安徽省部分重点高中2026-2027学年高三上学期9月学情检测数学试卷

高三9月数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 L.答案B 命题透析本题考查集合的运算 解析由题意得B=2,3,4,则A∩B=2,31, 2.答案B 命题透析本题考查复数的运算 解析由题可得2-z=(1+i)2-(1+i)=-1+i 3.答案D 命题透析本题考查函数的图象与性质。 解析由题意得x)=(x-a)P+bc=2-(2a-b)x+心2，则其图象的对称轴为直线x-2山-=1，因此2a-b=2 2 4.答案C 命题透析本题考查等差数列的基本量计算 解析设1a.的公差为d.因为a+a=2a,=6,所以a=3,又因为a=4,所以d=a。-a,=1,所以a,=a6- 5d=4-5×1=-1. 5.答案B 命题透析本题考查二项分布. 解折由题可知D(0=4p(1-p)=1,解得p=之则PX=3)=C(宁)广子 6.答案A 命题透析本题考查平面向量的线性运算及模， 解析如图所示，由题意得1a+2b+cI≥12b1-|a+c1=2-2,当且仅当2b与a+c共线且方向相反时1a+ 2b+cl取得最小值2-反. 2b 0 一1一 7.答案D 命题透析本题考查三角函数的零点、对称性与二倍角公式 解析令)=3m(2x-号）-2=0，可得m(2x-号）子令1=2x-号∈(-号)设2a-号=4 28-号=4，则+4=0,2a-28=(2a-号）-(29-号）-24因为m4=子4e(-号0小所以m4 -停则24=2咖4m62×(-哥}×子-45 8.答案A 命题透析本题考查函数的值城 解析设y=30二则46n+2m=3,可得24+了m（(x+p)=3,且1sn(x+p1≤1，则31≤ 2V4+7.两边平方得9y≤6+4.解得-誓≤号则)的值城列-5， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ACD 命题透析本题考查双曲线的方程与几何性质 解析设C的半焦距为c(c>0). 对于A,因为c=个+3=2，所以1F,F1=2c=4,故A正确： 对于B,C的渐近线方程为y=±3x,故B错误： 对于C,C的离心率为e=二=2，故C正确： 对于D,易知点P(2,-3)在C的右支上，所以1PF,1-1PF,I=2a=2,故D正确. 10.答案AC 命题透析本题考查空间线面位置关系及空间角的计算. 解析对于A,如图，易知B,C,⊥A,D,B,C,⊥A4,且AM,nA,D=A,则B,C⊥平面DAA,又BC∥BC, 故BC⊥平面DAA,则BC⊥AD,故A正确： 一2- 对打，连接D,易知8=E,0:V四+AD:受D要则∠4B:世-题3红 2 2AB×AD 22 故B错误： 对于C,易知D4,1平面B,CC,故∠C,即为直线C4,与平面B,CC所成的角，因为C,=,6,DA,乡。 DA 1 故sin DC4,=C=7,LDC4,=30°，故C正确： 对于D,易知直线CB,与平面AM,C,C所成的角为30°，故直线CD与平面AM,C,C所成的角小于30°，故D 错误 I1.答案ABC 命题透析本题考查利用导数研究函数的性质及直线的斜率 解析对于A.由题可知函数g(x)=代x)-a=x-lnx-a有两个零点，g(x)=1-士，当xe(0,1)时，g(x)<0 g(x)单调递减，当x∈(1，+)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，则g(x)≥g(1)=1-a,因为g(x)有两个零点， 所以1-a<0,即a>1,故A正确： 对于B,设函数()三1-)-1+，其中0<x<1,则p'()=-旷(1-)+f"(1+x)]2>0,所 以(x)在(0,1上单调递增，则(x)>p(0)=0,即八1-x)>八1+x),令1-x=x1,则f八x1)>f(2-x,),且 f八x,）=f1)=a,则f八x2）>f2-x),x1∈(0,1)，x1∈(1，+)，而八x)在(1，+)上单调递增，则x2>2 ,即x+x2>2,故B正确： 对于C,anB-代人an则B其中>1，则l Be(,,放C正确。 对于D,&-B=∠APB=T-∠BAP-∠ABP,当a1时，x,→1，→1·，∠BAP0,∠ABP0,故∠APB一→T, 所以an(a-B)的值可能为负，故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.答案25 命题透析本题考查二项式定理 解析xy的系数为C(-1)-2C(-1)’=5+20=25. 15.答案产 命题透析本题考查椭圆的方程及参数方程 解析不妨设P(2os83sin).因为F(-1.0),所以p序=(-1-2eos8,-3sin8),P=(4-2cos6,-3sin8), 则序.币=m0-60-1:-宁解得m0=宁或号（会去）.则1血01=受因此点P到：轴的距离为 13in0l=2 3 3 14答案号 命题透析本题考查圆柱的体积及空间距离的计算 解析不妨设调柱00的账面半径为，高为九，则ah=2,Fh=2.h=子所以AC=√(2)户+()，BC= √2+(，AB=2,则Af+BC=AC,即AB1BC.所以三棱锥C-0B的体积为安=子又△A4BC的 面积为宁B·BC=,√P+子.所以点0到平面BC的距离为： 设函数()=+子则p(口）= 2 r+ 4-土，当re(0,1)时，e'()<0,p()单调递减，当rE(1,+x)时p()>0,e()单调递增，故p(r)≥ p(1)=3,因此d= 1 号，所以1的最大值为号 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查解三角形 解析(1)由题意得A+B+C=,所以amC=am(π-A-B)=-am(A+B)=~-mAnB tan A +tan B …(3分) 又tanA=2,tanB=3,f代人可得anC=1, 因为Ce(0,),故C=号 …(5分)】 (2)方法一：如图，过点A作AH⊥BC,交BC于点H. 设BH=x,则AH=BH×tanB=3x. …(7分 所以B=V+册=而：=5，解得x=少则3 2 …(9分)】 由()可知C=牙，所以cH=AM3而 …(10分） 2 因为LAB=子，所以Dm=孕n=四 2 则△4CD的面积为宁H·(CH-Dm).5-5区 …(13分)】 4 方法二：由amB=3,可得mB=3画 10 5x300 在△ABC中，由正弦定理可得AC=4 Bsin B 10 =35。…(7分） sin C 2 一4 因为∠ADB=号，所以LAC=号 在△ACD中，由E弦定理可得AD=AC~imC 35x2 =30 sin∠ADC …(9分） 2 又m∠c=m(-是-)=如音-6,2 *44…（11分）】 所以△4CD的面积为分C,A0inLn4C=分x35×V0×6,2.5-5 …(13分)》 4 4 16.命题透析本题考查直线与抛物线的位置关系， 解析(1)设1的方程为x=y+4,4(1,),B(名). …(1分） x=my+4 由 可得y2-4my-16=0, y2=4x. 则y+为2=4m,y1少2=-16.… …(3分》 所以.0成=x1x,+y为2=(m1+4)(m2+4)+为2=(m2+1)y为+4m(y+为）+16=-16(m2+1)+4n· 4m+16=0 则OA上OB.故点0在以AB为直径的圆上.…(6分) (2)由题意得F(1,0),则F=(x1-1,).F京=(x3-1,2) 所以F.F市=1名+y为-(x1+)+1 代入x=m+4,化简可得F.F店=-4m2-7=-31.解得m2=6.…(9分) 所以点F到直线AB的距离为d=山-4L:3 小小(1】分) √m2+1√m+1 |4B到=√个+m、(+为)-4=4√m2+1·V√m2+4,…(13分） 则△FiB的面积为AB1×d=6原+4=6而。…(5分) 17.命题透析本题考查线面位置关系及空间向量的应用. 解析(1)如图，连接BD,设AC∩BD=O,则O为BD的中点. …(1分)》 1 女A=7Q为PD的中点，连接00， ,PB/∥O视.… …(2分)》 ,OQC平面QAC,PBd平面QAC. .PB∥平面QAC.… …… (4分) (2)AD=4,CD=AB=2,.AC=25. △PAB为正三角形，平面PAB上底面ABCD,点P到底面ABCD的距离为3，…(5分) 如图，以A为坐标原点，直线AB,AC分别为x轴y轴，以过点A且垂直于底面ABCD的直线为：轴建立空间直 5 角坐标系，则A(0.0,0),C(0,230),P(1,0,3),D(-2,23,0).…(6分) B A=(1.0.5)A元=(0.25.0).P7=(-3,25,-5).P风=(-3,25x.-35) 则A0=币+P项=(1-3A,2BA,3-5）.…(8分) 设平面PAC的法向量为m=(x,y,:), 「m·A=x+5z=0 则n花250 可取m=(3,0,-1). …(9分） 设平面QAC的法向量为n=(P,4,), 「n·Ad=(1-3A)P+25Ag+(5-5A)r=0 则n花25q0 可取n=(5-5A,0,3A-1).…(11分) 设三面角P-4C-0的大小为0由血0：3得1一1=各。 …(12分) =13-3+1-3A1 .1c0s0l=m112√31-A)+3A- F=4 化简得20λ2-27A+9=0. 解得A三子或， ………(5分) 18.命题透析本题考查离散型随机变量的分布列与期望 解析（(1)设甲的总通关次数为随机变量乙，则乙.~(，号)一 …(2分) 因为X。=3Z。,所以E(X)=3E(Zn)=2n,…(3分) 故E(X湖)=60.… …(4分) (2)X的所有可能取值为0,3,6,9，…(5分) Px=0)=G(广=方 Px=3)=G(号付=号 Px=6=G(子)(=÷ 6 Px=9)=c- ……(7分》 故X的分布列为 0 3 6 9 2 4 27 4…(8分)》 (3)由(1)知E(X.)=2n. 设乙的总得分为Y,则Y.的所有可能取值为0,8,16，…，8n, PX=8)=(子)子4=0.1，a-1).P=8m)=(子 1…(11分） 记9=子，则(，)=8{日9+2对+…+(n-1)g门+m} 令T=g+2g2+…+(n-1)g-, 则gT=g2+2g+…+(n-1)9°， 两式相减得(1-g)T=9++…+g-（m-1)g=山--（m-1).…（14分) 1-g 于是)=81-97+网】=8[2，之+小-产1-) 代人=子兰=24，得)=41-（门 44…(16分） 当n≥12时，E(Xn)=2n≥24， 面（子）>0.放B(,)=241-(门]<24≤2n=Bx). 即当n≥12时，甲的总得分的期望总大于乙的总得分的期望.…(17分) 19.命题透析本题考查导数的儿何意义及利用导数研究函数的性质。 解析(1)当a=2时x)=xnx-2(x+nx)+4, 则r到=h--1=-3…2分》） 又因为1)=2， 所以曲线y=f代x)在点(11))处的切线方程为y-2=-3(x-1),即3x+y-5=0.…(4分) (2)当a=1时x)=(x-1)(lnx-1),定义域为(0，+)， 则r()=nx-1+=h-,易知厂()在区间(0，+上单调递增…(6分) f)-l<0/2)=h2-寸=h2>0. 故存在唯一的1e(1,2),使得∫(x)=0,即血名= …(6分) —7— 当xe(0,x)时f(x)<0x)单调递减，当xe(x,+)时f'(x)>0f(x)单调递增 故))=-血-)=(-(-=2-(+） …(7分） 设()=+子则当e1,2)时，x)=1>0.()单调递蜡。 所以(x)<4(2)=子故)=2-(，)>2-子=-方 综上x)x)>-即)>- …(9分） (3f(x)=lnx-4-a+1=血x-ax+)+ 设g()=f),则g)=号>0， 故(x)在区间(0，+)上单调递增'(e2)=-ae2-1<0f(e）=1-ae.…(10分) 设函数h(a)=1-ae-,其中a≥0，则h'(a)=(a-1)e, 当a∈(0,1)时，k'(a)<0,h(a)单调递减，当a∈(1，+∞)时，h'(m)>0,h(a)单湖递增， 故h(a)≥h(1)=1-e1>0,则f(e)=1-ae">0.……(11分) 故存在ne(e2,e“),使得了(x)=0,此时x。为f代x)的极小值点 因为f()=0,所以a=n+山≥0，即≥e 。4…(12分） x和+1 w-"] (。-ln)2 (0+1)2 …(13分) x。+1 设(x)=x-n2 (x+1)2 则o'(x)=-=h2+x(nx+)-nx-2】 (x+1) (x)=x+x(In x+1)-In x-2. 则8(x)=2x+nx-上+2，且(x)在[。，+0)上单调递增、 x 又8'(e1)=2e4-e+1<0,8(1)=3>0, 故存在o∈(e1,1).使得8（σ）=0， 从而8(x)在(e,口）上单调递减，在(g,+关)上单调递增。…(15分) 又δ(e')=e2-1<0,8(1)=0. 所以当xe(e1,1)时，6(x)<0,当xe(1,+x)时，8(x)>0, 所以o(x)在(e‘,1)上单调递增，在(1，+%)上单调递减. 所以，)≤p()=-子 故x)存在唯一的极小值点，且八)≤一云 (17分) 8 高三9月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．若复数，则 A． B． C． D． 3．已知函数的图象关于直线对称，则 A． B． C． D． 4．已知等差数列满足，，则 A． B． C． D． 5．已知随机变量服从二项分布．若，则 A． B． C． D． 6．已知平面向量，，均为单位向量，且，则的最小值为 A． B． C． D． 7．设函数在区间内的两个零点分别为，（），则 A． B． C． D． 8．函数的值域为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设双曲线：的左、右焦点分别为，，点的坐标为，则 A． B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D． 10．在正三棱柱中，为的中点，，则 A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面所成的角为 11．已知函数的图象与直线的交点分别为，，且，点，设直线，的倾斜角分别为，，则 A．实数的取值范围是 B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数为            ．（用数字作答） 13．已知椭圆：的左焦点为，点在上，点，且，则点到轴的距离为            ． 14．已知圆柱的体积为，，是底面圆的圆周上两点，且，点满足，则点到平面距离的最大值为            ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，，． （1）求； （2）若，点在边上，且，求的面积． 16．（15分） 设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点． （1）证明：点在以为直径的圆上； （2）若，求的面积． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，，为正三角形，四边形是平行四边形，平面底面，点满足，其中． （1）当时，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求的值． 18．（17分） 某闯关活动设置两种闯关模式，每种模式均有个关卡．模式一：选择挑战全部个关卡，每个关卡通过得3分，未通过得0分；模式二：从第1关开始依次挑战，每个关卡通过得8分，并继续挑战下一关，若未通过，则得0分，并终止闯关．已知甲、乙两人分别选取模式一、二进行闯关，且甲每关通关的概率为，乙每关通关的概率为，且各关的通关结果相互独立． （1）设甲的总得分为随机变量，求； （2）当时，设甲的总得分为随机变量，求的分布列； （3）当时，比较甲、乙的总得分的期望值的大小． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）当时，证明：存在唯一的极小值点，且． 学科网（北京）股份有限公司 $