精品解析：黑龙江大庆市第六十九中学2026-2027学年九年级上学期开学数学验收练习

假期反馈练习——数学学科 一、单选题（每个题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 4. 中国传统六角宫灯广泛应用于节日装饰、文化主题创作等领域．六角宫灯的主体是一个正六棱柱，从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 2 6. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 12. 若，则________． 13. 在中，满足：，则的形状为__________． 14. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长为_______． 15. 如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 16. 如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 17. 如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 18. 如图，在中，，，，是边上一点，线段绕点顺时针旋转得到，连结，若是的中点，则的最小值为_________． 三、解答题（本题10小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 22. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请回答： （1）本次参加抽样调查的居民有 人；并补充完整条形图； （2）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数为 ； （3）小华把外形相同的A、B、C、D四种粽子各一个煮熟后、吃了两个，用列表法或画树状图的方法，求他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 23. 如图，在和中，已知，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 24. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 25. 如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，且，，求四边形的面积． 26. 如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂长度可伸缩，还可绕点在一定范围内转动使张角发生变化，固定点距离地面的高度为3米，起重臂最长可伸展为20米，且最大张角为，请求出此时（即为20米，为）点C到的距离是多少米．（结果保留根号） 27. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出满足的的取值范围． 28. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 假期反馈练习——数学学科 一、单选题（每个题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2. 如果，那么下列比例式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例基本性质，内项之积等于外项之积，计算判断即可； 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求； D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 3. 下列各组线段是成比例线段的是（ ） A. 2，4，6，12 B. 2，3，6，12 C. 3，6，8，12 D. 2，4，6，8 【答案】A 【解析】 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 4. 中国传统六角宫灯广泛应用于节日装饰、文化主题创作等领域．六角宫灯的主体是一个正六棱柱，从正面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，得到从正面看得到的图形，可得答案． 【详解】解：∵从正面看，会看到正六棱柱的三个面，是一行三个相邻的矩形，中间一个还是正方形，即， ∴C正确． 5. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 6. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将已知点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标乘积等于k，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标满足， ，A不符合； ，B不符合； ，C不符合； ，D符合； ∴在此函数图象上． 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 8. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握直角三角形中三角函数与边的对应关系是解题关键．利用锐角三角函数的定义及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，，且，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 故选∶B． 9. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作于，交于，根据矩形的性质可得即可求解. 【详解】解：作于，交于， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， ， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 比较大小：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的大小比较，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，角度越大，正弦值越大． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随角度的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：<． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 13. 在中，满足：，则的形状为__________． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 14. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比是，则的长为_______． 【答案】米 【解析】 【分析】先由坡度的定义求出BC的长，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：迎水坡的坡比是，米， （米）， （米）， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键． 15. 如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处正东400米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离等于_____米． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，根据等腰三角形的判定得出，在中解直角三角形即可解答； 【详解】解：如图，过作于，则就是灯塔到环海路的距离， 依题意，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴灯塔到环海路的距离为米． 16. 如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】由题意得，，可得与的相似比为，则与的周长比为，进而可得答案． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 17. 如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 18. 如图，在中，，，，是边上一点，线段绕点顺时针旋转得到，连结，若是的中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，于点，证明，得出，从而确定点在的平分线上运动，根据垂线段最短可知当时最小． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴ 在和中 ， ∴ ∴， ∴点在的平分线上， ∴， 当时，的值最小，此时是等腰直角三角形， ∴， 故的最小值为． 三、解答题（本题10小题，共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式. 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得；  【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 22. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销售较好的猪肉粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄粽（以下分别用A、B、C、D表示）四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅统计图，请回答： （1）本次参加抽样调查的居民有 人；并补充完整条形图； （2）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数为 ； （3）小华把外形相同的A、B、C、D四种粽子各一个煮熟后、吃了两个，用列表法或画树状图的方法，求他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 【答案】（1），补充条形统计图如下： ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出参加调查的总人数和喜欢C类红枣粽的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以C类粽子所占的比例即可； （3）画出树状图，得出共有12种等可能的结果，其中他吃到的恰好是A和B两种粽子的结果数为2，即可求解． 【小问1详解】 解：本次参加抽样调查的居民有（人）， 喜欢C类红枣粽的人数有（人）； 【小问2详解】 解：扇形统计图中C所对应的圆心角的度数； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他吃到的恰好是A和B两种粽子的结果数为2， ∴他吃到的恰好是A和B两种粽子的概率． 23. 如图，在和中，已知，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ∵． ∴， ∴． ∵， ∴； （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， （1）根据题意得即可判定相似； （2）根据面积比为边长比的平方即可得，可求的答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，且， ∴， ∵， ∴． 24. 某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，若这种商品售价每提高1元，其销售量就会少10个． （1）当售价定为54元时，求该商品销售的个数； （2）商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应提高多少元？ 【答案】（1）460个 （2）售价应提高10元 【解析】 【分析】（1）根据售价涨幅与销售量减少的对应关系，计算实际销售个数； （2）设提价金额为未知数，利用总利润的等量关系列方程，结合兼顾顾客利益的条件选取合适的解． 【小问1详解】 解：售价提高金额为（元）， 销售量减少（个） 此时销售个数为（个）； 【小问2详解】 解：设售价应提高元，单个商品利润为元，销售量为个， 由总利润为8000元，得， 整理得， 解得，， ∵要尽量兼顾顾客的利益，即提价幅度尽可能小， ∴； 答：售价应提高10元． 25. 如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，且，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得其对角线互相平分（，）；又因为，所以；由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求证． （2）由（1）中四边形是平行四边形可得，四边形的对角线互相平分，再由，可得四边形为菱形，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解： 由（1）可得：四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴四边形的面积为：． 26. 如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂长度可伸缩，还可绕点在一定范围内转动使张角发生变化，固定点距离地面的高度为3米，起重臂最长可伸展为20米，且最大张角为，请求出此时（即为20米，为）点C到的距离是多少米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过C作，交于点F，过点A作，交于点G．先证明四边形是矩形，得，由题意张到最大，即，从而得，由正弦函数关系求得，进而求得即可． 【详解】解：如图，过C作，交于点F；过点A作，交于点G． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． 为了消防车高度达到最大，此时起重臂伸到最长，即张到最大，即， ∴，， ∴． 27. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于二、四象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若，，且点的横坐标为． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得到，可知反比例函数的解析式，进而求出，即可求出一次函数的解析式； （2）求出，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵轴，，， ∴， ∴， 将代入得， 解得：， 即， 将代入得：， 即， 将、代入得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时，解得， 即， ∴； 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，当时，或． 28. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2） （3）解：，理由如下： 如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【解析】 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $