第22讲 平面向量的概念及线性运算（6个核心题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦平面向量的概念及线性运算高考核心考点，按概念辨析、线性运算、参数求解、共线应用、三角形四心等题型模块系统编排，通过核心知识梳理、方法技巧提炼、经典真题精讲与分层巩固练习，帮助学生构建知识网络，突破易错难点。 资料以题型为载体渗透数学思维与数学语言，如在共线定理应用中，引导学生用基底表示向量建立参数方程，培养逻辑推理与运算能力。设置基础巩固、能力提升、综合检测三级练习，配合即时反馈机制，确保高效复习，为教师把控复习节奏提供清晰路径，助力学生提升应考实战能力。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第22讲 平面向量的概念及线性运算 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 平面向量的概念 核心知识 向量既有大小又有方向 零向量长度为0方向任意 单位向量模长等于1 相等向量大小相等方向相同 相反向量大小相等方向相反 平行(共线)向量方向相同或相反 向量模表示向量长度 方法技巧 判断概念题重点关注零向量特殊情况 平行向量不要求起点相同 向量不能直接比较大小只有模可以比较 区分向量相等与向量模相等 注意零向量和任意向量平行 【经典例题1】（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若和方向相同，且，则 B．任意平面向量，总有 C．零向量长度为0，方向是任意的 D．在同一平面内，平行于同一个向量的两个向量平行 【经典例题2】（2026·江苏扬州·三模）已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习1】（25-26高一下·江苏常州·期中）已知为平面向量，则“不共线”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习2】（2026·陕西榆林·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A． B．是单位向量，则 C．若，则或 D．对于任意向量，有 【巩固练习3】（2026·山东济南·二模）已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型2】 平面向量的加法减法数乘运算 核心知识 向量加法：三角形法则平行四边形法则 向量减法：三角形法则起点共连指向被减向量 数乘向量长度 与同向与反向 线性运算满足交换律结合律分配律 方法技巧 向量加减法作图优先统一起点 化简向量表达式常用首尾相接抵消 遇到图形优先用基底表示目标向量 数乘运算注意系数正负对方向的影响 复杂图形中善于拆分向量 【经典例题1】（2026·湖北武汉·三模）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（    ）    A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·安徽合肥·模拟预测）在等腰梯形中，，若为的中点，记，则（     ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·重庆江北·模拟预测）在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 【题型3】 由向量的数乘运算求参数 核心知识 若则与共线 向量等式对应系数分别相等 基底表示唯一相同基底系数对应相等 方法技巧 把目标向量统一用同一组基底表达 等式两边基底系数对应列方程求解参数 出现共线条件直接写成数乘等式 注意区分向量等式和长度等式 优先整理式子分离参数项 【经典例题1】（2026·河北沧州·二模）在中，为上一点，且，为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，为边上的中点，在上且，若则（   ） A． B． C． D．1 【巩固练习2】（2026·河北邢台·二模）在平行四边形中，若点 E满足 ，与交于点， ，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．5 【题型4】 向量的共线与三点共线 核心知识 向量共线：存在实数使 三点共线与共线 三点共线向量式且 方法技巧 证三点共线先取同起点两个向量证明向量共线 必须补充两向量有公共点才能得到三点共线 遇到选择题直接使用快速判断 已知三点共线直接设数乘关系列方程 警惕只证明向量共线忽略公共点的易错点 【经典例题1】（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【经典例题2】（2026·北京石景山·二模）设向量与不共线，向量与共线，则______． 【巩固练习1】（2026·湖南长沙·二模）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【巩固练习2】（2026·新疆·二模）已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【巩固练习3】（2026·四川广安·二模）已知不共线向量、满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型5】 平面向量共线定理及其应用 核心知识 共线定理：对任意存在唯一实数满足 平面内一组基底不共线任意向量可唯一线性表示 基底要求两个向量不能共线 方法技巧 选择图形中不共线两个向量作为基底 将全部向量转化为基底形式 利用表示唯一性系数相等建立方程组 处理分点比例问题优先使用共线定理 求比例参数常用待定系数法 【经典例题1】（2026·安徽铜陵·模拟预测）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（24-25高一下·重庆·阶段检测）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2025·吉林长春·二模）在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025·重庆·模拟预测）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【巩固练习3】（22-23高一下·山东·阶段检测）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是______. 【题型6】 平面向量与三角形四心 核心知识 重心：中线交点 外心：垂直平分线交点 垂心：高线交点 内心：角平分线交点为三边边长 方法技巧 熟记四心对应的向量表达式 看到向量和为零优先联想重心 看到模相等优先联想外心 看到数量积相等优先联想垂心 看到边长加权向量等式优先联想内心 【经典例题1】（2026·湖北黄冈·二模）（多选）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 【经典例题2】（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【巩固练习2】（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【巩固练习3】（24-25高三上·吉林松原·阶段检测）（多选）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，，，为的中点，则为（    ）    A． B． C． D． 3．（2026·江苏·二模）在平行四边形中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南许昌·模拟预测）已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 5．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 13．（2026·北京·三模）在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（2026·四川德阳·二模）下列命题中正确的是（   ） A．若，则向量与的夹角为钝角 B．若，则向量在向量方向上的投影向量为 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．若为的外心，，则为的垂心 三、填空题 15．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第22讲 平面向量的概念及线性运算 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】 平面向量的概念 核心知识 向量既有大小又有方向 零向量长度为0方向任意 单位向量模长等于1 相等向量大小相等方向相同 相反向量大小相等方向相反 平行(共线)向量方向相同或相反 向量模表示向量长度 方法技巧 判断概念题重点关注零向量特殊情况 平行向量不要求起点相同 向量不能直接比较大小只有模可以比较 区分向量相等与向量模相等 注意零向量和任意向量平行 【经典例题1】（2026·广东深圳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若和方向相同，且，则 B．任意平面向量，总有 C．零向量长度为0，方向是任意的 D．在同一平面内，平行于同一个向量的两个向量平行 【答案】BC 【详解】选项A，任意两个向量不能比较大小，故A错误； 选项B，设的夹角为，则， 所以，即，故B正确； 选项C，由零向量的定义可知，零向量的长度为0，方向是任意的，故C正确； 选项D，零向量与任意向量平行，在同一平面内，对任意两个向量，必然满足且， 但这两个向量不一定平行，仅当共同平行的向量为非零向量时结论才成立，故D错误. 【经典例题2】（2026·江苏扬州·三模）已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】已知是单位向量，故. 对两边平方得， 代入，解得. 由点积定义得（为两向量夹角）， 得，即同向共线，存在使，充分性成立； 若存在使，由， 得. 当时，，此时，必要性不成立. 因此是“存在实数，使得”的充分不必要条件. 【巩固练习1】（25-26高一下·江苏常州·期中）已知为平面向量，则“不共线”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据向量的性质，结合充分、必要条件的定义，分析判断，即可得答案. 【详解】充分性：若不共线，根据三角形的性质，可得，故充分性成立； 必要性：若同向且，则， 此时，则成立，但此时共线，故必要性不成立， 则“不共线”是“”的充分不必要条件. 【巩固练习2】（2026·陕西榆林·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A． B．是单位向量，则 C．若，则或 D．对于任意向量，有 【答案】C 【分析】由相反向量的概念可判断A，由单位向量的概念可判断B，由时，可判断C，分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断D. 【详解】选项A：和是相反向量，方向相反但模长相等，因此，A正确， 选项B：单位向量的定义是模长为1的向量，即，B正确， 选项C：当时，除了或的情况，当（两个非零向量垂直）时，数量积也为0，C错误， 选项D，若方向相同，则， 若方向相反，则， 若不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知. 综上可知对于任意向量，必有，故D正确； 【巩固练习3】（2026·山东济南·二模）已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】借助平面向量共线定理结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若与共线，当时，存在实数，使得， 整理得， 若与不共线，则且，矛盾，故与共线； 当，有，此时与共线； 故“与共线”是“与共线”的充分条件； 若与共线，则存在实数，使得， 则，，故与共线， 故“与共线”是“与共线”的必要条件； 综上可得：“与共线”是“与共线”的充要条件. 【题型2】 平面向量的加法减法数乘运算 核心知识 向量加法：三角形法则平行四边形法则 向量减法：三角形法则起点共连指向被减向量 数乘向量长度 与同向与反向 线性运算满足交换律结合律分配律 方法技巧 向量加减法作图优先统一起点 化简向量表达式常用首尾相接抵消 遇到图形优先用基底表示目标向量 数乘运算注意系数正负对方向的影响 复杂图形中善于拆分向量 【经典例题1】（2026·湖北武汉·三模）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图得，， 所以. 【经典例题2】（2026·福建福州·三模）在中，点满足，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算计算即可. 【详解】如图，    . 【巩固练习1】（2026·安徽合肥·模拟预测）在等腰梯形中，，若为的中点，记，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取中点，根据中位线性质易得， 所以． 【巩固练习2】（2026·重庆江北·模拟预测）在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段的比例关系转化为向量等量关系，通过向量线性运算将用，表示后匹配选项. 【详解】，因此。 又因为，， 所以. 化简可得，即. 又，， 因此. 【巩固练习3】（25-26高一下·广西南宁·期中）在中，点M是边的中点，且与相交于一点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的基本定理求解即可. 【详解】∵点M是边的中点，， 又，，即， ． 【题型3】 由向量的数乘运算求参数 核心知识 若则与共线 向量等式对应系数分别相等 基底表示唯一相同基底系数对应相等 方法技巧 把目标向量统一用同一组基底表达 等式两边基底系数对应列方程求解参数 出现共线条件直接写成数乘等式 注意区分向量等式和长度等式 优先整理式子分离参数项 【经典例题1】（2026·河北沧州·二模）在中，为上一点，且，为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量的线性关系及加减法计算化简，再应用平面向量基本定理计算求解. 【详解】由题可知，，则，，. 【经典例题2】（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，有两个正六边形，为的中点．若，则（    ）    A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1，连接,结合正六边形的性质及向量的线性运算，可得,可得的值，即可得答案. 【详解】连接,如图所示：    设大正六边形的边长为2，则小正六边形的边长为1， 则为边长为1的正三角形， 所以,, 由正六边形的性质可知三点共线， 所以, 则 , 又因为， 所以， 所以. 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽合肥·期中）在中，为边上的中点，在上且，若则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，化简得到，结合题意，求得的值，即可求解. 【详解】在中，为边上的中点，在上且， 可得， 因为，所以，所以. 【巩固练习2】（2026·河北邢台·二模）在平行四边形中，若点 E满足 ，与交于点， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在平行四边形中，若点 E满足， 则，所以， 所以， 则，则. 【巩固练习3】（2026·河南洛阳·模拟预测）如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】用两种方式表示点的位置，然后利用向量基，底不共线，对应系数相等，得到. 【详解】依题意，, 所以，所以， 又因为，设， 所以， 即，因为，不共线，所以，所以， 所以. 【题型4】 向量的共线与三点共线 核心知识 向量共线：存在实数使 三点共线与共线 三点共线向量式且 方法技巧 证三点共线先取同起点两个向量证明向量共线 必须补充两向量有公共点才能得到三点共线 遇到选择题直接使用快速判断 已知三点共线直接设数乘关系列方程 警惕只证明向量共线忽略公共点的易错点 【经典例题1】（2026·湖南长沙·三模）已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 【经典例题2】（2026·北京石景山·二模）设向量与不共线，向量与共线，则______． 【答案】/0.5 【详解】向量与不共线，由向量与共线， 得，所以. 【巩固练习1】（2026·湖南长沙·二模）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】通过向量共线，结合向量有公共点，即可判断. 【详解】对于A，， 又，因此， 与共线，且两个向量有公共点，因此 三点共线， 选项B，，，不存在实数使，不共线； 选项C：，，不存在实数使，不共线； 选项D：，，不存在实数使，不共线. 【巩固练习2】（2026·新疆·二模）已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由向量与的方向相反，得,， 而向量，不共线，得，由，得，所以. 【巩固练习3】（2026·四川广安·二模）已知不共线向量、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共线向量的判定定理可得存在实数，使得，进而运算求解. 【详解】因为向量、不共线，则均不为零向量， 若，则存在实数，使得， 则，解得. 【题型5】 平面向量共线定理及其应用 核心知识 共线定理：对任意存在唯一实数满足 平面内一组基底不共线任意向量可唯一线性表示 基底要求两个向量不能共线 方法技巧 选择图形中不共线两个向量作为基底 将全部向量转化为基底形式 利用表示唯一性系数相等建立方程组 处理分点比例问题优先使用共线定理 求比例参数常用待定系数法 【经典例题1】（2026·安徽铜陵·模拟预测）在中，点D为边的中点，过点D的直线与，两边（或其延长线）分别交于点E，F，设，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线的向量表示求得的等量关系式，再利用基本不等式求得的最小值. 【详解】因为是的中点，所以， 由于三点共线，所以，其中， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 【经典例题2】（24-25高一下·重庆·阶段检测）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【详解】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C 【巩固练习1】（2025·吉林长春·二模）在中，，点E在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 【巩固练习2】（2025·重庆·模拟预测）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 【巩固练习3】（22-23高一下·山东·阶段检测）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是______. 【答案】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 【题型6】 平面向量与三角形四心 核心知识 重心：中线交点 外心：垂直平分线交点 垂心：高线交点 内心：角平分线交点为三边边长 方法技巧 熟记四心对应的向量表达式 看到向量和为零优先联想重心 看到模相等优先联想外心 看到数量积相等优先联想垂心 看到边长加权向量等式优先联想内心 【经典例题1】（2026·湖北黄冈·二模）（多选）如图，在中，，，P为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若P为的重心，则 B．若P为的内心，则 C．若P为的外心，则 D．若P为的垂心，则 【答案】ACD 【详解】设的中点为.由知，过点，且. 若P为的重心，则， 所以，所以，所以A正确. 若P为的内心，则， 化简得，， 所以， 所以，所以B错误. 若P为的外心， 易知，所以的外接圆的半径为， 即. 则，所以C正确. 若P为的垂心，则，所以，所以 . 所以D正确. 【经典例题2】（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 【巩固练习1】（2024·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】由题意得，即边上的高所在直线为，由此即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 【巩固练习2】（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断. 【详解】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A 【巩固练习3】（24-25高三上·吉林松原·阶段检测）（多选）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【分析】A选项，根据得到，同理得到，故；B选项，取的中点，故，故⊥，取的中点，同理可得⊥，点P是的外心，故；C选项，由正弦定理得到，故，点P在的中线上，C错误；D选项，作出辅助线，结合向量数量积运算法则得到，从而得到，点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心. 【详解】A选项，因为，所以， 所以，同理可得， 故点是的垂心， 故，故A正确； B选项，取的中点，则，故，故⊥， 取的中点，则，故，故⊥， 故点P是的外心，故，B正确； C选项，由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点P在的中线上，重心在其上，故C错误； D选项， ， 设的中点，， 所以， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·山东·一模）下列说法正确的是（    ） A．长度一样的两个向量相等 B．平行的两个向量为共线向量 C．零向量的大小为0且没有方向 D．方向相反的两个向量互为相反向量 【答案】B 【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可. 【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误； 选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确； 选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误； 选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误. 故选：B. 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图所示，，，为的中点，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，为的中点，所以， 所以. 3．（2026·江苏·二模）在平行四边形中，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在平行四边形中，为中点， 则， 因为，所以， 若，则，所以. 4．（2026·河南许昌·模拟预测）已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（   ） A．9 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】若向量与共线， 则存在实数使得 ，即， 又、是两个不共线的向量，所以，解得. 5．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即. 故选：C 6．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 7．（2026·江苏·二模）已知向量与均为非零向量，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件中的推出关系判断，结合共线向量定理求解即可，要注意定理中的条件是为非零向量. 【详解】若，因为向量与均为非零向量，则存在非零实数，使得， 所以， 因为与均为非零向量的倍数， 所以与共线，即，充分性成立. 若，当时，，所以； 当时，存在实数，使得，所以， 假设，则，，与为非零向量矛盾，所以假设不成立，， 所以，因为为非零向量，所以共线，即，所以必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 8．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以 因为，所以，所以 9．（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示向量即可. 【详解】由，得， 由为的中点， 得. 10．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由，，排除ABC，由可说明D符合题意. 【详解】，是平面内的一组基底， ，，， 因为，，， 则与，与，与不共线， 所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC， 注意到， 即，所以点是线段的中点，故D符合题意. 故选：D. 11．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组. 【详解】因，则， 故， 因三点共线，故设，则， 因，则，解得． 故选：D． 12．（2026·江苏扬州·模拟预测）设实数，在中，为上一点，若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【详解】在中，由为上一点，，得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4． 13．（2026·北京·三模）在平行四边形内存在一点，满足，若和的面积分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法性质分析可得，可知点在平行四边形的中位线上，即可得结果. 【详解】因为，即， 设线段的中点分别为， 可得，即， 设线段的中点为，可得，即， 可知点在线段上，且， 可知点在平行四边形的中位线上，所以. 二、多选题 14．（2026·四川德阳·二模）下列命题中正确的是（   ） A．若，则向量与的夹角为钝角 B．若，则向量在向量方向上的投影向量为 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．若为的外心，，则为的垂心 【答案】BCD 【详解】对于A：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，A错误； 对于B：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，B正确； 对于C：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，C正确； 对于D：因为为的外心，，则， 所以， 所以，同理可得，故为的垂心，D正确. 三、填空题 15．（24-25高一下·江苏南京·阶段检测）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】/ 【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解. 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $