2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系，分层覆盖基础概念到综合应用，通过梯度题型培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|弦长计算、位置关系判断等基本公式应用|单选1（弦长）、填空9（外切），夯实概念理解| |能力提升|距离范围、垂直关系等综合辨析与计算|多选7（直线过定点）、单选5（圆心角应用），发展推理能力| |综合应用|轨迹方程、面积最值等问题解决与模型构建|解答13（面积最值证明），培养数学思维与问题解决能力|

《直线与圆、圆与圆的位置关系》同步练习 一、单选题 1．直线x﹣y+2＝0被圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝4截得的弦长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】根据题意，求得圆心C到直线x﹣y+2＝0的距离，结合圆的弦长公式进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意，圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝4的圆心为（a，a），半径r＝2， 可得圆心C到直线x﹣y+2＝0的距离， 所以直线x﹣y+2＝0被圆C截得的弦长为． 故选：D． 【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 2．直线y＝x+b与有两个不同的交点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可知曲线是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆的右半部分，再根据点到直线的距离公式即可求解． 【解答】解：直线y＝x+b与有两个不同的交点， 可知曲线是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆的右半部分， 如下图所示， 当b＝﹣1时，曲线与y＝x﹣1恰有两个交点， 当曲线与直线y＝x+b相切时，可得（0，0）到直线x﹣y+b＝0的距离为1， 根据点到直线的距离公式可得， 因为b＜0，解得，所以， 则b的取值范围是． 故选：A． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题． 3．若圆x2+y2＝9上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则m的取值范围为（　　） A．（﹣5，﹣1）∪（1，5） B．（﹣10，﹣2）∪（2，10） C．（﹣5，5） D．（﹣10，10） 【分析】由题可知，圆心到直线的距离d∈（1，5），根据点到直线的距离公式列出不等式求解即可． 【解答】解：由圆的方程x2+y2＝9，可得圆心为C（0，0），半径为3， 圆心（0，0）到直线的距离， 因为圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个， 所以1＜d＜5，即， 解得﹣10＜m＜﹣2或2＜m＜10， 故m的取值范围是（﹣10，﹣2）∪（2，10）． 故选：B． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属中档题． 4．两圆x2+y2＝1与x2+y2+2x﹣2y+1＝0的公共弦长为（　　） A． B． C． D．1 【分析】两圆x2+y2＝1与圆x2+y2+2x﹣2y+1＝0的方程相减可得公共弦所在的直线方程为x﹣y+1＝0，再由点到直线的距离公式能求出两圆的公共弦长． 【解答】解：两圆的圆心分别为（0，0），（﹣1，1），半径均为1，故圆心距离为，故两圆相交， ∵圆x2+y2＝1与圆x2+y2+2x﹣2y+1＝0的公共弦所在的直线方程为： （x2+y2+2x﹣2y+1）﹣（x2+y2﹣1）＝2x﹣2y+2＝0，即x﹣y+1＝0， ∵圆的圆心C1（0，0）到公共弦x﹣y+1＝0的距离： ，圆C1的半径r＝1， ∴公共弦长． 故选：B． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养，属于基础题． 5．直线y＝kx+4与圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的交点为A，B，若∠AMB＝120°，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出圆的圆心与半径，利用△AMB中，∠AMB＝120°，求出圆心M到直线y＝kx+4的距离，结合点线距离公式建立方程，解方程得出结论． 【解答】解：圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的圆心M（3，4），圆的半径为4． 在△AMB中，∠AMB＝120°， 所以圆心M到直线y＝kx+4的距离为， 由点线距离公式得， 所以，解得． 故选：C． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查点线距离公式，属于中档题． 6．已知P是直线l：x﹣2y+6＝0上一动点，过点P作圆C：x2+y2﹣4x＝0的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（　　） A．5π B．6π C． D． 【分析】由四边形PACB的外接圆的直径为PC，且其最小值为圆心C到直线x﹣2y+6＝0的距离求解． 【解答】解：圆的方程化为标准方程（x﹣2）2+y2＝4，圆心C（2，0），半径为2， 过点P作圆C：x2+y2﹣4x＝0的两条切线，切点分别为A、B， 所以四边形PACB的外接圆的直径为PC， PC的最小值为圆心C到直线x﹣2y+6＝0的距离，即， 则四边形PACB的外接圆的半径为， 所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为． 故选：D． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题． 二、多选题 7．已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝16，则（　　） A．直线l恒过定点（2，0） B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直 C．直线l与圆O相交 D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为4 【分析】利用直线系方程求出直线l所过定点坐标判断A、C；求出使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直的k值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D． 【解答】解：对于A、C，由l：kx﹣y+2k＝0，得k（x+2）﹣y＝0，令，解得， 所以直线l恒过定点（﹣2，0），故A错误； 因为直线l恒过定点（﹣2，0），而（﹣2）2+02＝4＜16，即（﹣2，0）在圆O：x2+y2＝16内， 所以直线l与圆O相交，故C正确； 对于B，直线l0：x﹣2y+2＝0的斜率为，则当k＝﹣2时，满足直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直，故B正确； 对于D，k＝﹣1时，直线l：x+y+2＝0，圆心到直线的距离为d， 所以直线l被圆O截得的弦长为222，故D错误． 故选：BC． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，是中档题． 8．已知直线l：x﹣y+1＝0，圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+1＝0，则下列说法正确的是（　　） A．圆C的圆心坐标为（4，1） B．直线l与圆C相交 C．圆（x﹣1）2+y2＝1与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 【分析】对于A，将圆方程化为标准式可判断选项正误；对于B，比较圆心到直线距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，比较两个圆心之间的距离与两圆半径之和与半径之差大小可判断选项正误；对于D，利用到直线l的距离为1的直线l与圆的位置关系可判断选项正误． 【解答】解：由C：x2+y2﹣8x﹣2y+1＝0，可得C：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝16， 所以圆C的圆心坐标为（4，1），半径为4，故A正确； 因为圆心C到直线l：x﹣y+1＝0的距离为， 所以直线l与圆C相交，故B正确； 圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），半径为1， 所以圆（x﹣1）2+y2＝1与圆C，两圆心距离， 两圆半径之和为4+1＝5，半径之差为4﹣1＝3， 因为，所以两圆相交，故C错误； 因为圆心C（4，1）的到直线l：x﹣y+1＝0的距离为， 所以， 所以圆C上存在4个点到直线l的距离为1，故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查直线与圆、圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，正确运用直线与圆、圆与圆的位置关系的判断方法是关键，属于中档题． 三、填空题 9．已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0外切，则m的值为　9　 ． 【分析】利用圆的圆心与半径的关系，列出方程求解即可． 【解答】解：圆C1：x2+y2＝1的圆心（0，0），半径为1； 圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0的圆心（4，3），半径为：； 圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0外切， 可得：1，解得m＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系的应用，是基础题． 10．设A、B为圆x2+y2＝1上的两动点，且∠AOB＝120°，P为直线l：3x﹣4y﹣15＝0上一动点，则的最小值为 　5　 ． 【分析】取AB中点C，求出C点轨迹方程，，转化求C点到直线l上点的距离的最小值，由此计算可得． 【解答】解：设C是AB中点，因为∠AOB＝120°，所以， 即C在以原点为圆心，为半径的圆上， 所以，所以， 又，所以，所以． 故答案为：5 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，最值问题，属于中档题． 四、解答题 11．已知圆C经过原点O和点A（4，0），圆心在直线x﹣2y＝0上． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点P（1，3）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝4，求直线l的方程． 【分析】（1）设出圆心坐标，根据已知条件列方程求参数t，写出圆的标准方程； （2）利用弦长公式求圆心到直线的距离，讨论斜率是否存在，求出直线方程． 【解答】解：（1）由题意，设圆心C（2t，t）， 因为圆C经过原点O和点A（4，0）， 所以|CO|＝|CA|， 所以（2t）2+t2＝（2t﹣4）2+t2， 化简得4t2＝4t2﹣16t+16，解得t＝1， 所以圆心C（2，1），半径， 所以圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5； （2） 圆心到直线l的距离为d，由弦长公式 ， 得，解得d＝1， 当直线斜率存在时，设斜率为k，直线方程为y﹣3＝k（x﹣1）， 整理得kx﹣y+3﹣k＝0， 由点到直线距离公式可得，解得 ， 直线l的方程为3x+4y﹣15＝0； 当直线斜率不存在时，方程为x＝1， 圆心到直线的距离为|2﹣1|＝1，符合条件． 综上直线l的方程为3x+4y﹣15＝0或x＝1． 【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，正确运用弦长公式是关键，属于中档题． 12．直线l与直线x﹣y﹣1＝0垂直，且经过点M（﹣3，1）． （1）若圆x2+y2+2x﹣2y+m＝0截直线l所得弦长为4，求实数m的值； （2）若点N在圆x2+y2+2x﹣2y+1＝0上运动，求线段MN中点的轨迹方程． 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，利用弦长可求答案； （2）设出动点坐标，找出两动点间的关系，把N的坐标代入可求轨迹方程． 【解答】解：（1）由题意直线l与直线x﹣y﹣1＝0垂直，且经过点M（﹣3，1）， 所以直线l的斜率为﹣1， 可得直线l的方程为y﹣1＝﹣（x+3），即x+y+2＝0． 又圆x2+y2+2x﹣2y+m＝0截直线l所得弦长为4， 将圆x2+y2+2x﹣2y+m＝0化为标准型为（x+1）2+（y﹣1）2＝2﹣m， 圆心（﹣1，1）到直线l的距离为， 因为圆截直线l所得弦长为4，所以，解得m＝﹣4； （2）设线段MN中点的坐标为（x，y），N（x0，y0）， 则，即， 因为点N在圆x2+y2+2x﹣2y+1＝0上运动， 所以， 所以（3+2x）2+（2y﹣1）2+2（3+2x）﹣2（2y﹣1）+1＝0， 即4x2+4y2+16x﹣8y+19＝0， 所以线段MN中点的轨迹方程为4x2+4y2+16x﹣8y+19＝0． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题． 13．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2k+1）x+（k+1）y﹣7k﹣4＝0． （1）求证：直线l与圆C恒有两个交点； （2）设直线l与圆C交于AB两点，当k为何值时，三角形ABC的面积有最大值，并求出该最大值． 【分析】（1）先证明直线l过定点，再说明定点在圆内即可； （2）设圆心C到直线l的距离为d，注意到，又，可以求出△ABC面积的最大值，注意验证取等条件，进一步由斜率关系可以求出参数k，由此即可得解． 【解答】证明：（1）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2k+1）x+（k+1）y﹣7k﹣4＝0， 因为直线l：（2k+1）x+（k+1）y﹣7k﹣4＝0，可得（2x+y﹣7）k+x+y﹣4＝0， 所以，解得， 所以直线l过定点P（3，1）， 将点P（3，1）代入圆C方程可得（3﹣1）2+（1﹣2）2＝5＜25， 所以点P（3，1）在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点； 解：（2）设直线l与圆C交于AB两点， 设圆心C（1，2）到直线l的距离为d， 则， ∴， 因为，所以当d2＝5时，三角形ABC的面积最大，最大值为10， 此时CP⊥l，且，则kl＝2，即，解得， 所以当时，三角形ABC的面积最大，最大值为10． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题 学科网（北京）股份有限公司 $ 《直线与圆、圆与圆的位置关系》同步练习 一、单选题 1．直线x﹣y+2＝0被圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝4截得的弦长为（　　） A．1 B． C．2 D． 2．直线y＝x+b与有两个不同的交点，则b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若圆x2+y2＝9上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则m的取值范围为（　　） A．（﹣5，﹣1）∪（1，5） B．（﹣10，﹣2）∪（2，10） C．（﹣5，5） D．（﹣10，10） 4．两圆x2+y2＝1与x2+y2+2x﹣2y+1＝0的公共弦长为（　　） A． B． C． D．1 5.直线y＝kx+4与圆M：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16的交点为A，B，若∠AMB＝120°，则k的值为（　　） A． B． C． D． 6．已知P是直线l：x﹣2y+6＝0上一动点，过点P作圆C：x2+y2﹣4x＝0的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（　　） A．5π B．6π C． D． 二、多选题 7．已知直线l：kx﹣y+2k＝0和圆O：x2+y2＝16，则（　　） A．直线l恒过定点（2，0） B．存在k使得直线l与直线l0：x﹣2y+2＝0垂直 C．直线l与圆O相交 D．若k＝﹣1，直线l被圆O截得的弦长为4 8．已知直线l：x﹣y+1＝0，圆C：x2+y2﹣8x﹣2y+1＝0，则下列说法正确的是（　　） A．圆C的圆心坐标为（4，1） B．直线l与圆C相交 C．圆（x﹣1）2+y2＝1与圆C相切 D．圆C上存在4个点到直线l的距离为1 三、填空题 9．已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x﹣6y+m＝0外切，则m的值为　 　 ． 10.设A、B为圆x2+y2＝1上的两动点，且∠AOB＝120°，P为直线l：3x﹣4y﹣15＝0上一动点，则的最小值为 　 　 ． 四、解答题 11．已知圆C经过原点O和点A（4，0），圆心在直线x﹣2y＝0上． （1）求圆C的标准方程； （2）若过点P（1，3）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝4，求直线l的方程． 12．直线l与直线x﹣y﹣1＝0垂直，且经过点M（﹣3，1）． （1）若圆x2+y2+2x﹣2y+m＝0截直线l所得弦长为4，求实数m的值； （2）若点N在圆x2+y2+2x﹣2y+1＝0上运动，求线段MN中点的轨迹方程． 13．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2k+1）x+（k+1）y﹣7k﹣4＝0． （1）求证：直线l与圆C恒有两个交点； （2）设直线l与圆C交于AB两点，当k为何值时，三角形ABC的面积有最大值，并求出该最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $