精品解析：辽宁沈阳市第五中学2026-2027学年高一上学期开学考试数学试卷

辽宁省沈阳市第五中学2026~2027学年高一上学期开学考试试卷 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 分数：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等式成立的条件是 （　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】等式成立的条件是,即. 故选C 2. 到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设该点表示的数为，数轴上点到原点的距离等于该点所对应实数的绝对值， 结合题意可得：  根据绝对值的运算性质，满足上述等式的有两个解：或，即. 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件化为关于的方程，求解即可. 【详解】由题设，. 故选：B 4. 已知且，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得，且，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，因为，可得，解得， 则， 设， 由二次函数的性质，可得在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 即的最小值为. 故选：D. 5. 设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】∵不等式的解集为， ∴，的两个根分别为， 由根与系数的关系，得，， ， ∴． 6. 已知菱形的边长为5，两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的根，则等于（ ） A. -3 B. 5 C. 5或-3 D. -5或3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2＝25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值． 【详解】由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2＝25，又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3，∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO•BO＝（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）＝25，整理得：m2﹣2m﹣15＝0，解得：m＝﹣3或5． 又∵△＞0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m，∴m＝﹣3， 故选：A． 【点睛】将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 7. 关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，可得解之即求. 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴可化为，即 ∴， ∴，解得. 故选：C. 8. 函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，且＞1，，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（　　） A. m=2b+5 B. m=4b+8 C. m=6b+15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据根与系数的关系及条件＞1，，求出b,得二次函数的最值，即可求解. 【详解】函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，， ∵，， 解得：=﹣2，=2+， ∵， ∴b=﹣； 函数的对称轴为直线x==3 故当1≤x≤3时，函数在x=3时，取得最小值，即m==15+6b， 故选：C． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 已知，，且，则的值等于（ ） A. 7 B. 3 C. -3 D. -7 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查绝对值的性质与有理数运算，先根据绝对值确定、的所有可能取值，再结合的同号条件筛选组合，计算的结果即可. 【详解】选项A：7是、时的结果，并非的值，错误； 选项B：当、时满足，此时，正确； 选项C：当、时满足，此时，正确； 选项D：-7是、时的结果，并非的值，错误. 10. 下列选项中属于不等式的整数解是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查利用分类讨论思想，解决双绝对值不等式问题. 【详解】当时，因为，， 所以，； 原不等式转化为，，解得，所以. 当时，因为，， 所以，； 原不等式转化为，即，所以. 当时，因为，， 所以，； 原不等式转化为，，解得，所以. 综上所述，. 所以，不等式的整数解是0、1、2、3. 选项ACD正确. 11. 方程只有一个根，那么该方程的根可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】ABC 【解析】 【分析】确定分式方程中的范围，再将分式方程转化为整式方程，结合“只有一个根”的条件，分整式方程有二重根和两根中有一根为增根两种情况讨论，计算对应的有效根即可判断选项. 【详解】由可得且，左边化简可得（）， 则原方程等价于，去分母整理得方程(*). 依题意，原方程只有一个根分两种情况： ①方程(*)有两个相等实根，则根的判别式，解得， 此时方程(*)有两个等根为，1不是增根，符合条件，故A正确； ②方程(*)有两个不等实根，其中一个为原方程的增根： (i)若增根为，代入(*)得，于是方程为，解得（舍去）和， 仅剩余根2，符合条件，故B正确； （ii）若增根为，代入(*)得，于是方程为，解得（舍去）和， 仅剩余根3，符合条件，故C正确； 对于D，若根为4，代入(*)得，此时方程(*)解为和，两个根均不是增根， 即方程有2个根，不合题意，排除. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若，则_______. 【答案】##-1.5 【解析】 【分析】根据绝对值的性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以且且， 即，所以， 故答案为： 13. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________ 【答案】 【解析】 【分析】化简后根据根与系数的关系求出m，再由判别式检验即可. 【详解】因为是一元二次方程的两个不相等的实数根， 所以，，所以， 解得或， 又因为，得，所以. 故答案为：3 14. 抛物线，当_______时，图象的顶点在轴上；当_______时，图象的顶点在轴上． 【答案】 ①. 4 ②. 或 【解析】 【分析】当抛物线的对称轴为时，函数图象的顶点在轴上，求出对称轴即可得第一空答案；当顶点的纵坐标为时，函数图象的顶点在轴上，求出函数的顶点坐标，令纵坐标为，求解即可得第二空答案； 【详解】由题意可知抛物线的对称轴为， 所以当对称轴为：，即时，函数图象的顶点在轴上； 因为二次函数的顶点坐标为, 所以当，即，或时，函数图象的顶点在轴上. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 把下列各式因式分解： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】利用十字相乘法、分组分解法分解因式即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 . 16. 已知，求： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知，，结合可求结论； （2）由已知可得，利用可求值； （3）利用，结合（2）的结论可求值. 【小问1详解】 因为为方程的根， 所以，， 又， 所以； 【小问2详解】 显然不是方程的根， 方程两边同时除以，所以， . 【小问3详解】 由（2）可得，， 所以. 17. （1）试证：(其中是正整数)； （2）计算：； （3）证明：对任意大于的正整数， 有. 【答案】（1）证明： ， (其中是正整数)成立． （2） （3）证明： ， 又，且是正整数，一定为正数， ∴， . 【解析】 【分析】（1）右式通分，化简即可得证； （2）根据（1）将每个分式拆成两个分式相减的形式，从而可得出答案‘ （3）根据（1）将每个分式拆成两个分式相减的形式，化简，结合，且是正整数，即可得证. 【详解】（1）略； （2）由（1）可知 ； （3）略. 18. （1）已知二次函数的图象过点，，，求此二次函数的表达式． （2）当时，求函数的最小值（其中为常数）． 【答案】 （1）；（2）当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. 【解析】 【分析】（1）设出二次函数表达式，利用待定系数法求解. （2）根据给定条件，利用二次函数性质分段求出最小值. 【详解】（1）设二次函数的表达式为， 则，解得， 所以所求二次函数的表达式为. （2）函数，当，即时，，取得最小值； 当时，，取得最小值；当时，，取得最小值， 所以当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为. 19. 已知函数， （1）解关于的不等式； （2）若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围： （3）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （i）当时，不等式解集为； （ii）当时，不等式解集为； （iii）当时，不等式解集为． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）原式化简得，按的不同取值分类讨论即可； （2）根据二次函数的图象和性质得到关于的不等式组，解出即可； （3）分离参数，利用均值不等式求解即可. 【小问1详解】 由整理得， 所以， （i）当时，不等式解集为； （ii）当时，不等式解集为； （iii）当时，不等式解集为； 综上所述，（i）当时，不等式解集为； （ii）当时，不等式解集为； （iii）当时，不等式解集为． 【小问2详解】 方程有两个小于的不等实根， 所以，解得， 故的取值范围为． 【小问3详解】 对任意的，恒成立， 即恒成立，即对任意的，恒成立． ①时，不等式为恒成立，此时； ②当时，， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以， 综上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省沈阳市第五中学2026~2027学年高一上学期开学考试试卷 高一年级数学试卷 考试时间：120分钟 分数：150分 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等式成立的条件是 （　 ） A. B. C. D. 2. 到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知且，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 5. 设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 5 6. 已知菱形的边长为5，两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的根，则等于（ ） A. -3 B. 5 C. 5或-3 D. -5或3 7. 关于的不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，且＞1，，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（　　） A. m=2b+5 B. m=4b+8 C. m=6b+15 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分．） 9. 已知，，且，则的值等于（ ） A. 7 B. 3 C. -3 D. -7 10. 下列选项中属于不等式的整数解是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 11. 方程只有一个根，那么该方程的根可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若，则_______. 13. 已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，并且满足，则实数为____________ 14. 抛物线，当_______时，图象的顶点在轴上；当_______时，图象的顶点在轴上． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 把下列各式因式分解： （1） （2） （3） 16. 已知，求： （1）； （2）； （3）． 17. （1）试证：(其中是正整数)； （2）计算：； （3）证明：对任意大于的正整数， 有. 18. （1）已知二次函数的图象过点，，，求此二次函数的表达式． （2）当时，求函数的最小值（其中为常数）． 19. 已知函数， （1）解关于的不等式； （2）若关于的方程有两个小于的不等实根，求的取值范围： （3）若对任意的，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $