第十四章 全等三角形单元自测培优卷- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级全等三角形单元自测培优卷，45分钟100分，涵盖选择、填空、解答，结合中考真题与创新情境，适配基础测试及周测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|全等判定、性质、角平分线|结合2025-2026中考真题及模拟题，如第8题测量旗杆高度，体现应用意识| |填空题|6/18|中线、坐标系中全等、判定条件|第10题坐标系中全等求坐标，考查几何直观与空间观念| |解答题|7/58|综合证明、实际应用、项目式探究|第19题钟摆项目式学习，第21题点D位置分类探究，培养推理能力与创新意识|

第十四章 全等三角形单元自测培优卷 考试时间：45分钟　　满分：100分 适用：人教版八年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2026·山西吕梁·模拟预测）如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的六边形，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，E是上一点，，于点D，若．则的面积为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，直线，点A在直线上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接，其中交于点E．若；则①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（25-26八年级上·全国·周测）如图，AD是的中线，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F．若，，，则EF的长度为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 7．（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，为测量旗杆的高度，李林在地面上选取一点，使得米，并测得；随后，在点处竖立一根高为2米的竹竿，在地面上的点处测得，并用皮尺量得米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，则旗杆的高度为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，平分，，，，则______． 10．（2026·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，如图所示，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是_____． 11．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在与中，在边上，，若，则的度数为_____． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 13．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 14．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于，交于，，，，则周长为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，且点，，在一条直线上，点在上，延长交于点． （1）试说明：． （2）若，，求的长． 16.（8分）（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数，并直接写出当 时，． 17.（8分）（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）小区的便民服务点要搭建一个四边形遮阳棚，其中，点E在棚架上，点F在棚架上，施工时发现，且支撑杆． （1）工人师傅说：“不用测量和，就能知道这两段棚架长度相等．”你同意他的说法吗？请说明理由； （2）已知米，米，搭建该遮阳棚的材料单价为每平方米20元，求搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费多少元？ 18.（8分）（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 19.（8分）（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【新课标·项目式学习】 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且与恰好垂直，在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，，过点作于点，过点作于点， 【数据测量】， 【问题解决】 （1）求证：； （2）求的长． 20.（8分）（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，于点，平分，交于点． （1）如图1，若，，则______； （2）如图2，点为上一点，连接，，，求的长． 21.（10分）（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，点D在直线上，点E在平面内，点F在的延长线上，，，． 【问题解决】 （1）如图1，若点D在边的延长线上，求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在线段上，请探究线段、与之间存在怎样的数量关系，并证明； 【拓展延伸】 （3）如图3若点D在线段的延长线上，请探究线段、与之间的数量关系，并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $第十四章全等三角形单元自测培优卷 考试时间：45分钟 满分：100分 适用：人教版八年级单元基础测试、周测 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1.(2026山西吕梁·模拟预测)如图，用两对全等的三角形纸片拼成如图所示的 六边形，△ABD≌△DEA,△BCD≌△EFA,则∠F+∠FAB+∠ABC=() A.240° B360° C.180° D.300° 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的性质及三角形内角和定理，根据题意得出 ∠F=∠C,∠FAE=∠CDB,∠FEA=∠CBD,∠AED=∠ABD,∠EAD=∠ADB,∠EDA=∠BAD ，然后进行等量代换求解即可，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理是解题关键 解：：△ABD≌△DEA,△BCD≌△EFA, ∠F=∠C,∠FAE=∠CDB,∠FEA=∠CBD,∠AED=∠ABD,∠EAD=∠ADB,∠EDA=∠BAD ∴.∠F+∠FAB+∠ABC =∠F+∠FAE+∠EAD+∠BAD+∠ABD+∠CBD =∠F+∠FAE+∠FEA+∠BAD+∠ABD+∠ADB =180°+180° =360°， 故选：B 2.(2025·四川凉山中考真题)如图，AB=AC,AE=AD,点E在BD上， ∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°，则∠ABC的度数为() B A.56° B.60° C.62° D.64 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明 ∠BAE=∠CAD,再利用SAS可证明△BAE△CMAD得到∠ABE=∠ACD,利用三角形内角和定理 可证明∠BA0=∠CD0=56°，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案. 解：∠EAD=∠BAC, .∠EAD-∠CAE=∠BAC-∠CAE,即∠BAE=∠CAD, 在△BAE和△CAD中， 「AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD △BAE≌aCAD(SAS), .∠ABE=∠ACD: 如图所示，设AC,BD交于O, .∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°，∠COD+∠DCO+∠COD=180°， ∠AOB=∠COD ∠BA0=∠CD0=56°， :AB=AC,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， .∠ABC=∠ACB=180°-∠BAC180°-56 2 2 =62°， 故选：C 3.(2025·陕西西安·模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是AC上一 点，AB=BE,AD⊥BE于点D,若BD=2,BC=7.则△EBC的面积为() E D A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积及全等三角形的判定与性质，能根据全等三角形的判定 与性质得出EM的长是解题的关键. 过点E作BC的垂线，垂足为M,根据全等三角形的判定与性质得出EM的长即可解决问题. 解：过点E作BC的垂线，垂足为M, D B :AD⊥BE,∠ABC=90°， ∴.∠ABD+∠BAD=∠ABD+∠EBM=90°， ∴.∠BAD=∠EBM. 在△ABD和△EBM中， ∠BAD=∠EBM, ∠ADB=∠BME, AB=BE .△ABD≌aBEM(AAS). ∴.EM=BD=2. 又，BC=7, x2x7=7 故选：D. 4.(25-26八年级上重庆开学考试)如图，直线∥1，点A在直线上，以点A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线、于B、C两点，以点C为圆心， CB长为半径画弧，与前弧交于点D(不与点B重合)，连接AC,AD,BC,CD,其 中AD交于点E.若∠ECA=30;则①∠ACB=75°；②∠BAD=60;③EC=AE;④ CD=CE.其中正确的有() D A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和等知 识，掌握这些知识是关键；由平行线的性质及等腰三角形性质、三角形内角和，可求得 ∠ACB=75°，从而判断①：可证明△BAC≌aDAC,得∠DAC=∠CAB=30°，即可判断②：由 ②的判断可判断③：由△BAC≌aDAC得∠ADC=75°，而∠CED=∠ECA+∠DAC=60°，由此 即可判断④，从而可确定答案. 解：41，∠ECA=30, .∠CAB=∠ECA=30°， 由题意知，AB=AC=AD, :∠4cB=∠4Bc=2080-∠CaB=75, 故①正确： 由题意知：AB=AD,BC=CD,且AC=AC, .△BAC≌aDAC(SSS), .∠DAC=∠CAB=30°， ∴.∠BAD=∠DAC+∠CAB=60°， 故②正确： 由②知，∠DAC=∠ECA=30° .EC=AE, 故③正确： .△BAC≌aDAC, .∠ADC=∠ABC=75°， .∠CED=∠ECA+∠DAC=60°， .∠ADC≠∠CED, .CD≠CE, 故④错误， 综上，正确的有①②③三个正确， 故选：B 5.(25-26八年级上·全国·周测)如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，BE的 延长线交AC于点F.若EF=AF,BE=9,CF=6,则EF的长度为() B D A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等 三角形是本题的关键. 延长AD,使DG=AD,连接BG,由“SAS”可证△ADC≌aGDB,可得 AC=BG=CF+AF=6+AF,∠DAC=∠G,由等腰三角形的性质可得BE=BG=9,即可求 EF的长 解：如图，延长AD,使DG=AD,连接BG, B D G ,AD是△ABC的中线， .BD=CD,且DG=AD,∠ADC=BDG, :.△ADC≌aGDB(SAS)」 ∴.AC=BG=CF+AF=6+AF,∠DAC=∠G, .EF=AF, .∠DAC=AEF, ∴.∠G=∠AEF=∠BEG, ∴BE=BG=9, ∴.6+AF=BG=9, ..EF=AF=3 故选：B 6.(25-26八年级上·重庆江北：期末)如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB 的平分线BD、CE相交于点O,BD交AC于点D,CE交AB于点E,若已知△ABC周 长为20，BC=7,AE:AD=5:4,则AE长为() E B A.3 10 B.3 c.9 D.4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适 当的辅助线构造全等三角形是解题的关键. 在BC上截取点F使得BF=BE,连接OF,根据角平分线的定义得到 ∠OBE=∠OBF=.∠ABC,∠0CD=∠OCF=)∠ACB,进而得到 2 ∠COD=∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°，先证明aOBF≌aOBE,得到∠BOF=∠BOE=60°， 再证明△OCF≌aOCD,推出BC=BF+CF=BE+CD,再利用三角形的周长公式求出AE的 长，即可得出答案 解：如图，在BC上截取点F使得BF=BE,连接OF, B F :∠A=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°， ,∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O, :∠OBE=LOBF=)∠ABC,∠0CD=∠0CF=∠ACB, 2 2 :∠0BC+Z0CB=)∠ABC+5∠ACB=x120=60°， 2 2 ∴.∠COD=∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°， ,BF=BE,∠OBF=∠OBE,OB=OB, .aOBF≌aOBE(SAS). .∠BOF=∠BOE=60°， .∠C0F=180°-60°-60°=60°， ∴.∠COF=∠COD, 又：∠OCF=∠OCD,OC=OC, .aOCF≌aOCD(ASA), ∴.CF=CD, ∴BC=BF+CF=BE+CD, AE:AD=5:4, ∴.设AE=5x,AD=4x, △ABC周长为20，BC=7, .AB+AC+BC=AE+BE+CD+AD+BC=AE+AD+2BC=20. 即5x+4x+14=20. 2 解得x 3 .AE=5x2、10 33 故选：B. 7.(25-26八年级下江西鹰潭·期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 点E,Sc=9,DE=2,AB=5,则AC的长是() B A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】过D作DF⊥AC于F,由角平分线的性质定理即可求出DE=DF=2,再计算出 Su,最后根据Sc=S.c-S.s一=24C-DF,即可求出AC的值。 1 解：过D作DF⊥AC于F, :AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB, ∴.DE=DF=2, 1 1 :S4s=2B.DE=2x5×2=5, 2 ,△ABC的面积为9， 1 '.S.ADC=S.A8C-S.4DB=AC.DF 即24C×2=9-5, 1 解得：AC=4. 8.(25-26七年级下·陕西咸阳期末)如图，为测量旗杆AB的高度，李林在地面 上选取一点C,使得BC=2米，并测得∠ACB=76°；随后，在点C处竖立一根高为2 米的竹竿CD,在地面上的点E处测得∠DEC=14°，并用皮尺量得CE=8米.已知 AB⊥BE,DC⊥BE,点B、C、E在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，则 旗杆AB的高度为() A.8m B.6m C.12m D.10m 【答案】A 【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠A=∠DEC,进而证明△ABC≌aECD(AAS) ,再利用三角形全等的性质即可求解 解：，AB⊥BE,DC⊥BE, ∴.∠B=∠DCE=90°， 又：∠ACB=76°，∠DEC=14°， .∠A=90°-∠ACB=90°-76°=14°=∠DEC, .BC=2m,CD=2m, .BC=CD, 又：∠A=LDEC,∠B=∠DCE, .△ABC2aECD(AAS), 4B=CE-8m 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9.(24-25八年级上江苏南通阶段检测)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC, ∠B=2∠ADB,AB=3,CD=5,则AC= 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识， 构造三角形全等是解题的关键； 在AC上取点E,使AE=AB=3,连接DE,则由角平分线的性质可证明△ABD≌△AED,从而 有∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE,则可得∠CDE=∠CED,有CE=CD=5,再由AC=CE+AE即 可求解。 解：如图，在AC上取点E,使AE=AB=3,连接DE, :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠EAD: 在△ABD与△AED中， AB=AE ∠BAD=∠EAD, AD=AD ∴.△ABD≌△AED, ∴.∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE: ,∠B=2∠ADB, ∴.∠BDE=∠ADB+∠ADE=2∠ADB=∠B, ,∠BDE=∠AED, ∴.180°-∠BDE=180°-∠AED .∠CDE=∠CED, ..CE=CD=5, ∴.AC=CE+AE=5+3=8 B D 故答案为：8 10.(2026江苏南京·二模)在平面直角坐标系中，Rt△ABC如图所示，点A,B的 坐标分别是(0,1)，(3,0)，若AC=BC,则点C的坐标是一· B 【答案】(，) 【分析】过点C作平行于x轴的直线，交y轴于D,过B作该直线的垂线，垂足为E,根据已 知得∠CAD=∠BCE,∠ADC=∠CEB=90°，AC=BC,进而△ADC≌aCEB(AAS), 1-y=3-x AD=CE'CD=BE'设C(x)得方程组x=-y，求解即可得到答案. 解： B D E 如图，过点C作平行于x轴的直线，交y轴于D,过B作该直线的垂线，垂足为E. ∴.∠ADC=∠CEB=90° 又：∠ACB=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°， .∠CAD=∠BCE 又AC=BC, △ADC≌aCEB(AAS), .AD=CE CD=BE 设C(x,y),由图可知C在第四象限，因此x>0,y<0, :.CD=x,BE=0-y=-y,AD=1-y,CE=3-x, 1-y=3-x 得到方程组： x=-y x=1 解方程组得： y=-1 “点C的坐标为(1，-) 11.(25-26七年级下·上海期中)如图，在△ABC与△ADE中，E在BC边上， AD=AB,AE=AC,DE=BC,若∠I=25°，∠B=40°则∠2的度数为一· D B 【答案】25°/25度 解：在△ABC与△ADE中， AD-AB AE=AC DE=BC ∴.△ABC=△ADE(SSS) ∴.∠D=∠B,∠DAE=∠BAC :∠DAE=∠DAB+∠BAE,∠BAC=∠I+∠BAE .∠DAB=∠1=25°， 设AB与DE相交于点O, 在△AOD中， ∠D+∠DAB+∠AOD=180°， 在△BOE中，∠B+∠2+∠BOE=180°， :∠AOD=∠BOE. ∠D+∠DAB=∠B+∠2， ∠D=∠B, .∠2=∠DAB=25 12.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB 上，满足BC=BD,过点D作DE⊥AB交AC于点E,若△ABC的周长为36，△ADE的 周长为12，则BC= B 【答案】12 【分析】连接BE,根据H皿可证RIABCES≌RIABDE,利用全等三角形的性质可知DE=CE, 再根据△ABC的周长和△ADE的周长，可得AD+AE+CE=12，,即可得到BC的长度. 解：如下图所示，连接BE, 在RIABCE和RtABDE中， BE=BE BC=BD' RIABCES≌Rt△BDE(HL), :.DE=CE, △ABC的周长为36， ..BC+AB+AC=36 .BC+BD+AD+AE+CE=36 BC=BD ..2BC+AD+AE+CE=36 :△ADE的周长为12， ..AD+AE+DE=12. .AD+AE+CE=12 .2BC+12=36, .BC=12 13.(24-25八年级上吉林长春期中)如图，已知∠EAC=∠BAD,AC=AD,增加 下列条件：①AB=AE;②BC=ED；③∠C=∠D;④LB=D.其中能使 △ABC≌△AED的条件有. 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可. 解：：∠EAC=∠BAD, .∠EAC+∠BAE=∠BAD+∠BAE,即∠BAC=∠EAD, ①当AB=AE时， 在△ABC和△AED中， AC=AD ∠BAC=∠EAD AB=AE .△ABC≌aAED(SAS)； ②当BC=ED时，不能判断△ABC≌△AED: ③当∠C=∠D时， 在△ABC和△AED中， ∠BAC=∠EAD AC=AD ∠C=∠D :.△ABC≌△AED(ASA): ④当∠B=∠D,而AC=AD,所以∠B与∠D不是对应角，所以不能判断△ABC≌△AED 综上所述，能使△ABC≌△AED的条件有①③. 【点拨】注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的 参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角. 14.(24-25七年级下·广东深圳期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC和 ∠BAC的平分线相交于点O,OD⊥OA交AC于D,OE⊥OB交BC于E,AC=7, BC=24,AB=25,则△CDE周长为 B ○ 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，构造辅助线证明三角形全等 是解题的关键 延长EO交AB于N,延长DO交AB于M,可证△BOE≌aBON,有BE=BN,OE=ON;同理 可证明△AOM≌△AOD,有AM=AD,OD=OM,再证明△MON≌ADOE,则有DE=MN ；由CE+CD+DE=AC+BC-AB即可求解. 解：如图，延长EO交AB于N,延长DO交AB于M, B M :OE⊥BO, ∴.∠BOE=∠BON=90°： :BO平分∠ABC, .∠EBO=∠NBO: 在△BOE与△BON中， [∠BOE=∠BOWN OB=OB ∠EBO=∠NBO .△BOE≌aBON(ASA). ..BE=BN,OE=ON; 同理可证明△AOM≌△AOD,有AM=AD,OD=OM； 在△MON与△DOE中， OM=OD ∠MON=∠DOE ON=OE ∴aMON≌aDOE(SAS), .DE MN: .CE=BC-BE=BC-BN BC-BM-MIN,CD=AC-AD=AC-AM. .CE+CD+DE BC-BM-MN+AC-AM+MN =AC+BC-AB =7+24-25 =6 故答案为：6. 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.(8分)(25-26七年级下·湖南衡阳期末)如图，△ABD≌aCFD,且点B,D, C在一条直线上，点F在AD上，延长CF交AB于点E. (I)试说明：CE⊥AB (2)若BC=7,AF=1,求BD的长. EA D 【答案】(1)证明：：△ABD≌△CFD, .∠A=∠C,∠ADB=∠CDF, .∠ADB+∠CDF=180° ∠ADB=∠CDF=90°， .∠A+∠B=90° ∠C+∠B=90°， .∠CEB=90°， .CE⊥AB: (2)BD=3 【分析】(I)根据全等三角形的对应角相等可得∠ADB=∠CDF,∠A=∠C,再由等量代换 即可证明： (2)根据全等三角形的对应边相等可得BD=DF,AD=CD,得出CD-BD=1结合 CD+BD=BC=7即可求解， 解：(1)略 (2)解：△ABD≌△CFD, ..BD=FD AD=CD. AF=1,即：AD-FD=1, :.CD-BD=1, 又CD+BD=BC=7, .BD=3 16.(8分)(26-27八年级上湖北武汉·开学考试)如图，点F,G分别在△ADE的 AD,DE边上，C,B依次为GF延长线上两点，AB=AD,∠BAF=∠CAE, ∠B=∠D. (I)求证：BC=DE: (2)若∠B=35°，∠AFB=78°，求∠DGB的度数，并直接写出当∠CAB=_时， DEAC 【答案】(1)证明：∠BAF=∠CAE, ∴.∠BAF-∠FAC=∠CAE-∠FAC ∴.∠BAC=∠FAE AB=AD,∠B=∠D, ,△ABC2aADE(ASA) ∴.BC=DE (2)67°，32° 【分析】(I)先由∠BAF=∠CAE,得∠BAC=∠FAE,又因为AB=AD,∠B=∠D,即可 证明△ABC2aADE(ASA): (2)由∠D=∠B=35°，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得∠DGB=67°，根据 DE‖AC,故∠ACG=∠DGB=67°，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答。 解：(1)证明：略 (2)解：∠B=35°， ∴.∠D=∠B=35° :∠GFD=∠AFB=78°， .∠DGB=180°-∠GFD-∠D=67°， .DE AC ∴.∠ACG=∠DGB=67° ∠CAB=∠ACG-∠B=67°-35°=32°（三角形外角性质）. 17.(8分】(25-26七年级下·辽宁辽阳期末)小区的便民服务点要搭建一个四边形 遮阳棚ABCD,其中∠B=∠D=90°，点E在棚架BC上，点F在棚架CD上，施工时 发现CE=CF,且支撑杆AE=AF. (1)工人师傅说：“不用测量AB和AD,就能知道这两段棚架长度相等.”你同 意他的说法吗？请说明理由： (2)已知BC=4米，AD=2米，搭建该遮阳棚的材料单价为每平方米20元，求搭 建这个四边形遮阳棚一共需要花费多少元？ D B E 【答案】(1)同意工人师傅的说法. 理由：连接AC, D 在△AEC和△AFC中， AE=AF CE=CF AC=AC .△AEC≌aAFC(SSS). ∴.∠ACE=∠ACF, 在△ABC和△ADC中， I∠B=∠D ∠ACB=∠ACD AC=AC .△ABC≌△ADC(AAS), .'AB=AD. (2)160元 【分析】(1)连接AC,先证明△AEC≌△AFC,再证明△ABC2aADC,即可证明结论： (2)由(1)可知△ABC≌△ADC,可得AB=AD=2米，DC=BC=4米，即可求出四边形 ABCD的面积，即可求解。 解：(1)略 (2)解：由(1)得△ABC≌△ADC, ∴.AB=AD=2米，DC=BC=4米， :SBm=8c+5m号BCAB+分CDD=4x2+4×2=4+4=8(平方米) 1 总费用：8×20=160（元）. 答：搭建这个四边形遮阳棚一共需要花费160元. 18.(8分)(25-26八年级上·福建莆田·阶段检测)△ABC和△ADE都是等腰直角三角 形，∠BAC=∠DAE=90°， (I)如图1，点D,E在AB,AC上，则BD,CE满足怎样的数量关系？请说明理由， (2)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD,CE,则BD,CE满足怎 样的数量关系和位置关系？请说明理由， 图1 图2 【答案】(1)BD=CE,理由如下： ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=9O°， .AB=AC,AD=AE, ..AB-AD=AC-AE, .BD=CE: (2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下： 延长BD,分别交AC、CE于RG, ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-LDAC=∠DAE-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE .△ABD≌aACE(SAS). .BD=CE,∠ABD=∠ACE, ,'∠AFB=∠GFC, ∴.180°-∠GFC-∠ACE=180°-∠AFB-∠ABD .∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE. 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AB=AC,AD=AE,然后求解即可： (2)延长BD,分别交AC、CE于R、G,证明△ABD≌△ACE(SAS),得到BD=CE, ∠ABD=∠ACE,进而求解即可. 解：(1)略 (2)略 19.(8分)(25-26八年级上河北廊坊期中)【新课标·项目式学习】 【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律. 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等. 【实践操作】在支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动： 如图1，点A表示小球静止时的位置.小明将小球从OA摆到OB的位置，并向右推 动小球，OC是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且OB与OC恰好垂直， A,B,O,C在同一平面上. 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，OB⊥OC,过点B作BD⊥OA于点D ,过点C作CE⊥OA于点E, 【数据测量】BD=8cm,AE=9cm, 【问题解决】 图1 图2 (1)求证：∠COE=∠B: (2)求OA的长. 【答案】(1)证明：，OB⊥OC, ∴.∠BOD+∠COE=90°， 又CE⊥OA,BD⊥OA, ∴.∠CEO=∠ODB=90°， .∠BOD+∠B=90°， .∠COE=∠B: (2)0A=17cm 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识： (1)证∠BOD+∠B=90°，∠BOD+∠COE=90°，即可得出结论： (2)先证△COE≌△OBD(AAS),得出OE=BD=8cm,即可得出答案. 解：(1)略 (2)解：由题意得：OC=OB=OA 由(1)得：∠COE=∠B,∠CE0=∠ODB=90° 在△COE和aOBD中， ∠CEO=∠BDO ∠COE=∠B OC=OB .△COE≌△OBD(AAS), ..OE BD =8cm, ..OA=OE+AE=17(cm) 20.(8分)(25-26七年级下·四川达州期末)已知，A01BC于点0，CD平分 ∠ACB,交AO于点D. (1)如图1，若AC=BC,∠CA0=50°，则∠DBC=°； (2)如图2，点E为AC上一点，连接DE,AC+CE=10,AD=DE,求CO的长. B B 图1 图2 【答案】(1)50；(2)C0=5 【分析】(1)依据角平分线定义得∠ACD=∠BCD,结合AC=BC,CD=CD,用SAS证 △ACD≌△BCD,由全等性质得∠CAO=∠DBC,结合∠CAO=50°求出∠DBC. (2)作DN⊥AC,由AD=DE得AN=EN(等腰三线合一)，结合AC+CE=10推出 AC+CE=2CW,再用HL证明RtACDNS≌RtACDO,得CO=CW=5. (1)解：CD平分∠ACB, ∴.∠ACD=∠BCD 在△ACD和△BCD中， AC=BC ∠ACD=∠BCD, CD=CD :△ACD≌△BCD(SAS), .∠CAO=∠DBC, ∠CA0=50°， ∴.∠DBC=50° (2)解：过点D作DN⊥AC于点N,如图2所示： E m B 图2 AD=DE. :AN EN, .∴.AE=AN+EN=2EN ∴.AC=CE+AE=CE+2EN, .AC+CE=CE+2EN+CE=2(CE+EN)=2CN 又：AC+CE=10, .2CW=10, .CN=5, :CD平分∠ACB,AO⊥BC于点O,DN⊥AC于点N, ∴.∠COD=∠CWD=90°，D0=DN, 在Rt△CDO和RtACDN中， DO-=DN CD=CD· .RtACDNS≌RtACDO(HL), .C0=CN=5 21.(10分)(25-26八年级上浙江杭州开学考试)在△ABC中，点D在直线AB 上，点E在平面内，点F在BC的延长线上，∠E=∠BDC,AE=CD, ∠EAB+∠DCF=180°. 【问题解决】 (I)如图1，若点D在边BA的延长线上，求证：AD+BC=BE: 【类比探究】 (2)如图2，若点D在线段AB上，请探究线段AD、BC与BE之间存在怎样的数 量关系，并证明： 【拓展延伸】 (3)如图3若点D在线段AB的延长线上，请探究线段AD、BC与BE之间的数量 关系，并证明. 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：：∠EAB+∠DCF=180°，∠BCD+∠DCF=180°， ∴.∠EAB=∠BCD, 在△EAB和△DCB中， T∠EAB=∠BCD AE=CD ∠E=∠BDC :△EAB≌2aDCB(ASA), .BE=BD,AB=BC, .BD=AD+AB, ..AD+BC=BE; (2)BC-AD=BE,证明如下： ∠EAB+∠DCF=180°，∠BCD+∠DCF=180° ∴，∠EAB=∠BCD. 在△EAB和△DCB中， ∠EAB=∠BCD AE=CD ∠E=∠BDC ∴.△EAB≌aDCB(ASM). ∴.BE=BD,AB=BC, BD=AB-AD. .BC-AD=BE (3)AD-BC=BE,证明如下： :'∠EAB+∠DCF=180°，∠DCB+∠DCF=180°， .∴.∠EAB=∠DCB, 在△EAB和△DCB中， ∠EAB=∠DCB AE=CD ∠E=∠BDC :.△EAB≌aDCB(ASA) ∴.BE=BD,AB=BC, BD=AD-AB, ∴.AD-BC=BE, 【分析】(I)先证∠EAB=∠BCD,再由ASA证得△EAB≌△DCB,得出BE=BD,AB=BC ,即可得出结论： (2)先证∠EAB=∠BCD,再由ASA证得△EAB≌△DCB,得出BE=BD,AB=BC,即可得 出结论； (3)先证∠EAB=∠BCD,再由ASA证得△EAB≌△DCB,得出BE=BD,AB=BC,即可得 出结论， 解：略 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、平角的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质 是解题的关键，