对称中心：对称中心纵坐标为0 方法技巧 1.若直线是对称轴则处函数取得最值 2.若点是对称中心则 3.将条件代入对应等式解出参数 4.存在多个参数时联立条件求解 【经典例题1】（2026·陕西·三模）若函数的图象关于直线对称，则实数的值为_____________． 【经典例题2】（25-26高一下·北京西城·期末）若曲线关于直线对称，则m的最小值为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·河南南阳·期中）若函数的图象关于直线对称，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【巩固练习2】（25-26高一下·北京·阶段检测）已知，若对任意，成立，则的最小值是____． 【巩固练习3】（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【题型9】 由正余弦函数的零点求参数范围 核心知识 零点即的解 方法技巧 1.令函数等于0解出全部零点表达式 2.根据“区间内存在零点/恰好有几个零点”列出不等式 3.结合确定参数取值边界 4.注意边界值能否取到 【经典例题1】（25-26高一上·陕西西安·期末）函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为___________． 【经典例题2】（25-26高三上·湖南·开学考试）已知函数仅存在一个极值点和两个零点在区间内，则实数的取值范围为______. 【巩固练习1】（24-25高一下·贵州·阶段检测）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·湖南常德·一模）已知函数在区间上有且仅有1个零点和1条对称轴，则实数的取值范围是______. 【巩固练习3】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型10】 由正余弦函数的极值与最值求参数范围 核心知识 正弦、余弦函数极值点即为最值点 在处取得最值 在处取得最值 方法技巧 1.区间内存在最值等价于区间包含最值点 2.区间内无最值等价于区间落在相邻两个最值点之间 3.换元转化为区间问题 4.列出不等式求解参数验证区间端点 【经典例题1】（25-26高一下·上海嘉定·期末）函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是______． 【经典例题2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 【巩固练习1】（重庆市南开中学校2026届高三年级5月质量检测数学试题）已知函数在内恰好有一个极值点，则正实数的取值范围是_____. 【巩固练习2】（25-26高一下·江西赣州·期中）若函数在上有4个最值，则______． 【巩固练习3】（25-26高一下·上海·期中）已知，若函数在区间上恰好取得一次最大值1和一次最小值-1，则的取值范围是___________ 【题型11】 由正余弦函数的单调性求参数范围 核心知识 、的单调区间具有周期性 若区间[m,n]是函数单调区间的子区间可建立参数不等式 方法技巧 1.先写出函数完整单调区间通式 2.令题干区间包含于单调区间内部 3.建立左右边界不等式组求解参数 4.是常见前提注意不要遗漏限制条件 【经典例题1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是______． 【经典例题2】（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 【巩固练习1】（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）若函数在上单调，则的取值范围是__________． 【巩固练习2】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若函数在上单调递减，则的最大值为________． 【巩固练习3】（25-26高三上·湖南湘西·期末）已知，函数在区间上单调递增，则的最大值为______. 【题型12】 由正余弦函数的对称性求参数范围 核心知识 区间内存在对称轴/对称中心利用对称轴、对称中心通式建立约束 方法技巧 1.写出全部对称轴或对称中心横坐标通解 2.根据“区间存在满足条件的解”列出不等式 3.借助锁定参数上下界 4.区分“存在一条”和“至少一条”两类问法 【经典例题1】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是_____. 【经典例题2】（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数，在内有且只有三条对称轴，则的取值范围是___________ 【巩固练习1】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数（），若在区间内恰有4个零点和三条对称轴，则的取值范围为______. 【巩固练习2】若函数的图象在内有且只有两条对称轴，则的取值范围是___________. 【巩固练习3】（25-26高一下·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型13】 由正余弦函数的综合性质求参数范围 核心知识 同时结合零点、单调性、对称性、最值多重条件约束参数 方法技巧 1.逐条翻译题干条件为不等式或等式 2.分别求出每种条件对应的参数范围 3.所有范围取交集得到最终解集 4.优先画图辅助分析避免漏条件 【经典例题1】已知点在函数的图象上，直线是曲线的对称轴，若在单调，则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 【巩固练习1】（24-25高三上·广东广州·阶段检测）已知点在函数的图像上，若恒成立，且在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数，若为的零点，是的图象的对称轴，且在区间上单调，则实数取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【题型14】 正余弦函数的图像变换 核心知识 两种变换路径 路径1 路径2 纵向变换改变振幅 方法技巧 1.横向伸缩和平移只针对自变量不能直接对平移 2.先伸缩后平移时平移量为极易出错 3.向左平移向右平移 4.区分图像变换顺序顺序不同平移长度不同 【经典例题1】（25-26高一下·江西赣州·阶段检测）（多选）有以下四种变换方式，能将函数的图象变为的图象的是（    ） A．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 B．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 D．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 【经典例题2】（25-26高一下·湖南娄底·期末）要得到函数的图象，只需把函数的图象（   ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【巩固练习1】（2026高三·全国·专题练习）已知函数的最小正周期为π．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·四川成都·阶段检测）为了得到的图象，可以将函数的图象上（     ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【巩固练习3】（25-26高二下·广东揭阳·期末）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上的每个点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【题型15】 由正余弦函数的图像求解析式 核心知识 解析式通用形式 |A|为振幅由周期求为初相为上下平移量 方法技巧 1.先求振幅中线 2.由相邻零点、最值点距离算出周期求出 3.代入图像上已知点坐标求解初相 4.优先选用最值点计算减少多解最后检验零点 【经典例题1】（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一下·广东深圳·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（     ）． A．函数的最小正周期是 B．函数的解析式为 C．函数的单调递减区间是 D．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 【巩固练习1】（25-26高一下·辽宁大连·期末）将函数（，）的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，且，则（     ） A． B． C． D．0 【巩固练习2】（25-26高一下·河北承德·期末）若将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数（，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及其单调增区间； (2)若函数在上有唯一零点，求实数的取值范围． 【巩固练习3】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．图象的对称轴为 C．将的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象 D．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·湖北武汉·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）将函数的图象向左平移个单位，所得的图象关于轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·安徽亳州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，则（   ） A． B． C．-1 D．1 4．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）已知函数，对任意均有，且，在上单调递减，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·上海·期中）已知函数，其部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·海南海口·期末）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为的零点，为的对称轴，且在单调，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 9．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为函数的零点，直线为函数图像的对称轴，且在区间上是单调函数，则的最大值为（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 二、多选题 10．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．关于对称 C．若将的图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则的最小值为 D．若方程在上有且仅有一个实数解，则的取值范围为 11．（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上单调递增 D．在上有3个实根 三、填空题 12．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期末）写出函数的一个对称轴方程为__________. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的值域为______. 14．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若，且在上单调，则的取值共有________个． 15．（25-26高一下·辽宁沈阳·期末）函数在上有三个零点，则的取值范围是______． 四、解答题 16．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，其中点，． (1)求的解析式； (2)求曲线的对称轴方程和对称中心的坐标； (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，直接写出的解析式． 17．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数，，又且图象的相邻的两个对称中心之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)设函数，，求函数的最值及取最值时的值. 18．（25-26高一下·江苏南通·阶段检测）已知函数，，，函数图象的相邻对称轴的距离为，且． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在上的值域． 19．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数，． (1)求； (2)设函数，求的值域和单调区间． 20．（25-26高一下·福建莆田·期末）已知函数， (1)填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的图象． 0 (2)将的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称轴方程． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $