第23讲 平面向量数量积（8个核心题型归纳）讲义-2027届高考数学一轮复习题型全归纳

该高中数学讲义聚焦平面向量数量积高考核心考点，按定义式与坐标式运算、模长夹角投影计算、最值参数问题及跨模块应用逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法技巧提炼、真题演练（经典例题+巩固练习）环节，帮助学生系统突破难点。 资料采用分层训练设计（基础巩固到综合应用）与方法归类指导（如基底法、坐标法转化），结合几何图形培养数学眼光与几何直观，通过参数范围问题训练数学思维，助力学生高效掌握解题策略，为教师精准把控复习节奏提供有力支撑。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第23讲 平面向量数量积 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 求平面向量的数量积 核心知识 定义式为两向量夹角范围 坐标式若则 数量积结果是实数不是向量 运算满足交换律分配律不满足结合律 方法技巧 已知模与夹角优先选用定义式 已知坐标直接代入坐标公式 图形题目优先分解为基底再计算 遇到等价于用来转化式子 注意向量夹角必须起点重合 【经典例题1】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得向量，的夹角为，，， 则 . 【经典例题2】（2026·河南·模拟预测）已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以分别为的三等分点， 因此， ， 所以 . 【巩固练习1】（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，则， ， ， ， ． 【巩固练习2】（25-26高一下·河北承德·期中）已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________． 【答案】 【分析】设，用，表示出，列方程组即可求出；用，表示出，根据向量数量积的运算律即可求出. 【详解】设 . ，， . . 又，所以，解得. 此时. . 所以 . 【巩固练习3】（2026·陕西·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形，图中四边形的对角线相交于点，已知，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理，可证、，根据向量运算法则及数量积公式，整理计算，即可得答案. 【详解】因为，所以，即， 所以为等腰直角三角形，则， 因为，所以， 即，则， 则 . 【题型2】 由数量积求模长 核心知识 坐标形式 方法技巧 求向量模统一先平方转化为数量积运算 复杂向量模长展开之后代入已知条件 不要漏掉根号平方之后记得开方 已知图形优先基底法给坐标直接坐标运算 多个向量加减求模全部先平方处理 【经典例题1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量，都是单位向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为都是单位向量，， 所以，所以， 所以. 【经典例题2】（2026·北京大兴·三模）在中，，，点满足，且，则（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用向量数量积的运算性质先求出参数λ的值，再计算模长即可. 【详解】因为,，， 所以，即， 因为，，代入化简： ， 因为, 所以, 因为, 所以. 【巩固练习1】（2026·江苏无锡·模拟预测）在中，，，，点为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，两边平方化简即可求解. 【详解】因为在中，，，，所以， 由于点为边上一点，且，所以， 又， 则. 【巩固练习2】（2026·海南海口·模拟预测）已知平面上三个不共线向量，，两两夹角均为，且满足：，，，______； 【答案】 【分析】利用平方法，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】因为平面上三个不共线向量，，两两夹角均为，且满足：，，， 所以 . 【巩固练习3】（2026·山东济宁·三模）在平面四边形中，，向量的夹角为，，，则（ ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用向量线性运算，向量数量积以及求向量模长公式分析计算即可. 【详解】 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以 ， 又， 所以，即. 【题型3】 由数量积求夹角 核心知识 夹角公式 夹角为锐角或0 夹角为钝角或 两向量互相垂直 方法技巧 计算完余弦值反求角度注意取值区间 判断锐角要额外排除两向量同向共线 判断钝角要额外排除两向量反向共线 分母两个模长不为零 坐标条件直接代入夹角公式计算 【经典例题1】（2026·山东聊城·二模）已知向量，则_________. 【答案】 【详解】， ． 【经典例题2】（2026·山东潍坊·三模）若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】/ 【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可. 【详解】因为，为单位向量，所以. 两边平方，可得，解得. 而， ， . 设向量与的夹角为，， 则，所以. 向量与的夹角为. 【巩固练习1】（2026·北京·三模）已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 【巩固练习2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将目标向量用线性表示，再求出、两目标向量的模和数量积，代入向量夹角余弦公式计算结果. 【详解】由，可得，因此： ，， 对两边同时平方，得，展开得， 代入，，得，解得， 所以， 同理， 所以， 根据向量夹角余弦公式可得：. 【巩固练习3】（2026·福建福州·模拟预测）已知，为两个不共线的单位向量，且与的夹角为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为与的夹角为， 所以，化简可得， 两边同时平方可得，化简可得， 解得或， 因为不共线，即， 所以，则． 【题型4】 求投影/投影向量 核心知识 在方向上投影数量： 投影向量： 投影数量可正可负可为零 方法技巧 分清谁向谁做投影不能颠倒顺序 投影数量是实数投影向量是向量 投影为负代表投影方向与基底向量反向 坐标条件直接代入投影公式计算 几何图形可结合图形直观理解投影长度 【经典例题1】（2026·河南郑州·模拟预测）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积运算公式，求得，结合向量的投影向量的定义，即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 【经典例题2】（2026·河南·一模）已知向量，．若在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，则， 设与的夹角为，则， 解得， ， ． 【巩固练习1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则_____. 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及向量数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为单位向量，得， 则①; 又由，两边取平方，得，即， 将其代入①，可得，即, 而，故. 【巩固练习2】（2026·福建泉州·模拟预测）设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量等式推出外心是中点，因此为直径，角为直角，再由线段相等得出是等边三角形，从而确定各角大小，最后利用几何关系算出向量投影，得到结果. 【详解】如图所示，由知，为中点，即为外接圆直径， 故，为直角三角形. 又，且为中点，故，为等边三角形，，. 过点作，垂足为点，则向量在向量上的投影向量为， 又因为点为线段的中点，则，向量在向量上的投影向量为.    【巩固练习3】（2026·湖北武汉·三模）已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 正六边形中，设与交于，则为中点，且. 所以向量在向量方向上的投影向量为. 【题型5】 与垂直有关的计算 核心知识 坐标表达 零向量不能说与任意向量垂直 方法技巧 看到垂直条件直接写数量积等于0 列方程求解未知坐标或者参数 区分向量垂直和向量共线条件 图形题利用垂直建立等式求边长 不要混淆垂直条件与共线条件 【经典例题1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直得出数量积为0，结合向量运算律计算即可. 【详解】因为，，所以， 即，解得：. 【巩固练习1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，，且与垂直，则的值是（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】C 【详解】由题设，且，， 所以，可得. 【巩固练习2】（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________. 【答案】 【详解】∵ ，对等式两边同时平方得. 展开得①， ∵， ∴， 展开得， 整理得②， 将①中的代入②，得， 即，解得， ∴ 【巩固练习3】（2026·海南海口·模拟预测）若非零向量，满足，且，的夹角为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】借助向量垂直数量积为及数量积公式计算即可得. 【详解】由得， 故， 又均是非零向量，所以. 【题型6】 求数量积的最值/范围 核心知识 固定模长时数量积随夹角余弦变化 可以转化函数表达式求值域 方法技巧 方法一坐标化转化为函数求最值 方法二固定基底把向量分解 方法三利用几何意义动点轨迹数形结合 遇到动点优先建立坐标系 转化二次函数注意自变量取值范围 【经典例题1】（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 【答案】 / 【分析】取定平面向量的一个基底，利用向量数量积的定义及运算律求解即得. 【详解】在中，由， 得， 设，则， 得到， ， 整理得，而，解得，又， 则，所以； 则，如图，作出符合题意的图形， 设，， 且得到， ， 当且仅当时取等号，所以的取值范围为. 【经典例题2】（2026·湖南常德·一模）在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 （包括端点）上的一个动点，则 的最小值为_____. 【答案】2 【分析】先通过向量加法法则用、和参数表示与，再根据向量数量积分配律展开并结合已知条件得到关于的二次函数，最后利用二次函数性质求出最小值. 【详解】为上一点，设，， ，， ， 根据二次函数性质，当时，. 【巩固练习1】（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 【巩固练习2】（2026·陕西商洛·模拟预测）在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______. 【答案】7 【分析】建立直角坐标系，根据向量数量积及二次函数性质求解即可. 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴， 建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，设（）， 则，， 所以. 当时，取得最小值7. 【巩固练习3】（2026·天津红桥·一模）四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 【答案】 / 【分析】（1）根据和向量的数量积定义式计算. （2）建立平面坐标系，设，用表示出，根据二次函数性质得出最小值． 【详解】 因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以； 过作，垂足为， 所以为直角三角形，， 所以，， 由勾股定理可得，， 以为原点，以，所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示： 由，可知，， 则，设， 由可得：，， 所以，， 所以， 当时，取得最小值. 【题型7】 与数量积有关的参数及范围 核心知识 数量积坐标展开后得到含参数等式或不等式 垂直夹角范围条件可以转化对应代数约束 锐角钝角需要排除共线情况 方法技巧 把向量全部写成坐标形式展开数量积 根据条件列等式或不等式求解参数 求锐角记得排除同向共线 求钝角记得排除反向共线 多约束条件联立求解参数范围 【经典例题1】（2026·江西赣州·二模）已知向量，，则的最大值是________． 【答案】 【分析】设，由平方化简得到，结合不等式，得到，解得，即可得到的最大值. 【详解】设，由，得到， 即， 即，即 因为，所以， 即，即，解得； 故的最大值是. 【经典例题2】（2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 【答案】/ 【分析】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为，半径为，从而的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出的最大值. 【详解】由题可知，设夹角为， 则，， 设， ，代入坐标化简得： 故的最大值为原点到圆上的点最大距离，如下图所示， 又圆心，半径，， 故. 【巩固练习1】（25-26高三上·山东菏泽·开学考试）已知满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则__________. 【答案】 【分析】根据结合数量积的运算律化简，将问题转化为一元二次不等式的恒成立问题进而求出，最后利用倍角公式即可. 【详解】由题意可知，对任意的实数恒成立， 即，即， 即， 即对任意的实数恒成立， 则，即，得， 因，则， 则. 故答案为： 【巩固练习2】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为______. 【答案】/ 【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算和数量积的运算法则，可得点轨迹是以为圆心，为半径的圆，再由直线与圆相切，可得的最大值． 【详解】因为， 所以，所以， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：    由图可知，当与圆相切时，取得最大值， 因为，，所以，即的最大值为． 故答案为： 【巩固练习3】（2026·山东烟台·模拟预测）在平行四边形中，点为的中点，点在上，且，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将用和表示出来，利用向量等式进行求解. 【详解】 如图所示，因为，所以点为三等分点，且靠近点. 设，，，， 则，， 且由题意得：，， 设，， 联立，解得：，，所以， 由得：，化简得： ，所以，令，所以，，即：. 【题型8】 平面向量数量积在三角函数，圆锥曲线中的应用 核心知识 向量条件转化为三角等式进行三角恒等变换 圆锥曲线中点坐标带入向量坐标运算公式 向量垂直夹角投影条件翻译为解析几何条件 方法技巧 第一步把向量条件翻译成代数式子 三角题型转化之后使用三角公式化简 圆锥曲线联立直线与曲线方程韦达定理代入向量表达式 向量只是条件工具重点做好条件翻译 注意角度范围以及变量取值限制 【经典例题1】（2026·重庆·模拟预测）已知圆，，点坐标原点，点，是圆上的两个动点且，若，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先由可得，进而可得点坐标及，进而可得点轨迹是过点且平行于的直线，从而可得圆上的点到直线的距离最小值减去圆的半径可得所求值. 【详解】因为是圆上的点，故，，故. 由，两边平方得： ，，. 设，，所以， 代入圆方程得 ，即的斜率， 由对称性，不妨设. 由得，故点轨迹是过点且平行于的直线， 直线的方程为：，整理为， 因为是圆上的动点，是直线上的动点，如图：    所以的最小值等于原点到直线的距离减去圆的半径， 由点到直线的距离公式得 因此. 【经典例题2】（2026·江西南昌·三模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，则（     ） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】利用等腰直角三角形性质求出周期及 ，确定 三点坐标，利用向量数量积坐标公式求解. 【详解】由函数 可知，函数的最大值为 ，即点 的纵坐标为 . 因为 为等腰直角三角形，且 为图象的最高点， 为图象与 轴的交点， 所以 到 的距离 ，且 ， 又 等于半个周期，即 ，所以 . 由 ，解得 ，所以 . 令 ，即 ，解得 . 由图象可知， 为 轴左侧靠近原点的零点，取 ，得 ，即 . 为 右侧第二个零点（ 依次排列），相隔一个周期， 所以 ， 即 ，点 的横坐标为 中点的横坐标，即 ， 所以 . 所以 ， . 则 . 【巩固练习1】（2026·山东济南·模拟预测）的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． (1)求； (2)点满足，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由面积公式与向量点积公式，代入已知条件化简，解得，结合得的大小； （2）用已知向量分解表示、，平方后利用得；再由余弦定理求出，代入即得结果. 【详解】（1）根据三角形面积公式，向量点积公式， 代入已知条件得， 约去得. 因为，故. （2）由于， 分别对和平方展开，代入得 ​； ​​. 由，得，代入化简得. 由余弦定理，，代入，得 . 因此. 【巩固练习2】（2026·福建三明·二模）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)若点H在所在平面内，且满足，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：利用余弦定理即可求解；解法二：利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解； （2）由已知得，，即，，进而得H为的垂心，连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，，在四边形ADHE中得，则， 解法一：在中，设，，则，由正弦定理，得，，进而得 ，利用三角函数的性质即可求解； 解法二：在中，由余弦定理，得，进而，进而求解. 【详解】（1）解法一：因为，，由余弦定理，得， 整理得， 则， 因为，所以； 解法二：因为，，所以， 由正弦定理，得， 即， 整理，得， 因为，所以，即， 因为，所以； （2）解法一：因为，所以，， 即，，故，． 所以H为的垂心． 连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，． 在四边形ADHE中，由，得，则， 在中，设，，则， 由正弦定理，得， 所以，， 则 ， 因为，所以， 所以，所以． 即面积的取值范围为 解法二： 因为，所以，， 即，，故，． 所以H为的垂心． 连接BH并延长交AC于点D，连接CH并延长交AB于点E，则，． 在四边形ADHE中，由，得，则， 在中，由余弦定理，得 所以， 得，，当且仅当时，等号成立， 所以， 又，故面积的取值范围为. 【巩固练习3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，，. (1)求函数图象的对称轴方程； (2)在中，角为锐角且，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得 ，从而可求对称轴方程； （2）先由求得，由余弦定理求出的关系，再根据均值不等式求的最大值，进而求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意 ， 所以的对称轴为，即. （2）由得 ， 解得或 ，若， 则，与角为锐角矛盾， 若，则 ，取，得， 由余弦定理得 即，由基本不等式得， ，化简得：，等号当且仅当时取得， ，即. 面积的最大值，等号当且仅当时取得. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】运用向量投影，向量的概念以及向量数量积的计算解决问题. 【详解】向量在向量上的投影向量的模等于， 已知该模为2，，则有 ，解得. 2．（2026·河北秦皇岛·一模）设 为单位向量，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由为单位向量，且， 可得，即，解得. 3．（2026·山东济南·模拟预测）设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过平方的方法，结合完全平方公式和向量数量积运算律计算求解. 【详解】因为， ， 所以. 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知平面向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 即，则. 5．（2026·甘肃白银·三模）已知单位向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知单位向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为：. 6．（2026·海南·模拟预测）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量共线及夹角定义求解即可. 【详解】 与反向， 向量与的夹角和与的夹角互补， 向量的夹角与的夹角为. 7．（2026·河南·三模）已知向量，满足，在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 因在上的投影向量为，所以， 所以， 所以． 8．（2026·山西大同·三模）已知，是单位向量，且与的夹角是120°，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 因为，所以 ， 即 ，解得． 9．（2026·山东聊城·一模）在中，，，若动点满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用数量积运算性质化简，借助二次函数性质求得最值. 【详解】由， 可得 ， 于是，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为 10．（2026·山东·模拟预测）我国自主研制的超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．在风洞平面流场研究中，取平面内一组不共线的单位气流矢量作为平面基底，风洞内某位置的合气流矢量可以唯一表示为，已知基底矢量与的夹角为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由向量垂直数量积为的性质，把代入，结合单位向量与向量夹角求出，再利用模长平方等于向量自身平方展开运算，求得． 【详解】由，得， 因为是单位向量，所以， 又与的夹角为，所以， 所以，解得， 所以， ， 所以． 11．（2026·广东佛山·模拟预测）已知向量，，满足，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将用表示，通过平方运算求得，再代入所求数量积表达式计算结果. 【详解】由已知，移项得，两边同时取模平方， 得 ， 代入 ，得 ，解得， 将代入所求表达式： ， . 12．（2026·山东·模拟预测）在中，，，，点满足，，点满足，，若的最大值为，最小值为，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】用坐标法化向量运算为代数运算 【详解】以A点为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， 则， 则点，， 因为，则当时，；当时，，所以 13．（2026·河北保定·三模）已知平面向量满足，与，与，与的夹角相等且不为0，则（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】设三个向量的模长均为，根据平面内三个非零向量两两夹角相等且不为0得夹角，将已知模长等式平方后代入公式求解即可. 【详解】设， 由于三个平面向量两两夹角相等且不为0，故两两夹角均为， 所以， 将两边平方展开化简得： 解得（负根舍去），即. 14．（2026·陕西·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 15．（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理求出，，利用平面向量数量积的运算性质、三角恒等变换并结合角的取值范围可求得的最大值. 【详解】由正弦定理可得，则，， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取最大值. 二、填空题 16．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】将向量最值问题转化为动点在抛物线和圆上的轨迹问题后，结合“阿波罗尼斯圆”的性质构造新定点配平系数，最终化归为求抛物线上动点到该定点的最短距离. 【详解】不妨设，因为， 则有，整理得， 即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线， 设，由得，整理得， 即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆， ，其中表示到的距离， 由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数， 且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上， 设使，点满足，即， ， ， 则有，解得， 则， 易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离， ， 当时取最小值 ，即， 即， 即的最小值为.    三、解答题 17．（2026·湖南怀化·三模）在中，已知． (1)求C． (2)如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1） 应用已知化简得出，再结合正弦定理边角转化应用余弦定理得出结合角的范围求角； （2）（ⅰ）应用平面向量的数量积运算律结合两角和差公式及正弦值域求解；（ⅱ）设，应用数乘运算及模长化简，最后结合基本不等式得出最小值. 【详解】（1）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 因为， 所以， 即， 由正弦定理得，      所以， 又，所以． （2）（ⅰ）设，则，， ，       所以，，       又，所以，则的取值范围为．    （ⅱ）设（），则， 因为（）， 所以， 所以， 因为，所以，即， 化简得，，        所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 18．（25-26高一下·上海嘉定·期中）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将函数化简为的形式，从而得到伴随向量的坐标，再根据向量模长的计算公式即可求出； （2）根据题意求出的解析式，并据此设，又由列出关于x的方程，最后借助三角函数值域及一元二次不等式解出该方程即可． （3）先根据伴随函数的定义求出函数的表达式，再化简方程，原方程可等价为，令，分类讨论并画出的图象，然后将问题转化为两个函数有交点问题，最后根据函数图象的交点情况即可求出实数的取值范围． 【详解】（1） ， 所以，． （2）由伴随向量的定义可知， 又， 所以可得，解得，因此， 所以， 即，设点， 又，由， 得， 展开并化简可得（*），令，且， 方程变为，即， 解得，又，所以，此时且， 所以，对应，即． （3）函数为向量的伴随函数，所以， 又关于的方程为， 所以可得， 即， 记， 化简得，作出函数的图像， 方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 等价于图象与直线有四个交点，故， 即． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第23讲 平面向量数量积 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 求平面向量的数量积 核心知识 定义式为两向量夹角范围 坐标式若则 数量积结果是实数不是向量 运算满足交换律分配律不满足结合律 方法技巧 已知模与夹角优先选用定义式 已知坐标直接代入坐标公式 图形题目优先分解为基底再计算 遇到等价于用来转化式子 注意向量夹角必须起点重合 【经典例题1】（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知向量，的夹角为，，，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【经典例题2】（2026·河南·模拟预测）已知等边的边长为2，且，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·河北承德·期中）已知边长为2的菱形，，设中点为，，点为线段上一点，且满足，则__________；此时__________． 【巩固练习3】（2026·陕西·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的平面图形，图中四边形的对角线相交于点，已知，则（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 【题型2】 由数量积求模长 核心知识 坐标形式 方法技巧 求向量模统一先平方转化为数量积运算 复杂向量模长展开之后代入已知条件 不要漏掉根号平方之后记得开方 已知图形优先基底法给坐标直接坐标运算 多个向量加减求模全部先平方处理 【经典例题1】（2026·北京朝阳·模拟预测）已知向量，都是单位向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·北京大兴·三模）在中，，，点满足，且，则（     ） A． B． C． D．1 【巩固练习1】（2026·江苏无锡·模拟预测）在中，，，，点为边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·海南海口·模拟预测）已知平面上三个不共线向量，，两两夹角均为，且满足：，，，______； 【巩固练习3】（2026·山东济宁·三模）在平面四边形中，，向量的夹角为，，，则（ ） A．1 B． C．3 D．4 【题型3】 由数量积求夹角 核心知识 夹角公式 夹角为锐角或0 夹角为钝角或 两向量互相垂直 方法技巧 计算完余弦值反求角度注意取值区间 判断锐角要额外排除两向量同向共线 判断钝角要额外排除两向量反向共线 分母两个模长不为零 坐标条件直接代入夹角公式计算 【经典例题1】（2026·山东聊城·二模）已知向量，则_________. 【经典例题2】（2026·山东潍坊·三模）若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【巩固练习1】（2026·北京·三模）已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·江苏南京·模拟预测）已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·福建福州·模拟预测）已知，为两个不共线的单位向量，且与的夹角为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【题型4】 求投影/投影向量 核心知识 在方向上投影数量： 投影向量： 投影数量可正可负可为零 方法技巧 分清谁向谁做投影不能颠倒顺序 投影数量是实数投影向量是向量 投影为负代表投影方向与基底向量反向 坐标条件直接代入投影公式计算 几何图形可结合图形直观理解投影长度 【经典例题1】（2026·河南郑州·模拟预测）已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·河南·一模）已知向量，．若在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·湖南株洲·模拟预测）已知向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则_____. 【巩固练习2】（2026·福建泉州·模拟预测）设为的外接圆圆心.若，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·湖北武汉·三模）已知正六边形，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型5】 与垂直有关的计算 核心知识 坐标表达 零向量不能说与任意向量垂直 方法技巧 看到垂直条件直接写数量积等于0 列方程求解未知坐标或者参数 区分向量垂直和向量共线条件 图形题利用垂直建立等式求边长 不要混淆垂直条件与共线条件 【经典例题1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【经典例题2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【巩固练习1】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，，且与垂直，则的值是（   ） A． B．2 C．0 D．1 【巩固练习2】（2026·河北邢台·三模）已知向量满足，且，则_______________. 【巩固练习3】（2026·海南海口·模拟预测）若非零向量，满足，且，的夹角为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【题型6】 求数量积的最值/范围 核心知识 固定模长时数量积随夹角余弦变化 可以转化函数表达式求值域 方法技巧 方法一坐标化转化为函数求最值 方法二固定基底把向量分解 方法三利用几何意义动点轨迹数形结合 遇到动点优先建立坐标系 转化二次函数注意自变量取值范围 【经典例题1】（2026·天津滨海新区·三模）已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 【经典例题2】（2026·湖南常德·一模）在等边三角形 中， ，点 在边 上，且满足 ，点 是边 （包括端点）上的一个动点，则 的最小值为_____. 【巩固练习1】（2026·上海静安·模拟预测）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【巩固练习2】（2026·陕西商洛·模拟预测）在等腰直角中，为斜边的中点，点在边上，，则的最小值为______. 【巩固练习3】（2026·天津红桥·一模）四边形中，，则实数___________；若是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 【题型7】 与数量积有关的参数及范围 核心知识 数量积坐标展开后得到含参数等式或不等式 垂直夹角范围条件可以转化对应代数约束 锐角钝角需要排除共线情况 方法技巧 把向量全部写成坐标形式展开数量积 根据条件列等式或不等式求解参数 求锐角记得排除同向共线 求钝角记得排除反向共线 多约束条件联立求解参数范围 【经典例题1】（2026·江西赣州·二模）已知向量，，则的最大值是________． 【经典例题2】（2026·江西南昌·一模）已知向量，，，若向量满足，则的最大值为________. 【巩固练习1】（25-26高三上·山东菏泽·开学考试）已知满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则__________. 【巩固练习2】（2025·云南玉溪·模拟预测）已知是所在平面内一点，且，则的最大值为______. 【巩固练习3】（2026·山东烟台·模拟预测）在平行四边形中，点为的中点，点在上，且，与交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型8】 平面向量数量积在三角函数，圆锥曲线中的应用 核心知识 向量条件转化为三角等式进行三角恒等变换 圆锥曲线中点坐标带入向量坐标运算公式 向量垂直夹角投影条件翻译为解析几何条件 方法技巧 第一步把向量条件翻译成代数式子 三角题型转化之后使用三角公式化简 圆锥曲线联立直线与曲线方程韦达定理代入向量表达式 向量只是条件工具重点做好条件翻译 注意角度范围以及变量取值限制 【经典例题1】（2026·重庆·模拟预测）已知圆，，点坐标原点，点，是圆上的两个动点且，若，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【经典例题2】（2026·江西南昌·三模）已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，则（     ） A．8 B． C．16 D． 【巩固练习1】（2026·山东济南·模拟预测）的内角，，所对的边分别为，，，其面积为．已知． (1)求； (2)点满足，且，求． 【巩固练习2】（2026·福建三明·二模）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． (1)求A； (2)若点H在所在平面内，且满足，求面积的取值范围． 【巩固练习3】（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量，，. (1)求函数图象的对称轴方程； (2)在中，角为锐角且，，求面积的最大值. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2026·河北秦皇岛·一模）设 为单位向量，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东济南·模拟预测）设向量，满足，，则等于（     ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知平面向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·甘肃白银·三模）已知单位向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·海南·模拟预测）已知单位向量与的夹角为，则向量与的夹角为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南·三模）已知向量，满足，在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山西大同·三模）已知，是单位向量，且与的夹角是120°，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山东聊城·一模）在中，，，若动点满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 10．（2026·山东·模拟预测）我国自主研制的超高速风洞，是航空航天高端研发的国之重器．在风洞平面流场研究中，取平面内一组不共线的单位气流矢量作为平面基底，风洞内某位置的合气流矢量可以唯一表示为，已知基底矢量与的夹角为，且合气流矢量与基底矢量相互垂直，则（     ） A． B． C． D．3 11．（2026·广东佛山·模拟预测）已知向量，，满足，，，，则（     ） A． B． C． D． 12．（2026·山东·模拟预测）在中，，，，点满足，，点满足，，若的最大值为，最小值为，则（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 13．（2026·河北保定·三模）已知平面向量满足，与，与，与的夹角相等且不为0，则（    ） A． B． C．2 D．2 14．（2026·陕西·三模）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·河南开封·模拟预测）已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．（2026·上海虹口·三模）已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 三、解答题 17．（2026·湖南怀化·三模）在中，已知． (1)求C． (2)如图，若A，B在以C为圆心的单位圆上，D为此单位圆上的动点，线段交线段于点M（点M异于点C，B）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设（），记，求的最小值． 18．（25-26高一下·上海嘉定·期中）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)已知，，为函数的伴随向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $