精品解析：黑龙江绥化市望奎县六中等校联考 2026-2027学年九年级上学期开学摸底考试数学试题

初四开学摸底考试数学试题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 最简二次根式需满足被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式． ∵ 的被开方数为7，是整数且无开得尽方的因数， ∴ 是最简二次根式． ∵ ，，二者被开方数均含能开得尽方的因数， ∴ ，不是最简二次根式． ∵ 的被开方数含分母， ∴ 不是最简二次根式． 2. 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：平行四边形，是中心对称图形，而不是轴对称图形，故A符合题意； 矩形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故B不符合题意； 菱形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故C不符合题意； 正方形，是中心对称图形，也是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 如图，在中，平分，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC=6，AD∥BC，根据平行线性质求出∠ADE=∠DEC，根据角平分线定义求出∠ADE=∠CDE，推出∠CDE=∠DEC，推出CE=DC，求出CD即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC=6，AD∥BC， ∴∠ADE=∠DEC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠CDE， ∴∠CDE=∠DEC， ∴CE=DC， ∵BC=6，BE=2， ∴CD=CE=6-2=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解题的关键是求出CD的长，注意：平行四边形的对边平行且相等，难度适中． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. =-2 C. =x D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断，根据二次根式的性质对B、C进行判断即可． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能直接计算，所以A选项错误； B、原式＝2，所以B选项错误； C、原式＝|x|，所以C选项错误； D、原式＝2，所以D选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式、二次根式的加减运算、根据二次根式的性质化简，掌握同类二次根式和二次根式的性质成为解答本题的关键． 5. 直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为( ) A. 5 B. C. 5或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：当3和4为直角边时，则x=5；当3为直角边，4为斜边时，则x=. 考点：直角三角形的勾股定理 6. 如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD=6，则点D到AB的距离是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】分析：结合已知条件在图形上的位置，由角平分线的性质可得点D到AB的距离是6cm． 详解：点D到AB的距离=CD=6cm． 故选D.． 点睛：此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．比较简单，属于基础题． 7. 函数y=（2﹣a）x+b﹣1是正比例函数的条件是（　　） A. a≠2                           B. b=1                           C. a≠2且b=1                            D. a，b可取任意实数 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据正比例函数的定义得：2﹣a≠0，b﹣1=0，∴a≠2，b=1．故选C． 点睛：本题主要考查对正比例函数的定义的理解和掌握，能根据正比例函数的意义得出2﹣a≠0和b﹣1=0是解答此题的关键． 8. 在下列命题中，正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定方法逐一判断即可解答． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项错误； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项正确； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解题的关键． 9. 如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意易得AD=DE，∠ADC=90°，∠CDE=60°，进而根据等腰三角形的性质及三角形内角和进行求解即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠ADC＝90°， ∵△CDE是等边三角形， ∴DC＝DE，∠CDE＝60°， ∴DA＝DE，∠ADE＝150°， ∴∠DAE＝∠DEA＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及等边三角形、等腰三角形的性质，关键是根据题意得到角的度数，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 10. 甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，如图表示两车离A地的距离（千米）随时间（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回． 则下列说法正确的有（ ） ①甲车出发小时后被乙车追上；②从A地到B地的途中乙车速度是甲车的2倍；③甲车与乙车在距离B地千米处迎面相遇；④甲车从B地返回的速度大于每小时48千米时才能比乙车先回到A地 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的实际应用，涉及速度、时间、路程的关系及相遇问题的求解，解题的关键是从图象中提取A、B两地距离、甲和乙的出发时间、乙返回速度及特定时间点的距离等关键信息，结合“路程速度时间”建立方程求解． ①：算甲车速度，求甲行时间，即追上时间，正确；②：算乙返回用时，得乙车到B地时间，乙去程速度，错误；③：设距B地x相遇，根据“甲、乙从第一次相遇到第二次相遇时间相等”列方程，解得，错误；④：乙从时的处返回A地需，设甲返回速度y，列，得，正确．根据逐项分析结果知B选项正确． 【详解】解：∵甲车从A地到B地的速度为：千米/小时， ∴甲、乙两车在千米处第一次相遇，此时为：时，即甲车出发小时后被乙车追上，故①正确； ∵乙车从B地返回到距A地千米时所需时间：小时， ∴乙车到达B地的时间为：时， ∴乙车从A地到B地的速度为：千米/小时， ∴从A地到B地的途中乙车速度应是甲车的3倍，故②错误； 设甲车与乙车在距离B地x千米处迎面相遇（第二次相遇），因两车第一次相遇处到第二次相遇处所用时间相同，故列方程：， 即，解得千米，即甲车与乙车在距离B地千米处迎面相遇，故③错误； 设甲车从B地返回的速度应为y千米/小时，甲车用时应少于乙车，依据题意得：，解得：，故④正确． 综上，正确的有①④，共2个． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 12. 已知△ABC中，AB=k，AC=k-1，BC=3，当k=_________时，∠C=90° 【答案】5 【解析】 【分析】根据勾股定理进行求解即可得到答案. 【详解】解：∵△ABC中，AB=k，AC=k-1，BC=3，∠C=90° ∴ ∴ 解得 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理. 13. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】先推导出是等边三角形，再利用直角三角形30度角的性质，可得，即可解答． 【详解】解：在矩形中，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 14. 直线不经过的象限是_______． 【答案】第三象限 【解析】 【分析】根据一次函数中系数和常数项的符号，可判断直线经过的象限，从而确定图像不经过的象限． 【详解】解：∵，即，， ∴ ，． ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 15. 如果P（2，m）,A (1, 1), B (4, 0)三点在同一直线上，则m的值为_________. 【答案】 【解析】 【详解】设直线的解析式为y=kx+b(k≠0) ∵A(1,1)，B(4,0) 解得 ∴直线AB的解析式为 ∵P(2,m)在直线上， . 16. 将函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____． 【答案】y=3x-1 【解析】 【详解】∵y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度， ∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=3x+1﹣2，即y=3x﹣1． 故答案为y=3x﹣1． 17. 一个内角平分线把一条边分成和两段，则平行四边形的周长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题注意要分情况讨论：根据角平分线的定义以及平行线的性质，可以发现一个等腰三角形，即较短的边是和，又较长的边是，即可得出平行四边形的周长． 【详解】解：如图所示： 在平行四边形中，，，， ， 又平分， ∴， ， ， ①当时，则平行四边形的周长； ②当时，则平行四边形的周长； 综上所述，的周长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是画出图形，分类讨论问题． 18. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，则的角平分线所在直线的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴，依据点A的坐标为（3，4），即可得出B（8，4），再根据∠AOC的角平分线所在直线经过点B，即可得到函数关系式． 【详解】如图所示，延长BA交y轴于D，则BD⊥y轴． ∵点A的坐标为（3，4），∴AD=3，OD=4，∴AO=AB=5，∴BD=3+5=8，∴B（8，4）． 设∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为y=kx． ∵菱形OABC中，∠AOC的角平分线所在直线经过点B， ∴4=8k，即k， ∴∠AOC的角平分线所在直线的函数关系式为yx． 故答案为yx． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及菱形的性质的运用，正确得出B点坐标是解题的关键． 19. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=_______cm． 【答案】 【解析】 【详解】如图，连接AO交EF于点P， 由菱形和折叠对称的性质，知四边形AEOF是菱形，且AP=OP． ∵点A恰好落在菱形的对称中心O处， ∴AE=BE． ∵AB=2，∠A=120°， ∴Rt△AEP中，AE=1，∠AEP=30°． ∴， ∴， ∴EF＝． 20. 如图，已知，，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 27 【解析】 【分析】作于点，交于点，作于点，分别证明，，求出的长，进而求出的长，分割法求出四边形的面积即可. 【详解】解：作于点，交于点，作于点，如图， 则，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积. 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2）1+2 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和零指数幂的意义计算． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、零指数幂的意义和乘法公式是解决问题的关键． 22. 先化简，再求值：，其中x=﹣2+． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，再把除法转化成乘法约分即可得到结果． 【详解】解：原式=÷ =÷ =× = =﹣， 当x=﹣2+时， 原式=﹣=﹣=﹣． 23. 近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表． 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 11 15 23 28 18 5 （1）这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是　 　，众数是　 　，该中位数的意义是　 　； （2）这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？（结果保留整数） （3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？ 【答案】（1）3、3、表示这部分出行学生这天约有一半使用共享单车的次数在3次以上（或3次）；（2）这天部分出行学生平均每人使用共享单车约2次；（3）估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有765人． 【解析】 【详解】【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行求解即可得； （2）根据加权平均数的公式列式计算即可； （3）用总人数乘以样本中使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生所占比例即可得． 【详解】（1）∵总人数为11+15+23+28+18+5=100， ∴中位数为第50、51个数据的平均数，即中位数为=3次，众数为3次， 其中中位数表示这部分出行学生这天约有一半使用共享单车的次数在3次以上（或3次）， 故答案为3、3、表示这部分出行学生这天约有一半使用共享单车的次数在3次以上（或3次）； （2）≈2（次）， 答：这天部分出行学生平均每人使用共享单车约2次； （3）1500×=765（人）， 答：估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有765人． 【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、用样本估计总体等，熟练掌握中位数、众数、平均数的定义以及求解方法是解题的关键. 24. 已知：如图，在中，∠BAC=90°，DE、DF是 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 【答案】 证明：∵DE，DF是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵∠BAC=90°， ∴平行四边形AEDF是矩形， ∴EF=AD． 【解析】 【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，得出DE∥AB，DF∥AC，进而证明四边形AEDF是平行四边形，再根据条件∠BAC=90°，证得平行四边形AEDF是矩形即可得出结论． 【详解】 略 25. 甲、乙两人同时从相距90千米的地前往地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达地停留半小时后返回地．如图是他们离地的距离（千米）与时间（）之间的函数关系图象． （1）求甲从地返回地的过程中，直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从地到地用了多少分钟． 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）结合图象得出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据一次函数解析式求出乙的行驶距离，然后求出速度，即可得出时间． 【小问1详解】 解：假设甲从地返回地的过程中的函数关系式为， 由图可得和，代入解析式得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：108分钟小时， 当时，（千米）， ∴乙的速度为（千米分钟）， ∴乙从地到地用时为（分钟）， ∴乙从地到地用了分钟． 26. 某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元． （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ （2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？ 【答案】（1）甲购买了20件，乙购买了10件；（2）购买甲奖品8件，乙奖品22件，总花费最少 【解析】 【分析】（1）设甲购买了x件乙购买了y件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程组，然后解方程组计算即可； （2）设甲种奖品购买了a件，乙种奖品购买了（30-a）件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，然后列不等式后确定x的范围即可得到该校的购买方案． 【详解】解：（1）设甲购买了x件，乙购买了y件， ， 解得， 答：甲购买了20件，乙购买了10件； （2）设购买甲奖品为a件．则乙奖品为（30-a）件，根据题意可得： 30-a≤3a， 解得a≥， 又∵甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元， 总花费=30a+20（30-a）=10a+600，总花费随a的增大而增大 ∴当a=8时，总花费最少， 答：购买甲奖品8件，乙奖品22件，总费用最少. 【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是找出等量关系. 27. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）在轴的负半轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）12 （3）或 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式； (2)求得C的坐标，即可得到的长，然后利用三角形的面积公式求解即可； (3)分两种情况进行讨论：①若，过点A作交y轴于；②若，过点B作交y轴于；即可求出点M的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式是， 根据题意得：，解得：， 所以直线的解析式是． 【小问2详解】 解：如图：过A作轴于D，则，， 在中，令，解得：， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①如图：若，过点A作交y轴于， ∵，，， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ②如图：若，过点B作交y轴于，同理可得：． 综上所述，满足条件的点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四开学摸底考试数学试题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 3. 如图，在中，平分，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. =-2 C. =x D. 5. 直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为( ) A. 5 B. C. 5或 D. 不能确定 6. 如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD=6，则点D到AB的距离是（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 7. 函数y=（2﹣a）x+b﹣1是正比例函数的条件是（　　） A. a≠2                           B. b=1                           C. a≠2且b=1                            D. a，b可取任意实数 8. 在下列命题中，正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 9. 如图，四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，连接AE，则∠AED的度数为（　　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 10. 甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，如图表示两车离A地的距离（千米）随时间（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/小时的速度返回． 则下列说法正确的有（ ） ①甲车出发小时后被乙车追上；②从A地到B地的途中乙车速度是甲车的2倍；③甲车与乙车在距离B地千米处迎面相遇；④甲车从B地返回的速度大于每小时48千米时才能比乙车先回到A地 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 12. 已知△ABC中，AB=k，AC=k-1，BC=3，当k=_________时，∠C=90° 13. 如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长为______． 14. 直线不经过的象限是_______． 15. 如果P（2，m）,A (1, 1), B (4, 0)三点在同一直线上，则m的值为_________. 16. 将函数y=3x+1的图象沿y轴向下平移2个单位长度，所得直线的函数表达式为_____． 17. 一个内角平分线把一条边分成和两段，则平行四边形的周长为________． 18. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，则的角平分线所在直线的函数关系式为______． 19. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF=_______cm． 20. 如图，已知，，，，，则四边形的面积为_______． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分） 21. 计算 （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中x=﹣2+． 23. 近年来，共享单车逐渐成为高校学生喜爱的“绿色出行”方式之一，自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机支付就可随取随用的共享单车．某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了某天部分出行学生使用共享单车的情况，并整理成如下统计表． 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 11 15 23 28 18 5 （1）这天部分出行学生使用共享单车次数的中位数是　 　，众数是　 　，该中位数的意义是　 　； （2）这天部分出行学生平均每人使用共享单车约多少次？（结果保留整数） （3）若该校某天有1500名学生出行，请你估计这天使用共享单车次数在3次以上（含3次）的学生有多少人？ 24. 已知：如图，在中，∠BAC=90°，DE、DF是 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 25. 甲、乙两人同时从相距90千米的地前往地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达地停留半小时后返回地．如图是他们离地的距离（千米）与时间（）之间的函数关系图象． （1）求甲从地返回地的过程中，直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从地到地用了多少分钟． 26. 某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元． （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ （2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）在轴的负半轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $