第01讲 平面向量的概念及线性运算（复习讲义）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦平面向量的概念及线性运算，覆盖向量基本概念、线性运算（加减、数乘）、共线定理及应用等高考核心考点，按“概念-运算-定理-应用”逻辑构建知识框架。通过命题透视、知识精讲、题型破译、真题溯源等环节，帮助学生系统梳理考点，掌握几何表示、线性运算化简等方法，突破共线向量定理应用难点。 资料以“数学思维”和“数学语言”为导向，创新采用题型分类突破策略，如向量线性运算结合平行四边形、三角形法则转化图形条件，共线定理应用通过基底表示建立参数方程。设置基础与重难分层训练，配合课本典例与真题溯源，培养学生逻辑推理与数学表达能力，助力教师精准把控复习节奏，提升学生高效解题与应考能力。

第01讲 平面向量的概念及线性运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 向量的有关概念 知识点2 向量的线性运算和向量共线定理 题型破译 题型1 平面向量的基本概念 【方法技巧】平面向量的基本概念 题型2 向量的几何表示 【方法技巧】向量的几何表示 题型3 向量加、减法的几何意义 【方法技巧】向量加、减法的几何意义 题型4 向量的线性运算 【方法技巧】向量的线性运算 题型5 根据向量线性运算求参数 【方法技巧】根据向量线性运算求参数 题型6 向量共线定理及其应用 【方法技巧】向量共线定理及其应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量的基本概念与几何表示 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T11（5 分） 平面向量的线性运算（加法、减法、数乘） 天津卷 T15（6分） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T15（6分） 共线向量定理与三点共线问题 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T15（6分） 考情分析 平面向量的概念及线性运算是天津高考数学必考基础考点，是平面向量模块的入门核心内容，以选择、填空题为主要考查形式，偶尔会在解答题第一问中出现，单题分值5-6分，整体难度较低，属于基础送分题。 高频考查方向为：①平面向量的基本概念辨析，包括向量的模、相等向量、相反向量、单位向量等核心概念；②平面向量的线性运算（加法、减法、数乘）的几何意义与化简计算，重点考查三角形法则、平行四边形法则的应用；③共线向量定理的应用，包括三点共线问题、参数值求解等。 本模块是平面向量模块的必备基础，后续的平面向量数量积、坐标运算、解三角形、立体几何等内容均以本模块为基础，几乎所有向量相关题目都会涉及本模块的知识点，是高考数学的必拿分考点。 复习目标 1. 理解平面向量的基本概念，掌握向量的几何表示方法，能准确辨析向量的模、相等向量、相反向量、单位向量等核心概念，清晰区分向量与数量的本质区别； 2. 熟练掌握平面向量的线性运算法则（加法、减法、数乘），理解各类线性运算的几何意义，能熟练进行向量的线性运算化简，灵活运用三角形法则、平行四边形法则解决向量运算问题； 3. 掌握共线向量定理的核心内容，能运用共线向量定理解决三点共线、参数求解等问题，清晰理解向量共线与直线平行的区别与联系，筑牢平面向量模块的学习基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是 的． ②单位向量：长度等于 的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫 ．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 必记结论 平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. (4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 自主检测下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点2 向量的线性运算和向量共线定理 向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 必记结论 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 自主检测在平行四边形中，，，点E满足，则（     ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 平面向量的基本概念 例1-1关于向量，下列说法正确的有（ ） A．温度、海拔、角度都是向量 B．零向量没有方向 C．若是等边三角形，则与的夹角为 D．若向量与共线，且，则 例1-2下列说法中正确的是（    ）． A．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 B．若与是相反向量，则 C．若，则 D．若，，则 方法技巧 平面向量的基本概念 平面向量高考重点区分向量与数量，关注零向量、单位向量、相等向量、共线向量这些易混概念。做题务必注意：零向量方向任意，与任意向量平行，是高频陷阱。判断共线向量，只看方向，与向量位置无关。向量平行不等于直线平行，要区分向量共线和三点共线，三点共线需额外验证有公共点。向量模长是数量可比较大小，向量本身不能比较大小。处理概念选择题多用举反例排除错误选项，审题看清是向量还是模，避开概念混淆，结合天津高考命题特点，重视细节辨析，防止概念性失分。 【变式训练1-1】下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【变式训练1-2】下列说法错误的是（ ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【变式训练1-3】下列四个结论，正确的个数是（   ） ①两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行 ②与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 ③在中，若，则； ④若//，则存在唯一实数使得； ⑤若，，则； ⑥在中，若，且，则为等边三角形. A．1 B．2 C．3 D．4 题型2 向量的几何表示 例2-1关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2-2下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 方法技巧 向量的几何表示 向量几何表示以有向线段为载体，有大小与方向两大要素，做题分清起点、终点，注意AB与BA是相反向量，模长相等、方向相反。利用几何作图，可完成向量的加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，三角形法则要求首尾相接，减法指向被减向量。处理平面图形题型，善于把图形中的边转化向量。区分向量共线与线段共线，向量可以自由平移，位置不改变向量本身。遇到三点共线题型，借助向量几何关系建立等式。做题结合图形分析，画图辅助理解，注意零向量特殊情况，规避方向判断失误，天津高考常在选择中考查几何意义辨析。 【变式训练2-1】设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2-2·变考法】【新思维】下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【变式训练2-3】下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 题型3 向量加、减法的几何意义 例3-1在平行四边形中，是线段的中点，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 例3-2如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 例3-3设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 方法技巧 向量加、减法的几何意义 向量加法遵循三角形法则与平行四边形法则，三角形法则满足首尾顺次相接，和向量由起点指向终点；平行四边形法则要求两向量共起点，对角线为和向量。减法运算共起点，差向量指向被减向量。解题时要善于在三角形、平行四边形中转化向量，灵活变形AB=OB−OA。注意向量可平移，区分向量运算和线段长度运算。遇到模长问题，借助几何图形理解∣a±b∣的几何含义。三点共线问题常结合加减法转化条件，画图辅助分析，警惕混淆向量方向，天津高考选择小题常结合平面图形考查向量转化，要规范向量书写，避免符号出错。 【变式训练3-1】已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 【变式训练3-2】如图，在正六边形中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 题型4 向量的线性运算 例4-1如图，在中，，，且与交于点，，则（     ）    A． B． C． D． 例4-2“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 方法技巧 向量的线性运算 向量线性运算包含加法、减法、数乘运算，熟练运用三角形、平行四边形法则，注重向量式子的化简变形。数乘向量λa改变向量长度，λ正负决定方向，λ=0结果为零向量。共线向量定理是高频考点，b=λa(a=0)可判定两向量共线，常用于解决三点共线问题，切记a不为零向量的前提条件。做题优先把向量统一到同一起点，善于利用图形转化向量。化简时注意符号，区分向量与模长。天津高考小题常结合平面图形考查线性表示，把未知向量用基底表达，画图辅助 【变式训练4-1】在梯形中，已知，，，点、分别在线段和上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2·变载体】如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】等腰梯形中平行于，，，，为线段上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 题型5 根据向量线性运算求参数 例5-1如图所示，中为重心，过点，，，则（    ）    A．1 B．2 C． D．3 例5-2设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（   ） A． B． C．4 D．8 方法技巧 根据向量线性运算求参数 根据向量线性运算求参数，核心是利用向量相等条件：对应基底系数分别相等。先借助加减法、数乘对向量式子化简，将等式两侧统一用同一组基底表示。遇到平面图形题目，结合几何法则转化向量，整理出形如xe1+ye2=me1+ne2的等式，建立方程组求解参数。若涉及共线条件，用好共线向量定理，不要忽略基底不为零向量的前提。注意三点共线结论的灵活使用，快速建立参数关系式。做题仔细核对符号，防止移项变形出错。 【变式训练5-1】已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【变式训练5-2】在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式训练5-3】设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 题型6 向量共线定理及其应用 例6-1在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 例6-2已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 方法技巧 向量共线定理及其应用 向量共线定理：若a≠0，则b与a共线等价于存在唯一实数λ，使得b=λa，a不为零向量是重要前提，这是高频易错点。定理主要用于判定向量共线、求解参数、证明三点共线。证明三点共线时，除向量共线外，还必须确认两个向量拥有公共点，缺一不可。解题可把几何条件转化向量等式，通过λ建立方程求参数。天津高考小题常结合平面图形考查，注意向量可以自由平移，向量共线不代表对应直线重合。 【变式训练6-1】已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式训练6-2】设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【变式训练6-3】点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 2．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 3．（2014·天津·高考真题）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　) A． B． C． D． 4．（2008·天津·高考真题）在平行四边形ABCD中，，则＝_____ 5．（2007·天津·高考真题）设两个向量和，其中λ，m，α为实数，若，则的取值范围是（    ） A．[－6,1] B．[4,8] C．(－∞，1] D．[－1,6] 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同； C．，为任意向量 D．且 2．如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”） （1）．( ) （2）．( ) （3）．( ) 3．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 4．若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 5．某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（    ） A．向东南走 B．向东北走 C．向东南走 D．向东北走 6．化简： （1）______；            （2）______； （3）______；            （4）______． 7．有下列三个命题： ①若，，则； ②的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合； ③若且，则． 其中正确的命题有______． 8．判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 9．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    10．判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考平面向量概念与线性运算，以选择题为主。重点考查零向量、共线向量、相等向量辨析；向量加减、数乘的几何法则；向量共线定理，尤其三点共线判断。常结合三角形、四边形等平面图形，把向量做基底转化求解参数。侧重概念细节，向量共线与直线平行区分是高频考点，难度不大，但陷阱较多，侧重考查对概念的准确理解，容易因忽略零向量条件丢分 1．已知与为两个单位向量，下列四个命题正确的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 2．若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（    ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若且，则 C． D．若，则 4．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为______. 5．已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 6．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围____________. 7．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 8．计算： (1)； (2)． 9．设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 10．已知A，B，C是三个不同的点，，，. (1)求证：A，B，C三点共线； (2)已知，不共线，若，求值. 重难·创新演练 设题创新:命题创新多依托不规则平面图形，不再局限常规平行四边形、三角形，结合动点设置向量表达式。弱化简单公式套用，侧重图形条件向向量等式的翻译。常把共线、参数求解融合，设置零向量、向量平移等概念陷阱。部分题型结合几何最值，需要画图辅助分析。演练时要重视举反例辨析概念，强化图形与向量互相转化，不能死记结论，训练条件翻译能力，规避思维定式造成失误。 1．已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 3．在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A．且 B． C． D． 5．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知向量   ①  ； ②； ③向量在向量上的投影向量是 ④是向量的单位向量 则以上命题正确的有_____个. 7．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为___________ 8．如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形， 其中，设，则__________. 9．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 10．设，是平面内两个不共线的向量． (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使和共线； (3)若，，，求实数m的值． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 平面向量的概念及线性运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 向量的有关概念 知识点2 向量的线性运算和向量共线定理 题型破译 题型1 平面向量的基本概念 【方法技巧】平面向量的基本概念 题型2 向量的几何表示 【方法技巧】向量的几何表示 题型3 向量加、减法的几何意义 【方法技巧】向量加、减法的几何意义 题型4 向量的线性运算 【方法技巧】向量的线性运算 题型5 根据向量线性运算求参数 【方法技巧】根据向量线性运算求参数 题型6 向量共线定理及其应用 【方法技巧】向量共线定理及其应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 平面向量的基本概念与几何表示 天津卷 T4（5 分） 天津卷 T11（5 分） 平面向量的线性运算（加法、减法、数乘） 天津卷 T15（6分） 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T15（6分） 共线向量定理与三点共线问题 天津卷 T6（5 分） 天津卷 T12（5 分） 天津卷 T15（6分） 考情分析 平面向量的概念及线性运算是天津高考数学必考基础考点，是平面向量模块的入门核心内容，以选择、填空题为主要考查形式，偶尔会在解答题第一问中出现，单题分值5-6分，整体难度较低，属于基础送分题。 高频考查方向为：①平面向量的基本概念辨析，包括向量的模、相等向量、相反向量、单位向量等核心概念；②平面向量的线性运算（加法、减法、数乘）的几何意义与化简计算，重点考查三角形法则、平行四边形法则的应用；③共线向量定理的应用，包括三点共线问题、参数值求解等。 本模块是平面向量模块的必备基础，后续的平面向量数量积、坐标运算、解三角形、立体几何等内容均以本模块为基础，几乎所有向量相关题目都会涉及本模块的知识点，是高考数学的必拿分考点。 复习目标 1. 理解平面向量的基本概念，掌握向量的几何表示方法，能准确辨析向量的模、相等向量、相反向量、单位向量等核心概念，清晰区分向量与数量的本质区别； 2. 熟练掌握平面向量的线性运算法则（加法、减法、数乘），理解各类线性运算的几何意义，能熟练进行向量的线性运算化简，灵活运用三角形法则、平行四边形法则解决向量运算问题； 3. 掌握共线向量定理的核心内容，能运用共线向量定理解决三点共线、参数求解等问题，清晰理解向量共线与直线平行的区别与联系，筑牢平面向量模块的学习基础。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 必记结论 平行向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆. (4)非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 自主检测下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于选项A：若，则，故A正确； 对于选项B：向量不能比较大小，故B错误； 对于选项C：若，但方向不一定相同，可知不一定相等，故C错误； 对于选项D：若，但方向不一定相同，可知不一定相等，故D错误. 知识点2 向量的线性运算和向量共线定理 向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 必记结论 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 自主检测在平行四边形中，，，点E满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 题●型●破●译 题型1 平面向量的基本概念 例1-1关于向量，下列说法正确的有（ ） A．温度、海拔、角度都是向量 B．零向量没有方向 C．若是等边三角形，则与的夹角为 D．若向量与共线，且，则 【答案】C 【详解】对于A，温度、海拔、角度只有大小没有方向，不是向量，故A错误； 对于B，零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，等边的角均为，则与的夹角为，故C正确； 对于D，向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，所以D错误. 例1-2下列说法中正确的是（    ）． A．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 B．若与是相反向量，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】向量是既有大小又有方向的量，坐标轴只有方向，没有大小，故A错误； 相反向量是大小相等且方向相反的向量，故B正确； 和可能平行，也可能共线，故C错误； 当是零向量时，和可能不平行，故D错误． 故选：B． 方法技巧 平面向量的基本概念 平面向量高考重点区分向量与数量，关注零向量、单位向量、相等向量、共线向量这些易混概念。做题务必注意：零向量方向任意，与任意向量平行，是高频陷阱。判断共线向量，只看方向，与向量位置无关。向量平行不等于直线平行，要区分向量共线和三点共线，三点共线需额外验证有公共点。向量模长是数量可比较大小，向量本身不能比较大小。处理概念选择题多用举反例排除错误选项，审题看清是向量还是模，避开概念混淆，结合天津高考命题特点，重视细节辨析，防止概念性失分。 【变式训练1-1】下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 【变式训练1-2】下列说法错误的是（ ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，则不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确. 故选：C. 【变式训练1-3】下列四个结论，正确的个数是（   ） ①两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行 ②与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 ③在中，若，则； ④若//，则存在唯一实数使得； ⑤若，，则； ⑥在中，若，且，则为等边三角形. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①平行向量可以在同一直线上，也可以不在同一直线上，错误. ②向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，错误. ③在中，若，则，由正弦定理可得：，正确. ④若且，则存在唯一实数使得， 故当时，不能表示非零向量，错误. ⑤当时，满足，，但与不平行，错误. ⑥在中，为方向的单位向量，为方向的单位向量， 设的角平分线交于点. 所以在的角平分线上，由， 所以，所以； 又，所以，又，所以， 所以为等边三角形，正确. 综上，正确的个数是2个. 故选：B    题型2 向量的几何表示 例2-1关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：时，方向未知，不成立，A错误； 向量不能比较大小，B错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，C正确； 表示向量方向相同或相反，不能得到，D错误. 故选：C. 例2-2下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误； 对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小， 即，不能得出，C错误； 对于D，若，则，D错误， 故选：B 方法技巧 向量的几何表示 向量几何表示以有向线段为载体，有大小与方向两大要素，做题分清起点、终点，注意AB与BA是相反向量，模长相等、方向相反。利用几何作图，可完成向量的加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，三角形法则要求首尾相接，减法指向被减向量。处理平面图形题型，善于把图形中的边转化向量。区分向量共线与线段共线，向量可以自由平移，位置不改变向量本身。遇到三点共线题型，借助向量几何关系建立等式。做题结合图形分析，画图辅助理解，注意零向量特殊情况，规避方向判断失误，天津高考常在选择中考查几何意义辨析。 【变式训练2-1】设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式训练2-2·变考法】【新思维】下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于选项A：因为为向量，均为数量，故A错误； 对于选项B：根据相等向量与平行向量的关系，知，即有，故B正确； 对于选项C：例如，满足且，但，故C错误； 对于选项D：由零向量可知：对任意，均有，即不一定成立，故D错误； 故选：B 【变式训练2-3】下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向 【答案】C 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 故选：C 题型3 向量加、减法的几何意义 例3-1在平行四边形中，是线段的中点，是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是的中点，可得： 由是的中点，平行四边形中，因此：， 所以. 例3-2如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故； 为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 例3-3设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故或. 故选：C 方法技巧 向量加、减法的几何意义 向量加法遵循三角形法则与平行四边形法则，三角形法则满足首尾顺次相接，和向量由起点指向终点；平行四边形法则要求两向量共起点，对角线为和向量。减法运算共起点，差向量指向被减向量。解题时要善于在三角形、平行四边形中转化向量，灵活变形AB=OB−OA。注意向量可平移，区分向量运算和线段长度运算。遇到模长问题，借助几何图形理解∣a±b∣的几何含义。三点共线问题常结合加减法转化条件，画图辅助分析，警惕混淆向量方向，天津高考选择小题常结合平面图形考查向量转化，要规范向量书写，避免符号出错。 【变式训练3-1】已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴.    如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 【变式训练3-2】如图，在正六边形中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义，用表示，即可得答案. 【详解】由题设及正六边形的结构特征知，，且，， 又，所以. 故选：B 题型4 向量的线性运算 例4-1如图，在中，，，且与交于点，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则， 已知点在上，设， 又点在上，设， 则，解得， 故，则， 故． 例4-2“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，又， 则，，所以， 设，，则,即，， 所以，即，则， 所以， 则. 方法技巧 向量的线性运算 向量线性运算包含加法、减法、数乘运算，熟练运用三角形、平行四边形法则，注重向量式子的化简变形。数乘向量λa改变向量长度，λ正负决定方向，λ=0结果为零向量。共线向量定理是高频考点，b=λa(a=0)可判定两向量共线，常用于解决三点共线问题，切记a不为零向量的前提条件。做题优先把向量统一到同一起点，善于利用图形转化向量。化简时注意符号，区分向量与模长。天津高考小题常结合平面图形考查线性表示，把未知向量用基底表达，画图辅助 【变式训练4-1】在梯形中，已知，，，点、分别在线段和上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 梯形中，，，所以. 因为，所以. ， . 所以 . 【变式训练4-2·变载体】如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接， 因为是线段的中点，所以， 则． 因为是线段的中点， 所以． 【变式训练4-3】等腰梯形中平行于，，，，为线段上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】以为原点，建立如图平面直角坐标系， 则，，. 设，，则，， 所以. 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 题型5 根据向量线性运算求参数 例5-1如图所示，中为重心，过点，，，则（    ）    A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【详解】设，根据题意， 因为，，三点共线，则存在，使得， 即，即， 所以，整理得，所以. 例5-2设，是两个不共线的向量.若向量与的方向相反，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】因为向量与的方向相反， 所以，其中， 因，是两个不共线的向量， 则，， 联立可得：，则. 方法技巧 根据向量线性运算求参数 根据向量线性运算求参数，核心是利用向量相等条件：对应基底系数分别相等。先借助加减法、数乘对向量式子化简，将等式两侧统一用同一组基底表示。遇到平面图形题目，结合几何法则转化向量，整理出形如xe1+ye2=me1+ne2的等式，建立方程组求解参数。若涉及共线条件，用好共线向量定理，不要忽略基底不为零向量的前提。注意三点共线结论的灵活使用，快速建立参数关系式。做题仔细核对符号，防止移项变形出错。 【变式训练5-1】已知点是的重心，若，则（    ） A．-1 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】 设是的中点，则. 所以. 因为，所以， 因此. 【变式训练5-2】在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 【变式训练5-3】设，是两个不共线的向量，若向量与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量与共线，且， 则存在实数，使得，即， 可得，解得. 题型6 向量共线定理及其应用 例6-1在中，，是上一点，若，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是上一点，所以与共线，所以根据向量共线定理，存在实数，使得， 因为，所以． 又因为，所以， 因为，所以， 因为，所以，即． 将代入并化简， 因为，所以， 由，解得． 将代入，可得． 例6-2已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因，，则， 故 又三点共线，则， 故，又因为是边长为1的正三角形 所以， . 方法技巧 向量共线定理及其应用 向量共线定理：若a≠0，则b与a共线等价于存在唯一实数λ，使得b=λa，a不为零向量是重要前提，这是高频易错点。定理主要用于判定向量共线、求解参数、证明三点共线。证明三点共线时，除向量共线外，还必须确认两个向量拥有公共点，缺一不可。解题可把几何条件转化向量等式，通过λ建立方程求参数。天津高考小题常结合平面图形考查，注意向量可以自由平移，向量共线不代表对应直线重合。 【变式训练6-1】已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 【变式训练6-2】设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】B 【详解】对于A，若A，B，C三点共线，则，， 即，则，此时无解，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，则，， 而，即， 则，解得，故B正确； 对于C，若A，C，D三点共线，则，， 而，即， 则，此时无解，故C错误； 对于D，若B，C，D三点共线，则，， 即，则，此时无解，故D错误. 【变式训练6-3】点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，从而三点共线，， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 故选：B 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ； 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 2．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, 又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 3．（2014·天津·高考真题）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C． 4．（2008·天津·高考真题）在平行四边形ABCD中，，则＝_____ 【答案】3 【详解】平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则O是AC、BD的中点，如图， 因，于是得， 所以. 故答案为：3 5．（2007·天津·高考真题）设两个向量和，其中λ，m，α为实数，若，则的取值范围是（    ） A．[－6,1] B．[4,8] C．(－∞，1] D．[－1,6] 【答案】A 【详解】由，得所以 又cos2α＋2sinα＝－sin2α＋2sinα＋1＝－(sinα－1)2＋2， 所以－2≤cos2α＋2sinα≤2.所以－2≤λ2－m≤2. 将λ2＝(2m－2)2代入上式，得－2≤(2m－2)2－m≤2，解得≤m≤2， 所以＝2－∈[－6,1]． 故选：A 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同； C．，为任意向量 D．且 【答案】D 【详解】由于，所以与的大小相等，方向相同，故D正确. 故选：D. 2．如图，四边形是平行四边形，点P在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√"，错误的打“×”） （1）．( ) （2）．( ) （3）．( ) 【答案】 × √ × 【详解】对（1），因为，故（1）错误； 对（2），利用向量加法三角形首尾相接知，（2）正确； 对（3），，故（3）错误. 故答案为：(1) ×；(2) √；(3) × 3．在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形. 故选：A 4．若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ∴. 因为为非零向量， 所以， . 同理知无法判断之间的大小关系. 故选：C. 5．某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（    ） A．向东南走 B．向东北走 C．向东南走 D．向东北走 【答案】B 【详解】由题意和向量的加法，得表示先向东走3km， 再向北走3km，即向东北走. 故选：B. 6．化简： （1）______；            （2）______； （3）______；            （4）______． 【答案】 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：；；；. 7．有下列三个命题： ①若，，则； ②的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合； ③若且，则． 其中正确的命题有______． 【答案】①③ 【详解】①由题设，，即，正确； ②的等价条件是模长相等且方向相同，与起止点的位置无关，错误； ③由题设，，正确. 故答案为：①③ 8．判断下列各小题中的向量，是否共线： (1)，； (2)，（其中两个非零向量和不共线）； (3)，. 【答案】(1)共线； (2)共线； (3)共线. 【详解】（1），，所以， 所以，共线. （2），, 所以，所以，共线. （3）因为，， 所以， 所以. 所以，共线. 9．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.    【答案】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点， 所以 所以， 又因为与不共线，所以，且， 所以四边形EFGH为平行四边形. 【详解】略 10．判断三点是否共线. (1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线. (2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，D三点共线. (2) ， 所以， 又因为有公共起点，故A，B，C三点共线. 【详解】（1）略 （2）略 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 考查重点：天津高考平面向量概念与线性运算，以选择题为主。重点考查零向量、共线向量、相等向量辨析；向量加减、数乘的几何法则；向量共线定理，尤其三点共线判断。常结合三角形、四边形等平面图形，把向量做基底转化求解参数。侧重概念细节，向量共线与直线平行区分是高频考点，难度不大，但陷阱较多，侧重考查对概念的准确理解，容易因忽略零向量条件丢分 1．已知与为两个单位向量，下列四个命题正确的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】D 【详解】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误； B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线，当它们反向共线时，与不相等，B选项错误； C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误； D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线，即或，D选项正确. 故选：D 2．若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对D：由非零向量和互为相反向量，则，故D正确. 对A：由，故，故A正确； 对B：由且和为非零向量，故，故B正确； 对C：由，则，故C错误； 3．下列命题正确的是（    ） A．模相等的两个共线向量是相等向量 B．若且，则 C． D．若，则 【答案】D 【详解】模相等的两个共线向量可以是相等向量或相反向量，A选项错误； 且，若，则，不一定共线，B选项错误； ，不一定等于，C选项错误； 若，则，D选项正确； 4．在中，点是线段上任意一点（不包含端点），点为线段的中点，，若，则的最大值为______. 【答案】/ 【详解】 由已知可得：， 又因为在线段上， 所以有，且， 根据平面向量基本定理可知：， 所以，且，即 则， 当且仅当，即时取等号， 得，所以， 即的最大值为. 故答案为：. 5．已知向量与不平行，与平行，则实数__________． 【答案】/ 【详解】由于与平行，故设， 即，而向量与不平行， 故，解得， 故答案为： 6．已知，与的夹角为，若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围____________. 【答案】 【详解】依题意可得， 若向量与的夹角是钝角，可得且向量与不反向， 所以，解得； 当两向量方向相反时可得，且，解得； 因此可得或； 即实数的取值范围为. 故答案为： 7．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）． 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 即，得． 因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得； （2）． （3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以． 设，则． 因为，所以，解得， 即点A的坐标为． 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）易知； （2）计算可得. 9．设是两个不共线的向量，已知． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1) 由已知，得， 因为， 所以，又与有公共点， 所以三点共线． (2)． 【详解】（1）略 （2）由（1），知，若，且， 可设， 所以， 即． 又是两个不共线的向量，所以， 解得． 10．已知A，B，C是三个不同的点，，，. (1)求证：A，B，C三点共线； (2)已知，不共线，若，求值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为， ， 所以，因此A，B，C三点共线. （2）解：因为，不共线，所以， 又，所以存在实数，使，即， 解得. 重难·创新演练 设题创新:命题创新多依托不规则平面图形，不再局限常规平行四边形、三角形，结合动点设置向量表达式。弱化简单公式套用，侧重图形条件向向量等式的翻译。常把共线、参数求解融合，设置零向量、向量平移等概念陷阱。部分题型结合几何最值，需要画图辅助分析。演练时要重视举反例辨析概念，强化图形与向量互相转化，不能死记结论，训练条件翻译能力，规避思维定式造成失误。 1．已知为所在平面内一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 2．如图所示，中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从题图上可看出， ，而． 故选：C． 3．在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 4．设，是两个非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：且，则，两个为相等向量或相反向量， 当时，，不成立， 所以且不是成立的充分条件，故选项A不正确； 对于选项B：时，，所以得不出，不是成立的充分条件，故选项B不正确； 对于选项C：，若，两个向量方向相反时，得不出， 所以不是成立的充分条件，故选项C不正确； 对于选项D：满足，同向共线，所以的单位向量与的单位向量相等即， 所以是成立的充分条件，故选项D正确； 5．已知非零向量，则“与共线”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知非零向量， 若“与共线”： 当时，，则，故充分性不成立； 若： 则，即，化简得， ，，即， ，，即，与共线，必要性成立； 故“与共线”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 6．已知向量   ①  ； ②； ③向量在向量上的投影向量是 ④是向量的单位向量 则以上命题正确的有_____个. 【答案】2 【详解】由，得，. 对于①，由，可得，故①正确； 对于②，因，故，故②错误； 对于③，向量在向量上的投影向量是，故③错误； 对于④，设，因，且， 故是与向量同方向的单位向量，故④正确. 故答案为：2. 7．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为___________ 【答案】或 【详解】已知向量、不共线，，所以， 若与共线，则存在实数，使，即， 所以，即，解得或. 故答案为：或. 8．如图，由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成一个较大的等边三角形， 其中，设，则__________. 【答案】 【详解】解：由图可知，，， 因为，所以，， 由，，， 所以， 又，所以， 又因为， 所以， 又， 所以， 化简得， 整理得，所以，， 因此，. 9．已知是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以， 因为三点共线，所以存在实数使得，即， 又因为是平面内两个不共线的非零向量， 所以，解得. （2）由（1）可知，， 所以， 若，，则. （3）由四点按逆时针顺序构成平行四边形可得， 设，则，由（2）得， 所以，解得， 所以. 10．设，是平面内两个不共线的向量． (1)若，，，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使和共线； (3)若，，，求实数m的值． 【答案】(1)证明：因为，， 所以． 又， 所以． 所以，共线， 又因为它们有公共点B， 所以A，B，D三点共线． (2) (3) 【详解】（1）略 （2）解：因为和共线， 所以存在实数，使， 即． 因为，是平面内两个不共线的向量， 所以， 所以，． （3）解：由题意可得，， 因为， 则， 解得． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $