2.4.1　圆的标准方程 同步练习 2026-2027学年二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习以“圆的标准方程”为核心，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识进阶，培养数学运算、几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆的标准方程概念、圆心半径求解、位置关系判断|单选为主，直接应用公式，如判断点与圆位置关系| |中档|参数范围、多交点问题、简单几何应用|多选与填空结合，涉及分类讨论，如两坐标轴交点的圆方程| |提升|三角形外接圆、圆系问题、代数最值|解答题为主，综合几何与代数，如矩形外接圆方程及最值计算|

2.4.1　圆的标准方程 1.(2025高二上·惠州期末) 若直线与圆无公共点，则点与圆的位置关系是（　　） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．以上都有可能 2.方程（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0）表示的圆（　　） A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于直线x－y＝0对称 D.关于直线x＋y＝0对称 3.若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的值为（　　） A.－1 B.1 C.0 D.2 4. (2025高二上·常德期末) 以点A(2,3)为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为 （　　） A.  B.  C.  D.  5.（多选）以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的标准方程可能为（　　） A.x2＋（y－4）2＝20 B.（x－4）2＋y2＝20 C.x2＋（y－2）2＝20 D.（x－2）2＋y2＝20 6.（多选）（2024·东莞月考）已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心C在直线y＝0上，则（　　） A.点M1（2，3）在圆内 B.点M1（2，3）在圆外 C.点M2（2，4）在圆内 D.点M2（2，4）在圆外 7.若点P（5a＋1，12a）在圆（x－1）2＋y2＝1的外部，则实数a的取值范围为　　　　. 8.写出符合条件：圆心在直线y＝x＋1上，且与x轴相切的一个圆的标准方程为　　　　. 9.设点P（x，y）为圆（x－2）2＋（y－1）2＝1上任一点，点A（－1，5），则｜AP｜的最小值是　　　　. 10.（2024·洛阳月考）已知A（3，5），B（－1，3），C（－3，1）为△ABC的三个顶点，O，M，N分别为边AB，BC，CA的中点，求△OMN的外接圆的方程，并求这个圆的圆心和半径. 11.已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为（　　） A.（x＋2）2＋（y－3）2＝13 B.（x－2）2＋（y＋3）2＝13 C.（x－2）2＋（y＋3）2＝52 D.（x＋2）2＋（y－3）2＝52 12.（多选）若圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（　　） A.x2＋y2＝5　　　　 B.（x－1）2＋y2＝5 C.x2＋（y＋1）2＝5 D.（x－1）2＋（y＋1）2＝5 13.（2024·泰安质检）已知三点A（3，2），B（5，－3），C（－1，3），以点P（2，－1）为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则这个圆的标准方程为　　　　. 14.已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T（－1，1）在AD边所在的直线上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的标准方程. 15.（多选）（2024·珠海月考）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），则下列说法正确的是（　　） A.无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点（3，0） C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个 D.所有圆Ck的面积均为4π 16.已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1，点A（0，－1），B（0，1），设P是圆C上的动点，令d＝｜PA｜2＋｜PB｜2，求d的最大值和最小值. 2.4.1　圆的标准方程 1.C　圆的圆心为，半径为，因为直线与圆无公共点，则，所以，，因此，点在圆内. 2.D　易得圆心C（－a，a），即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D. 3.B　由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝0，解得a＝1. 4.A　解：以点A(2,3)为圆心，且与x轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是. 5.AD　令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），｜AB｜＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20. 6.AD　因为圆过A，B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，直线AB的斜率为－1，线段AB的中点坐标为（2，3），故线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0，又圆心在直线y＝0上，因此圆心坐标是方程组的解，即圆心坐标为C（－1，0），半径r＝＝，故所求圆的标准方程为（x＋1）2＋y2＝20.点M1（2，3）到圆心的距离为＝＜r，所以点M1在圆内，点M2（2，4）到圆心的距离为＝＞r，所以点M2在圆外，故选A、D. 7.∪ 解析：∵点P在圆外，∴（5a＋1－1）2＋（12a）2＞1，169a2＞1，a2＞，∴a＞或a＜－. 8.（x－1）2＋（y－2）2＝4（答案不唯一）　解析：设圆心为（1，2），满足圆心在直线y＝x＋1上，半径为2，满足圆心（1，2）到x轴的距离等于半径，所以圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝4. 9.4　解析：点A（－1，5）与圆（x－2）2＋（y－1）2＝1的圆心（2，1）的距离为＝5，则点A在圆外，所以｜AP｜min＝5－1＝4. 10.解：因为点O，M，N分别为AB，BC，CA的中点且A（3，5），B（－1，3），C（－3，1）， 所以O（1，4），M （－2，2），N（0，3）. 因为所求圆经过点O，M，N， 所以设△OMN外接圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 把点O，M，N的坐标代入圆的方程得解得 所以圆的方程为（x＋）2＋（y－）2＝. 该圆的圆心为（－，），半径为. 11.B　如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13. 12.AD　∵圆上的点（2，1）关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为（a，－a），则由（2－a）2＋（1＋a）2＝5，解得a＝0或a＝1，∴圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5或x2＋y2＝5.故选A、D. 13.（x－2）2＋（y＋1）2＝13 解析：要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是｜PA｜，｜PB｜，｜PC｜的中间值.因为｜PA｜＝，｜PB｜＝，｜PC｜＝5，所以｜PA｜＜｜PB｜＜｜PC｜，所以圆的半径r＝｜PB｜＝.故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13. 14.解：（1）因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3. 又点T（－1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1），即3x＋y＋2＝0. （2）由解得点A的坐标为（0，－2）， 因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M（2，0）， 所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心. 又r＝｜AM｜＝＝2， 所以矩形ABCD外接圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝8. 15.ABD　易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确. 16.解：设P（x，y）， 则d＝｜PA｜2＋｜PB｜2＝2（x2＋y2）＋2. 因为圆心C的坐标为（3，4）， 所以｜CO｜2＝32＋42＝25， 所以（5－1）2≤x2＋y2≤（5＋1）2. 即16≤x2＋y2≤36. 所以d的最小值为2×16＋2＝34. 最大值为2×36＋2＝74. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $