安徽部分校2027届高三上学期八月底学情调研数学试题

1/6 2027届高三8月底学情调研 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 2 4 6 7 8 答案 B D C A B D A B 1.B 将样本数据从小到大排列为1,2,4,5,6,7，因为6×0.4=2.4，所以第40百分位数为第3个数4. 故选B. 1=-x+y -5=2x-3y'解得 x=2 2.D 由题意得， =3故x+y=5.故选D 3.C 由题意得， 4-≤≤否行≤x≤，则4n2=151司.故选e 3 4.A 令4y5x2=0,故所求渐近线方程为y= 2X.故选A 5.B设AD=a,SA=b,易知CD⊥平面SAD,且ABIICD,故SC与AB所成角的余弦值为 pos∠D=3-CD=0 5S02a+,化简得。-7，即4- .故选B a 3 AD 3 6.D f'(x)=n(x+1)+1-a,易知f'(x)单调递增.由题意得，方程f'(x)=0在(1,3)上有解，故 f'(1)f'(3)<0,即(ln2+1-a)(2n2+1-a)<0,则ln2+1<a<21n2+1,而a∈Z,故 a=2,此时f(x)=(x+1)ln(x+1)-2x,f(x)=0的解为x=e-1,故当x∈(1，e-1)时， f'(x)<0,当x∈(e-l,3)时，f'(x)>0,故m=f(e-1)=2-e.故选D. 7.A 由题意得， 1 为等差数别，令1-1=d,即马-84=d,即a,-8-84,则 anti an ana d a41= 台a1a2028f·a02028 td dama =2027.故选A. 8.B 摸卡总的方法数为C=56种，把符合条件的摸卡情况分为四类：第一类，全绿有C=1种.第 二类，两绿一黑，若绿卡摸2+4，黑卡只能是6(1种)；若绿卡摸2+6，黑卡可以是4或10(2 种)方若绿卡摸4+6，黑卡可以是2或8(2种)，故第二类共5种.第三类：一绿两黑，若绿卡摸 2,黑卡可以是2+8、4+6、6+10(3种)，若绿卡摸4号，黑卡可以是2+6、4+10、6+8(3种)方若 绿卡摸6号，黑卡可以是2+4、2+10、4+8、8+10(4种)，故第三类共10种.第四类，全黑卡有 C=10种，故所求概率P三1+5+10+10_13 故选B 56 28 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 1 答案 ABD BC ABC 9.ABD 因为z=2-5i,所以z=2+5i,故A正确；2=√22+(-5)2=V29,故B正确； z·(1-2i)=(2-5i)(1-2i)=2-4i-5i-10=-8-91,则其虚部为-9，故C错误； z+3i_2-2i=-2-21=-1,故D正确.故选ABD. 2+2i2+2i2+2i 2027届高三8月底学情调研数学参考答案第1页共6页 10.BC令f(x)=x,g(x)=2x,则A错误；h(x)=min{f(x),g(x)}≥min{M,N=N,故B正确； 当f(x),g(x)在R上均为严格减函数且连续时，h(x)在R上严格单调递减，则h(x)没有极 1,x=0 1,x=1 值点，故C正确；令f(x)= 间+1x*08(9= 0.8 0.8- -+7x1:则)无 最大值，故D错误.故选BC. 11.ABC球心O在线段AB上，则AB是外接球的直径，OA=OB=OC=OS=R（R为球的半径)， 由球O的体积为定值，得R是常数.由向量OA,OC的夹角与向量OC,OS的夹角分别为定值， 得∠AOC和∠COS的角度为定值.如图，已知OA,OC的长和∠AOC的角度为定值，则AC 的长为定值，所以Rt△ABC三边长都是定值；同理，由∠COS的角度为定值，得SC的长为 定值.对A,若已知SA的长，则在RtAABS中，可以求出SB的长，则三棱锥S-ABC的所有 棱长都确定，则V唯一确定，故A正确；对B,若已知∠BCS的度数，则在△BCS中，可以 求出SB的长，再在Rt△ABS中，可以求出SA的长，则三棱锥S-ABC的所有棱长都确定， 则V唯一确定，故B正确；对C,由SC的长和SC与平面ABC所成角的正弦值，可以求出点 S到平面ABC的距离，由Rt△ABC的三边长，可以求出Rt△ABC的面积，则V唯一确定， 故C正确；对D,已知点C的轨迹是一个圆周，点S随着点C的变化而变化，点S的轨迹也是 一个圆周，若二面角C-AB-S的度数确定，则点S为上述焖周与平面ABS的交点，一般会 有两个交点，则此时V的值不确定，故D错误.故选ABC. S 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.4 由题意得。y=62-子，则y口=4，放4（品=-1，解得m=4 13.(x-4)}2+(y-4)2=5 由题童得.AB的中点坐标为3引C),则C4),回G的半经 R=C2A=√(4-2)2+(4-3)2=V5,故圆C2的标准方程为(x-4)2+(y-4)2=5. 14.元 5π7元 4’4 （第一空2分，第二空3分) 由题意得，@方乃+a(eZ列，则0=x+2x(keZ列，由在0》上单调递增，得 1≤=，则0<0≤2，故w=元.由题意得，n四=k-cosd叫+sina,若c0sa≤0， 220 元 aE(0,2m,则严≤&≤7，f0因)=g)今x-cosa+sima-sn心=0，令 2 2027届高三8月底学情调研数学参考答案第2页共6页 h(x)=x-cosa+sina- sin nx ,则h(x)=1-cos元x≥0，所以h(x)在[0,2]上单调递增，故 元 h(0)≤0≤h(2),即 -cosa+sina≤0 2-cosa+sina≥0，而2-c0s+sina≥0恒成立，故只需解 -cosa+sina≤0，解得5死≤a≤ 0；若cs&>0,aE(0,2m,则0≤a<或3<c≤2五 4 2 则g()在[0，cosa网上单调递减，在(cosa:2]上单调递增，令m()=k-cosa+sina-sin 结合f(x),g(x)的图象知，m(0)m(2)<0（m(0)=0排除，因为此时有两根)，故 (cosa+sina)(2-cosu+sina侧)<0，解得3死<a<7 .综上，实数α的取值范围为 5元 7元 0 4 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(3分) (1)由BO=OC,得O为线段BC的中点， 因为△SBC是等边三角形，所以BC⊥SO,…(2分) 因为SA⊥BC,且SO∩SA=S,所以BC⊥平面SAO,…(3分) 因为AOC平面SAO,所以AO⊥BC.…(4分) (2)由△SBC是面积为√5的等边三角形，得SB=SC=BC=2,S0=√5， 由（1)知，BC⊥平面ASO, 则c=日5waC: ·AO.SO.sin∠AOS.BC 32 =2x5xW5x2sin∠A0S=sin∠A0S=1,v…(6分) 6 所以∠AOS=90°，即SO⊥AO, 故以O为原点，OA,OB,OS所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， …（7分) 则A(V5,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),80,0,V3), 所以SA=(V3,0,-√5)，SB=(01,5),AC=（-√5，-1,0 .…（8分) 设平面S1B的法向量为m=(y),则"-=0，即V3x-V2=0 即 n-S8=0'y-V3z=0 Z. 取平面SAB的一个法向量为n=(1,V3,1.…(11分) 设直线AC与平面SAB所成角为B, nAC25√5 则sin0= 网AC V5×25 即直线AC与平面SAB所成角的正弦值为√西 …（13分) 2027届高三8月底学情调研数学参考答案第3页共6页 16.（15分) （1)设抽到的第j张奖券的金额为4，j=1,2; 设事件A为a,=m,事件B为a,<m,事件C为该VIP顾客进行了2次抽奖后获得最大金额m, 注意到P(A=片，PCA=0,P()=号P(Cp)= 则P(C)=P(AP(CA+P()P(CB)=号 …（6分) (2)仍设事件C为该VIP顾客获得最大金额奖励m, 若m=x,则P(C)=0,故只需考虑x<m的情况 …（8分) 设D,:抽到的第i(i∈N°，2<i≤5)张奖券金额为m, 由于是随机抽取，抽到的每张奖务为放大金额m的概率均相等，即P(D)-=兮：…(10分) 2 只有当x是前i-1张奖券中的最大金额，顾客才会保留第1张奖券，P(CD,)=;二，…(13分) …（15分) 17.（15分) （1)因为c0s2A+cos2B+2=4c0s2C, 所以1-2sin2A+1-2sin2B+2=4-4sin2C,…（2分） 整理得，sin2A+sin2B二2sin3C,…（3分) 由正弦定理得，+b2=2c2,即c 1 a2+b=2 …（5分） (2)由（1)知，a2=2c2-b2,由余弦定理得，c0sA= 2b'c b c ,…(7分) 2he c 2b b sin A 因为csinA=2bsin1500°，则 c√3，…(8分) 故cosA=sinA5 √32sinA …(9分) 整理得2W3 sin AcosA=2sin2A-3,即√3sin2A+cos2A=-2, 元 即sin2A+ 6 =-1,……（11分) 由A∈(0，元)，得A= 2π 3 …（12分) 故△ABC的外接圆半径R= =2V3, 2sinA 则△ABC的外接圆面积为元-(25)=12元.….(15分) 18.(17分) （1)设直线l:y=x- ,联立 y=x- 2,得x2-3px+卫=0， .（2分) 4 y2=2px 设直线1与抛物线C交于A(xyA),B(xB,yB)两点，则x4+xB=3p, 由抛物线定义知，8=3p+p,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.…(4分) 2027届高三8月底学情调研数学参考答案第4页共6页 x=my+2 (2)(i)联立 2三4x,得y=4my-8=0,则2y=-8,+h=4m,…5分 设T(x3,y3),FN:x=y+1,代入抛物线得，y2-4y-4=0, 则y2y3=-4,,+y3=4n,所以y=2y:…(7分） 咽为为=2少，X三，光=空，所以为=(8分) 4 又因为M=x-x+(-⅓}-3， 所烈9听+4妈1B=0,解得名=1该无=号 …（10分) 因为x1>0,x1=4x3,所以x3=1,则M(44), 1 代人x=my+2中，解得m= .…（12分） 2 (ii)当直线MN⊥x轴时，若kwO+k№=0，则点O必在x轴上. …（13分) 设(s,0),则ke+k0=片+业=(s-)+(6- x-5 x2-5 (x-5)(x2-s) =(m+2=)+(m+2-=2my%+2-st=0,…（15分)】 (mr+2-s)(my2+2-s）(my,+2-s)(my,+2.-s 所以2myy2+(2-S)(y+y2)=0,即-16m+4m(2+s)=0,则s=-2, 故Q(-2,0).…（17分) 19.（17分) (1)若a=2,则f=1nx-2+1;f=1=2x,f)的定义拨为(0，. 令f倒>0，解得0<x<9,令<0，解得x 2 2 故当xe 2 时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈ ,2时，f(x)<0,f(x)单调递减， 2 …·（2分) 故当x=巨时，f)取到极大值，也是最大值，为7 1-ln2 2 …(3分)） 2 /[}=-2+=h2-3,f<f[ 故最小值为ln2-3.…(4分) (2)(i)令f()=0,则9=血x+1； 2x2 令m(x)=nx+ ,则m(x)=-1-21nx …(5分) x 当20，当e( 时，m(x)<0, 2027届高三8月底学情调研数学参考答案第5页共6页 则函数m(x)在 (6分) 而当x>1时，m(x)>0恒成立，且m …（7分) 由f()有两个零点，得方程 hx+1有两个不等的正根， 2 则直线=号与)的图象有两个公共点，因此0<号<号 22 懈得0<a<e,即实数a的取值范围为(0，e).…(9分) G)=0,号="已< ，且。<店…(10分） e 不纺设t=点（化>），将北≠所代入血+1_血5+1， x x Int 得t(nx+1y=lnt+lnx,+1,即lnx+1= 2-1 …(（11分) 令m0=>1,则i0= 1-2-2m） …(12分) (2-17 令401-片-2油4>1，则0=子子20与<0则医数0在同上单灰这。 所以k()<k(1)=0,则n()<0,即函数()在(（1，+∞)上单调递减，…（13分) pn-2na2,得n冬=as受，题r≤5， 因此函数n()在(V2,+∞上单调递减，即n(0≤n(V2)=nV2,…(14分) 于是1nx+1≤1nV2,解得x∈ …(15分) 由(i), 2中田的湘Q方单调通游华<名 e 则m 即0< e'In2, 懈得0<a≤ 2In2 e e 2 4 2 即a的取值范围是 0, …（17分) 2 以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分： 2027届高三8月底学情调研数学参考答案第6页共6页2027届高三8月底学情调研 数学 满分150分，时间120分钟。请在答题卡上作答。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 7.已知各项均不相同的数列a,}满足，之=上+1，则觉2L。（） 1.样本数据5,2,7,6,1,4的第40百分位数为（) antl an an+2 aa2028 A.2027 B.2028C.2 D.1 A.2 B.4 C.5 D.7 8.在一节研究性学习的课程上，为了体现数学与生活的联系，唐老师准备了一个抽奖箱，里面有8 2.已知平面向量p=(1,-5),a=(-1,2),b=(1-3),若p=x+yb,则x+y=( 张卡片，其中三张卡片上用绿色签字笔标有数字2、4、6，五张卡片上用黑色签字笔标有数字2、 A.-5 B.-1 C.1 D.5 4、6、8、10,现邀请一名同学参与抽卡游戏，要求该同学从箱中任取三张卡片，则该生抽到的 3.已知集合A=osx≤≤x≤ B={-1.5,-1,0.5,0.5,1,1.5,则A∩B的元素个 卡片都是绿色数字或都是黑色数字或卡片上的数字之和是6的倍数的概率为() B.13 15 数为() 28 28 A.4 B.3 C.2 D.1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 4.双曲线C:4y2-5x2=1的渐近线方程为（ 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设z=2-5i,则下列说法正确的是(） A.y=t 2 及y=25 5 C.y=±子x 4 n=好 A.z=2+5i B.=V29 5.《九章算术商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖蹈。”其中， C.z(1-2i)的虚部为9 D.二+3为纯虚数 “阳马特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱维）。今有一阳马如图所示， 2+2i 10.对严格减函数有如下定义：设函数∫(x)的定义域为I,若Vx,为2∈I,当x<x时， 其中SML平面ABCD,B=D,若SC与AB所成角的余弦值为，则=(】 AD f(,)>f(:),则称f(x)为区间I上的严格减函数.已知函数f(x),g(x)的定义城为R, 若h(x)=mi血{f(x),g(x)},则下列说法正确的是() A.当∫(x),g(x)的图象均关于原点对称时，h(x)的图象也关于原点对称 B.若f(x)≥M,g(x)≥N,且M≥N,则h(x)≥N C.若f(x),g(x)在R上均为严格诚函数且连续，则h(x)没有极值点 D.若f(x),g()均存在最大值，则h(x)也一定存在最大值 1L.已知三棱锥S-ABC的体积为V,外接球的球心为O,且点O在线段AB上，向量OA,OC的 0 夹角与向量OC,OS的夹角分别为定值，若球0的体积为定值，则添加下列条件后，若V的值 A② B.v C.vi3 能够存在，则使得V的值唯一确定的是() 3 3 4 D.3 A.SA的长 B.∠BCS的度数 6.若函数f(x)=(x+1)血(x+1)-ax(a∈Z)在(1,3)上存在最小值m,则m=（ C.SC与平面ABC所成角的正弦值 D.二面角S-AB-C的度数 A.c-1 B.e-2 c.1-e D.2-e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.曲线y=2x3-2血x+3在点(1,5)处的切线与直线x+my-3=0垂直，则m的值为」 2027届高三8月底学情调研·数学第1页共4页 2027届高三8月底学情调研·数学第2页共4页 13.半径相同的圆C,C2交于A(2,3),B(3,2)两点，若C(1,1),则圆C,的标准方程为 17.(15分) 已知ae(Q2,敌闭=血匹（四>0）的图象关于直线x=对搭，且/)在（色引 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2A+cos2B+2=4cos2C. (1)求。三的值 单调递增，则)= ;函数g(x)=x-cos叫+sinc,若关于x的方程f(x)=g(x) a2+b2 (2)若csin A=2bsin1500°，且a=6,求△ABC的外接圆面积 在x∈[0,2]有且仅有1个根，则实数c的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知三棱锥S-ABC如图所示，其中△SBC是面积为V3的等边三角形，SAL BC,BO=OC (1)求证：AO⊥BC: (2)若AO=√5，三棱锥S-ABC的体积为1，求直线AC与平面SAB所成角的正弦值. 18.(17分) 已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为45°的直线1与抛物线C形 成的弦长为8 (1)求抛物线C的方程： (2)已知直线MN:x=my+2与抛物线交于M(,乃)，N(x2,y2)两点，其中x>0,y>0. (i)已知点T在抛物线C上，且F=ANT(0<元<1)，若T=V13,求m的值； (i)探究：是否存在定点2，使得koy+kow=0(其中kaM,kox分别为直线OM,ON的斜 率)，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。 16.（15分) 某奢侈品专柜在开业100天的纪念日举办一项有奖回馈至尊VP的活动，规定当天在专柜消费 最多的VP顾客（下面简称VP顾客）可以通过抽奖获得最高金额为m万元的现金返利（其中 m未知)，具体抽奖活动规则如下：在一个封闭的抽奖箱里装有5张奖券，每张奖券上标注若 19.(17分) 不同的奖励金额，VP顾客从抽奖箱中随机摸取1张奖券，查看数字后，若他认为符合自己的 已知函数fx)=hx-gx2+1(aeR) 心理预期，则直接兑奖，若他认为不符合自己的心理预期，则可以丢掉奖券，再从剩下的奖券中 2 随机抽取一张，重复该过程，直到奖券抽完，若奖券抽完，则按最后一张奖券的金额进行返现 (1)若a=2,求函数f(x)在 (1)若该VP顾客顾客进行了2次抽奖后兑奖，其获得的返现金额为a,求P(a=m): ]上a (2)经过思考，该VP顾客决定采取如下抽奖策略，他决定先抽取了2次，记录下这两次抽奖的最 (2)已知函数f(x)有两个不同的零点，为： 高金额x,然后丢掉奖券继续抽取，若后续抽奖抽到奖券的金额小于x,则继续抽，若金额大 (i)求a的取值范围； 于x,则直接兑奖，若抽到第5次，奖券的金额仍然小于最大金额x,则保留第5次的结果进 (i)若2ln为-2nx≥ln2,求a的最值范围。 行兑奖，求按照这种策略，该VP顾客能够获得最高金额为m万元的现金返利的概率 2027届高三8月底学情调研·数学第3页共4页 2027届高三8月底学情调研·数学第4页共4页