专题1.5 充分条件与必要条件讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“充分条件与必要条件”核心知识点，从命题真假切入，通过推出关系明确条件关系，结合集合包含关系深化理解，构建“命题-推出-集合”的完整知识支架。 资料融合定义法、集合法、等价转化法三种判断方法，例题覆盖条件判断、参数求解等类型，培养逻辑推理（数学思维）和抽象能力（数学眼光），课中助教师系统授课，课后供学生巩固练习，查漏补缺。

专题1.5 充分条件与必要条件 【考点导航】 【知识梳理】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3. 充分、必要、充要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AÜB p是q的必要不充分条件 BÜA p是q的充要条件 A＝B 【方法技巧】 充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 【考点1：充分条件】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 【答案】AC 【分析】根据充分条件的定义进行判断. 【详解】对A：因为菱形的对角线互相垂直，所以“：四边形为菱形”是“：这个四边形的对角线互相垂直”的充分条件； 对B：因为或，所以“：”不是“：”的充分条件； 对C：因为，所以“：”是 “：”的充分条件； 对D：当，，则，为无理数，但为有理数，所以“：，为无理数”不是“：为无理数”的充分条件. 故选：AC 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）用充分条件、必要条件填空： （1）“”是“且”的______； （2）“”是“”的______. 【答案】 必要条件 充分条件 【详解】（1）设,且， 分析：若成立，不一定能推出且， 例如，，满足，但不满足. 分析:若且，两个负数相加一定是负数，则成立. 所以根据定义“”是“且”的必要条件. （2）设,， 先解方程得或， 分析，将代入q命题的方程，等式成立，因此， 分析，若方程成立，x可以是5，不一定是2，因此q不能推出p， 所以根据定义 “”是“”的充分条件. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分条件； (2)p是q的充分条件； (3)p不是q的充分条件． 【分析】（1）（2）（3）利用充分条件的定义，逐一判断各个命题. 【详解】（1）在中，，所以p是q的充分条件． （2）由于，所以p是q的充分条件． （3）方法一  由，所以p不是q的充分条件． 方法二  设集合，，则真包含于，所以p不是q的充分条件． 4．（2.2充分条件、必要条件、充要条件）下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：x＞3，q：x＞2； （2）p：x2－2x－3＝0，q：x＝3； （3）p：四边形是矩形，q：四边形是正方形； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p不是q的充分条件；（4）p是q的充分条件. 【分析】利用充分条件的定义即得. 【详解】（1）由x＞3可推出x＞2，所以p是q的充分条件． （2）由x2－2x－3＝0得到x＝3或，推不出x＝3，所以p不是q的充分条件． （3）由四边形是矩形推不出四边形是正方形，所以p不是q的充分条件． （4）因为p⇒q，所以p是q的充分条件. 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)在中，，. 【答案】(1)p是q的充分条件 (2)p不是q的充分条件 (3)p是q的充分条件 (4)p不是q的充分条件 (5)p是q的充分条件 【详解】（1）有理数集是实数集的子集，若是有理数，则一定是实数，成立， 因此是的充分条件. （2）举反例：取，，满足，不满足， 即成立时不一定成立，不成立，因此不是的充分条件. （3）若，两边同时乘正数，必然有，成立，因此是的充分条件. （4）由可得或，存在满足但不满足， 即成立时不一定成立，不成立，因此不是的充分条件. （5）根据三角形的“大角对大边”性质，在同一个三角形中，若内角， 则所对的边一定大于所对的边，成立，因此是的充分条件. 【考点2：必要条件】 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 【答案】B 【分析】由必要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于A：四边形是矩形是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于C：四边形四条边相等即为菱形，是四边形是平行四边形的充分条件不必要条件，错误； 对于D:由“四边形是平行四边形”得不到四边形的对角线垂直，故四边形的对角线垂直不是“四边形是平行四边形”的必要条件，错误； 对于B：若四边形是平行四边形，则四边形的对角线互相平分，即“四边形的对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件. 故选：B． 2．（2026高二·安徽·学业考试）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先解得到，则的必要条件的是：成立能推出对应的选项也成立即为它的必要条件，故依次分析选项即可. 【详解】由得到； 当时，成立，但是推不出成立，选项A错误； 成立必定可以推出成立，选项B正确； 成立必定可以推出成立，选项C正确； 当时，成立，但是推不出成立，选项D错误； 故选：BC 4．（25-26高一上·江苏连云港·期中）（多选）下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（   ） A．：，： B．：，，： C．：在中，，：在中， D．：，：关于x的方程有两个不同的实数解 【答案】ACD 【分析】由，得，可判断A，通过特殊值举例可判断B，由三角形基本性质可判断C，由判别式可判断D. 【详解】对于A: 由，得，则一定成立，而当时，如，不成立，所以p是q的必要不充分条件； 对于B，由，，可得， 取，满足，此时， 故p是q的充分不必要条件， 对于C，因为在三角形中大边对大角，小边对小角，反之也成立，所以当时，有，当时，有，所以p是q的充要条件； 对于D，当时，关于x的方程只有一个实根，若关于x的方程有两个不同实数解时，则，得且，所以p是q的必要不充分条件； 故选：ACD 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若是直角三角形，则是等腰三角形； (3)若，则； (4)若关于的方程（）有唯一解，则. 【答案】(1)是的必要条件 (2)不是的必要条件 (3)是的必要条件 (4)不是的必要条件 【分析】根据必要条件的定义判断即可. 【详解】（1）：一个四边形是等腰梯形；：这个四边形两条对角线相等. 由等腰梯形的性质可知，等腰梯形的对角线相等，所以，故是的必要条件. （2）：是直角三角形；：是等腰三角形. 如三边长为3，4，5的三角形为直角三角形，但不是等腰三角形， 所以，故不是的必要条件. （3）：；：. 由，得且，所以，即，故是的必要条件. （4）：关于的方程（）有唯一解；：. 如有唯一解，但，所以，故不是的必要条件. 【考点3：判断命题的充分不必要条件】 1．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】BC 【分析】根据充分不必要条件确定正确答案. 【详解】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 2．（25-26高一上·贵州遵义·期末）（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【详解】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 3．（26-27高一上·重庆铜梁·阶段检测）（多选）已知p：，则p的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】解不等式组化简命题p，再利用充分不必要条件的意义，结合集合包含关系判断作答. 【详解】由，解得， 对于A，因为，则是p的必要不充分条件，A不是； 对于B，因为，则是p的充分不必要条件，B是； 对于C，是p的充要条件，C不是； 对于D，因为，则是p的充分不必要条件，D是. 故选：BD 4．（26-27高一上·云南昆明·开学考试）（多选）下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】AC 【分析】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，是的充分不必要条件，故B错误； 对于C，是的必要不充分条件，故C正确； 对于D，或是的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：AC. 5．（26-27高一上·浙江温州·阶段检测）（多选）已知，那么的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据充要条件与集合间的关系进行判断可得. 【详解】根据充要条件与集合间的关系可知，的充分不必要条件必是的真子集， 因为，，所以CD正确，AB错误. 故答案为：CD 【考点4：根据充分不必要条件求参数】 1．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为p是q的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，且两个等号不同时成立，得， 故实数m的取值范围是. 2．（25-26高一·全国·单元测试）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据题意转化为命题对应的集合是命题对应的集合的真子集，结合集合的包含关系，即可求解. 【详解】由题意得，命题，若是的充分不必要条件，则满足且， 即命题对应的集合是命题对应的集合的真子集，所以， 即实数德取值范围是. 故答案为：. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围___________ ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】由题意可知，则，所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 4．（26-27高二·全国·课后作业）若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________. 【答案】. 【分析】分别解不等式结合充分不必要条件得到，计算得到答案. 【详解】由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x<(m＋3)， 由p是q的充分不必要条件， 所以，解得m＞3. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数，意在考查学生的计算能力，转化为集合的包含关系是解题的关键. 5．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题意得是的真子集，进而得答案. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集，所以 故实数的取值范围是 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分又不必要条件，则对的集合与对应集合互不包含． 【考点5：判断命题的必要不充分条件】 1．（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 2．（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】A 【分析】由必要不充分条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以或， 即由不能推出，但由能推出， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出， 不满足是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，因为，所以， ，则，或， 即由能推出，但由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直， 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形， 即由不能推出，由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故D不正确. 故选：A. 3．（25-26高一上·云南玉溪·期中）在下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A．， B．：三角形是等腰三角形，：三角形是等边三角形 C．在一元二次方程中，有实数根， D．， 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合交集、并集的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，得，即；而当时，， 即不能推出，因此是的充分不必要条件，A不是； 对于B，三角形是等边三角形，则该三角形是等腰三角形，而三角形是等腰三角形无法推 出该三角形是等边三角形，因此是的必要不充分条件，B是； 对于C，一元二次方程有实数根，则，即； 反之当时，一元二次方程有实数根，即， 因此是的充要条件，C不是； 对于D，由，得，即；而当时，， 即不能推出，因此是的充分不必要条件，D不是. 故选：B 4．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）已知下列四组陈述句： ①：集合；：集合． ②：集合；：集合． ③：；：． ④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员． 其中p是q的必要而不充分条件的有(    ) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】逐个判断是否有且即可． 【详解】①若，则或，∴，即p：；故且，即p是q的必要而不充分条件，符合题意； ②若，则根据子集的性质可得，即p：； 故是的充要条件，不符题意； ③对于，当时，， 故，∴是的必要而不充分条件，符合题意； ④易知且，即是的充分而不必要条件，不符合题意； 综上，是的必要而不充分条件的有①③． 故选：D． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）（多选）已知p：a＝b，q：|a|＝|b|，则下列说法正确的是（　　） A．q是p的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．q的必要不充分条件是p D．p的必要不充分条件是q 【答案】BD 【分析】本题考查充分条件、必要条件的概念，若且，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件. 【详解】若，则，所以， 若，则不一定推出，比如，满足，但，所以， 所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件， 所以BD正确. 【考点6：根据必要不充分条件求参数】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，（其中），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意，将命题的关系转化为集合之间的关系，利用集合之间的关系即可求解. 【详解】根据题意，设集合，集合，其中， 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，即集合是集合的真子集， 其次满足，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 2．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 3．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 4．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）代入求出集合，再根据交集的定义即可计算； （2）依题意可得为的真子集，分与两种情况讨论，即可求解的取值范围． 【详解】（1）当时，， 因此． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 当时，即，解得， 当时，则，解得，检验符合， 因此的取值范围为或． 5．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合子集关系求解即可. （2）将问题转化为集合是集合的真子集即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得 ， 经检验，时，，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 【考点7：充要条件】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角形确定的性质及判定定理逐项判断即可. 【详解】对于选项A：面积相等的两个三角形形状、边长不一定完全相同， 比如同底等高的锐角三角形和钝角三角形面积相等但不全等， 因此“面积相等”只是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项B：对应角相等只能说明两个三角形相似，边长可以成任意相同比例， 比如大小不同的两个等边三角形对应角相等但不全等， 因此“对应角相等”是两个三角形全等的必要不充分条件. 对于选项C：根据三角形全等的判定公理，三角形的三边长度完全确定后， 三角形的形状和大小就被唯一确定，对应边相等的两个三角形必然全等； 反过来，全等三角形的对应边必然全部相等，因此“对应边相等”是两个三角形全等的充要条件. 对于选项D：三角形的对应外角相等等价于对应内角相等，和选项B性质一致，只能推出两三角形相似， 无法保证全等，属于必要不充分条件. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得；由，得， 所以“”是“”的充要条件. 3．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知则“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】利用充要条件的定义即可求解. 【详解】由且可知一定成立，故“且”是“”的充分条件， 又由可知都为0，即且，故“且”是“”的必要条件. 综上，“且”是“”的充要条件. 故选：C. 4．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）设全集为，在下列条件中，①；②；③；④.其中是的充要条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据图分析集合的包含关系. 【详解】    由图可知，①②③④都是充要条件. 故选：D. 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)，； (2)，； (3)是方程的两个实数根，； (4)，. 【答案】(1)p不是q的充要条件 (2)p不是q的充要条件 (3)p不是q的充要条件 (4)p是q的充要条件． 【详解】（1）由推不出， 如时，， 所以，则p不是q的充要条件． （2）由推不出， 如时，满足，而， 所以，则p不是q的充要条件． （3）由推不出是方程的两个实数根， 如时，满足， 而不是方程的两根， 所以，则p不是q的充要条件． （4）由，得； 反过来，由，得. 因此p是q的充要条件． 【考点8：根据充要条件求参数】 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 2．（25-26高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的情况，得到不等式组，求解即可. 【详解】由题知，，解得. 故选：A 3．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 5．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由如下： 因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）不存在，理由略． 【考点9：既不充分也不必要条件】 1．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 2．（25-26高二下·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】“是等腰直角三角形”推不出“是等边三角形”，反过来也不成立， 所以“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的既不充分也不必要条件. 3．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各题中是的什么条件． (1)在中，：，：； (2)：，：； (3)：，：； (4)：，：. 【答案】(1)是的充要条件 (2)是的充分不必要条件 (3)是的必要不充分条件 (4)是的既不充分也不必要条件． 【分析】按充要条件的定义判断． 【详解】（1）由三角形中大角对大边可知，若，则，即，反之，若，则即. 因此，是的充要条件． （2）由可以推出即； 由，得或，不一定有即. 因此，是的充分不必要条件． （3）由可以推出或，不一定有即； 由可以得出即. 因此是的必要不充分条件． （4）由于，当时，；当时， ，故若，不一定有； 当，，时，可以推出； 当，，时，可以推出. 故时，不一定有. 因此是的既不充分也不必要条件． 5．（26-27高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若，则； (2)若为无理数，则为无理数； (3)若，则； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若，则. 【答案】(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 (4)充分不必要条件 (5)既不充分也不必要条件 【详解】（1）若，则；反之，当时，或，因此是的充分不必要条件. （2）若是无理数，则不一定是无理数，如是无理数，而是有理数； 反之，若为无理数，则为无理数，因此是的必要不充分条件. （3）若，则；反之，若，则或，因此是的充分不必要条件. （4）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；反之，两个三角形的面积相等，这两个三角形不一定全等， 因此是的充分不必要条件. （5）若，，则；若，则，因此是的既不充分也不必要条件. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 充分条件与必要条件 【考点导航】 【知识梳理】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 "若p,则q"是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3. 充分、必要、充要条件与集合的关系 p成立的对象构成的集合为A，q成立的对象构成的集合为B p是q的充分条件 A⊆B p是q的必要条件 B⊆A p是q的充分不必要条件 AÜB p是q的必要不充分条件 BÜA p是q的充要条件 A＝B 【方法技巧】 充分、必要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件． 【考点1：充分条件】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）（多选）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）用充分条件、必要条件填空： （1）“”是“且”的______； （2）“”是“”的______. 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充分条件？ (1)在中，p：，q：； (2)已知，p：，q：； (3)已知，p：，q：． 4．（2.2充分条件、必要条件、充要条件）下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：x＞3，q：x＞2； （2）p：x2－2x－3＝0，q：x＝3； （3）p：四边形是矩形，q：四边形是正方形； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各题中，p是否是q的充分条件： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)在中，，. 【考点2：必要条件】 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（   ） A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直 2．（2026高二·安徽·学业考试）设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏连云港·期中）（多选）下列所给的各组p，q中，p是q必要条件的有（   ） A．：，： B．：，，： C．：在中，，：在中， D．：，：关于x的方程有两个不同的实数解 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若是直角三角形，则是等腰三角形； (3)若，则； (4)若关于的方程（）有唯一解，则. 【考点3：判断命题的充分不必要条件】 1．（26-27高一上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 2．（25-26高一上·贵州遵义·期末）（多选）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·重庆铜梁·阶段检测）（多选）已知p：，则p的充分不必要条件有（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·云南昆明·开学考试）（多选）下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D．或 5．（26-27高一上·浙江温州·阶段检测）（多选）已知，那么的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【考点4：根据充分不必要条件求参数】 1．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 2．（25-26高一·全国·单元测试）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是____________． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围___________ ． 4．（26-27高二·全国·课后作业）若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________. 5．（25-26高二上·福建福州·期中）已知，条件：，条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______． 【考点5：判断命题的必要不充分条件】 1．（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 3．（25-26高一上·云南玉溪·期中）在下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A．， B．：三角形是等腰三角形，：三角形是等边三角形 C．在一元二次方程中，有实数根， D．， 4．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）已知下列四组陈述句： ①：集合；：集合． ②：集合；：集合． ③：；：． ④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员． 其中p是q的必要而不充分条件的有(    ) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）（多选）（多选）已知p：a＝b，q：|a|＝|b|，则下列说法正确的是（　　） A．q是p的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．q的必要不充分条件是p D．p的必要不充分条件是q 【考点6：根据必要不充分条件求参数】 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，（其中），若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 3．（专题拓展：常用逻辑用语中的参数求值与取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 4．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 5．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【考点7：充要条件】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）两个三角形全等的一个充要条件是（　　） A．两个三角形的面积相等． B．两个三角形的对应角相等 C．两个三角形的对应边相等． D．两个三角形的对应外角相等． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·江苏泰州·期中）已知则“且”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（26-27高一上·广东深圳·阶段检测）设全集为，在下列条件中，①；②；③；④.其中是的充要条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)，； (2)，； (3)是方程的两个实数根，； (4)，. 【考点8：根据充要条件求参数】 1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（25-26高一上·广东·期中）方程有两个异号实根的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 5．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【考点9：既不充分也不必要条件】 1．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各题中是的什么条件． (1)在中，：，：； (2)：，：； (3)：，：； (4)：，：. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若，则； (2)若为无理数，则为无理数； (3)若，则； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若，则. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $