专题11 二次函数特殊四边形相关存在性问题（4种类型32道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊四边形存在性问题，按平行四边形、菱形、矩形、正方形分类型系统训练，以题载法构建知识逻辑 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形相关|8道|含抛物线平移、动点在抛物线/直线上，需用对边平行/对角线互相平分判定|二次函数图像性质→坐标表示→平行四边形判定定理的代数化| |菱形相关|8道|结合抛物线平移、对称轴动点，涉及四边相等或对角线垂直判定|二次函数顶点/平移→线段长度计算→菱形特殊性质的方程应用| |矩形相关|8道|含对称轴动点、平面内点存在性，需用直角或对角线相等判定|二次函数与坐标轴交点→勾股定理/斜率乘积→矩形直角条件转化| |正方形相关|8道|涉及抛物线与直线交点、正方形边长与顶点坐标关系|二次函数综合应用→正方形四边相等且垂直→坐标与几何性质融合|

专题11 二次函数特殊四边形相关存在性问题 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 存在性问题平行四边形相关】 1 【类型2 存在性问题菱形相关】 5 【类型3 存在性问题矩形相关】 9 【类型4 存在性问题正方形相关】 13 【类型1 存在性问题平行四边形相关】 1．如图，抛物线交轴于，两点（点位于点的左侧），交轴于点直线：交轴于点，交抛物线于，两点．为直线下方抛物线上一动点，点，点为直线上的两个动点． (1)求； (2)如图，当轴，轴时，求的最大值及对应的点的坐标； (3)如图，将抛物线沿射线平移一定的距离得新抛物线，使得新抛物线过点，点为新抛物线的顶点，点为抛物线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点右侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为6． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线对称轴上一点，点在新抛物线上，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两交点分别是，，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的点，过P作于点E，交于点D，为射线上的点，连接，且，求的最大值，以及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线与y轴交于点Q，点为平移后抛物线对称轴上的点，N为平面内一点，直接写出所有使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形为菱形的点N的坐标． 5．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为轴上一动点，抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)把线段沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为，当落在抛物线上时，求的坐标； (3)除（2）中的平行四边形外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点为直线上方抛物线上（不与、重合）的一动点，过点作交轴于点，轴交于点，轴交于点，，垂足为点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿方向平移个单位得到新抛物线，点为原抛物线对称轴上一点，在新抛物线上是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程：若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【类型2 存在性问题菱形相关】 9．已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．和1是关于x的一元二次方程的两个根． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点，与y轴交于点E，P为直线下方抛物线上的一个动点，连接交于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点Q，点M为原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得以点A，M，N，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；如不存在，请说明理由． 10．如图1，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线交抛物线的另一个交点为，已知，点是直线上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交于点，作轴分别交、于点、点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移4个单位，向上平移4个单位，得到新抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点、、为顶点的菱形的点的坐标，并写出其中一个点坐标的求解过程． 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，已知点坐标为，顶点的坐标为，抛物线的对称轴与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，一条长度为2的线段在线段上平移，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．请求出的最大值以及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，当新抛物线经过点时，记与的交点为．点为原抛物线对称轴上一点，点为平面内一点．若以为顶点的四边形是菱形且为菱形的边，请直接写出点的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A和两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，点F是直线上一动点，过点P作于点E，连接．当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，与原抛物线相交于点M，Q是新抛物线对称轴上的一个动点，N为平面内一点，若以P，Q，M，N为顶点的四边形是以MQ为边的菱形，求出所有符合条件的点N的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 14．如图所示，已知二次函数与轴分别交于两点，交轴于点，点为抛物线顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交线段于点，过点作交轴于点，当最大值时，求点的坐标以及的最大值． (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线与轴的交点，点在直线上，点为平面内一点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在直接写出所有符合条件的点的坐标，并选其中一个点的坐标写出求解过程；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【类型3 存在性问题矩形相关】 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，已知抛物线与轴交于、两点，过点的直线与抛物线交于点，其中点的坐标是，点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点是（1）中抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，点是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方． ①试求的最大面积以及此时点的坐标； ②在①的条件下求的最小值． (3)抛物线上是否存在点，平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的矩形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值； （3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由． 20．综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 23．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 24．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【类型4 存在性问题正方形相关】 25．如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 26．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 27．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P． （1）求a，k的值； （2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标； （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 28．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 29．综合与探究 如图（a），抛物线与轴交于点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图（b），过点作轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接． ①设点的横坐标为，当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值． ②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标． 30．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 31．直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 32．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图2，为抛物线上的一点，且位于直线上方，连接．当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． (3)如图3，为直线上的一点，是线段上的一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 二次函数特殊四边形相关存在性问题 （4种类型32道） 专题目录 【类型1 存在性问题平行四边形相关】 1 【类型2 存在性问题菱形相关】 28 【类型3 存在性问题矩形相关】 60 【类型4 存在性问题正方形相关】 88 【类型1 存在性问题平行四边形相关】 1．如图，抛物线交轴于，两点（点位于点的左侧），交轴于点直线：交轴于点，交抛物线于，两点．为直线下方抛物线上一动点，点，点为直线上的两个动点． (1)求； (2)如图，当轴，轴时，求的最大值及对应的点的坐标； (3)如图，将抛物线沿射线平移一定的距离得新抛物线，使得新抛物线过点，点为新抛物线的顶点，点为抛物线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)2 (2)， (3)，，， 【详解】（1）解：如图，连接，， 对于抛物线解析式，当时，， 解得，， 当时，， ，，， 直线：过点， ∴把点代入的解析式，得， ， ：， 由，解得：，， ， 轴， ． （2）解：设点， 轴，轴，点、在直线上， ，， ，， ， 时，，此时， （3）解：原抛物线的对称轴为， 原抛物线的顶点为， 原抛物线沿方向移动后经过点， 抛物线上的点移动到了点，即向右移动了个单位，向下移动个单位， ， 以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 与到的距离相等 以或为对角线时，，如图，过点作，交原抛物线于，， ， 设：， 把点代入得：， 解得：， ：， 由，解得：，， ，， 以为对角线，点、在直线的两侧，且到的距离相等，如图， 在上方作，交轴于点，使到的距离等于到的距离， 同理可得，， 由，解得：，， ，， 综上所述：符合条件的点坐标为：，，， 2．如图1，抛物线与轴相交于点、（点在点右侧），与轴相交于点．已知点坐标为，面积为6． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴交于点，求周长的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线对称轴上一点，点在新抛物线上，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点坐标的过程． 【答案】(1) (2)， (3)或或，求解过程见解析 【分析】（1）先根据面积为6，得出，进一步得出点坐标为，将抛物线的解析式设为交点式，代入即可解答； （2）先利用待定系数法，得出直线的解析式为，进一步得出为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，垂直的定义，平行线的性质和勾股定理，得出，根据当取得最大值时，的周长最大，设，，进一步得出，最后根据二次函数的性质，即可解答； （3）先由平移可得新抛物线的解析式为，再设，，要使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，需分情况讨论，结合平行四边形的性质，得出方程组，再解方程组即可解答． 【详解】（1）解：， ． ， 即， ． 点坐标为，且点在点右侧， ，即点坐标为． 设抛物线的解析式为，， 将代入得，， 解得，， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， 直线的解析式为． ， 为等腰直角三角形， ． ， ． ， ， ， ， ，， ． 周长为， 当取得最大值时，的周长最大． 设，，， ， 当时，取得最大值，最大值为4， 此时，的周长为； 当时，， 故此时点的坐标为． 答：周长的最大值为，此时点的坐标． （3）解：原抛物线的解析式为， 其对称轴为直线； 由平移可得新抛物线的解析式为， 故设，， 要使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，需分情况讨论： 当为对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， 和的中点重合， 可得方程组， 解得， ； 当为对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， 和的中点重合， 可得方程组， 解得， ； 当为对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， 和的中点重合， 可得方程组， 解得， ， 综上，或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或或；过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可； （2）证明，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，为，此时； （3）解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线顶点的横坐标为， ∴抛物线沿水平方向向左平移5个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为，， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，，即， 抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两交点分别是，，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的点，过P作于点E，交于点D，为射线上的点，连接，且，求的最大值，以及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后的抛物线与y轴交于点Q，点为平移后抛物线对称轴上的点，N为平面内一点，直接写出所有使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形为菱形的点N的坐标． 【答案】(1) (2)当时，的最大值为， (3)或或 【分析】（1）将，代入二次函数，求出的值即可； （2）先求出直线的解析式为：，设，则，过点作于点，则，，根据正弦函数的定义可得，由得，可得，则，利用二次函数的性质可求出最值； （3）先利用二次函数平移的规律得到新抛物线的解析式，然后设出点，分两种情况：①线段为菱形的对角线时；②线段为菱形的边时，利用菱形的性质求解． 【详解】（1）解：与x轴的两交点分别是，， ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 当时，， ， 设直线的解析式为：， 直线过点， ，解得， 直线的解析式为：， 设，则， ， ， 过点作于点， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为，此时； （3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位长度， 即将抛物线向左移动个单位，向上移动个单位， 平移后的抛物线的解析式为：， 平移后的抛物线的对称轴为直线，平移后的抛物线与轴的交点， 设， ①当线段为菱形的对角线时，， ， ， ， ，解得， ， ； ②当线段为菱形的边时， ， ， ， ， 当时，，即，无解； 当时，，即， 或， 或， 或， 综上，点的坐标为或或． 5．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为轴上一动点，抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的最大面积为，此时点的坐标为 (3)存在满足条件的点，点的坐标为或或 【分析】（1）先通过直线求出与坐标轴交点、，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组求得、，即可确定抛物线表达式； （2）先求出抛物线与轴另一交点，算出面积，将四边形面积拆分为；设动点坐标，将面积转化为关于横坐标的二次函数，配方后结合取值范围，即可求出面积最大值及对应点坐标； （3）先根据的方向和平移距离，确定抛物线向右、向上各平移个单位，求出平移后解析式；分两类讨论：①为平行四边形的边，利用对边平行且相等的性质求解；②为对角线，利用对角线互相平分的中点公式求解，最终汇总所有符合条件的点坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点、与轴交于点， 令，得；令，得； ∴、， 将、代入抛物线，得 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴令，得， 解得 ，， ∴， ∴， ∵，垂直轴， ∴， ∵，​为固定值， ∴要使四边形面积最大，只需最大， 设第二象限内抛物线上的点，过点作垂直轴，交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，抛物线开口向下，且， ∴当​时，四边形面积取得最大值， 将代入点纵坐标，得， ∴四边形的最大面积为，此时点的坐标为； （3）解：存在满足条件的点， ∵直线的解析式为，直线与轴夹角为， ∴沿射线方向平移时，水平方向（轴）与竖直方向（轴）的平移距离相等， 设向右平移个单位，竖直向上平移个单位，平移总距离为， 由勾股定理得 ， 解得， ∴抛物线整体向右平移个单位、向上平移个单位， ∵原抛物线为，顶点为， ∴平移后抛物线的顶点为，即， ∴平移后的抛物线解析式为， 已知、，点在轴上，设，点在抛物线​上，分两种情况讨论： 情况1：为平行四边形的边， ∵平行四边形对边平行且相等，在轴上，， ∴且，即、纵坐标相等，横坐标差的绝对值为， ∵N的横坐标为， ∴的横坐标为或， ①当的横坐标为时： ∵在​上， ∴把代入，得 ， ∴， ∵、纵坐标相等， ∴，即； ②当的横坐标为时： 把代入，得 ， ∴， ∵、纵坐标相等， ∴，即； 情况2：为平行四边形的对角线， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点与的中点完全重合， ∵、， ∴的中点坐标为，即， ∵、，的中点为， ∴，， 解得，， 即， ∵在上， ∴把代入，得 ， ∴， 解得， 即； 综上，存在满足条件的点，点的坐标为或或． 【点睛】求四边形面积的最大值，把不规则四边形拆成“固定面积的 动态面积的”，化繁为简，用铅垂高把斜三角形面积，直接转化为动点坐标的纵坐标差，完美避开复杂几何计算，是二次函数面积最值的通用通法；平行四边形存在性问题，必须先分“为边”、“ 为对角线”两类，这是避免漏解的核心，再用“对边平行且相等”、“对角线互相平分（中点公式）”，把几何性质直接转化为坐标计算，不用画图硬凑，是此类问题的标准解题逻辑． 6．如图，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)把线段沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为，当落在抛物线上时，求的坐标； (3)除（2）中的平行四边形外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点、的坐标分别为， (3)存在，，或，或， 【分析】（1）先求得点的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出、的坐标； （3）分为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，对称轴为直线， ， 把，代入抛物线的表达式得：， 解得： ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∵抛物线的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴点向右平移了2个单位长度． ∴点向右平移后的点的坐标为． ∴点、的坐标分别为，； （3）解：存在．理由如下： 设． 若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则： ①为平行四边形的边，如答图1， ⅰ）若四边形为平行四边形， 则且， 此时，分别与点、重合，与题意不符，舍去； ⅱ）若四边形为平行四边形，则且， 过点作轴于点， 则， ∴， ∴，． ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：，． ，， ，； ②若为平行四边形的对角线，如答图2． 则且， ∴，； 综上所述，存在点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点、的坐标为：，或，或，． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，点为直线上方抛物线上（不与、重合）的一动点，过点作交轴于点，轴交于点，轴交于点，，垂足为点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿方向平移个单位得到新抛物线，点为原抛物线对称轴上一点，在新抛物线上是否存在一点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 或 【分析】（1）用待定系数法即可求得抛物线的表达式； （2）利用线与线的平行和垂直，设定点的坐标，再利用直角三角形的相似可求得的函数表达式，然后利用可求得的最大值及点P的坐标； （3）利用平移得到新抛物线的表达式，然后设四个点的坐标，利用平行四边形的对角线的交点是中点可求得点N的坐标． 【详解】（1）解：，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：设点， 当时，，即，又， ∴直线的解析式是：， ∵过点作交轴于点，轴交于点，轴交于点， ∴点，点 ， ， 在直角三角形中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值，最大值是，此时点P的坐标是； （3）解：在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位， 即将原抛物线向左平移2个单位，向上平移个单位，得到的新抛物线的解析式是： ， 设点，， ∵点,， ①以、为平行四边形的对角线，则与的中点重合 ∴， 解得：， ∴， ②以、为平行四边形的对角线，则与的中点重合， ∴， 解得：， ∴， ③以、为平行四边形的对角线，则与的中点重合， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，点的坐标为或 或． 8．如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为 (3)当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或 【分析】（1）利用抛物线与轴交于点、代入即可求解抛物线的解析式； （2）首先分析当四边形的面积最大，且的面积为定值，即当的面积最大时，四边形的面积最大，进而推导当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大，即可求出点P的坐标，当点P固定后，发现当点P，C，Q三点共线时，为最大值，即利用两点间的距离求解即可； （3）首先分析以、、、四点构成的四边形是平行四边形，存在以为边和以为对角线的两种情况，进而进行分类讨论，发现以为对角线的情况不符合题意，进而只需计算，且的情况即可，首先根据平移求出新抛物线的解析式，即可设，进而利用全等三角形求出点N的坐标，再结合（2）中的长度求解点M的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴，解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴交于点E，    ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，易得：， 设，则， ∵四边形的面积最大，且的面积为定值， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， ∵， ∴当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大， ∵， 当时，最长，此时， ∴此时轴上存在一点，使得的值最大， ∵在中，， ∴当点P，C，Q三点共线时，为最大值， ∴， ∴在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为； （3）解：将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移两个单位长度，向右平移两个单位长度即可得到新抛物线， ∴， ∴的对称轴为直线， ①：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点F，过点N作于点E，    设，由（2）得：，， ∴，， ∵，，轴 ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ②：以为边时，如图，当四边形为平行四边形时，即，，过点P作轴，轴，交于点K，过点N作于点J，    设，由（2）得：，， ∴，， 同理可证：， ∴， ∴， ∵是新抛物线上一点， ∴， ∴，解得：， ∴； ③：以为对角线时，如图，作的垂直平分线，发现此时点N，M在同一侧， ∴此情况无法构成平行四边形；    综上所述：当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或． 【类型2 存在性问题菱形相关】 9．已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点．和1是关于x的一元二次方程的两个根． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点B作交抛物线于点，与y轴交于点E，P为直线下方抛物线上的一个动点，连接交于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点Q，点M为原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使得以点A，M，N，Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)存在，点N的坐标为或或或或 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系列方程组，求出系数a、b的值即可确定解析式； （2）过点P分别向x轴、直线作垂线，构造三角形，设点P的横坐标为t，根据相似三角形的对应边成比例的性质，用含x的代数式表示的高，该三角形的底边、平行线、之间的距离为定值，由此求出关于t的函数关系式，利用二次函数的性质求出的最大值及点P的坐标； （3）先求出点Q的坐标为，根据两点间距离公式得出，，，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程，解方程求出点M的坐标，再根据中点坐标公式求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：∵和1是关于x的一元二次方程的两个根， ∴， 解得：，， ∴该抛物线的解析式为 （2）解：作轴，交于点H，作于点G，作于点K，如图所示： 当时，，则、， 当时，，则． 设直线的解析式为，则，解得 ∴ 设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∵轴， ∴， ∴， ， 当时，的面积最大，最大值为，此时． （3）解：存在． ， ∴原抛物线的对称轴为直线， 设点M的坐标为， ∵将该抛物线向右平移2个单位后得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为：， 联立， 解得：， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ， ， 当时，， 则， 解得：， ∴， 此时、为菱形的对角线， ∴， 解得：， 此时点N的坐标为； 当时，， 则， 解得：， ∴点的坐标为或， 此时、为菱形的对角线， ∴当点的坐标为时，， 解得：， 此时点N的坐标为； 当点的坐标为时，， 解得：， 此时点N的坐标为； 当时，， 则， 解得：， ∴点的坐标为或， 此时、为菱形的对角线， ∴当点的坐标为时，， 解得：， 此时点N的坐标为； 当点的坐标为时，， 解得：， 此时点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或或或或． 10．如图1，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线交抛物线的另一个交点为，已知，点是直线上方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交于点，作轴分别交、于点、点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将抛物线向右平移4个单位，向上平移4个单位，得到新抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系内一点，直接写出所有使得以点、、为顶点的菱形的点的坐标，并写出其中一个点坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)最大为11； (3)或或；求解过程见解析 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）分别求得直线的解析式，根据为等腰直角三角形得出，，则，得出的表达式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据平移得出设，，进而分别表示出，根据菱形的性质分类讨论，即可求解． 【详解】（1）抛物线过 解得： 抛物线解析式为： （2）令解得： ∴ 令得 设直线的解析式为代入， ∴， 解得： ∴ ∵ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得：， 轴 为等腰直角三角形 ，故 设 ． ，开口向下，对称轴 而 当，即时，最大为11． （3）满足条件：或或 抛物线向右平移4个单位，向上平移4个单位，得到新抛物线， ∴对称轴 设， ∵ ∴，， 当为对角线时，由菱形的性质 ，即 解得 ∵ ∴ 同理得：或 综上：或或 11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，已知点坐标为，顶点的坐标为，抛物线的对称轴与轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，一条长度为2的线段在线段上平移，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点．请求出的最大值以及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，当新抛物线经过点时，记与的交点为．点为原抛物线对称轴上一点，点为平面内一点．若以为顶点的四边形是菱形且为菱形的边，请直接写出点的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程． 【答案】(1) (2)有最大值3，此时 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入解得，即可求出解析式； （2）先求出，直线的解析式为，设，则，，，，，求出，即可得到当时，有最大值3，此时； （3）设平移后的函数解析式为，联立解析式求出，设，，当为菱形的对角线时，由求出，由对角线与互相平分，根据中点公式得到，；同理当为菱形的对角线时，，对角线与互相平分，求得，，即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵一条长度为2的线段在线段上平移，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，过点作轴， ∴，，，即，， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值3， 此时，则； （3）解：∵顶点的坐标为， ∴，对称轴为直线， ∴设原抛物线对称轴上一点为， ∵将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线， ∴设平移后的抛物线解析式为，， 将代入，可得， 解得， ∵， ∴； ∴平移后的函数解析式为， 联立方程组， 解得， ∴， 设， ∵， ∴，，， ∵以为顶点的四边形是菱形且为菱形的边， 当为菱形的对角线时，，对角线与互相平分， ∴， 解得， ∴或， ∵与互相平分， ∴， 解得，， ∴或； 当为菱形的对角线时，，对角线与互相平分， ∴， 解得， ∵与互相平分， ∴， 解得，， ∴或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，菱形的性质，分类讨论是解题的关键． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A和两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，点F是直线上一动点，过点P作于点E，连接．当面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，与原抛物线相交于点M，Q是新抛物线对称轴上的一个动点，N为平面内一点，若以P，Q，M，N为顶点的四边形是以MQ为边的菱形，求出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】（1）由、得，代入抛物线求． （2）设，利用为等腰直角三角形求出点的纵坐标，将面积表示为的二次函数，配方求最大值，得，进而得坐标．将转化为求最小值即可． （3）平移抛物线，求交点，设，根据菱形邻边相等分类讨论，利用中点坐标公式求． 【详解】（1）解：，， ． 将，代入得 解得． 抛物线的表达式为． （2）解：如图，过点作轴交于点，过点作于点． ，， 直线． 设，则， ，． 又轴， ． ， 是等腰直角三角形， ， ∴， ∵的面积． ， 当时最大，此时 ． 由题可得，，， ∴， ∴， 当且仅当P，F，T三点共线时，有最小值， ∴． （3）∵，， ∴． ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 相当于平移了的长度，而点A，C的水平距离为1，铅直距离为3， ∴将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度． ∵抛物线， ∴新抛物线． ∴新抛物线的对称轴为直线． 联立， 解得， ∴．设． ∴， ，． ∵以P，Q，M，N为顶点的四边形是以为边的菱形， ①当时，即菱形，则． 解得． ∴．设点N的坐标为． ∴， 即， 解得， ∴点N的坐标为； ②当时，即菱形或菱形，则， 解得． ∴或． 同理可得点N的坐标为或． 综上所述，点N的坐标为或或． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为第一象限内抛物线上一个动点，过点D作轴交于点E．请求出的最大值以及此时点D的坐标； (3)在（2）问取最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记y与的交点为M，点N为新抛物线对称轴上一点，点P为平面内一点，若以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并选择其中一个写出求解过程． 【答案】(1)； (2)的值最大为，； (3)解：或或，过程如下： 由（2）可知：， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线先向右移动4个单位长度，再向下移动4个单位长度， 故平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线，联立，解得， ∴， ∵点N为新抛物线对称轴上一点， ∴设， 由（2）知：， ∴ 当以D、M、N、P为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况： ①，此时为菱形的对角线， 则，解得或， 设，则， ∴， ∴或，即或； ②当，此时为菱形的对角线， 则，解得； 设，则， ∴， ∴，即； 综上：或或. 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而得到，延长交轴于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，得到，转化为二次函数求最值即可； （3）先求出平移后的抛物线的解析式，联立两个解析式，求出点坐标，设，分，两种情况，结合菱形的对角线互相平分，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于，， ∴，解得， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 延长交轴于点，设， ∵轴， ∴，，轴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴ ∴当时，的值最大为，此时； （3）略 14．如图所示，已知二次函数与轴分别交于两点，交轴于点，点为抛物线顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交线段于点，过点作交轴于点，当最大值时，求点的坐标以及的最大值． (3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新抛物线，点是新抛物线与轴的交点，点在直线上，点为平面内一点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在直接写出所有符合条件的点的坐标，并选其中一个点的坐标写出求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的最大值为12 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的解析式，设出P的坐标，表示出E的坐标，表示出的长度，求出直线的解析式，求出的坐标，表示出的长度，从而可表示出，根据二次函数的性质即可求其最大值及此时P的坐标； （3）设点沿射线方向移动到点，且，证明B是中点，从而求出Q的坐标，从而得到平移的方法，根据此平移的方法可求出二次函数，进而可求出M的坐标，再求出直线的解析式．然后分为菱形和为菱形两种情况讨论，利用菱形的几何性质和中点坐标公式，即可求出N的坐标． 【详解】（1）解：将代入二次函数， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由二次函数得， 设直线的解析式为， 将和代入得， 解得， ∴直线为， 设点为， ∵点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，抛物线对称轴为直线， ∴； ∵轴，点在直线上， ， ， ， ∴设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为为12， 此时，即； （3）解：如图1，设点沿射线方向移动到，， ∵，， ∴，， ， ∴是中点， ∴ ∴点向下平移8个单位，向左平移2个单位， 故抛物线的顶点也向下平移8个单位，向左平移2个单位， ∵旧抛物线， ∴新抛物线为， ∴， 设直线解析式为，代入得， ∴直线解析式为， ①当四边形为菱形时，如图2，连接，交与点，连接， ∵、是菱形的对角线， ∴垂直平分，即点为的中点， ∵，， ∴，，， ∴， 又∵ ∴， ∴G、O、P、N四点共线， ∴设直线解析式为， 将代入，得，即， ∴直线解析式为， 与：联立解得， ∴， ∵为中点， ∴点横坐标为， ∴点坐标为． ②当四边形为菱形时， 设， 由得， ∴， ∴或，． （i）当点坐标为时，如图3，连接， ∵为的中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， ∴点坐标为， ∵为中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， 故坐标为； （ii）当点坐标为时，如图4，连接， ∵为中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， ∴点坐标为； ∵为中点， ∴点横坐标为， 点纵坐标为， ∴点坐标为． 综上所述，点坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、两点间距离公式的应用、中点坐标公式的应用、菱形的性质等，熟练掌握以上知识点，运用分类讨论的方法是解题的关键． 15．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，点为抛物线上一点． (1)求该抛物线的解析式 (2)连接，点Q为直线上方抛物线上一点，过点Q作轴于点E，作轴交BC于点F，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线向右平移得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点D，点M是新抛物线对称轴上一点，点N是第一象限内一点，当M，N，C，E为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)； (2)的最大值为，； (3)点N的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式，设，用表示出的长，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得新抛物线的对称轴为，分三种情况讨论，利用菱形的性质结合中点坐标公式求得即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则， ∴，令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∵轴， ∴， 代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时， ∴； （3）解：∵，， ∴点向右平移3个单位得到点， ∴向右平移3个单位得到新抛物线， ∵， ∴， ∴新抛物线的对称轴为， 设， ∵，， ①当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 无意义，舍去； ②当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， 当时，， ∴，即， 解得， ∴； 当时，， ∴，即， 解得， ∴； ③当、为对角线时，则、为菱形的边， ∴，即， 整理得， 解得， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 综上，点N的坐标为或或 ． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【类型3 存在性问题矩形相关】 17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最大值9，点 (3)点N的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可； （2）根据题意求得一次函数解析式，即可判定为等腰直角三角形，得到为等腰直角三角形，则，设点，则点，有化简得到二次函数求最值即可； （3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为，即可得到点，即可设点H的坐标为，设点N的坐标为，可知A，R两点在对称轴两侧，若以为矩形的边，过A，R两点作的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以为矩形的对角线，则线段的中点坐标和线段的中点坐标重合且，由此建立方程组求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交 x 轴于、两点， ∴，解得， 则抛物线的解析式； （2）解：∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数解析式， ∴点， ∴， 则为等腰直角三角形， ∵轴，且设与x轴交于点H，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则点， ∴ ， 当时，取得最大值9，点； （3）解：∵抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线， ∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位， ∴新的抛物线为， 联立得，解得， 则点， 由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点H的坐标为，设点N的坐标为， ①当是边时， 点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，且， 即或， 解得：或 故点N的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得或， 故点N的坐标为或． 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数的性质，矩形的性质和坐标的平移；根据平移特征和矩形性质列出方程组是解题关键． 18．如图，已知抛物线与轴交于、两点，过点的直线与抛物线交于点，其中点的坐标是，点坐标是． (1)求抛物线解析式； (2)点是（1）中抛物线对称轴上的动点，点是轴上的动点，点是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方． ①试求的最大面积以及此时点的坐标； ②在①的条件下求的最小值． (3)抛物线上是否存在点，平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边的矩形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①的面积有最大值，此时；② (3)存在，点坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法，即可求出抛物线的函数解析式； （2）设直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，可得，当时，的面积有最大值此时；过点作交于点，交对称轴于点，交轴于点，当、、、四点共线时，有最小值，利用等积法，即为所求； （3）分两种情况讨论：当点在上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，则有，设，，则，求出，再由，得到①，由，得到，联立①②，求出点的坐标；当点在直线的下方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过作交于点，则有，求出点的坐标；再根据，即可求出点． 【详解】（1）∵点，点在抛物线 ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）设直线的解析式：， ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为：； 过点作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴， 当时，有最大值； 此时． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 过点作交于点，交对称轴于点，交轴于点， ∵直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴、、、四点共线时，有最小值， ∵， ∴， ∴的最小值是． （3）存在点，使得以、、、为顶点是四边形是以为边的矩形，理由如下： 当点在上方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∵， ∴ ∴ 设， ∴ 解得（舍）或， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 联立，得或（舍）， ∴点； 当点在直线的下方时，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍）， ∴点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴点． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用垂线段最短求最短距离，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的对称轴x轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P点的横坐标为m，且S△CDP＝S△ABC，求m的值； （3）K是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）m1＝4或m2＝；（3）点H坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）． 【分析】（1）结合A（﹣2，0），B（8，0）由两点式可得抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣8），求出点C坐标，代入即可求出抛物线解析式； （2）点P在抛物线上，可设P（m，﹣m2+m+4），结合C点坐标可得直线PC的解析式，已知直线与对称轴交点E的坐标，DE长可知，根据S△ABC＝×AB×OC求出其面积，由题中条件可知△CDP的面积，由三角形面积公式可得m的值； （3）分类讨论，①若BC为边，∠CBK＝90°时，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'，根据AAS证明△BCO≌△BC'E，依据全等的性质可得点B点C的坐标，求出直线BC的表达式与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，由矩形的性质可知xC﹣xB＝xH﹣xK，，结合点B、C、D点坐标可得H点坐标.②若BC为边，∠BCK＝90°时，同理可求：直线CK的解析式，与抛物线的解析式联立求解可得点K横坐标，同理可得H点坐标；③若BC为对角线，由B点C点坐标可得BC的中点坐标及BC的长，点K在抛物线上，设设点K（x，﹣x2+x+4），利用勾股定理可求出x的值，选择符合题意的，求出点K坐标后结合KH的中点坐标可知H点坐标，综上所述，点H的坐标有3种情况. 【详解】（1）∵A（﹣2，0），B（8，0） ∴OA＝2，OB＝8， ∵OC＝2OA， ∴OC＝4， ∴点C（0，4） ∵设y＝a（x+2）（x﹣8）经过点C， ∴4＝﹣16a， ∴a＝﹣， ∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4； （2）如图1， 由题意：点D（3，0）， ∴OD＝3， 设P（m，﹣m2+m+4），（m＞0，﹣m2+m+4＞0） ∵C（0，4）， ∴直线PC的解析式可表示为：y＝（﹣m+）x+4， 设直线PC与对称轴的交点为E，则点E（3，﹣m+）， ∴DE＝﹣m+， ∵S△ABC＝×AB×OC， ∴S△ABC＝×10×4＝20， ∵S△CDP＝S△ABC， ∴×（﹣m+）×m＝×20， ∴m1＝4或m2＝； （3）若BC为边，∠CBK＝90°时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转90°得到BC'， ∴BC＝BC'，∠CBC'＝90°， ∴∠CBO+∠C'＝90°，∠CBO+∠OCB＝90°， ∴∠OCB＝∠EBC'，且BC＝BC'，∠BEC'＝∠BOC＝90°， ∴△BCO≌△BC'E（AAS） ∴BE＝OC＝4，OB＝EC'＝8， ∴点C'（4，﹣8），且B（8，0） ∴直线BC'解析式为：y＝2x﹣16， ∴2x﹣16＝﹣x2+x+4， ∴x1＝﹣10，x2＝8， ∴点K（﹣10，﹣36）， ∵xC﹣xB＝xH﹣xK， ∴0﹣8＝xH﹣（﹣10）， ∴xH＝﹣18， ∵， ∴yH＝﹣32， ∴点H（﹣18，﹣32）， 若BC为边，∠BCK＝90°时， 同理可求：直线CK的解析式为：y＝2x+4， ∴2x+4＝﹣x2+x+4， ∴x1＝﹣2，x2＝0， ∴点K坐标（﹣2，0） ∵， ∴0﹣8＝﹣2﹣xH， ∴xH＝﹣6， ∵， ∴yH＝﹣4， ∴点H（6，﹣4）， 若BC为对角线， ∵B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形， ∴BC＝KH，BC与KH互相平分， ∵B（8，0），C（0，4） ∴BC中点坐标（4，2），BC＝＝＝4， 设点K（x，﹣x2+x+4） ∴（x﹣4）2+（﹣x2+x+4﹣2）2＝（2）2， ∴x（x﹣2）2（x﹣8）＝0， ∴x1＝0，x2＝2，x3＝8， ∴K（2，6），且KH的中点坐标（4，2）， ∴点H（6，﹣2） 综上所述：点H坐标为（6，﹣4），（6，﹣2），（﹣18，﹣32）． 【点睛】本题考查了抛物线的综合，熟练掌握抛物线解析式的求法及利用矩形的性质求满足条件的抛物线上的点坐标是解题的关键. 20．综合与探究 如图，抛物线的顶点为，与轴交于和两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式及点，，的坐标； (2)如图1，点是直线上方的抛物线上的动点，当面积最大时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是坐标轴上一点，点为平面内一点，是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；，， (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）利用顶点坐标设顶点式即可得到函数解析式，分别令、求解，即可得到点，，的坐标； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，通过作铅垂线得到点与直线上对应点的纵坐标差即铅垂高，代入面积公式得到面积关于横坐标的二次函数，根据二次函数的性质即可求出面积最大时点的横坐标； （3）先计算的长度与中点坐标，依据矩形对角线相等且互相平分的性质，分在轴、轴两类设点坐标，由中点公式表示出点坐标，结合对角线长度列方程求解，舍去不合理解后即可得到所有符合条件的点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线表达式为， ∵抛物线的顶点为， ∴，，， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴， 令，则， 解得或， ∴，； （2）解：设直线表达式为，代入，得 ， 解得， ∴直线表达式为， 设点横坐标为，则， 如图，过点作轴的垂线，交于点，则， ∴， ∴， 这是开口向下的二次函数，当时，面积取得最大值， 即当面积最大时，点的横坐标为； （3）解：∵，， ∴，中点为即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴，中点为， 点是坐标轴上一点，故分两种情况讨论： ①当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或（此时点与点重合，舍去）， ∴， ∴； ②当点在轴上时，如图， 设，则， ， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或； 综上，点的坐标为或或． 21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或，或或 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出E的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据，求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，， 解得或（舍去）， 点的横坐标为2， ． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， 直线的解析式为， ， 设在直线上，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 23．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 24．如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，将原抛物线向左平移4个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或或 【分析】本题考查了二次函数与特殊的平行四边形综合，勾股定理． （1）待定系数法求抛物线表达式即可； （2）由题意知，平移后函数解析式为，联立得，解得，，即；由为原抛物线对称轴上的一点，设，，由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解：①当以为边，时，则，为对角线，，，，由勾股定理得，，即，解得，，则，由，的中点坐标相同，可得，计算求解可得点坐标；同理对当以为边，当时，则，为对角线；②当以为对角线，时，，为对角线； 分别计算求解即可． 【详解】（1）解：将和代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，， ∴平移后函数解析式为， 联立得， 解得，， ∴； ∵为原抛物线对称轴上的一点， ∴设，， 由题意知，以点，为顶点的四边形为矩形，分以为边，以为对角线两种情况求解： ①当以为边，时，则，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∵，为对角线， ∴，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； 当以为边，当时，则，为对角线， 同理，即， 解得，， ∴， ∵，的中点坐标相同， ∴， 解得，， ∴； ②当以为对角线，时，，为对角线， ∴，，， 由勾股定理得，，即，整理得，， 解得，或， ∴或 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 当时， ∵，中点相同， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，存在点，且或或或． 【类型4 存在性问题正方形相关】 25．如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式是，顶点M的坐标是 (2) (3)或或或； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过三点， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得 ∴二次函数的解析式为， ∴顶点M的坐标是， 答：该二次函数的解析式是，顶点M的坐标是． （2）解：把代入得：，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立，解得或 ∵ ∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为， 由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值， 答：根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围是． （3）解：设正方形边长为， ∴，， ∵点是轴上一动点，， ∴和都垂直轴， ∴或不可能在抛物线上，或， 当在抛物线上时，则只能是点与重合，此时，或； 当在抛物线上时， 若在的左上方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的左下方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的右上方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 若在的右下方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 综上所述，或或或； 26．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 27．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P． （1）求a，k的值； （2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标； （3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】（1）a=1，k=﹣1；（2）（2，2）；（3） 【详解】试题分析：（1）先求出直线y=﹣3x+3与x轴交点A，与y轴交点B的坐标，再将A、B两点坐标代入y=a（x﹣2）2+k，得到关于a，k的二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF与Rt△BQE中，用勾股定理分别表示出AQ2=AF2+QF2=1+m2，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，由AQ=BQ，得到方程1+m2=4+（3﹣m）2，解方程求出m=2，即可求得Q点的坐标； （3）当点N在对称轴上时，由NC与AC不垂直，得出AC为正方形的对角线，根据抛物线的对称性及正方形的性质，得到M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，则四边形AMCN为正方形，在Rt△AFN中根据勾股定理即可求出正方形的边长． 试题解析：（1）∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴A（1，0），B（0，3）． 又∵抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3）， ∴，解得， 故a，k的值分别为1，﹣1； （2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E． 在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2， 在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2， ∵AQ=BQ， ∴1+m2=4+（3﹣m）2， ∴m=2， ∴Q点的坐标为（2，2）； （3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线． 又∵对称轴x=2是AC的中垂线， ∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）． 此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN， ∴四边形AMCN为正方形． 在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为． 考点：1、二元一次方程组的解法，2、等腰三角形的性质，3、勾股定理，4、二次函数的性质，5、正方形的判定与性质 28．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为第一象限内抛物线上一动点，其横坐标为t，过点P分别作轴于点D，轴于点E，过点C作轴交直线于点F，若四边形的周长f为，求t的值； (3)如图2，连接，M为线段上一动点（不与点B，C重合），其横坐标为m，过点M分别作轴于点G，轴交抛物线于一点N，过点N作轴于点H，若四边形为正方形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3) 【详解】（1）解：将，分别代入， 得 解得 故抛物线的函数表达式为． （2）解：∵P为第一象限内抛物线上一动点， ∴，其中． ∵抛物线的函数表达式为， ∴． 令，解得，， ∵轴， ∴当时，点E与点C重合． ∴，． ①当时，如图1，点E在点C上方， 此时， ∴． 当时，，解得． ②当时，如图2，点E在点C下方， 此时， ∴． 当时，，解得，（舍去）． 综上可知，t的值为或． （3）解：∵轴，轴， ∴． 又轴， ∴四边形是矩形， ∴． 设点N的横坐标为n，则， ∴． ∵，， ∴设直线的函数表达式为，把，代入，得， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴，， ∴①． 要使四边形为正方形，则要满足． 点N的位置有以下两种情况． ①当点N在点C左侧的抛物线上时，如图3，此时． 若，则，整理，得②， 把②代入①，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． ②当点N在点C右侧的抛物线上时，． 若，则，解得，此时点与点重合，不符合题意． 综上可知，点M的坐标为． 29．综合与探究 如图（a），抛物线与轴交于点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)如图（b），过点作轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接． ①设点的横坐标为，当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值． ②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①当时，面积的最大值为；②点N的坐标为或或 【详解】（1）解：将点和代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）①∵轴，轴， ∴． ∵， ∴． ∴． 设点P的坐标为，则， ． ∵轴， ∴，． ∴． ∴． ∴ ． ∴当时，面积的最大值为． ②易求直线的表达式为． ∴点F的坐标为． ∴．由①知． ∴轴，且． Ⅰ． 如图（a），当四边形为正方形时，此时点M与点G重合，点N与点D重合， ∴点N的坐标为． Ⅱ． 如图（b），当四边形为正方形时，此时点N与点G重合，点M与点D重合， ∴．则．解得． ∴点N的坐标为． Ⅲ． 如图（c），当为对角线时，此时，由正方形的性质得． ∴． 解得． ∴点G的坐标为． ∴点M的坐标为，． ∴点N的坐标为． 综上，点N的坐标为或或． 30．如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为； (3)存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得二次函数的表达式； （2）设，作轴于点，则，，利用割补法，可得，即可得面积的最大值； （3）由待定系数法，可得直线的解析式为，设，由轴，可得，根据题意进行分类讨论，结合正方形的性质，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得， ∴． （2）解：在中，令，得， ∴， 设， ∵点在直线上方，，， ∴，， 作轴于点，则，， 用割补法求面积： ∵的面积等于梯形的面积加的面积减去的面积， 梯形的面积， 的面积， 的面积， ∴面积 ， ∵， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． （3）解：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形为正方形，点在上方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， 如图，四边形是正方形，点在下方， 连接，，交于点，则，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为或或． 31．直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质、一次函数的图象及性质、正方形的性质是解题的关键． （1）令，求点，令，求点，将点、点代入抛物线，即可求解； （2）设，由轴交于点，则，再由，可知，则有，连接，延长交轴于点，可证四边形是平行四边形，为等腰直角三角形，可求， ，，求出，，得到，即可求； （3）先求出，直线的解析式为，联立，求出，分四种情况讨论：①当时，点在上，点在上，可确定或，当时，，；②当时，此时轴，或，当时，；当时，． 【详解】（1）解：令，则， ． 令，则， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线解析式为． （2）设， 轴交于点， ． ， ． ． ， ． 如图，连接，延长交轴于点， 四边形是平行四边形， ， ． 为等腰直角三角形． ． ． ． 点横坐标为， ∴，即， ． ． ，解得或（舍）． ． （3）令，则，解得或， ． 设直线的解析式为， 将，代入， ，解得， ∴直线的解析式为， ， ． 联立，解得 ． 以点，，，为顶点的四边形是正方形， ①如图2，图3，当时，点在上，点在上， 点在抛物线上， 或． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 当时，， ． ． 的中点为，则中点也为， ． 此时与轴重合， 不符合题意． ②如图4，图5，当时，此时轴， 或． 当时，， ． 当时，， ． 综上所述，当以点，，，为顶点的四边形是正方形，点坐标为或或． 32．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)如图2，为抛物线上的一点，且位于直线上方，连接．当的面积最大时，求点的坐标及最大面积． (3)如图3，为直线上的一点，是线段上的一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为，最大值为， (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交于点，求得直线的函数解析式，设点，则点，用的代数式表示出，利用二次函数的性质即可求解； （3）求得点的坐标为，点的坐标为，根据题意得到，解得；再分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作轴，交于点， 设直线的函数解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点，则点． ， ． ， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）解：为直线上的一点， ，解得， ∴点的坐标为． ∵点，且轴， ∴点的坐标为，点的坐标为． 若四边形是正方形，，则轴，由此可得： ， 解之得：； ①当时，如图2， ， 计算可得：， ∴点N的坐标为； ②当时，如图3 ， 计算可得：， ∴点N的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $