精品解析：广东湛江市第二十八中学2025-2026学年度第二学期八年级数学学科第二次核心素养调研试卷

2025-2026学年第二学期八年级数学第二次核心素养调研 时间：100分钟；满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. B. 6，8，10 C. 4，5，6 D. 1，1， 3. 变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 如图，在平行四边形中，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（　　） A. 16 B. C. 4 D. 6. 一个直角三角形的两直角边长分别为3，4，则第三边长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 5或 7. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且相等 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 9. 如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. ________． 12. 函数y=中，自变量x的取值范围是__________；函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 13. 如图，一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为______米． 14. 如图，在中，是斜边上的中线，E，F分别是，的中点，若，则的长为_______． 15. 如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 三、解答题（一）（本大题共3小题，16，18题各6分，17题9分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 们在探究三角形中位线定理时，可以通过将三角形转化为平行四边形的方式来证明．如图1，已知在中，分别为的中点．请按要求完成下面作图和填空： （1）请在图1中完成尺规作图：在线段右侧作射线，使得，射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，． 证明：点为边中点， ∵在和中， ， ① ∴， ② 且， 点为边上的中点， ∴， ∴． ， ∴ 四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在梯形中也有类似的结论，如图2，在四边形中，，点分别为和中点．类比三角形中位线定理，可得，线段和的数量关系为 ③ 18. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 三、解答题（二）（本大题共3小题，共27分） 19. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 20. 【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 21. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 三、解答题（三）（本大题共2小题，共24分） 22. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： ； ；； ；； ；； （1）推算出 ． （2）用含（是正整数）的等式表示上述面积变化规律； （3）求出的值． 23. 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF． （1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG＝6，求FCG的面积； （3）当DG为何值时，△FCG的面积最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学第二次核心素养调研 时间：100分钟；满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A中的被开方数，无意义，不是二次根式， 选项B中的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项C、D根指数不为2，不符合二次根式的定义． 2. 下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A. B. 6，8，10 C. 4，5，6 D. 1，1， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，若三个正整数满足两较小的正整数的平方的和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、这组数都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴6，8，10这组数是勾股数，符合题意； C、∵， ∴4，5，6这组数不是勾股数，不符合题意； D、1，1，这组数不都是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 3. 变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入中进行求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形得到，，，再由平行线的性质得到，但是对角线不一定互相垂直，即可判断． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 故B、C、D正确，不符合题意，A不一定成立，符合题意， 故选：A． 5. 计算的结果是（　　） A. 16 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题的关键． 6. 一个直角三角形的两直角边长分别为3，4，则第三边长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 5或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意已知两直角边长分别为3，4，勾股定理即可求得第三边即斜边的长 【详解】解：一个直角三角形的两直角边长分别为3，4， 第三边长是 故选C 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 7. 如图，在中，，是斜边的中点，连接，若，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理可求，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是斜边的中点， ． 8. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且相等 C. 菱形的对角线互相垂直平分 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意； B、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，说法正确，不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，说法正确，不符合题意； 故选B． 9. 如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 10. 如图，正方形的边长为4，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况： ①若为的中点，则四边形是正方形； ②若为上任意一点，则； ③点在运动过程中，的值为定值4； ④点在运动过程中，线段的最小值为． 正确的有（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全矩形的性质与判定、正方形的性质与判定、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用相关性质与判定定理是解题的关键． 由题意易得，则有四边形是矩形，然后可得，再结合为的中点可判定①；如图，连接．根据垂线段最短可知当时，最小，即取最小值；再根据等腰三角形的性质可得，进而判定②；根据等角对等边以及矩形的性质可判定③；先根据勾股定理求得，再运用垂线段最短以及等面积法即可判定④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵为的中点， ， ， ∴四边形是正方形，故①正确； 如图，连接． ∵四边形是矩形， ， 当时，最小，即取最小值， ∵， ∴，即，即②错误； ， ． ∵四边形是矩形， ， ，即的值为定值4，故③正确； ， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，． ， ，解得：， ∴线段的最小值为，故④正确． ∴正确的有①③④． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. ________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ． 12. 函数y=中，自变量x的取值范围是__________；函数y=中，自变量x的取值范围是_________． 【答案】 ①. x≠1， ②. x≥3 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：， 根据题意得：x1≠0， 解得：x≠1． ， 根据题意得：x-3≥0， 解得：x≥3． 故答案为：x≠1；x≥3． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 如图，一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，则木杆折断之前的高度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．此题考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一垂直地面的木杆，在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处， ∴折断的部分长为（米）， ∴折断前高度为（米）． 故答案为：． 14. 如图，在中，是斜边上的中线，E，F分别是，的中点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜边上的中线的性质和三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：为中斜边上的中线，， ， ，分别是，的中点， 为的中位线， ． 15. 如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 三、解答题（一）（本大题共3小题，16，18题各6分，17题9分，共21分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】解：（1） ． （2） ． 17. 们在探究三角形中位线定理时，可以通过将三角形转化为平行四边形的方式来证明．如图1，已知在中，分别为的中点．请按要求完成下面作图和填空： （1）请在图1中完成尺规作图：在线段右侧作射线，使得，射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图形中，求证：，． 证明：点为边中点， ∵在和中， ， ① ∴， ② 且， 点为边上的中点， ∴， ∴． ， ∴ 四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在梯形中也有类似的结论，如图2，在四边形中，，点分别为和中点．类比三角形中位线定理，可得，线段和的数量关系为 ③ 【答案】（1） 解：射线即为所求如图所示： （2）①，②，③ 【解析】 【分析】（1）根据基本尺规作图-作两个角相等，作出图形即可得到答案； （2）证明四边形是平行四边形，由平行四边形性质即可得证；将梯形转化为三角形，由前面所证三角形中位线性质即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查三角形中位线的探究，涉及基本尺规作图-作两个角相等、中点定义、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 18. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式与外角和公式，熟练掌握公式是解决本题的关键． 先求出多边形的内角和，再由多边形的内角和公式即可求解边数． 【详解】解：由题意得，多边形的内角和为， ∴ 边数为． 三、解答题（二）（本大题共3小题，共27分） 19. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明过程见解答 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【小问1详解】 证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 20. 【阅读】 我们很早就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式，它们分别是由古希腊的几何家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 （1）已知一个三角形的三边长分别为9，10，11．请分别应用上述两个公式求出三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） （2）已知一个中，，，．求面积． 【答案】（1）；（2）9 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式、二次根式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据求出p，再代入计算即可得解；或将三边代入公式计算即可得解； （2）作于D，则，设，则，由勾股定理得出，求出x的值，从而得出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴ ； ； （2）如图：作于D，则， 设，则， 由勾股定理可得：， ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 21. 如图，将的边延长至点，使，连接,若 ． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）12 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质证明四边形，再根据矩形的判定定理可得结论； （2）根据矩形性质得到，再由勾股定理求得，然后利用平行四边形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形是矩形， ∴，即， ∵，， ∴， ∴平行四边形的面积． 三、解答题（三）（本大题共2小题，共24分） 22. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题： ； ；； ；； ；； （1）推算出 ． （2）用含（是正整数）的等式表示上述面积变化规律； （3）求出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用以及勾股定理的应用． （1）根据题中给出的规律即可得出结论； （2）利用已知可得随着的变化规律，注意观察数据的变化即可； （3）根据先计算前几个三角形面积的平方相加，由数据的变化规律即可解答． 准确找出图形与数据的变化规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【小问2详解】 ， ， ， ； 【小问3详解】 ． 23. 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF． （1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG＝6，求FCG的面积； （3）当DG为何值时，△FCG的面积最小． 【答案】（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形， ∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2， ∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL）， ∴∠DHG＝∠HEA， ∵∠AHE+∠HEA＝90°， ∴∠AHE+∠DHG＝90°， ∴∠EHG＝90°， ∴四边形HEFG为正方形； （2）1； （3）当DG＝时，△FCG的面积最小为7−． 【解析】 【分析】（1）利用菱形和矩形的性质得到∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，进而利用HL证得 Rt△AHE≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到∠DHG＝∠HEA，证得∠EHG＝90°，即可得证； （2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有∠HEG＝∠FGE，进而得到∠AEH＝∠MGF，再结合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，进而可求三角形面积； （3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而得到当DG＝时，△FCG的面积最小.． 【详解】（1）略 （2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE， ∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠MGE， ∵HE∥GF， ∴∠HEG＝∠FGE， ∴∠AEH＝∠MGF， 在△AHE和△MFG中， ∠A＝∠M＝90°， HE＝FG， ∠AEH＝∠MGF， ∴△AHE≌△MFG， ∴FM＝HA＝2， 即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2， 因此SΔFCG=×FM×GC=×2×(7−6)=1 （3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x， 在△AHE中，AE≤AB＝7， ∴HE2≤53， ∴x2+16≤53， ∴x≤ ∴S△FCG的最小值为7−，此时DG＝， ∴当DG＝时，△FCG的面积最小为7−． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质以及菱形的性质，还涉及了勾股定理以及最值问题，难度较大，熟练掌握相关性质定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $