专题02：配方法的应用专项训练 -2026‑2027学年人教版九年级数学上册课时同步练习

**基本信息** 聚焦配方法应用，通过基础巩固、技能应用、综合拓展三层设计，实现从单一概念到多情境综合应用的知识进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|完全平方式识别、单变量配方|以选择/填空题直接设问（如x²-mx+16为完全平方式求m），强化概念理解| |技能应用|配方求最值、双变量配方|结合代数式最值（如x²+2x+5最小值）与简单综合题，提升运算能力| |综合拓展|多变量配方、几何应用|融入三角形形状判断（如a²+b²+c²关系）与跨知识点综合题，发展推理意识|

专题02 配方法的应用 1、 选择题 1．已知x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8或﹣8 D．4或﹣4 【答案】C． 【分析】根据完全平方式得出﹣mx＝±2•x•4，再求出m即可． 【详解】解：∵x2﹣mx+16是一个完全平方式， ∴﹣mx＝±2•x•4， 解得：m＝±8， 即m＝8或﹣8， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个． 2．若将一元二次方程转化为的形式，则b的值为（     ） A．1 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：， ， ， ，即b的值为10． 3．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，需熟练掌握配方法步骤，通过配方得到的形式，求出、的值后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 与对比，得，， ∴． 故选：A． 4．下列代数式，不论x取何值，它总是正值的是（　　） A．x2﹣4x+4 B．x2+2x+3 C．x2﹣4x+1 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】通过配方把代数式变形，根据非负数是性质即可得出答案． 【详解】解：由于x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，x2+2x+3＝（x+1）2+2＞0，x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 故x2+2x+3不论x取何值，它总是正值， 故选：B． 【点睛】此题考查了配方法的应用，用到的知识点是配方法、非负数的性质，掌握配方法是解答本题的关键． 5．当x是多少时，多项式x2+2x+5的最小值是（　　） A．﹣1，4 B．﹣1，5 C．0，5 D．0，4 【答案】A 【分析】先对多项式进行变形，再根据偶次方的非负性求解即可． 【详解】解：x2+2x+5＝（x+1）2+4， ∵（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+4≥4，即x2+2x+5≥4， 且当（x+1）2＝0，即x＝﹣1时，x2+2x+5＝4， ∴当x是﹣1时，多项式x2+2x+5的最小值是4， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是关键． 6．已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】， ， ， 即， 故选：A 7．已知a2+b2+2a﹣4b+5＝0，则a+b＝（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．2 【答案】A 【分析】先把等式左边的常数项5拆分成1和4，分别与含有a，b的项组成两个完全平方式，根据完全平方式的非负性，列出关于a，b的方程，求出a，b，从而求出a+b即可． 【详解】解：∵a2+b2+2a﹣4b+5＝0， ∴a2+2a+1+b2﹣4b+4＝0， （a+1）2+（b﹣2）2＝0， ∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0， ∴a+1＝0，b﹣2＝0， a＝﹣1，b＝2， ∴a+b＝﹣1+2＝1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题关键是熟练掌握利用拆项法和分组分解法解决问题． 8．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 【答案】C 【分析】先将原式化简，然后根据偶次方的非负性质，判断出代数式的值总不小于﹣9即可． 【详解】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7 ＝4x2+8x+4+3y2﹣12y+3 ＝4（x2+2x+1）+3（y2﹣4y+1） ＝4（x+1）2+3（y2﹣4y+4﹣4+1） ＝4（x+1）2+3（y﹣2）2﹣9， ∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0， ∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥﹣9． 即不论x、y为什么实数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值总不小于﹣9． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，以及偶次方的非负性质的应用，要熟练掌握．解决本题的关键是掌握配方法． 9．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A． 点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解． 10．若实数a，b，c满足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，则c的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先变形为b2＝a﹣2≥0，可求a≥2，再把2a2﹣4b2﹣c＝0变形后配方可求c的最小值． 【详解】解：∵a﹣b2﹣2＝0， ∴b2＝a﹣2≥0， ∴a≥2， ∵2a2﹣4b2﹣c＝0， ∴2a2﹣4（a﹣2）﹣c＝0， ∴c＝2a2﹣4a+8＝2（a﹣1）2+6， 当a＝2时，c的最小值是2×（2﹣1）2+6＝2+6＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质：偶次方，关键是熟练掌握完全平方公式． 2、 填空题 11．已知代数式x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为 　 　． 【答案】±8． 【分析】根据完全平方式：a2±2ab+b2＝（a±b）2求解即可． 【详解】解：∵代数式x2+mx+16是一个完全平方式， ∴m＝±2×1×4＝±8， 故答案为：±8． 【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键． 12．把方程x2+4x﹣2＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是 　　． 【答案】12． 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上4，接着把方程左边写成完全平方的形式，从而得到m、n的值． 【详解】解：x2+4x﹣2＝0， x2+4x＝2， x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6． 所以m＝2，n＝6， 所以mn＝12． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 13．已知a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，则（a﹣b）2023的值为 　 　． 【答案】﹣1． 【分析】根据完全平方公式求出a＝2，b＝3，进而可以得出答案． 【详解】解：∵a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣6b+9＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0， ∴a＝2，b＝3， ∴（a﹣b）2023＝（2﹣3）2023＝﹣1 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查完全平方公式，非负数的性质，正确求出a＝2，b＝3是解题的关键． 14．已知4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y+16，则4x•32y＝ ． 【答案】256或． 【分析】首先根据完全平方公式将等式变形，然后利用积的乘方的逆运算将2x+5y的值整体代入求解即可． 【详解】解：∵4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y+16 ∴4x2+20xy+25y2﹣12x﹣30y＝16 ∴4x2+20xy+25y2﹣6（2x+5y）＝16 ∴（2x+5y）2﹣6（2x+5y）+9＝25 ∴（2x+5y﹣3）2＝25 ∴2x+5y﹣3＝﹣5或2x+5y﹣3＝5 ∴2x+5y＝﹣2或2x+5y＝8 ∴当2x+5y＝﹣2时，； ∴当2x+5y＝8时，4x•32y＝22x•25y＝22x+5y＝28＝256； 综上所述，4x•32y或256． 故答案为：256或． 【点睛】此题考查了完全平方公式的变形应用，积的乘方的逆运算，解题的关键是将原等式利用完全平方公式正确变形． 15．已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　 　． 【点睛】6． 【分析】本题先将W转化为2xy+2，把已知方程x2﹣xy+y2＝2，化成x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2，根据配方法的应用，确定其最大值和最小值，从而得到M，m的大小即可得解． 【详解】解：∵x2﹣xy+y2＝2， ∴x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2， ∴W＝x2+xy+y2＝2xy+2， ∵3xy＝2xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣2，当且仅当x＝﹣y，即x，y或x，y时等号成立． ∴xy的最小值为，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最小值为，即m． ∵xy＝2xy﹣（x2+y2﹣2）＝2﹣（x﹣y）2≤2，当且仅当x＝y，即x，y或x，y时等号成立． ∴xy的最大值为2，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最大值为6，即M＝6， ∴M+m6＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了配方法的应用，关键是将W转化为2xy+2，再确定xy的最值． 3、 解答题 16．阅读理解：求代数式的最小值. 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1. 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案； （2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是9； （2）解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查代数式配方及根据非负性求最值，解题的关键是配方． 17．阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用“配方法”因式分解：； (2)若，求M的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用： （1）原式常数项化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式求解即可； （2）将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵， ∴当时，有最小值． 18．（1）当x＝　 　时，多项式x2﹣6x+12的最小值为 　 ． （2）当x＝　 时，多项式﹣x2+2x﹣3的最大值为 　 　． （3）当x、y为何值时，多项式2x2﹣4xy+6y2﹣12y+19取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3． （2）1，﹣2； （3）10． 【分析】（1）由配方可知x2﹣6 x+12＝（x﹣3）2+3，然后根据非负数的性质，判断出x的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，然后根据非负数的性质，判断出x的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知2x2﹣4xy+6y2﹣12y+19＝2（x﹣y）2+（2y﹣3）2+10，然后根据非负数的性质，判断出x和y的取值，然后进行计算即可． 【详解】解：（1）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3， ∵（x﹣3）2≥0， ∴当x＝3时，多项式x2﹣6 x+12取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3． （2）﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∵（x﹣1）2≥0， ∴当x＝1时，多项式﹣x2+2x﹣3取最大值，且最大值为﹣2； 故答案为：1，﹣2； （3）2 x2﹣4 x y+6 y2﹣1 2 y+1 9 ＝2（x2﹣2xy+y2）+（4y2﹣12y+9）+10 ＝2（x﹣y）2+（2y﹣3）2+10， ∵（x﹣y）2≥0，（2y﹣3）2≥0， ∴当x﹣y＝0且2y﹣3＝0，即时，多项式2 x2﹣4 x y+6 y2﹣1 2 y+1 9取最小值，并且最小值为10． ，，最小值是10． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 19．先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)已知a，b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． (3)已知有理数x，y满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)， 理由： ∵， ∴ ∴； (3)4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先根据完全平方公式变形后，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）用作差法，结合完全平方公式，比较大小即可； （3）根据题意得到，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值． 【详解】（1） ∵， ∴， ∴的最小值是； （2）略 （3）∵ ∴ ∴当时，最小，最小值为4． 20．阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为 【分析】本题主要考查乘法公式，非负性的运用，理解材料，掌握乘法公式是关键． （1）根据材料提示将原式变形得到，根据非负性得到，，代入求解即可； （2）根据材料提示将原式变形得到，根据非负性得到，，根据三角形三边数量关系即可得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：对式子进行变形得， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：对式子进行变形得， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴，即， ∴当时，的周长取最大值，最大值为． 21．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）． 例2若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值；a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1； ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35； （2）若M＝a2﹣3a+2024，求M的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，求△ABC的周长． 【答案】（1）（a﹣5）（a﹣7）； （2）； （3）12． 【分析】（1）把多项式中的常数项35拆成36﹣1，再把36与前两项组成完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）把多项式中的常数项2024写成的形式，再把前两项与写成一个完全平方式分解因式，最后根据偶次方的非负性求出其最小值即可； （3）把已知等式右边的项移到等号左边，然后利用分组法写成三个完全平方式 【详解】解：（1）a2﹣12a+35 ＝a2﹣12a+36﹣1 ＝（a﹣6）2﹣12 ＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1） ＝（a﹣5）（a﹣7）； （2）M＝a2﹣3a+2024 ， ∵， ∴的最小值为，即M的最小值为； （3）∵a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50， ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）＝0， （a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，（c﹣5）2≥0， ∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0， 解得：a＝3，b＝4，c＝5， ∴△ABC的周长为：a+b+c＝3+4+5＝12． 【点睛】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握利用配方法分解因式和完全平方公式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 配方法的应用 1、 选择题 1．已知x2﹣mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．8或﹣8 D．4或﹣4 2．若将一元二次方程转化为的形式，则b的值为（     ） A．1 B．8 C．9 D．10 3．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2031 D． 4．下列代数式，不论x取何值，它总是正值的是（　　） A．x2﹣4x+4 B．x2+2x+3 C．x2﹣4x+1 D．以上答案都不对 5．当x是多少时，多项式x2+2x+5的最小值是（　　） A．﹣1，4 B．﹣1，5 C．0，5 D．0，4 6．已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．已知a2+b2+2a﹣4b+5＝0，则a+b＝（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．2 8．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（　　） A．总大于7 B．总不小于9 C．总不小于﹣9 D．为任意有理数 9．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 10．若实数a，b，c满足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，则c的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2、 填空题 11．已知代数式x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为 　 　． 12．把方程x2+4x﹣2＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则mn的值是 　　． 13．已知a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，则（a﹣b）2023的值为 　 　． 14．已知4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y+16，则4x•32y＝ ． 15．已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　 　． 3、 解答题 16．阅读理解：求代数式的最小值. 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1. 仿照应用求值： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值. 17．阅读材料：对于某些二次三项式（a、b、c是常数，且），可以运用完全平方公式“配”出一个完全平方式，再进行因式分解，这种分解因式的方法叫“配方法”．例如：因式分解：． 解：原式． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用“配方法”因式分解：； (2)若，求M的最小值． 18．（1）当x＝　 　时，多项式x2﹣6x+12的最小值为 　 ． （2）当x＝　 时，多项式﹣x2+2x﹣3的最大值为 　 　． （3）当x、y为何值时，多项式2x2﹣4xy+6y2﹣12y+19取最小值？并求出这个最小值． 19．先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： (1)代数式的最小值为______； (2)已知a，b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． (3)已知有理数x，y满足，求的最小值． 20．阅读材料：若，求m，n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值． 21．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1用配方法因式分解：a2+6a+8． 原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）． 例2若M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值；a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1； ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： （1）用配方法因式分解：a2﹣12a+35； （2）若M＝a2﹣3a+2024，求M的最小值； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，求△ABC的周长． 学科网（北京）股份有限公司 $