第十三章 三角形单元自测培优卷- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级三角形单元自测培优卷，45分钟100分，精选中考及模拟真题，覆盖等腰三角形、中线、角平分线等核心知识点，注重几何直观与推理能力，适配单元基础测试与周测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|等腰三角形周长（第1题）、三角形高与中线（第2题）|结合不等式正整数解，考查分类讨论思想| |填空题|6/18|三角形第三边取值（第9题）、等腰三角形中线分周长（第10题）|注重基础计算与几何直观，联系实际问题| |解答题|7/58|角平分线性质（第18题）、探究角平分线与外角关系（第21题）|设置“提出问题-应用拓展”探究题，培养推理能力与创新意识，贴合中考命题趋势|

第十三章 三角形单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：人教版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 2．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 3．（2026·四川雅安·一模）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 4．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，D为的中点，，且，若的面积为24，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2026·山西太原·三模）将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北武汉·二模）小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 7．（2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 8．（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 10．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是 __. 11．（2026·河南·一模）如图，已知点分别为的中点，的面积为2，则阴影部分的面积为__________． 12．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 13．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，将一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为 ，则图中 的度数为_______． 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，两条入射光线，经过漫反射后两条光线相交于点，若，，则的度数是________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（2025·湖南常德·二模）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为___________． 16.（8分）（2026·河北秦皇岛·一模）如图，点A，B，C在直线l上，，，m，n满足． （1）求线段的长． （2）P为线段延长线上一点，若以，，的长为边长的三角形为等腰三角形，求线段的长． 17.（8分）（2025·浙江·一模）我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段，如图，在的方格纸中，有一格点线段，请按要求画图． （1）在图1中画格点线段，且（点，不与点或重合）． （2）在图2中画格点，连结，，使得为等腰三角形，且其重心也落在格点上． 18.（8分）（2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． （1）的度数为_______； （2）求的度数． 19.（8分）（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O． （1）若是边上的中线，，的周长为，求的周长． （2）若于点D，，求的度数． 20.（8分）（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，． （1）请在图中画出的边上的高； （2）已知E为边上一点． ①若是中线，，则与的周长差为_____________； ②若，求的度数． 21.（10分）（24-25八年级上·山东济南·期末）【提出问题】 小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】 （1）小东阅读题目后，没有任何思路去发现与之间的数量关系，同桌小明提醒小东可以先尝试代入一些的特殊度数求出的度数，然后就可以根据结果猜想与之间的数量关系． ①如果，则的度数为______；如果，则的度数为______． ②聪明的同学们，你们能根据上面的结果，猜想出与之间的数量关系吗？请写出你们的猜想并利用图1证明你们的猜想． 【应用拓展】 （2）小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：人教版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． 2．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 3．（2026·四川雅安·一模）在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为12和15两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（     ） A．7 B．7或11 C．10 D．8或10 【答案】B 【分析】分两种情况讨论中线分周长的组合，结合等腰三角形性质列方程组，求解后验证三边关系． 解：如图，设等腰的腰长，底边长， ∵是边上的中线， ∴， 分两种情况：情况①当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形； 情况②当时， 解得， ∵， ∴能构成三角形． 综上，底边长为7或11． 4．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，D为的中点，，且，若的面积为24，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算，三角形的面积公式，由三角形中线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵在中，D为的中点，的面积为24， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2026·山西太原·三模）将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出，，再由平角得出，利用三角形内角和定理得出，再由平行线的性质得出，即可求解 解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 6．（2026·湖北武汉·二模）小红在学习完《三角形》后，她对各边长都是整数的三角形的个数进行了研究，结果如下表： 最长的边长 1 2 3 … n 三角形的个数 1 2 4 … m 若，则m的值是（     ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系求解，已知最长边为，设另外两边满足，根据“任意两边之和大于第三边”得到，枚举所有符合条件的整数，求和即可得到三角形总个数． 解：设三角形另外两边长为,，满足 ∵最长边为，根据三角形三边关系得 按的取值枚举所有情况： 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，，可取，共个； 当时，不存在满足条件的整数； ∴总个数． 7．（2025·广东深圳·模拟预测）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角度数为，则顶角的度数为（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分顶角是钝角和锐角两种情况，分别根据题意画图，运用三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余即可解答． 解：如图：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，由题意可得，则顶角； 如图：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，由题意可得， 则顶角． 故顶角的度数为或． 故选C． 8．（2026·福建三明·一模）将一副分别含角和角的直角三角板按如图所示方式摆放，点D在边上，保持点D位置不动，将绕点D旋转，始终保持边与边相交，则和的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，，从而得，根据三角形内角和定理得出，即可得． 解：根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（2026·四川广安·中考真题）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为_____． 【答案】9 【分析】先利用三角形三边关系确定第三边长的取值范围，再根据第三边长为整数，得出第三边长的最大值，即可得到三角形周长的最大值． 解：∵三角形的两边长分别为和， ∴第三边长，即第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长最大值为， 则这个三角形周长的最大值为． 10．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是 __. 【答案】9cm或cm 【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为cm，再根据两个三角形的周长差是4cm，求出x的值即可. 解：如图所示，等腰中，，点D为的中点，设cm， ∵点D为的中点， ∴cm，， 当的周长大于的周长时， ，即， 解得， ∴底边长为（cm）； 当的周长大于的周长时， 则，即， 解得， 底边长为（cm）. 综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或cm， 故答案为：9cm或cm. 【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解. 11．（2026·河南·一模）如图，已知点分别为的中点，的面积为2，则阴影部分的面积为__________． 【答案】6 【分析】根据三角形一边上的中线，把三角形分成面积相等的两部分，即可求解． 解：如图，连接， 点E为的中点，的面积为2， ， ， 点F为的中点， ， 点D为的中点， ， 阴影部分面积为：． 12．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可． 解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 13．（2026·吉林长春·模拟预测）如图，将一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为 ，则图中 的度数为_______． 【答案】 【分析】首先标注字母，根据题意得出，确定，得出，然后利用对顶角相等及三角形的外角性质可得答案． 解：如图，标注字母， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，两条入射光线，经过漫反射后两条光线相交于点，若，，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先根据平行线的性质求出，再根据三角形外角得，即可得出答案． 解：如图所示， ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， 即， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（2025·湖南常德·二模）约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义， 根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，再根据直角三角形的性质得，然后根据题意可知，进而求出，则答案可得． 解：∵平分， ∴． ∵，， ∴． ∵与互为“完美关联角”， ∴， 即或， 解得或． 在中，或． 故答案为：或． 16.（8分）（2026·河北秦皇岛·一模）如图，点A，B，C在直线l上，，，m，n满足． （1）求线段的长． （2）P为线段延长线上一点，若以，，的长为边长的三角形为等腰三角形，求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由非负数的性质可得，，可得，，再结合线段的和差关系可得答案； （2）分情况讨论，结合等腰三角形的定义可得，再结合线段的和差可得答案． （1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，以，，的长为边长的三角形为等腰三角形， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意； ∴； 【点拨】本题考查的是非负数的性质，线段的和差运算，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，掌握相关的基础知识是解本题的关键． 17.（8分）（2025·浙江·一模）我们把端点都在格点上的线段叫做格点线段，如图，在的方格纸中，有一格点线段，请按要求画图． （1）在图1中画格点线段，且（点，不与点或重合）． （2）在图2中画格点，连结，，使得为等腰三角形，且其重心也落在格点上． 【答案】（1）线段即为所求， （2）如图，根据为等腰三角形，重心也落在格点上，格点即为所求，点为重心， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，重心的定义，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意画出图形即可（答案不唯一）； （2）利用等腰直角三角形的性质和重心的定义，构建图形即可． 解：（1）略 （2）略 18.（8分）（2025·山东青岛·模拟预测）如图，中，平分，P为延长线上一点，于E，已知． （1）的度数为_______； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出的度数是解题的关键． （1）在中，利用三角形内角和定理可求出的度数； （2）结合角平分线的定义可得出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，结合对顶角相等可得出的度数，再在中利用三角形内角和定理可求出的度数． （1）解：∵中，， ， 故答案为：． （2）解：∵平分， ， 在中，， ， ， ， ， ． 19.（8分）（2025·浙江丽水·二模）如图，在中，是的平分线，点D在上（不与点A，B重合），连接CD交于点O． （1）若是边上的中线，，的周长为，求的周长． （2）若于点D，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）由三角形中线的概念可得，由的周长为得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． （1）解：是的中线， ， ∵的周长为， 的周长， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ； （2）解：， ， 是的角平分线，， ， ． 20.（8分）（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知在中，． （1）请在图中画出的边上的高； （2）已知E为边上一点． ①若是中线，，则与的周长差为_____________； ②若，求的度数． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）①；② 【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）过点A作交延长线于D，则即为所求； （2）①由三角形中线的定义得到，再根据三角形周长计算公式列式求解即可；②由三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理可得答案． （1）解：如图所示，过点A作交延长线于D； （2）解：①∵是中线， ∴， ∴ ， ∴与的周长差为； ②∵， ∴， ∴， ∴． 21.（10分）（24-25八年级上·山东济南·期末）【提出问题】 小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】 （1）小东阅读题目后，没有任何思路去发现与之间的数量关系，同桌小明提醒小东可以先尝试代入一些的特殊度数求出的度数，然后就可以根据结果猜想与之间的数量关系． ①如果，则的度数为______；如果，则的度数为______． ②聪明的同学们，你们能根据上面的结果，猜想出与之间的数量关系吗？请写出你们的猜想并利用图1证明你们的猜想． 【应用拓展】 （2）小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点F．若，，求的度数． 【答案】（1）①；； ②；理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线定义． （1）①根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出，，即，得出，即可求出结果；同理当时，求出即可； ②根据①的方法进行证明即可； （2）延长，，交于点G，根据解析（1）的结果得出答案即可． 解：（1）①∵平分，平分外角， ∴，， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； ② 略 （2）延长，，交于点G，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴根据解析（1）可知：． 学科网（北京）股份有限公司 $