精品解析：北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习（二）

北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习（二） 教学班____________ 姓名____________ 成绩____________ 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 5. 在中，，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 120° 6. 已知，则（ ） A. 为奇函数，且在上单调递增 B. 为奇函数，且在上单调递减 C. 为偶函数，且在上单调递增 D. 为偶函数，且在上单调递减 7. 已知是实数，则函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 8. “”是“为第一或第三象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 定义在上的函数满足．当时，，当时，．则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为_____. 12. 若，，则____________． 13. 已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______． 14. 如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度大小之比为__________．若，则关于t的一个函数解析式为__________． 15. 已知函数的定义域为，值域为，函数具有下列性质：（1）若，，则；（2）若，，则．下列结论正确的是__________． ①函数可能是奇函数； ②函数可能是周期函数； ③存在，使得； ④对任意，都有． 三、解答题（共85分） 16. 在中，. （1）求的大小； （2）若，，求的面积. 17. 已知，其中，，，的部分图象如下图所示： （1）求的解析式和单调增区间； （2）当时，若函数恰有两个不同的零点和，直接写出的取值范围． 18. 设函数（，），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一． （1）求函数的解析式； （2）求在区间上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：的最大值为； 条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． 19. 椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 20. 已知函数（）． （1）函数在定义域内无极值，求的取值范围； （2）函数（），有三个不同的极值点，，，，求的取值范围． 21. 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习（二） 教学班____________ 姓名____________ 成绩____________ 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式后结合并集的运算即可求解. 【详解】解得,即集合,且集合, 所以. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，化简不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集. 【详解】由题意，不等式，可化为，解得， 即不等式的解集为. 故选：D. 3. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A、D：取特殊值判断；对于B：利用不等式的可加性判断；对于C：利用幂函数的单调性即可判断. 【详解】A选项，取时，不等式不成立； B选项，不等式两边加上同一个数，不等号方向不发生改变，故错误； C选项，根据幂函数在R上为增函数知，故正确； D选项，取，不等式不成立，故错误. 故选:C. 4. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 5. 在中，，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合大边对大角，得到的范围，进而求得. 【详解】∵，，， ∴根据正弦定理，得： ， 又，得到，即， 则或． 故选：C 6. 已知，则（ ） A. 为奇函数，且在上单调递增 B. 为奇函数，且在上单调递减 C. 为偶函数，且在上单调递增 D. 为偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，令， 则可转化为， 可得，即在上单调递增， 即在上单调递增，而， 可得， 则为奇函数，故A正确. 7. 已知是实数，则函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由实数的取值范围，讨论函数的最值和周期，对选项中的图象进行判断. 【详解】当时，，且的最小值为正数，故A正确； 当时，，且的最小值为负数，故B正确； 当时，，故C正确； 在选项D中，由振幅得，则，而由图象知，故D错误. 故选：D. 8. “”是“为第一或第三象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解. 【详解】因为时，则， 所以为第一或第三象限角， 反之，当为第一或第三象限角时，，所以， 综上，“”是“为第一或第三象限角”的充分必要条件， 故选：C 9. 定义在上的函数满足．当时，，当时，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得函数的周期为，再结合函数周期求解一个周期内的函数值，最后利用周期性求解即可. 【详解】因为，所以，即的周期. 因为，所以，利用其计算一个周期内函数值： ，,， ，,, 所以 因为，又. 所以 10. 已知函数在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系中，作出函数的图象，即可根据交点个数列不等式求解. 【详解】由可得， 在同一坐标系中作出的图象如下： 要使在上恰有4个不同的零点，则 且，解得， 故选：B 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零、分母不为零可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 12. 若，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数关系求得，再结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以 13. 已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意，求出的一个值后代入验证即可求解. 【详解】的图象关于直线对称， ，即，. 令，得， ， 符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图所示，齿轮A和齿轮B相互啮合（齿的尺寸忽略不计），其半径之比为，当时，齿轮A上的点和齿轮B上的点均与坐标原点重合．当两齿轮旋转时，和在相同时间内运动的弧长相等，则，运动的角速度大小之比为__________．若，则关于t的一个函数解析式为__________． 【答案】 ①. （或2） ②. （答案不唯一）． 【解析】 【分析】做圆周运动的质点在相同时间内运动的弧长相等，通过计算可求的角速度之比，利用待定系数法设，利用周期、振幅、相位等概确定三角函数表达式中的参数即可求得结果. 【详解】因为做圆周运动的质点在单位时间t内运动经过的弧长，且和在相同时间内运动的弧长相等，所以和在运动的角速度大小之比等于运动半径之比的倒数，即， 所以周期之比为二者的旋转方向相反． 设，由可知． 又因为的值域为，所以齿轮A的半径为1，的取值范围为． 所以，解得． 当时，，得， 所以．． 故答案为：（或2）；（答案不唯一）． 15. 已知函数的定义域为，值域为，函数具有下列性质：（1）若，，则；（2）若，，则．下列结论正确的是__________． ①函数可能是奇函数； ②函数可能是周期函数； ③存在，使得； ④对任意，都有． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用函数奇偶性、周期性的定义以及函数所满足的两个性质对①②③④逐一分析可解. 【详解】对①：若为奇函数，则， 令，由（2）知，而与（1）矛盾，所以①错误. 对于②，令，，，则是周期函数， 则的值域为，任取， 则，，则，，符合题意，故②正确； 对于③，令，由题知，则， 即存在，使得，所以， 同理，均属于， 故存在，，使得，， 所以，由性质（1）可得，使得，故③正确； 对④：令，则由（1）知，从而， 所以，所以④正确. 三、解答题（共85分） 16. 在中，. （1）求的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将边化为角后，借助同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助余弦定理与面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由，则， 由，则，故， 即，又，故； 【小问2详解】 ， 则，故. 17. 已知，其中，，，的部分图象如下图所示： （1）求的解析式和单调增区间； （2）当时，若函数恰有两个不同的零点和，直接写出的取值范围． 【答案】（1），单调增区间为，； （2）或。 【解析】 【分析】（1）根据周期求得，再根据最值得到，代入最低点坐标求得，从而得到，再利用整体法求得其单调增区间； （2）转化为直线与有两个交点即可. 【小问1详解】 记函数的最小正周期为，由图知， 所以， 因为最低点为，所以， 因为，所以，， 又因为，所以， 所以， 由， 解得， 所以单调增区间为， 【小问2详解】 令，即， 则直线需要与，的图象有两个交点， 因为， ， ， ， 则由图知：或． 18. 设函数（，），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一． （1）求函数的解析式； （2）求在区间上的最大值和最小值． 条件①：； 条件②：的最大值为； 条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． 【答案】（1）选择条件①③或选择条件②③， （2）有最大值，有最小值 【解析】 【小问1详解】 若选择条件①③： 由，可得，即， ， 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得， 所以，解得， 所以； 若选择条件②③： 由题意可得， 的最大值为，则， 所以， 由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得， 所以，解得，所以； 【小问2详解】 当时，， 则当，即时，有最大值； 当，即时，有最小值． 19. 椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的右顶点为，点的坐标为，过点的直线与椭圆交第一象限于点，与线段交于点．若三角形的面积是三角形面积的5倍（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】首先根据三角形面积公式确定，【算法一】设直线方程为，联立直线和直线求得点的坐标，思路一，根据求点的坐标，代入椭圆方程，即可求解；思路二，直线与椭圆方程联立，求点的坐标，再根据，即可求解；【算法二】设直线方程为，，后面的过程同【算法一】. 【小问1详解】 由题意得：， 所以 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率存在且为正， 直线方程为， 因为三角形的面积是三角形面积的5倍 ∴ ∵ ∴ 又由题意可知、均在轴右侧，∴ 【算法一】设直线方程为，由，解得 ， 思路一： 所以 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 思路二：由得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即． 【算法二】设直线方程为， 由，解得， 思路一：． 所以由 得 因为点点在椭圆上，故将点坐标代入椭圆方程整理得： ∴ 所以直线方程为，即．15分 思路二：得， 显然成立 ∵ ∴ ∴ 整理得： ∴ 所以直线方程为，即 20. 已知函数（）． （1）函数在定义域内无极值，求的取值范围； （2）函数（），有三个不同的极值点，，，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将原函数无极值等价转化为其导函数的分子在定义域内无变号零点，再通过求该分子函数的最小值来逆推参数的取值范围. （2）将存在三个极值点转化为导函数存在三个变号零点，综合运用二次函数判别式与韦达定理、不等式放缩法构造隐零点以及函数的代数对称性质，确定三个零点的位置从而求解参数范围. 【小问1详解】 （）， 令（）， 因为函数在定义域内无极值， 所以函数无变号零点，即函数在上无变号零点． 由，得， － 0 ＋ 极小 所以的极小值为， 注意到 由上可知，，． 【小问2详解】 （，）， （，）， 令，则， 因为有三个不同的极值点，即有三个变号零点， 所以必有两个不相等的正根， 所以方程必有两个不相等的正根， 由得． 记为，则，且， 0 0 极小 极大 因为，且，所以必有，且为极小值点， ， 当时， 所以，即 所以 取，则， ，故，又时， 因为且，所以，所以， 因为在单调递减， 由零点存在性定理得在上有唯一零点，为极大值点． 又 必有为极大值点． 1 0 0 0 极大 极小 极大 综上，当且仅当时，有三个不同的极值点，即的取值范围为． 21. 若集合，其中，，…，为非空集合，，则称集合为集合的一个划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集的一个2划分，且满足对任意，任意，都有，判断命题“中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．”的真假，并说明理由． （3）设集合，对于集合的任意一个3划分，证明：存在，存在，，使得． 【答案】（1），， （2）该命题为假命题，理由如下： 假设命题为真，则不妨设中元素的最大值为，中元素的最小值为，由题可知：，所以， 因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即命题不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以，，中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设，，，，，，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么，，，，， 又因为，，，，， 所以，，，，， 则，中必有一个集合至少包含，，，，中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：，，， 对任意，，存在，， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，即存在，存在，，使得． 【解析】 【分析】（1）根据题意，3 个元素拆成两非空子集，只能是 “1 个元素 + 2 个元素” 的组合，即可求解； （2）采用反证法，假设不同集合分别有最大值和最小值，则可推导出有理数不符合题意，即可证明； （3）利用反证法，假设任意集合内任意两数之差都不在这个集合内，以及元素与集合之间的关系即可证明； 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为，， （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $