第4讲：充分条件与必要条件【七大题型+知识归纳+高分精练】-2026-2027学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版）

本高中数学讲义聚焦充分条件与必要条件核心知识点，系统梳理从推出关系定义（p⇒q为充分、q⇒p为必要）到充要条件判定，再到集合视角（小充分大必要）及等价转化的知识脉络，搭建逻辑严密的学习支架。 资料以7类题型（含例题与变式）为主线，结合“箭头出发为充分”等记忆口诀，通过充要条件证明、参数求解等实例，培养学生数学思维（逻辑推理）与数学语言（规范表达）能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第4讲：充分条件与必要条件 题型一、充分、必要条件的判断 2 题型二：充要条件的判断 3 题型三：根据充分不必要条件求参数 5 题型四：根据必要不充分条件求参数 6 题型五：根据充要条件求参数 7 题型六、充要条件的证明 8 题型七：充分条件与必要条件综合 9 知识点一　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 ✨记忆技巧：箭头出发为充分，箭头指向为必要 p⇒q：起点p充分，终点q必要 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 知识点三、集合视角（高频考点） 设集合 ， ：，p是q充分不必要条件 小集合 ⇒ 大集合；小充分，大必要 2.：，p是q必要不充分条件 3.：，充要条件 4.互不包含：既不充分也不必要 口诀：小充分，大必要，相等就是充要 三、等价转化（易错） 等价于 （逆否命题） p是q的充分条件 是的充分条件 p是q的必要条件 是的必要条件 题型一、充分、必要条件的判断 【例1】．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【变式1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知x实数，p：，q：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二：充要条件的判断 【例2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）使成立的一个充分条件是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．（25-26高一上·宁夏银川·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：根据充分不必要条件求参数 【例3】．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【变式2】．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 题型四：根据必要不充分条件求参数 【例4】．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____. 【变式1】．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________ 【变式2】．（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是______． 题型五：根据充要条件求参数 【例5】．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】．（22-23高一上·广东东莞·阶段检测）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】．（23-24高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是__________． 题型六、充要条件的证明 【例6】．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【变式2】．（24-25高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 题型七：充分条件与必要条件综合 【例7】．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）已知集合，. (1) 当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各题中是的什么条件． (1)在中，：，：； (2)：，：； (3)：，：； (4)：，：. 【变式2】．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． _______ 一、单选题 1．（26-27高一上·全国）若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·湖北·阶段检测）设，则 是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高一·全国·寒假作业）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（25-26高一上·广东惠州·期中）下列结论中不正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件. B．在△ABC中，“”是“为直角三角形”的充要条件. C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件. D．“”是“”的充分不必要条件. 二、多选题 11．（25-26高一上·福建厦门·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 13．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 14．（2026高一·全国·专题练习）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A． B． C．若，则 D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 三、填空题 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，那么“”是“”的________条件．（填“充分”或“必要”） 16．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 17．（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是_________________． 18．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知集合，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是___________． 四、解答题 19．（26-27高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若，则； (2)若为无理数，则为无理数； (3)若，则； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若，则. 20．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 21．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 22．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲：充分条件与必要条件 题型一、充分、必要条件的判断 2 题型二：充要条件的判断 3 题型三：根据充分不必要条件求参数 5 题型四：根据必要不充分条件求参数 6 题型五：根据充要条件求参数 7 题型六、充要条件的证明 8 题型七：充分条件与必要条件综合 10 知识点一　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 ✨记忆技巧：箭头出发为充分，箭头指向为必要 p⇒q：起点p充分，终点q必要 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 知识点三、集合视角（高频考点） 设集合 ， ：，p是q充分不必要条件 小集合 ⇒ 大集合；小充分，大必要 2.：，p是q必要不充分条件 3.：，充要条件 4.互不包含：既不充分也不必要 口诀：小充分，大必要，相等就是充要 三、等价转化（易错） 等价于 （逆否命题） p是q的充分条件 是的充分条件 p是q的必要条件 是的必要条件 题型一、充分、必要条件的判断 【例1】．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 【变式1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，再根据充分必要条件进行判断即可得结论. 【详解】由可得，解得， 因为由“”推不出“”，且由“”推不出“”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式2】．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知x实数，p：，q：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由p：，q：，所以， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 题型二：充要条件的判断 【例2】．（26-27高一上·全国·课堂例题）使成立的一个充分条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解方程得或. 对于选项A，若，则且 ，解得且，能推出，因此选项A正确； 对于选项B，若，则且 ，解得且，不能推出，因此选项B错误； 对于选项C，若，则且，解得且，不能推出，因此选项C错误； 对于选项D，若，则或或；此时是的必要条件而不是充分条件，因此选项D错误. 【变式1】．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 【变式2】．（25-26高一上·宁夏银川·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先根据命题求的取值范围，再根据充分，必要条件的定义，判断选项. 【详解】等价于，所以， 所以是的充要条件. 故选：C. 题型三：根据充分不必要条件求参数 【例3】．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】设集合，，由题意可知， ∴，∴. 故选：D 【变式1】．（26-27高一上·甘肃庆阳·开学考试）已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为p是q的充分不必要条件， 所以是的真子集， 则，且两个等号不同时成立，得， 故实数m的取值范围是. 【变式2】．（2026高一·全国·专题练习）已知命题，或，若是的充分不必要条件，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】命题对应集合， 命题对应集合或， 若是的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 则有或，解得或，即， 又，故的取值范围为. 题型四：根据必要不充分条件求参数 【例4】．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用必要不充分条件的定义求出范围. 【详解】不等式， 由“”是“”的必要不充分条件，得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式1】．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】将条件转化为对应集合，，利用必要非充分条件与集合包含关系的转化，得是的真子集，所进而列出不等式求解即可. 【详解】令集合，集合，由是的必要非充分条件，可得是 的真子集，所以，解得. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一上·上海·期中）命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 题型五：根据充要条件求参数 【例5】．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 【变式1】．（22-23高一上·广东东莞·阶段检测）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 【变式2】．（23-24高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是__________． 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 题型六、充要条件的证明 【例6】．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 【变式1】．（2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】 必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【变式2】．（24-25高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】 充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 题型七：充分条件与必要条件综合 【例7】．（26-27高一上·甘肃嘉峪关·开学考试）已知集合，. (1) 当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，或， (2) 【详解】（1）当时，，结合， 则，，或，； （2）因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以且，即； 首先判断集合的空集情况：， 其判别式，即恒成立， 故对任意恒成立，即； 要满足 ，需满足不等式组：，且两等号不能同时成立； 解第一个不等式得，解第二个不等式得，即或， 取二者公共部分得， 当时，，，此时，不符合题意， 故实数的取值范围为. 【变式1】．（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列各题中是的什么条件． (1)在中，：，：； (2)：，：； (3)：，：； (4)：，：. 【答案】(1)是的充要条件 (2)是的充分不必要条件 (3)是的必要不充分条件 (4)是的既不充分也不必要条件． 【详解】（1） 由三角形中大角对大边可知，若，则，即，反之，若，则即. 因此，是的充要条件． （2） 由可以推出即； 由，得或，不一定有即. 因此，是的充分不必要条件． （3） 由可以推出或，不一定有即； 由可以得出即. 因此是的必要不充分条件． （4） 由于，当时，；当时， ，故若，不一定有； 当，，时，可以推出； 当，，时，可以推出. 故时，不一定有. 因此是的既不充分也不必要条件． 【变式2】．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知集合，集合或． (1)若， ，求实数的取值范围； (2)设，，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）由题意可得 ，再分及计算即可得. 【详解】（1）若 ，则A的所有元素都不在B中，可得不等式组， 解得 ，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则 ，即A的所有元素都属于B， ①，此时 ，解得； ②，此时，解得； 综上，的取值范围是或． _______ 一、单选题 1．（26-27高一上·全国）若，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，得；由，得， 所以“”是“”的充要条件. 2．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 4．（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 5．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 6．，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解. 【详解】设集合，集合，若是的必要不充分条件， 所以是的真子集，可得. 故选：B. 7．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【详解】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 8．（25-26高一上·湖北·阶段检测）设，则 是“”的（        ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由题知，进而移项配方得，故，再根据充要条件判断即可. 【详解】 ， 所以，是的充要条件. 故选：C 9．（25-26高一·全国·寒假作业）如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件，结合充分、必要条件的定义，利用新定义分析计算，即可得答案. 【详解】若，，则有，，，， 所以，所以是的充分条件； 反之，若，比如，，则有， 根据定义，，，，即不是必要条件． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 10．（25-26高一上·广东惠州·期中）下列结论中不正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件. B．在△ABC中，“”是“为直角三角形”的充要条件. C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件. D．“”是“”的充分不必要条件. 【答案】B 【分析】利用集合的包含关系可判断AD；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误. 【详解】对于A， 是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件，正确； 对于B，充分性：若，则为直角， 所以为直角三角形，充分性成立； 必要性：若为直角三角形， 则“为直角”或“是直角”或“为直角”， 所以“”或“”或“”， 即必要性不成立. 因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，错误. 对于C选项，充分性：因为，若，则， 所以不成立，所以、不全为，充分性成立； 必要性：若、不全为，则，必要性成立. 因此“”是“、不全为”的充要条件，正确； 对于D选项，，， 是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件，正确. 故选：B. 二、多选题 11．（25-26高一上·福建厦门·期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】根据集合之间的包含关系可得. 【详解】由题意可知，是的真子集， 故的取值可以是. 故选：BCD 12．（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】BC 【分析】根据充分不必要条件确定正确答案. 【详解】题目求使“或”成立的一个充分不必要条件， 即求集合或的真子集， 所以BC选项正确，AD选项错误. 13．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 14．（2026高一·全国·专题练习）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A． B． C．若，则 D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】AC 【分析】根据“类”的定义可直接判断A、B，根据可得判断C，整数属于同一“类”的充要条件是“”，判断D. 【详解】对于A，易知，能被整除，因此可得，即A正确； 对于B，可得，因此可得，可得B错误； 对于C，由可设， 所以，即，所以C正确； 对于D，整数属于同一“类”，则余数相同，作差余数为0，即，可知充分性成立； 若，则除以5之后的余数相同，故整数属于同一“类”， 因此整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D错误. 故选：AC 三、填空题 15．（26-27高一上·全国·课堂例题）设集合，，那么“”是“”的________条件．（填“充分”或“必要”） 【答案】充分 【分析】根据集合的包含关系判断. 【详解】由题意得，，所以“”⇒“”，所以“”是“”的充分条件． 16．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 17．（25-26高三·全国·一轮复习）设，命题的充要条件是_________________． 【答案】 【分析】将原等式变形后，通过配方法转化为平方和的形式，借助平方数的非负性推导得变量间的等量关系. 【详解】由，得， 两边同乘2，得， 拆分并组合得， 即. 因实数的平方非负，故，，， 解得. 故答案为：. 18．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知集合，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由题意得到，构造不等式求解即可. 【详解】由是成立的一个充分不必要条件可知：真包含于， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 19．（26-27高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若，则； (2)若为无理数，则为无理数； (3)若，则； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若，则. 【答案】(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 (4)充分不必要条件 (5)既不充分也不必要条件 【详解】（1）若，则；反之，当时，或，因此是的充分不必要条件. （2）若是无理数，则不一定是无理数，如是无理数，而是有理数； 反之，若为无理数，则为无理数，因此是的必要不充分条件. （3）若，则；反之，若，则或，因此是的充分不必要条件. （4）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；反之，两个三角形的面积相等，这两个三角形不一定全等， 因此是的充分不必要条件. （5）若，，则；若，则，因此是的既不充分也不必要条件. 20．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 21．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 22．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，记命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则，得； 若，则， 因为，所以或，得或，则， 综上，实数的取值范围为； （2）因为，所以， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则，且等号不同时成立，得， 故实数的取值范围为. 17 学科网（北京）股份有限公司 $