26.2.2二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 第3课时课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2+k\)的图象与性质，通过复习\(y=ax^2+k\)、\(y=a(x-h)^2\)与\(y=ax^2\)的平移关系，以问题“\(y=a(x-h)^2+k\)是否可由\(y=ax^2\)平移得到”搭建支架，衔接新旧知识。 其亮点在于通过画图探究培养几何直观（数学眼光），结合喷水池、跳水运动实例构建模型（数学语言），归纳性质时融入符号推理（数学思维）。采用“探究-归纳-应用”教学法，总结清晰（平移规律表、性质对比），帮助学生理解数形结合，教师可直接用于结构化教学。

输入文本 输入文本 输入文本 输入文本 第二十六章 二次函数 第3课时 人教版九年级数学上册 掌握二次函数 y=a(x−h)2+k的图象与性质，能说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值. 理解二次函数 y=a(x−h)2+k与y=ax2图象之间的平移关系，并能利用函数性质解题. 经历探索抛物线y=a(xh)2k与y=ax2的关系的过程，发展学生学习数学中转换、化归的思维方法，体会平移知识在二次函数中的应用. 感受二次函数在生活中的实用价值，培养主动探究、严谨计算的学习习惯，体会数形结合的逻辑严谨性. yax2 yax2k ya(xh)2 当k>0时，向上平移k个单位长度 当h>0时，向右平移h个单位长度 x O y 二次函数 y=ax2+k(a≠0)、ya(xh)2 与 y=ax2 (a≠0)的图象有何位置关系？ 当k<0时，向下平移|k|个单位长度 当h<0时，向左平移|h|个单位长度 二次函数ya(xh)2 +k(a≠0)的图象是否可以由y=ax2 (a≠0)平移得到？ 1 活动一：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与平移规律 ①列表： x … 3 2 1 0 1 … y … 3 1.5 1 1.5 3 … 1 活动一：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与平移规律 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 1 y O 1 活动一：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与平移规律 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 1 y O x=-1 2 活动一：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与平移规律 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 1 y O 向下平移 1 个单位长度 向左平移 1 个单位长度 平移方法1 2 活动一：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与平移规律 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1 1 y O 向左平移 1 个单位长度 向下平移 1 个单位长度 平移方法2 活动一：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与平移规律 一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把抛物线y=ax2向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线y=a(x-h)2+k. 平移的方向、距离要根据h、k的值来决定. 抛物线y=a(x-h)2+k图象特点： (1)当 a>0 时，开口向上；当 a<0 时，开口向下． (2)对称轴是 x=h． (3)顶点是(h，k)． 活动一：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与平移规律 y=ax2 y=a(xh)2k y=a(xh)2 y=ax2k 向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位 向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位 活动二：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)图象的性质 4 你能归纳出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质吗？ x O y x O y x=h x=h a>0，当x<h时，y随x的增大而减小， 当x>h时，y随x的增大而增大， 当x=h时，函数有最小值k． a<0，当x<h时，y随x的增大而增大， 当x>h时，y随x的增大而减小， 当x=h时，函数有最大值k． (h，k) k (h，k) k y=a(xh)2k 5 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3.6m，水管的长应为多少? 活动三：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的实际应用 如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系. y=a(xh)2k (1.6，3) (3.6，0) 与y轴的交点 (0≤x≤3.6) x 1 2 3 4 O y 1 2 3 (1.6，3) 3.6 活动三：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的实际应用 x 1 2 3 4 O y 1 2 3 (1.6，3) 3.6 活动三：探究二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的实际应用 巧设顶点式求二次函数的解析式： 已知抛物线的顶点坐标(h，k)和抛物线上另一个点的坐标，直接设顶点式y=a(x-h)2+k，然后将另一个已知点的坐标代入，便可求得二次函数的解析式. 已知二次函数的图象经过顶点(1，-4)，与y轴交于(0，-3). (1)求这个二次函数的解析式； (2)当-1<x<2时，求y的取值范围. (1)设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-4. 把(0，-3)代入解析式得：-3=a(0-1)2-4， ∴a-4=-3，解得a=1 ∴二次函数的解析式为y=(x-1)2-4. (2)∵a=1>0，顶点为(1，-4) ∴函数图象开口向上，当x=1时，y有最小值为-4； ∵当x=-1时，y=(-1-1)2-4=0 当x=2时，y=(2-1)2-4=-3 ∴当-1<x<2时，y的取值范围为：-4≤y<0. 已知二次函数的图象经过顶点(1，-4)，与y轴交于(0，-3). (1)求这个二次函数的解析式； (2)当-1<x<2时，求y的取值范围. 已知二次函数 y=a(x-1)2-4 的图象经过点 (3，0)． (1) 求 a 的值； (2) 若 A(m，y1)、B(m+n，y2) (n>0) 是该函数图象上的两点，当 y1=y2 时，求 m、n 之间的数量关系． (1) 将 (3，0) 代入 y=a(x-1)2-4， 得 0=a(3-1)2-4 即 4a-4=0，解得 a=1. (2) 根据题意，得 y1=(m-1)2-4，y2=(m+n-1)2-4， ∵ y1=y2，∴ (m-1)2-4=(m+n-1)2-4， 即 (m-1)2=(m+n-1)2. ∵ n>0，∴m-1=-(m+n-1)， 化简，得 2m+n=2. 还有其他方法吗？ 已知二次函数 y=a(x-1)2-4 的图象经过点 (3，0)． (2) 若 A(m，y1)、B(m+n，y2) (n>0) 是该函数图象上的两点，当 y1=y2 时，求 m、n 之间的数量关系． 已知二次函数 y=a(x-1)2-4 的图象经过点 (3，0)． (2) 若 A(m，y1)、B(m+n，y2) (n>0) 是该函数图象上的两点，当 y1=y2 时，求 m、n 之间的数量关系． 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y 的变化情况： (1) y=2(x+3)2+5； (2) y=-3(x-1)2-2； (3) y=4(x-3)2+7； (4) y=-5(x+2)2-6. 解：(1)y=2(x+3)2+5开口向上，对称轴是直线x=-3，顶点坐标为(-3，5)，当x<-3时，y随x的增大而减小；当x>-3时，y随x的增大而增大. (2)y=-3(x-1)2-2开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，-2)， 当x<1时，y随x的增大而增大；当x>1时，y随x的增大而减小. 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y 的变化情况： (1) y=2(x+3)2+5； (2) y=-3(x-1)2-2； (3) y=4(x-3)2+7； (4) y=-5(x+2)2-6. 解：(3)y=4(x-3)2+7开口向上，对称轴是直线x=3，顶点坐标为(3，7)，当x<3时，y随x的增大而减小；当x>3时，y随x的增大而增大. (4)y=-5(x+2)2-6开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点坐标为(-2，-6)，当x<-2时，y随x的增大而增大；当x>-2时，y随x的增大而减小. x y O 跳水运动背后的二次函数平移问题 任务 1.观察10米跳台和3米跳台对应的解析式有什么关系？ 2.从原函数到新函数，图象发生了怎样的平移变换？对于y=a(x−h)2+k中的h和k，分别与哪些因素有关？ 3.请利用数学知识，说明函数图象平移现象背后的代数原理(从y=ax2到y=a(x-h)2+k的平移探究)，说理清晰，逻辑完整. 任务 探究 已知：10 米跳台起跳最高点比 3 米跳板高 7m，且跳台起跳前沿相比 3 米跳板起跳前沿，向水池水平向前多出 1.5m，坐标系保持不变，请写出 10 米跳台对应的跳水轨迹解析式. 跳水运动背后的二次函数平移问题 $