周周练6 圆的方程及应用(范围：2.4～2.5)-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 本练习以“圆的方程及应用”为核心，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的递进，培养数学抽象、几何直观与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的方程、直线与圆位置关系|如直径式方程求解（题1）、圆心在直线上的应用（题2），夯实概念理解| |提升层|充要条件判断、弦长计算、轨迹问题|如结合距离公式的弦长问题（题3）、含绝对值的曲线分析（题8），深化逻辑推理| |综合层|实际应用、存在性问题|如轮船监测时长计算（题5）、两圆位置关系及公共弦（题13），体现模型观念与应用意识|

周周练6　圆的方程及应用(范围：2.4～2.5) (满分：100分　时间：80分钟) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知点A(1，1)，B(5，3)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　) A.(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝1 C．(x－3)2＋(y－2)2＝5 D．(x－3)2＋(y－2)2＝1 解析：选C.因为AB为直径，所以圆心为(3，2)，半径为＝，所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝5. 2．(2026·合肥期中)若直线ax＋2by－2＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则a＋b的值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：选D.由题意知圆心(2，1)在直线ax＋2by－2＝0上，即2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1. 3．“a＝3”是“圆(x－a)2＋y2＝9截直线x－y＋1＝0所得弦长为2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.圆(x－a)2＋y2＝9的圆心为(a，0)，半径为3，若弦长为2，则圆心到直线的距离为d＝＝2，由点到直线的距离公式可得d＝＝2，即|a＋1|＝4，解得a＝－5或a＝3，所以“a＝3”是“圆(x－a)2＋y2＝9截直线x－y＋1＝0所得弦长为2”的充分不必要条件． 4．(2026·黔东南月考)已知实数x，y满足y＝，则x－y的最大值是(　　) A．5 B．4 C．3 D．7 解析：选A. y＝可化为(x－2)2＋y2＝9(y≥0)， 设x－y＝t， 则y＝x－t.　 由图可知，当直线y＝x－t过点(5，0)时，t取得最大值5. 5．如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东方向30 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北方向40 km的B处岛屿，速度为28 km/h.这艘轮船能被海监船监测到的时长为(　　) A.1 h B．0.75 h C．0.5 h D．0.25 h 解析：选C. 如图，以O为原点，正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知A(30，0)，B(0，40)，　 圆O的方程为x2＋y2＝252，半径r＝25， 直线AB的方程为＋＝1， 即4x＋3y－120＝0， 设O到AB的距离为d， 则d＝＝24＜25， 故直线与圆相交，所以轮船能被海监船监测到， 如图，设直线与圆O的交点为M，N，取MN的中点H，连接OH，ON，则OH⊥MN， 所以|MN|＝2＝2＝2＝14， 设监测时长为t h，则t＝＝， 故轮船能被海监船监测到的时长是0.5 h． 6．(2026·厦门期末)已知点M，N在圆x2＋y2－2y－3＝0上，点P在直线x－y－3＝0上，点Q为MN中点，若|MN|＝2，则|PQ|的取值范围是(　　) A．[1，3] B．[，3] C．[0，4] D．[1，＋∞) 解析：选D.由题意可得圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝4， 设圆心为C，半径为r，则C(0，1)，r＝2， 所以由垂径定理可得|CQ|＝＝1， 故点Q在以C(0，1)为圆心，半径r1＝1的圆上， 又因为圆心C到直线x－y－3＝0的距离d＝＝2＝r， 故直线x－y－3＝0与圆x2＋(y－1)2＝4相切， 又因为点P在直线x－y－3＝0上， 结合图象可知，|PQ|的取值范围为[r－r1，＋∞)，即[1，＋∞). 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．(2026·咸阳期中)已知直线l：y＝tx－2(t∈R)，圆C：x2＋y2＋4x－4＝0，则下列说法正确的有(　　) A．t＝－1时，圆C关于直线l对称 B．t＝1时，直线l与圆C有两个公共点 C．存在t∈R，使得直线l与圆C没有公共点 D．若直线l被圆C截得的弦长为，则t＝－5±2　 解析：选AD.对于A，当t＝－1时，直线为y＝－x－2，而圆C的方程x2＋y2＋4x－4＝0⇒(x＋2)2＋y2＝8，可知圆心为C(－2，0)， 此时点C(－2，0)在直线y＝－x－2上，所以圆C关于直线l对称，故A正确； 对于B，当t＝1时，直线为y＝x－2，此时圆心到直线的距离为＝2， 由于圆C的半径为2，所以直线l与圆C相切，只有一个公共点，故B错误； 对于C，要使得直线l与圆C没有公共点，则圆心到直线的距离为＞2， 此时不等式(t－1)2＜0无解，所以不存在t∈R，使得直线l与圆C没有公共点，故C错误； 对于D，由直线l被圆C截得的弦长为， 圆心到直线的距离为， 得2＝， 化简得t2＋10t＋1＝0， 解得t＝－5±2，故D正确． 8．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线C：(|x|－1)2＋(|y|－1)2＝8就是一条形状优美的曲线，则(　　) A.曲线C上两点间距离的最大值为6 B．若点P(a，a)在曲线C内部不含边界，则－3＜a＜3 C．若曲线C与直线y＝x＋m有公共点，则－6≤m≤6 D．若曲线C与圆x2＋y2＝t2(t＞0)有公共点，则≤t≤3 解析：选ABC.当时，曲线C：(x－1)2＋(y－1)2＝8，曲线C是圆心为A(1，1)，半径r＝2的圆落在第一象限及x轴正半轴和y轴正半轴的部分； 当时，曲线C：(x＋1)2＋(y－1)2＝8，曲线C是圆心为B(－1，1)，半径r＝2的圆落在第二象限及x轴负半轴的部分； 当时，曲线C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝8，曲线C是圆心为E(－1，－1)，半径r＝2的圆落在第三象限的部分； 当时，曲线C：(x－1)2＋(y＋1)2＝8，曲线C是圆心为D(1，－1)，半径r＝2的圆落在第四象限及y轴负半轴的部分． 作曲线C的图形如图， 其中A(1，1)，B(－1，1)，E(－1，－1)，D(1，－1). 对于A，因为曲线C在第一象限内的点到原点O的距离的最大值为|AO|＋r＝3，所以曲线C上两点间距离的最大值为6，故A正确； 对于B，因为点P(a，a)在曲线C内部， 所以点P0(|a|，|a|)在(x－1)2＋(y－1)2＝8的内部，因此(|a|－1)2＋(|a|－1)2＜8，解得0≤|a|＜3，即－3＜a＜3，故B正确； 对于C，由曲线C的图形知，要曲线C与直线y＝x＋m有公共点， 则点B到直线y＝x＋m的距离d1≤r或点D到直线y＝x＋m的距离d2≤r， 因此≤2或≤2，解得－2≤m≤6或－6≤m≤2，所以－6≤m≤6，故C正确； 对于D，曲线(|x|－1)2＋(|y|－1)2＝8与坐标轴的交点为(0，±(1＋))，(±(1＋)，0)，当圆x2＋y2＝t2(t＞0)过点(0，±(1＋))，(±(1＋)，0)时，t最小，最小值为1＋，由曲线C的图形及选项A知，要使曲线C与圆x2＋y2＝t2(t＞0)有公共点，则tmax＝3，故＋1≤t≤3，故D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．已知直线l与圆(x－1)2＋y2＝4交于不同的两点A，B.若AB的中点为(2，1)，则|AB|＝________． 解析：设圆心为C，圆的半径为r， 则C(1，0)，r＝2， 设AB的中点为M(2，1)，则CM⊥AB， 而|CM|＝＝， 故|AB|＝2＝2. 答案：2 10．过点P(－1，－3)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，则l的方程为________________． 解析：当l斜率不存在时，l：x＝－1，圆O的圆心(0，0)到l：x＝－1的距离为1，故此时l是圆O：x2＋y2＝1的切线，符合题意； 当l斜率存在时，设l：y＝k(x＋1)－3，即kx－y＋k－3＝0，则圆O的圆心(0，0)到l的距离d＝＝1， 解得k＝，则l：4x－3y－5＝0. 综上所述，l的方程为x＝－1或4x－3y－5＝0. 答案：x＝－1或4x－3y－5＝0 11．已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为________． 解析：以AB为直径的圆O的方程为x2＋y2＝m2，圆心为O(0，0)，半径为r1＝m. 圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝1的圆心为C(4，3)，半径为r2＝1. 要使圆C上存在点P，使得∠APB＝90°， 则圆O与圆C有公共点， 所以|r1－r2|≤|OC|≤r1＋r2， 即|m－1|≤≤m＋1， 所以解得4≤m≤6， 所以m的最大值为6. 答案：6 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，且B(0，0)，D(3，0). (1)求点A的轨迹T的方程；(5分) (2)设AC所在直线与轨迹T的另一个交点为E，当△ABD面积最大且A在第一象限时，求|AE|.(8分) 解：(1)设A(x，y)，易知|AB|＝2|AD|， 即＝2， 整理可得(x－4)2＋y2＝4，又因为A，B，C三点不共线，所以y≠0，即点A的轨迹T的方程为(x－4)2＋y2＝4(y≠0). (2) 如图所示，由题意可得|BD|＝3，当点A到x轴距离最大时， 即纵坐标最大时满足题意，此时A(4，2)， 所以kAC＝＝2，AC所在直线方程为2x－y－6＝0. 圆心(4，0)到直线AC的距离d＝， 又圆的半径r＝2，可得|AE|＝2＝ . 13．(本小题满分15分)(2026·静海期中)已知圆C1经过点A(0，0)，B(1，1)，且圆心在3x＋4y－5＝0上，圆C2：x2＋(y－2)2＝4. (1)求圆C1的标准方程；(7分) (2)判断圆C1与圆C2的位置关系并说明理由，若相交，求两圆公共弦所在直线的方程和公共弦长．(8分) 解：(1)AB的中点坐标为(，)， 且直线AB的斜率为kAB＝＝1， 故线段AB的垂直平分线l的斜率为kl＝－1， 因此线段AB的垂直平分线l的方程为y－＝－1×(x－)， 即l：y＝－x＋1，联立 解得即圆心C1(－1，2). 又圆C1的半径r1＝|AC1|＝，故圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5. (2)圆C1与圆C2的位置关系为相交． 由题可知，圆C2的圆心C2(0，2)，半径r2＝2. 故|C1C2|＝＝1， 又－2＝|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2＝＋2，故两圆的位置关系为相交． 设交点为M，N， C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝5， C2：x2＋(y－2)2＝4， 两圆方程作差得x＝0，即两圆的公共弦MN所在直线的方程为x＝0. 又圆心C1(－1，2)到直线MN：x＝0的距离为1，则公共弦长|MN|＝2＝4. 14．(本小题满分15分)(2026·潍坊期中)设圆C的圆心C在直线x＋y－3＝0上，且点(2，)和(4，)均在圆C上． (1)求圆C的标准方程；(4分) (2)若直线l：y＝kx与圆C相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，求直线l的方程；(5分)　 (3)已知点M(－1，0)，P为圆C上任意一点，试问在x轴上是否存在定点N(异于点M)，使得为定值？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．(6分) 解：(1)设圆C的圆心坐标为(a，b)，半径为r(r＞0)， 则解得 所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝3. (2)由(1)可知圆C的半径为，所以等边三角形ABC的边长为， 高为＝， 所以圆心C到直线l：y＝kx的距离为， 即＝， 解得k＝±， 所以直线l的方程为y＝x或y＝－x. (3)假设存在定点N，设N(n，0)(n≠－1)， 设P(x，y)，则y2＝3－(x－3)2＝－x2＋6x－6， 则＝ ＝ ＝， 当＝＞0，即n＝(n＝－1舍去)时，为定值，且定值为， 故存在定点N，使得为定值，点N的坐标为(，0). 学科网（北京）股份有限公司 $