2.3 一元二次方程的根与系数的关系 预习自测2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到跨情境应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|根与系数基本计算、判别式应用|单选1-5直接考查两根和积，填空8-9强化概念辨析| |能力提升|逆向构造方程、实际问题转化|单选6-7结合错解分析与新定义运算，填空10-12渗透函数思想| |综合应用|跨知识整合、探究性问题|解答15-17设计邻根方程、配方法几何直观及换元法，发展模型意识与创新思维|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 预习自测 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．方程的根的情况是（　　） A．有两个不等实根 B．有两个相等实根 C．无实根 D．以上三种情况都有可能 3．已知关于的方程的两根为，则以为两根的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的两个实数根分别是，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 6．小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是4和1；小敏在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．则原来的方程是（   ） A． B． C． D． 7．对于实数a，b，定义新运算，则下列结论正确的有（　　） ①； ②当时， ； ③； ④若，是一元二次方程的两个根，则或﹣17； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．已知关于x的一元二次方程有一个根为1，则另一个根为________． 9．一元二次方程的二个根分别是和，这个方程的一般形式可以是______． 10．关于x的方程有两个不相等的实数根，若，则的最大值是________． 11．已知两直角边的长度恰好是一元二次方程的两个实数根，那么的面积是______． 12．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为__________． 三、解答题 13．设，是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)； (2)． 14．甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． （1）求a，b的值； （2）若关于x的一元二次方程a﹣bx+m＝0两实数根为，，且满足7﹣＝6，求实数m的值． 15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． (1)方程_______________（选填“是”或“不是”）“邻根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程是常数，且是“邻根方程”，令，试求的最大值． 16．【综合与实践】 七年级下册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，九年级的小聪同学类比所学知识，想到用一个矩形通过割、拼、补成为一个正方形，完成了一元二次方程的配方过程，具体如下： 配方的过程（如图①） （如图②、③） （如图④） （如图⑤） 割、拼、补的过程 【初步应用】 （1）如图⑥是用矩形割、拼、补对方程配方的结果，则___________； 【巩固应用】 （2）由图⑥方程配方可得___________； 【综合应用】 （3）如图⑦，用面积为12的正方形剪去一个边长为（）的小正方形，类比以上用矩形割、拼、补成正方形完成配方的过程，你能猜想这是对哪个一元二次方程进行配方吗？若该方程的两根满足，请求出的值． 17．【阅读材料1】 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，经过运算，原方程的解是，，，． 我们将上述解题的方法叫换元法． 【阅读材料2】 已知实数，满足，且，显然m，n是方程两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 解方程，可设__________，原方程可化为__________． 经过运算，原方程的解是__________． (2)间接应用： 已知实数，满足，，且，求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A A C C C B 1．【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 2．【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】运用根的判别式的情况，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】先利用根与系数的关系求得，则新方程的两个根为再逐项判断即可． 【详解】解：A．由根与系数的关系可得方程的，符合题意； B．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； C．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意； D．由根与系数的关系可得方程的，不符合题意． 4．【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．根据根与系数的关系即可求出与的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别是， ∴，， ∴一次函数解析式为：， 故一次函数的图象一定不经过第三象限． 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 6．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小亮在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是4和1； ∴， 又∵小敏写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是1和2．． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项不符合题意； C. 中，，，故该选项符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】整式四则混合运算、新定义下的实数运算、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据新定义的计算公式分别计算判断． 【详解】解：①，正确； ②当时，， ∴，故错误； ③，故错误； ④若，是一元二次方程的两个根，则，， ， 故或﹣17；故正确； 综上分析可得，正确的有：①④， 故选：B． 【点睛】此题考查了新定义运算，正确理解计算公式，掌握有理数混合运算法则，整式混合运算法则，一元二次方程根与系数的关系式是解题的关键． 8．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，两根之和为．设方程的另一个根为，利用根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得： ， 解得， 即方程的另一个根为． 9．【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系分析求解即可． 【详解】解：设该方程为， ∵该方程的两根分别为和， ∴ ， ， ∴，． 当时，该一元二次方程为． 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记两根之和为，两根之积为是解题的关键． 10．【答案】2 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，用配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可． 【详解】解：由方程有两个不相等的实根，， 可得，，， ∵，可得，，即， 化简得∶， 则， 故最大值为2． 故答案为：2． 11．【答案】6 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】设两直角边的长度分别为，n，则，n是方程的两个实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：设两直角边的长度分别为，n， 由题意可得：，n是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，则，，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键． 12．【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、通过对完全平方公式变形求值、分式的求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据新定义运算列出一元二次方程，再结合根与系数的关系求出和的值，最后通过对完全平方公式变形求出分式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ； （2）∵， ∴ ． 14．【答案】1）a=7，b=-2；（2）-5． 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据题意，-12-b=-10是正确的，5a-20=15是正确的，求解即可； （2）代入a，b的值得到7+2x+m＝0，运用根与系数关系定理，综合计算即可． 【详解】（1）∵甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为， ∴-12-b=-10是正确的，5a-20=15是正确的， 解得a=7，b=-2； （2）把a=7，b=-2代入一元二次方程a﹣bx+m＝0得到7+2x+m＝0， ∵一元二次方程a﹣bx+m＝0两实数根为，， ∴+=即7+7=-2， =即m=7×， ∵7﹣＝6， ∴7＝6+， ∴6++7=-2， 解得= -1，7＝5， ∴m= -5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，一元二次方程根与系数关系定理，正确理解方程组的解，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键． 15．【答案】(1)不是 (2)或 (3)当时，有最大值，最大值为16 【知识点】绝对值方程、配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． （1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出最大值； 【详解】（1）解：∵， ， 解得：， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ， ， ∴或； （3）解：∵关于的方程是常数是邻根方程， 设两个根分别为， ， 由韦达定理：， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为16， 答：的最大值为16． 16．【答案】（1）；（2）；（3），2 【知识点】配方法的应用、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查配方法的应用、根与系数的关系，正确理解题意，并熟知根与系数的关系是解题关键． （1）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （2）根据题意所给的方法对方程进行配方即可； （3）根据题意所给的方法对方程进行配方即可，以此可写出是对哪个一元二次方程进行配方，再将方程变形为的形式，根据根与系数的关系得到，，因此可得到关于a的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴（如图⑥）， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）由图⑦可得：， ∴， ∴， ∴这是对一元二次方程进行配方，方程可变形为， ∵，为方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴． 17．【答案】(1)，，，； (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、换元法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查的是换元法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）设，原方程可化为，再解方程求解y，再分类求解x的值即可； （2）先判断，可得，是方程的两个根，可得，，再利用完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，可设，原方程可化为， ∴， 解得：，， 当，则， 解得：， 当时，则，方程无解， ∴原方程的解为：，； （2）∵的两个根为，，则， ∴，不互为相反数， ∴， ∵实数，满足，，且， ∴， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $