精品解析：北京市第一七一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

北京市第一七一中学2024-2025学年度第一学期12月月考 高三数学试卷 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内所对应的点为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线上一点M与焦点F的距离为4，则点M到x轴的距离是（ ） A. B. C. 4 D. 12 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 5. 已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列区间中单调递增的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 图中组合体是由6个边长为的全等正三角形拼接而成的六面体，其体积为（    ） A. B. C. D. 8. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为，经过12个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：） A. 20 B. 28 C. 32 D. 40 9. 已知是函数的图象上的两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为___________． 12. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为_____________. 13. 已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后与圆交于点．当时，___；当为锐角时，的取值范围是___. 15. 把正整数排成一个圆圈. ①对于任意排列，必有相邻三个数之和不小于； ②对于任意排列，必有相邻三个数之和不大于； ③不同的排列总数是（旋转后重合视为同一排列）； ④存在某一个排列，使任意相邻两项的和均为质数.（质数又称素数，只有1和它本身两个约数，2是最小的质数） 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 北京市东城区共有30所高中校，其中以纯数字命名的20所，简称“数字校”，以文字命名的10所，简称“文字校”，名单见表格1.若一个数字逆序后与原数相同，称为回文数，以回文数命名的学校称为“回文校”，显然“数字校”中“回文校”有7所：1中、2中、5中、11中、22中、55中、171中. 表1：东城区高中校一览表 数字校 1，2，5，11，21，22，24，25，27，50，54，55，65，96，109，125，142，165，166，171. 文字校 东直门、汇文、广渠门、龙潭、景山、50分、翔宇、宏志、工美附、崇文门. （1）已知某学校是“数字校”，那么这所学校是“回文校”的概率？ （2）在“回文校”任选3所，记选中校名为质数的学校个数为，求的分布列与期望.（注：质数又称素数，只有1和它本身两个约数，2是最小的质数，） （3）已知北京市所有“回文校”均在城六区，城六区共计高中校200余所，171中学是数字最大的”回文校“.若随机抽取一所学校，设东城区抽中“回文校”的概率，城六区抽中“回文校”的概率，估计、的大小关系（直接写出结果）. 19. 已知椭圆的离心率为，点为其左顶点，点的坐标为，过点作直线与椭圆交于，两点，当垂直于轴时，． （1）求该椭圆的方程； （2）设直线，分别交直线于点，，线段的中点为，设直线与的斜率分别为，，且，求证：为定值． 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间； （3）当函数有两个极值点时，若恒成立，求的最大整数值.（参考数据：） 21. 由这个数排成一个数列，若两个1之间恰好有1个数，两个2之间恰好有2个数，，两个之间恰好有个数，则称这个数列为“完美闭环数列”.显然，时不能构成“完美闭环数列”.时，构成了“完美闭环数列”.若数列中的项与的奇偶性相同，称该项为“和谐项”，当时，，，，共有4项“和谐项”. （1）补全时的“完美闭环数列”：，并列出其所有“和谐项”. （2）证明：当时，不存在“完美闭环数列”. （3）可以构成“完美闭环数列”，同学们在171中学“知己知彼”、“拾级而上”，相信171也必将是你中学时代的“完美闭环”，从这里出发，向梦想远行.请写出时的“完美闭环数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一七一中学2024-2025学年度第一学期12月月考 高三数学试卷 本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合交集的运算，直接计算即可. 【详解】解：∵，； ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题型. 2. 复数在复平面内所对应的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，再由复数的几何意义可得出结果. 【详解】因为，因此，复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：C. 3. 已知抛物线上一点M与焦点F的距离为4，则点M到x轴的距离是（ ） A. B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义知M与准线的距离为4，即知M到y轴的距离为3，进而求M的纵坐标可得到x轴的距离. 【详解】由抛物线方程知：其准线为，又其上一点M与焦点F的距离为4， ∴M与准线的距离为4，故M到y轴的距离为3， ∴M的横坐标，代入抛物线可得， ∴M到x轴的距离是. 故选：B. 4. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆关于直线对称即圆心在直线上得到答案. 【详解】将化成标准方程为， 圆心为，半径为， 因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上，即，解得. 故选：D. 5. 已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列区间中单调递增的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出最小正周期，进而得到，利用整体法求解单调递增区间，得到答案. 【详解】设的最小正周期为， 由题意得：，解得， 因为，所以， 所以， 令，解得：， 当时，，B正确； 当时，，当时，， 故其他选项，均不满足要求. 故选：B 6. 已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】，则，整理得， 而向量均为非零向量，则反向共线且，有； 反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7. 图中组合体是由6个边长为的全等正三角形拼接而成的六面体，其体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】6 个全等正三角形拼接成的六面体，可看作两个底面重合的正四面体上下拼接而成，棱长 (), 六面体的每条棱都是 6(),，中间截面为等边三角形， 设上面的正四面体的顶点为P，P在底面的正投影是O，则O是底面等边三角形的中心， 所以 (), 所以上面的正四面体的高 (), 所以上面的正四面体的体积 () 所以六面体的体积为() 8. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为，经过12个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：） A. 20 B. 28 C. 32 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】先由题给条件求得正常数a，b的值，得到分解率与时间（月）近似地满足关系，再解方程即可求得这种垃圾完全分解大约所需要经过的月数. 【详解】由题意得，，解之得，则 则由，可得， 两边取常用对数得，， 则 故选：C 9. 已知是函数的图象上的两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，借助基本不等式即可得解. 【详解】如图所示，设，，的中点为， 点在的图象上，且轴，则， 由图知点在的左侧，即， 所以. 故选：D 10. 在平面直角坐标系中，已知直线（）与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线：（）上存在点满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据直线与曲线都关于原点对称，得到，关于点B对称，则，即为，然后将问题转化为点B到直线的距离不大于1求解. 【详解】因为直线与曲线都关于原点对称，且都过原点， 所以为原点，，关于点B对称， 因为直线：（）上存在点满足， 所以， 则点B到直线的距离不大于1， 即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】由二项式定理写出展开式通项，求含的项即可知其系数. 【详解】由题设，展开式通项公式为， 当时，， ∴的系数为10. 故答案为：10. 12. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则C的离心率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，然后由可求得结果. 【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以， 所以离心率， 故答案为： 13. 已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【解析】 【分析】根据已知条件及等比数列性质，先求出或，再根据有最大值可判断符合题意，最后利用二次函数性质求出最大值即可. 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 14. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后与圆交于点．当时，___；当为锐角时，的取值范围是___. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由三角函数定义知，y1＝sinα，y2＝sin（α）＝cosα，得到，f（α）＝y1+y2＝cosα+sinαsin（α），由 【详解】由三角函数定义知，y1＝sinα，y2＝sin（α）＝cosα，∴ f（α）＝y1+y2＝cosα+sinαsin（α）， ∵角α为锐角， ∴α， ∴sin（α）≤1， ∴1sin（α）， 则f（α）的取值范围是（1，]； 故答案为； 【点睛】本题考查三角函数定义，三角函数化简，准确运用定义是关键. 15. 把正整数排成一个圆圈. ①对于任意排列，必有相邻三个数之和不小于； ②对于任意排列，必有相邻三个数之和不大于； ③不同的排列总数是（旋转后重合视为同一排列）； ④存在某一个排列，使任意相邻两项的和均为质数.（质数又称素数，只有1和它本身两个约数，2是最小的质数） 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】分别判断四个结论：①用反例否定；②假设所有相邻三数之和均大于，利用去掉后剩余九数的分组求和导出矛盾；③固定一个数的位置计算圆排列数；④给出满足要求的具体排列. 【详解】①取顺时针排列 十组相邻三个数之和依次为均小于，所以①错误. ②任取一种排列，找到数所在的位置. 从它的下一个位置开始，将其余九个数按圆周顺序分成三组，每组三个数. 这三组中的每一组都是原圆圈中相邻的三个数. 若不存在相邻三个数之和不大于，则每组的和都是不小于的整数，从而 但矛盾. 因此任意排列中必有相邻三个数之和不大于，②正确. ③旋转后重合视为同一排列，可以固定数的位置，再将其余个数依次排在圆周上， 所以不同排列总数为而不是 ，③错误. ④取顺时针排列 相邻两项之和（包括首尾两项）依次为均为质数，所以④正确. 综上，所有正确结论的序号是②④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【小问1详解】 由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. 【小问2详解】 选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）因为四边形为菱形，所以． 又因为，为的中点，所以． 又因为平面平面， 平面平面， 所以平面，因为平面， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直得到线线垂直； （2）利用向量法求解，求出两个平面的一个法向量，再求出两个法向量夹角的余弦值的绝对值，即两个平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连结．因为，为的中点， 所以． 由（1）可知平面， 所以，． 设，则． 如图，建立空间直角坐标系． 所以． 所以，． 因为平面， 所以是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，所以 令，则，．于是． 所以． 平面与平面夹角余弦值为． 18. 北京市东城区共有30所高中校，其中以纯数字命名的20所，简称“数字校”，以文字命名的10所，简称“文字校”，名单见表格1.若一个数字逆序后与原数相同，称为回文数，以回文数命名的学校称为“回文校”，显然“数字校”中“回文校”有7所：1中、2中、5中、11中、22中、55中、171中. 表1：东城区高中校一览表 数字校 1，2，5，11，21，22，24，25，27，50，54，55，65，96，109，125，142，165，166，171. 文字校 东直门、汇文、广渠门、龙潭、景山、50分、翔宇、宏志、工美附、崇文门. （1）已知某学校是“数字校”，那么这所学校是“回文校”的概率？ （2）在“回文校”任选3所，记选中校名为质数的学校个数为，求的分布列与期望.（注：质数又称素数，只有1和它本身两个约数，2是最小的质数，） （3）已知北京市所有“回文校”均在城六区，城六区共计高中校200余所，171中学是数字最大的”回文校“.若随机抽取一所学校，设东城区抽中“回文校”的概率，城六区抽中“回文校”的概率，估计、的大小关系（直接写出结果）. 【答案】（1） （2）分布列为： 0 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）应用古典概型的概率求法求概率； （2）由题意的可能值为，应用组合数及古典概型的概率求法求对应概率，写出分布列，进而求期望； （3）根据表格数据分析判断概率大小情况即可. 【小问1详解】 设某学校是“数字校”，那么这所学校也是“回文校”为事件，； 【小问2详解】 因为回文校中2、5、11是素数，则的可能值为， 所以，，，， 0 1 2 3 ； 【小问3详解】 由题意知，东城区抽中“回文校”概率， 由1、2、 161、171共有26个回文数， 对于城六区抽中“回文校”的概率而言，考虑极端情况，即学校取200， “回文校”取26时（1、2……11、22……111、121…….171共26个），是最大值， 而真实情况，，又，所以. 19. 已知椭圆的离心率为，点为其左顶点，点的坐标为，过点作直线与椭圆交于，两点，当垂直于轴时，． （1）求该椭圆的方程； （2）设直线，分别交直线于点，，线段的中点为，设直线与的斜率分别为，，且，求证：为定值． 【答案】（1）； （2）设，，直线的方程为， 由消去，整理得：， 所以， 又，所以直线的方程为：， 其与直线的交点为； 同理， 所以的中点为， 因此的斜率为 ， 因此， 即为定值． 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到，点在椭圆上，由此可求出，即可求出椭圆方程； （2）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理得到，由题中条件，求出点坐标，表示出直线的斜率，化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，即， 所以，即，因此椭圆方程可化为； 又由题意可知：点在椭圆， 所以，解得，所以； 因此椭圆方程为； （2）略 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆中的定值问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型，计算量较大. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间； （3）当函数有两个极值点时，若恒成立，求的最大整数值.（参考数据：） 【答案】（1） （2）当时，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出，然后得到切点坐标，求出函数的导数，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化为求函数最值求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，故切点坐标为， 又，所以， 故切线的斜率为，由点斜式可得，即， 故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 的定义域为， 又， 当，即时，在上恒成立， 故在上单调递减； 当，即， 令，解得， 若时，则当或时，， 当时，， 所以在上单调递减， 在上单调递增； 【小问3详解】 由（2）可知，当时，有两个极值点， 由韦达定理得，代入计算得， 即需满足，对于恒成立，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，故在单调递增， ， ， 故存在，使得，即， 此时在单调递减，在单调递增， ，由，得， ，， ，故，故k的最大整数值为 21. 由这个数排成一个数列，若两个1之间恰好有1个数，两个2之间恰好有2个数，，两个之间恰好有个数，则称这个数列为“完美闭环数列”.显然，时不能构成“完美闭环数列”.时，构成了“完美闭环数列”.若数列中的项与的奇偶性相同，称该项为“和谐项”，当时，，，，共有4项“和谐项”. （1）补全时的“完美闭环数列”：，并列出其所有“和谐项”. （2）证明：当时，不存在“完美闭环数列”. （3）可以构成“完美闭环数列”，同学们在171中学“知己知彼”、“拾级而上”，相信171也必将是你中学时代的“完美闭环”，从这里出发，向梦想远行.请写出时的“完美闭环数列”. 【答案】（1）“和谐项” （2）由排成一个数列， 假设存在符合题意的数列，其共有项，依次为， 对于数列中的两项， 若，则之间恰好有个数， 若为奇数，则同奇偶， 若为偶数，则一奇一偶，称为项，为项号， 所有偶数项中（即项的取值为偶数）， 项号取值为个奇数，个偶数， 剩余的奇数项排入数列中需要占据剩下的个奇数项号与个偶数项号， 由于奇数项的项号同奇偶，所以有矛盾. （3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据完美闭环数列的定义写出所有“和谐项”； （2）应用反证法，假设存在符合题意的数列，其共有项，其中，结合定义得到矛盾，即可证； （3）根据已知写出一个符合要求的数列即可. 【小问1详解】 由完美闭环数列的定义可知，两个3之间必须有3个数， 数列前两项为，则第一个3的位置是1，另一个3的位置必须是5，两个1之间必有1个数， 已知第二个数是1，则另一个1的位置必须是4（中间的第3项为1个数）， 此时数列框架为剩下的两个数是和，分别填入位置3和位置6， 恰好满足两个2之间有2个数（位置4和5的数）， 故补全的“完美闭环数列”为， “和谐项”定义为与的奇偶性相同： （奇奇相同），为和谐项， （奇奇相同），为和谐项， （偶偶相同），为和谐项， 因此，所有“和谐项”为第项 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，可以通过构造法得出“完美闭环数列”，符合条件的一组数列有， 验证：7之间隔6个，3之间隔3个，6之间隔6个，2之间隔2个，5之间隔5个，4之间隔4个，1之间隔1个，符合题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $