北京市昌平区第一中学2026-2027学年度第一学期高三年级9月学情调研数学试题

**基本信息** 高三9月学情调研试卷，分选择（10题40分）、填空（5题25分）、解答（6题85分），结构合理，注重基础巩固与能力提升，通过解答题综合考查推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|高频基础考点|注重抽象能力与几何直观| |填空题|5/25|核心概念应用|强化符号意识与空间观念| |解答题|6/85|综合知识体系|突出推理能力与模型意识，梯度设计适配月考学情|

北京市昌平区第一中学2026-2027学年度第一学期 高三年级9月学情调研参考答案 本试卷分第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时 间120分钟 第I卷（选择题共40分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四 个选项中，选出符合题目要求的一项 1.c 2.c 3.A 4.D 5.c 6.B 7.A 8.B 9.B 10.C 第Ⅱ卷（选择题共40分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.（-3,5] 12.9 13.10；[-1,7] 14.1:(0,2) 15.①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤. (1) 16. f(x)=4sin 经as(受-)+m 1 =4sin wx V3 sin +m 2 2 2 2 x E =2 sin- 2 -COS- +2V3sin2w 2 +m sinwa+v3(1-coswz)+m sinwx-V3 coswx +V3+m -2sin (wz )++m 由最小正周期T= 2π =π，得=2。 f(x)的最大值为2+√3+m,最小值为一2+v√3+m,由题意得： (2+v3+m)+(-2+v3+m)=0 解得m=-V3,故f()=2sin(2z-) f()=2sin(2×吾-)=2sin誓=V3 回令-+2r≤2u-言≤程+2，ke2 π 解得12+红≤”≤2 +kr,k∈Z, 即f(x)的单调递增区间为 +,+ π 5 ,k∈Z。 因为fx)在0，a上是增函数，取k=0,得a≤12 5π 故实数a的最大值为 π 24 17. (1)设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d。 93=器=平=27 q=3 a=号-有版a=日×g1=g 1 a3=33-2=3,a4=34-2=9,则b1=3,b4=9。 3d=b4-b1=9-3=6 d=2 故bm=3+(n-1)×2=2m+1。 (2) Sn=n6,bl=3+2n+=n(n+2) 景=品2=品-2 工=(1-)+(（合+(G)+… 1 1 =1+2-n+1n+2 1 2n+1n+2 ()由题意得2n+1-4≤入·3”-2，即入≥20-3 3m-2 对任意n∈N*恒成立 设0=2n-3 3n2，则： 6+1-cn=23-0号=8 30 当n=1时，c2>c1;当n=2时，c3=c2;当n≥3时，cn+1<Cn。 故cn的最大值为c2=c3=1,因此入≥1，即λ的最小值为1。 18.解：（①）在△ABC中，a cos B=c- 6 a b c 由正弦定理 sin A sin B sinC 1 得sin A cos B=sinC-2sinB。 又因为sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B 1 所以cos Asin B-2sinB=0, 因为sinB卡0， 1 所以c0sA=2 因为A∈(0，π)， 所A=子 13 (2)若选条件①：因为c0sB= 14 所以sinB=V1-cos2B= 3V3 14° a b 因为inA=sinB' 所以b= asin B sin A =3。 所以c=acos B+2b=8, 此时cosC= a2+b2-c272+32-821 2ab 2×7×3=-70 C为钝角，符合题意。 所以c的值为8。 若选条件②：b+c=13,则b=13-c。 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bc cos A, 即0=13-eP+e-2x3-g-e 则c2-13c+40=0, 因为C为钝角，所以c=8,b=5。 此时cosC= a2+b2-c272+52-821 2ab 2×7×5=7 C为锐角，不符合题意， 所以不能选择条件②。 若选条件③：因为△ABC的面积为6√3， 所以2 besin A=6V3 由)知A= 3' 所以bc=24, 由余弦定理得a2=b2+c2-2 be cos A, 即49=b2+c2-bc。 所以b+c=11. 因为C为钝角， 所以b=3,c=8。 此时cosC= a2+b2-c272+32-821 2ab 2x7×3=-7 C为钝角，符合题意， 所以c的值为8。 19. (I) 当a=-1时，f(x)=-x+nx,定义域为(0，+oo) f(1)=-1+1n1=-1,即切点为(1，-1)。 对f(c)求导得：f)=-1+ 则切线斜率k='(1)=一1+1=0。 所以切线方程为y-（-1)=0(x-1),即y=-1。 () 由-ax>0可知： 当a>0时，定义域为(-oo,0): 当a<0时，定义域为(0，+∞). 对f()求号得：f'✉)=-1+1=1-2 1.当a>0时，x∈(-0o,0)。 因为x<0,所以f'(x)= 1一父<0恒成立。 x 所以f(x)在(-o,0)上单调递减。 2.当a<0时，x∈(0，+0∞) 当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； 当x∈(1，+oo)时，f'(x)<0,f(x)单调递减。 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+0∞)上单调递减。 综上所述： 当a>0时，f(x)的单调递减区间为（一oo,0): 当a<0时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，+o∞)。 20. (I) 当a=2,b=1时，f(x)=e2z-e f(0)=e0-e0=0,切点为(0,0) f'(x)=2e2x-e4 f'(0)=2e0-e0=1 由点斜式得切线方程为y=x (I)当a=3,b=2时，f(x)=e3x-e2z (1)求极值 f'(x)=3e3r-2e2r=e2r(3e2-2) 2 令f'(x)=0,得3e-2=0,解得x=ln 3 2 当x<ln。时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 31 2 当c>血3时，f'(~)>0,f儿c)单调递增： 2 故f(x)在x=ln。处取极小值： 4 )-(3 =-27 f(x)无极大值。 (2)证明： 当x>0时， f(2) =er等价于e3r-e2z=xed 两边同除以e2r得：er-1=xe(A-2)z 令g(x)=e-1-xe(A-2)z g'(z)=e*-e(A-2)*+(-2)ze(-2) =eA-2z[e3-z-1-(0-2)x 令p(x)=e3-z-1-(-2)x,则p(x)=(3-)e3-z-(A-2) 由e3引，8-aeB,A-2eb, 当x>0时，e3-r>1,故 5 (四)>3-0-A-2)=5-2A≥5-2×2=0 因此p(x)在(0，+o∞)上单调递增，又p(0)=0,故x>0时p(x)>0,即g(x)>0 因此g(x)在(0，十∞)上单调递增，又g(0)=0,故x>0时g(x)>0 即e2一1>xeA-2r恒成立，原方程无正实根 故入∈ ]时，方程f回=e女在0，+∞)止无解。 21. 解：(0数列{an}的一个长度为4的“等比伴随数列为1,4,16,64（答案不唯一）。 (0由题意，b1≤a1≤b2≤a2≤b3≤a3≤b4≤a4≤b5, 即 1≤a1≤2， 2≤a1+d≤4， 4≤a1+2d≤8， 8≤a1+3d≤16， 则0≤d≤3。 又数列{an}:1,4,7,10符合题意，所以的最大值为3。 ()设长度为N的"等比伴随数列的公比为q, 则对任意正整数k,当k=2,3,·,N时，都有bk-1≤ak-1≤bk成立， 即g2≤k-1≤q-1对2≤k≤N恒成立。 当k=2时，有q≥1； 当k=3时，q≤2≤q2,即V2≤q≤2； ≥，有加”立 k-2 即当k≥4时， 令f(r)=】 -e≥.当≥，阳=1》<0， (x-1)2 所以f(x)在[4，+o∞)单调递减，所以当k≥4时 In(k-1) s3 k-1 /max 3。 同理，令g(c)= 卫-2（红≥4，则g()在4，+00）上单调递减， In(x-1) 即4≤k≤N时 n(k-1) _ln(W-1) k-2 min N-2 gs 5 N-2 ,即3ln(N-1)-(N-2)n3≥0. 令h(x)=3ln(x-1)-(x-2)ln3(x≥4)， 当x≥4时，N@)三n3<0 所以h(x)在[4，十oo)上单调递减。 又由于h(6)=3ln5-4ln3>0,h(7)=3n6-5ln3<0, 所以，存在x0∈(6,7)，使得h(xo)=0, 所以N的最大值为6。 北京市昌平区第一中学2026-2027学年度第一学期 高三年级9月学情调研 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟 第I卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则复数z的共轭复数（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若与垂直，则m的值为（ ） A． B．0 C． D．2 4．在中，，则（ ） A． B． C． D． 5．记等差数列的前n项和为，，，则（ ） A．120 B．140 C．150 D．160 6．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 7．将函数图象向左平移个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ） A． B． C． D． 8．设是等差数列，其前n项和为．则“为递增数列”是“，”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，L是信号衰减值（单位：分贝，dB），d（单位：米）为信号传播距离、某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可简化为：（k，C为常数），若距离增加一倍，信号衰减值约减少6 dB，信号传播距离从增加到时，测得信号衰减值从变到，则（ ） A． B． C．5 D．6 10．已知，．用表示a，b中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第II卷（选择题 共40分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．函数的定义域为______． 12．若等差数列满足，，则当____时，数列的前n项和最大． 13．在平面直角坐标系中，已知点，点，，点P满足，，的最大值为______，的取值范围是______． 14．设函数 ①若，则的零点个数为______； ②若有且仅有两个零点，则实数a的范围是______． 15．已知数列满足，则下列说法正确的是______． ①若且，则单调递减； ②若存在无数多个n使得，则或； ③当时，存在使； ④当时，对任意，都有． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分） 已知函数．最小正周期为，最大值与最小值之和为0． （I）求的值； （II）若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值． 17．（本小题满分15分） 已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． （I）分别求数列，的通项公式． （II）设数列的前n项和为，求数列的前n项和． （III）若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 18．（本小题满分14分） 在中，为钝角，． （I）求； （II）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求c． 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（II）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题满分13分） 已知函数，． （I）当时，求曲线在点处的切线方程； （II）讨论的单调性． 20．（本小题满分15分） 设函数． （I）当，时，求曲线在点处的切线的斜率； （II）当，时， （i）求的极值； （ii）若，求证：关于x的方程在上无解． 21．（本小题满分15分） 已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为q，满足，其中，3，，N，则称数列B为数列A的长度为N的“等比伴随数列”． （I）数列的通项公式为，写出数列的一个长度为4的“等比伴随数列”； （II）等差数列的公差为d，若存在长度为5的“等比伴随数列”，其中，求d的最大值； （III）数列A的通项公式为，数列B为数列A的长度为N的“等比伴随数列”，求N的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $